基于灰色预测模型的武汉市商品房价格预测研究

Prediction and Analysis of Wuhan Commercial Housing Prices Based on Grey Prediction Model

摘要: 本文通过灰色预测模型，收集2002~2019年武汉市住宅商品房平均价格作为基础数据，构建了武汉市住宅商品房平均价格变化趋势预测模型，本文运用了GM(1,1)模型、GM(2,1)模型和邓聚龙参数估计模型对武汉市住宅商品房平均价格进行预测，通过对三种预测方式的检验指标和预测值与实际值的比较，发现直接利用Python求解参数的GM(1,1)模型最终的预测结果对现场的参考意义更大；最终运用GM(1,1)模型计算和预测2020~2030年武汉市住宅商品房平均价格走势，从预测的结果来看，武汉市商品房的价格在未来会保持上涨的趋势。

Abstract: In this paper, the average price of residential commercial housing in Wuhan City from 2002~2019 was collected as the base data through a gray forecasting model, and a forecasting model of the trend of the average price change of residential commercial housing in Wuhan City was constructed. The GM(1,1) model, GM(2,1) model and Deng Jurong parameter estimation model are applied to forecast the average price of residential commodity houses in Wuhan City. By comparing the test indexes and the predicted and actual values of the three forecasting methods, it is found that the final forecasting results of the GM(1,1) model, which directly uses Python to solve the parameters, are more meaningful for realistic reference. The GM(1,1) model was finally applied to calculate and predict the average price trend of residential commercial housing in Wuhan from 2020 to 2030, and from the predicted results, the prices of commercial housing in Wuhan will maintain an upward trend in the future.

1. 引言

自2019年新冠肺炎冲击以来，我国经济均受到不同程度的冲击，尤其是武汉市，在疫情初期，由于新冠肺炎病毒具有高传染性和高发病率，武汉市需要通过阻止市民接触以进行疫情防控，这对武汉市经济是一次致命的打击。而房地产行业作为第三产业中的中流砥柱，更是受到极大冲击，几乎陷入停滞。疫情发生以来，党和国家积行动，动员一切力量支持武汉疫后经济重建，给武汉市发展注入新的动力。而房价作为一个城市衡量经济发展的重要风向标，对房价进行研究具有重要意义。本文引入灰色预测模型对武汉市的商品房价格进行预测，并根据预测的结果展开分析 [1]。购房对于大多数中国人而言意义重大，本文的预测及其结果，对于有意向在武汉购房的消费者有一定的参考价值。

2. 湖北省房价发展状况

湖北省属于我国中部的经济大省，其经济发展水平较高，房价的关注度不低。从总体上看相较于东部省份湖北的房价并不算太高。在湖北十五市中，除了武汉市平均超过了1.60万元每平方米，其他城市都在1万以内。武汉各市房价差距并不显著，其房价上涨趋势也较为相似。

武汉市经济发展程度位于省内首位，基础设施完善，城市规划日趋完善，生活便利性高。除此之外武汉高校很多，科教实力能排进全国前五，知名大学例如武汉大学和华中科技大学，更好的教育条件也因此吸引了更多人前来定居。

房价在省内位于第二、第三名的城市分别是襄阳和宜昌。襄阳是三国文化的重要发源地之一，吸引着各种古文化爱好者。襄阳自古以来就是兵家必争之地，具有优越的地理位置，也侧面说明了襄阳自古以来，就是重要的交通枢纽，是经济发展的中心。进入新世纪以来，襄阳也在不断提高自身发展质量，积极推进供给侧结构性改革，打造高质量GDP。2019年，襄阳市住宅商品房平均价格在一万元左右。宜昌是湖北省的第三大城市，拥有三峡大坝等知名国家重点设施，十里清江画廊、神农溪等景区也吸引着省内外游客，带动了宜昌旅游业的发展，成为附近区域的安居就业首选地。2019年，宜昌市住宅商品房的平均价格为9000元每平方米。

总体而言，湖北主要城市房价和其经济发展较为相符，并没有过分畸高。分析其原因，主要有三点。一是湖北的整体经济水平虽然在中部首屈一指，即使在全国范围也处于前十名的水平，但是武汉作为劳务输出大省，人口大量外流，导致购房群体偏少；二是湖北省的经济发展水平不均衡，武汉作为省会经济发展水平远远超过了其他城市，武汉的房价也远高于平均水平，其他城市的房价相对较低；三是武汉市的房地产市场供应较多，武汉市常年商品房供应量位居全国全列，过多的供给量导致武汉市房价长期处于一个较为合理的状态，购房者也相对理性。

3. 指标选取及研究方法

3.1. 指标选取

住宅商品房价格反映了一个地区的人口流动、经济水平、购买力水平等诸多重要因素，时衡量一个地区发展趋势的重要参考之一。本文选择了武汉市2002~2019年的全省住宅商品房平均价格作为研究数据进行预测和分析。首先选取2002~2019年武汉市住宅商品房平均价格的时间序列作为预测的基础，所数据都来源于国家统计局。获取的数据如表1所示。

Table 1. The average housing price of Hubei Province from 2002 to 2019

表1. 湖北省2002年~2019年的全省平均房价

数据来源：国家统计局。

3.2. 研究方法

3.2.1. GM(1,1)灰色预测模型

原始数据序列为 $X^{(0)}=\left\{x^{(0)}\left(1\right),x^{(0)}\left(2\right),\cdots ,x^{(0)}\left(n\right)\right\}$，其中， $X^{(0)}\left(k\right)\ge 0$， $k=1,2,\cdots ,n$，其中 [2]，

$x^{\left(0\right)}\left(k\right)+a{z}^{\left(\text{1}\right)}\left(k\right)=b$ (1)

$X^{(1)}=\left\{x^{(1)}\left(1\right),x^{(1)}\left(2\right),\cdots ,x^{(1)}\left(n\right)\right\},x^{(1)}\left(k\right)={\displaystyle {\sum }_{i=1}^k{x}^{\left(0\right)}\left(i\right)},\left(k=1,2,\cdots ,n\right)$ (2)

紧邻均值生成序列中，

$z^{\left(1\right)}\left(k\right)=\frac{x^{\left(1\right)}\left(k\right)+x^{\left(1\right)}\left(k-1\right)}{2},k=2,\cdots ,n$ (3)

则均值GM(1,1)模型为：

$x^{\left(0\right)}\left(k\right)+a{z}^{\left(\text{1}\right)}\left(k\right)=b$ (4)

其中，

$\frac{\text{d}{x}^{(1)}t}{\text{d}t}+a{x}^{(1)}t=b$ (5)

其对应的时间响应式为：

${\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k\right)=\left[{\hat{x}}^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{b}{a}\right]{\text{e}}^{-a(k-1)}+\frac{b}{a},k=2,\cdots ,n$ (6)

其中， ${\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k\right)$ 为原始一阶累加生成(1-AGO)序列数据拟合值，a、b为待定参数。

本文使用最小二乘法对方程求解，若 $\hat{a}={\left(a,b\right)}^{\text{T}}$ 为一参数序列 [3]，且：

$Y=\left[\begin{array}{c}{x}^{\left(0\right)}\left(2\right)\\ \begin{array}{c}{x}^{\left(0\right)}\left(3\right)\\ \begin{array}{c}⋮\\ x^{\left(0\right)}\left(n\right)\end{array}\end{array}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}-z^{\left(1\right)}\left(2\right)\\ \begin{array}{c}-z^{\left(1\right)}\left(3\right)\\ \begin{array}{c}⋮\\ -z^{\left(1\right)}\left(n\right)\end{array}\end{array}\end{array}\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\\ \begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\end{array}\right]$ (7)

则灰色微分方程式(1)中参数的最小二乘估计为：

$\hat{a}={\left(B^{\text{T}}B\right)}^{-1}{B}^{\text{T}}Y$ (8)

还原值为：

${\hat{x}}^{\left(0\right)}\left(k\right)={\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k\right)-{\hat{x}}^{\left(1\right)}\left(k-1\right)=\left(1-{\text{e}}^a\right)\left[x^{\left(0\right)}\left(1\right)-\frac{b}{a}\right]{\text{e}}^{-a\left(k-1\right)},k=2,3,\cdots ,n$ (9)

3.2.2. GM(2,1)模型

设等时距原始序列为：

$x^{\left(0\right)}=\left(x^{\left(0\right)}\left(1\right),x^{\left(0\right)}\left(2\right),\cdots ,x^{\left(0\right)}\left(n\right)\right)$ (10)

对 $x^{\left(0\right)}$ 序列处理有：

$x^{\left(1\right)}=\left(x^{\left(1\right)}\left(1\right),x^{\left(1\right)}\left(2\right),\cdots ,x^{\left(1\right)}\left(n\right)\right)$ (11)

其中：

$x^{\left(1\right)}\left(k\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{x}^{(0)}\left(i\right)},k=2,3,\cdots ,n$ (12)

$x^{\left(1\right)}\left(1\right)=x^{\left(0\right)}\left(1\right)$ (13)

再进行累减处理有：

${\alpha }^{(1)}{x}^{(0)}=\left({\alpha }^{(1)}{x}^{(0)}\left(2\right),\cdots ,{\alpha }^{(1)}{x}^{(0)}\left(n\right)\right)$ (14)

${\alpha }^{(1)}{x}^{(0)}\left(k\right)=x^{(0)}\left(k\right)-x^{(0)}\left(k-1\right),k=2,3,4,\cdots ,n$ (15)

对 $x^{(1)}$ 求紧邻均值序列得到：

$z^{\left(1\right)}=\left(z^{\left(1\right)}\left(2\right),z^{\left(1\right)}\left(3\right),\cdots ,z^{\left(1\right)}\left(n\right)\right)$ (16)

其中：

$z^{(1)}\left(k\right)=0.5x^{(1)}\left(k\right)+\left(k-1\right),k=2,3,4,\cdots ,n$ (17)

则称：

${\alpha }^{(1)}{x}^{(0)}\left(k\right)+a_1{x}^{(0)}\left(k\right)+a_2{z}^{(1)}\left(k\right)=b$ (18)

为GM(2,1)模型。

3.2.3. 邓聚龙参数估计模型

根据邓聚龙研究假定原始非负离散序列为 $X^{(0)}$ ：

$X^{(0)}=\left\{X_0^{(0)},\cdots ,X_{n-1}^{(0)}\right\}\left(n\ge 3;X_i^{(0)}\ge 0;i=0,1,2,\cdots ,n-1\right)$ (19)

一次累加序列为 $X^{\left(\text{1}\right)}$ ：

$X_i^{(1)}=X_0^{(0)}+X_1^{(0)}+X_2^{(0)}+\cdots +X_i^{(0)}={\displaystyle \underset{l=0}{\overset{i}{\sum }}{X}_l^{(0)}}$ (20)

假定 $Z^{\left(\text{1}\right)}$ 为一个均值序列：

$\begin{array}{l}{Z}^{(1)}=\left\{Z_1^{(1)},\cdots ,Z_{n-1}^{(1)}\right\}\left(n\ge 3;i=1,2,\cdots ,n-1\right)\hfill \\ Z_i^{(1)}=\frac{1}{2}\left(X_{i-1}^{(1)}+X_i^{(1)}\right)\hfill \end{array}$ (21)

对 $X^{\left(0\right)}\left(t\right)$ 进行微分运算：

$\frac{\text{d}{x}^{(0)}\left(t\right)}{\text{d}t}+a{x}^{(0)}\left(t\right)=b$ (22)

以 $y_N$ 为原始变量，通过最小二乘法估计参数：

$\hat{a}=\left(\begin{array}{l}a\hfill \\ b\hfill \end{array}\right)={\left(B^{\text{T}}B\right)}^{-1}{B}^{\text{T}}{y}_N$ (22)

$B=\left(\begin{array}{cc}-Z_1^{(1)}& 1\\ ⋮& ⋮\\ -Z_{n-1}^{(1)}& 1\end{array}\right),y_N=\left(\begin{array}{c}{X}_1^{(0)}\\ ⋮\\ X_{n-1}^{(0)}\end{array}\right)$ (23)

本文定义离散序列估计值解为：

${\hat{X}}_{k+1}^{(1)}=\left(X_1^{(0)}-\frac{b}{a}\right){\text{e}}^{-ak}+\frac{b}{a}$ (24)

对 ${\hat{X}}_i^{(1)}$ 进行累减还原得到 ${\hat{X}}_i^{(0)}$ ：

${\hat{X}}_{i+1}^{(0)}={\hat{X}}_{i+1}^{(1)}-{\hat{K}}_i^{(1)}$ (25)

4. 结果拟合和分析

通过三种灰色预测方法对武汉市2002~2019年的住宅商品房平均价格进行预测，预测结果如表2所示，通过比较相关系数(R²)和均方根误差(RMSE)本文发现对于武汉商品房平均价格来说，一阶常微分方程具有更为精确的拟合效果；对照附录中的详细数据，印证了这一比较结果。

Table 2. Fitting result comparison chart

表2. 拟合结果对照图

a：发展灰数；b：内生控制灰数；C₁：GM(2,1)模型第一个系数；C₂：GM(2,1)模型的第二个系数；R²：相关系数；RMSE：均方根误差，代表实际值与预测值之间的偏差。

4.1. 基于GM(1,1)灰色预测模型分析

运用GM(1,1)解析解拟合武汉市住宅商品房平均价格，在这个模型的基础上，本文以python语言进行分析。本文设置模型为：随机从[1, 1000]中选取两个数字，并分别赋值a、b，经过重复5次拟合，对比五次拟合结果 [4]，假定误差最小的参数即为a、b，如图1所示。基于拟合结果，对武汉市未来11年的住宅商品房平均价格进行预测，预测值如附表1所示。2019年武汉市住宅商品房平均价格的实际值为12,834.00元/平方米，预测值为13,087.62元/平方米左右，该模型为：

$X\left(t\right)=-2765.29+\text{4681}{\text{.29e}}^{0.07t}$ (26)

从图1可以看出，经过5次拟合后的相关系数R²为0.995，其相关性高，拟合度好；RMSE为413.04，误差值较小，适应性较好，比较适合住宅商品房价格等系列指标的预测。拟合效果如图1所示。

Figure 1. Fitting analysis and prediction based on GM(1,1) model

图1. 基于GM(1,1)模型的拟合分析及预测

4.2. 基于GM(2,1)灰色预测模型分析

本部分是使用GM(2,1)灰色预测模型来对武汉市住宅商品房平均价格进行拟合，GM(2,1)模型综合考虑了武汉商品房平均价格的增长加速度和增长速度 [5]。利用python语言在五次模拟之后能直接得到a、b参数的值，而C1、C2又是由a、b进行表达，基于此，得到如下函数模型，拟合结果如图1所示，模型为：

$X\left(t\right)=124.0481{\text{e}}^{-10598.2t}+1791.952{\text{e}}^{0.1213t}$ (27)

根据拟合结果，相关系数R²为1.18，显然是不符合统计学规律的。通过调整，运用EXCEL中RSQ函数进行测算，得出相关系数R²为0.975，相关性较好，拟合度符合要求；均方根误差RMSE为722.40，使用本模型的拟合结果及预测如图2所示。

Figure 2. Fitting analysis and prediction based on GM(2,1) model

图2. 基于GM(2,1)模型的拟合分析及预测

4.3. 基于邓聚龙参数估计模型分析

本文最终的预测结果如附表A3所示，20189年武汉市住宅商品房平均价格为12,834.00元/平方米，预测值为12,272.1658元/平方米左右。根据图1信息，基于Python语言得到的a = −0.1004，b = 2383.5514，由此，该部分模型可以记为：

$\begin{array}{l}{\hat{X}}_{i+1}^{(1)}=25656.5518{\text{e}}^{0.1004i}-23740.5518\hfill \\ {\hat{X}}_{i+1}^{(0)}={\hat{X}}_{i+1}^{(1)}-{\hat{K}}_i^{(1)}\hfill \end{array}$ (28)

根据预测结果，相关系数R²为0.947，均方根误差(RMSE)为863.40，总体来看该模型的预测结果较为理想。拟合效果如图3所示。但是，因参数a、b是由最小二乘法得出的，天然存在误差，在此基础上进行预测，结果的误差会加大。因此，根据本组数据，本文认为使用邓聚龙模型的误差会更大 [6]。

Figure 3. Fitting analysis and prediction based on Deng Julong parameter estimation model

图3. 基于邓聚龙参数估计模型的拟合分析及预测

5. 结论和建议

5.1. 结论

后疫情时代在党中央和国务院各部门的支持政策的帮助下，武汉未来的经济发展值得期待。因此，武汉市住宅商品房的价格上涨趋势更为明显。本文选取了GM(1,1)、GM(2,1)和邓聚龙参数估计模型三种方法对武汉市未来10年的住宅商品房价进行预测，三种方法的预测结果均认为武汉市住宅商品房在未来10年将稳步上涨，在2030年将达到35,000元/平方米左右，相比于国内其他主流城市仍处于一个较低水平，表现武汉市在未来经济也将稳步发展，具有较强的经济韧性和发展活力 [7]。

5.2. 建议

在后疫情时代，保持武汉房价稳定小幅上涨，避免出现大规模浮动，是武汉市政府的重要任务，针对本文分析结果，提出以下建议：

其一，控制土地拍卖。1994年分税制改革之后，归属于地方政府的税收种类较为匮乏，2016年的“营改增”税制改革，使得地方政府的财政收入进一步缩水。最终导致大多数地方政府拍卖土地获取财政收入 [8]。

其二，加大人才吸引力度。武汉作为拥有百万大学生的城市，应该积极留住大学生在汉创业就业。人才对于一个城市实现良性发展至关重要，通过留住人才，可以增加武汉的核心竞争力。构建良好的营商环境，在一定程度上对于房价管控也能起到相应作用 [9]。

其三，推进房地产税等政策工具落地。房价可以通过各种税收等财政政策加以控制，例如房地产税。该税种在上个世纪都被提出，但受限于各种原因至今未在我国落地实践。要进一步把控房价，打击“炒房客”等不理性的非正常购房行为，需要运用财政手段 [10]。

致谢

在此本文向厦门国家会计学院信息管理处的阎虎勤老师表示诚挚的谢意。在相关知识学习及本文的写作过程中，阎虎勤老师无论是从计算机语言原理上，还是数量方法上，都给予我们详细的指导，使我们不仅仅是掌握一门计算机语言，更是教会我们如何去使用这门语言，和我们的实际学习生活联系起来，真正做到学以致用。正式是有阎老师的坚定支持，我们才能完成本文的写作。

基金项目

本论文得到了厦门国家会计学院“云顶课题：Python财务数据分析”项目和大米(厦门)科技股份有限公司的支持。

附表

Table A1. Comparison of predicted value and true value based on GM(1,1) model

表A1. 基于GM(1,1)模型的预测值和真实值对比

Table A2. Comparison of predicted value and true value based on GM(2,1) model

表A2. 基于GM(2,1)模型的预测值和真实值对比

Table A3. Comparison of predicted value and true value based on Deng Julong parameter estimation model

表A3. 基于邓聚龙参数估计模型的预测值和真实值对比