平均曲率型方程的全局梯度估计

Global Gradient Estimate of the Mean Curvature Type Equation

摘要: 本文通过选取合适的辅助函数，考虑三种情况并利用极值原理来证平均曲率型方程的全局梯度估计。

Abstract: In this paper, by selecting the appropriate auxiliary function, three cases are considered and the extremum principle is used to prove the global gradient estimation of the mean curvature type equation.

1. 引言

平均曲率方程是几何偏微分方程中较为基础和重要的一类方程，对给定的平均曲率方程的内部梯度估计和全局梯度估计已经被广泛的研究了。Bombieri [1] 等人首先利用测试函数技巧和图上的Sobolev不等式，对高维的极小图曲面得到了极小曲面方程的内部梯度估计，在1970年Ladyzhenskaya和Ural’Tseva [2] 运用了测试函数的方法对于一般的平均曲率方程得到了内部梯度估计，详细过程请参见文献Gilbarg [3]。

在文献 [4] 中，Wang考虑了如下的平均曲率方程

$a_{ij}{u}_{ij}=:\left({\delta }_{ij}-\frac{u_i{u}_j}{1+{\left|\nabla u\right|}^2}\right)u_{ij}=H\left(x\right)\sqrt{1+{\left|\nabla u\right|}^2}$ (1)

他对于方程(1)内部梯度估计的证明有如下结果：

定理1. 设 $u\in C^3\left(B_r\left(0\right)\right)$ 是方程(1)的一个非负解，当 $\left|H\left(x\right)\right|\le C_0$，并且 $\left|\nabla H\left(x\right)\right|\le C_0$，则有

$\left|\nabla u\left(0\right)\right|\le \exp \left(C_1+C_2\frac{M^2}{r^2}\right)$

其中 $M=\underset{{}_{B_r(0)}}{\sup }u\left(x\right)$， $C_1$ 依赖于 $n$， $M$ 和 $C_0$ ； $C_2$ 依赖于 $n$，和 $C_0$。

在文献 [5] 中王聪涵进一步展开问题的研究，尝试得出类似的内部梯度估计结果，并研究平均曲率型方程的梯度估计时用到了几个极值原理，具体的证明参见 [6]。他考虑了以下平均曲率型方程并证明出了定理2。

$a_{ij}{u}_{ij}=H\left(x\right)\sqrt{1+{\left|\nabla u\right|}^2}+\alpha u$

定理2. 设 $u\in C^3\left(B_r\left(0\right)\right)$， $u\ge 0$ 满足方程

$a_{ij}{u}_{ij}=H\left(x\right)\sqrt{1+{\left|\nabla u\right|}^2}+\alpha u$

当 $\left|H\left(x\right)\right|\le C_0$， $\left|\nabla H\left(x\right)\right|\le C_0$，则有

$\left|\nabla u\left(0\right)\right|\le \exp \left(C_1+C_2\left|\alpha \right|+C_3\frac{M^2}{r^2}+C_3\frac{M^2}{r^2}\right)$

其中 $M=\underset{{}_{B_r(0)}}{\sup }u\left(x\right)$， $C_1$ 依赖于 $n$， $M$ 和 $C_0$ ； $C_2$ 依赖于 $n$，和 $C_0$。

定理3. 设 $\text{Ω}$ 是在 $R^n$ 中的有界领域具有 $C^1$ 边界， $u\in C^1\left(\bar{\Omega }\right)\cap C^3\left(\text{Ω}\right)$，满足

$\Delta u-\frac{u_i{u}_j}{1+{\left|\nabla u\right|}^2}{u}_{ij}=H\left(x\right)\sqrt{1+{\left|\nabla u\right|}^2}\text{in}\Omega$

则

$\underset{\Omega }{\sup }\left|\nabla u\right|\le \left(\underset{\partial \Omega }{\sup }\left|\nabla u\right|+\underset{\Omega }{\sup }\left|H\right|+2\right)\exp \left\{\left(\underset{\Omega }{\sup }\left|\nabla H\right|+c_0\right)\underset{\Omega }{\text{osc}}u\right\}$

其中 $c_0$ 是正常数。

本文主要在定理3平均曲率方程的全局梯度估计的基础上研究平均曲率型方程的全局梯度估计，即考虑如下平均曲率型方程

$a_{ij}{u}_{ij}=H\left(x\right)\sqrt{1+{\left|\nabla u\right|}^2}+\alpha u.$

2. 主要结果

本节，对于平均曲率型方程

$a_{ij}{u}_{ij}=H\left(x\right)\sqrt{1+{\left|\nabla u\right|}^2}+\alpha u$

其中 $H\left(x\right)\in C^1\left(\bar{\Omega }\right)$， $u_{ij}=u_{x_i}{}_{x_j}$， $\alpha \in R$ 且 $\alpha \ge 0$，主要证明以下定理。

定理4设 $\text{Ω}$ 是在 $R^n$ 中的有界领域具有 $C^1$ 边界， $u\in C^1\left(\bar{\Omega }\right)\cap C^3\left(\text{Ω}\right)$， $u\ge 0$ 满足

$\Delta u-\frac{u_i{u}_j}{1+{\left|\nabla u\right|}^2}{u}_{ij}=H\left(x\right)\sqrt{1+{\left|\nabla u\right|}^2}+\alpha \text{u}\text{in}\Omega$

则

$\underset{\Omega }{\sup }\left|\nabla u\right|\le \left(\underset{\partial \Omega }{\sup }\left|\nabla u\right|+\underset{\Omega }{\sup }\left|H\right|\right)\exp \left\{\left(\underset{\Omega }{\sup }\left|\nabla H\right|+c_0\right){\left|u\right|}_{C^0}\right\}$

其中 $c_0$ 是正常数.

证明：令

$a_{ij}={\delta }_{ij}-\frac{p_i{p}_j}{1+{\left|p\right|}^2}$

$f\left(x,u,p\right)=H\left(x\right)\sqrt{1+{\left|p\right|}^2}+\alpha u$

其中 $p=\left(p_1,p_2,\cdots ,p_n\right)=Du$，则平均曲率型方程可以写成：

$a_{ij}\left(Du\right)u_{ij}=f\left(x,u,Du\right)\text{inΩ}.$ (2)

选取辅助函数：

$\phi \left(x\right)={\left|Du\right|}^2{e}^{\beta (M_0+u)},\text{inΩ}$

其中 $M_0=\underset{\bar{\Omega }}{\sup }\left|u\right|$， $\beta$ 是待定的正常数。

若 $\phi \left(x\right)$ 在 $x_0\in \bar{\Omega }$ 处达到极大值，则 $\forall x\in \text{Ω}$， $\phi \left(x\right)\le \phi \left(x_0\right)$。

${\left|Du\left(x\right)\right|}^2{\text{e}}^{\beta (M_0+u\left(x\right))}\le {\left|Du\left(x_0\right)\right|}^2{\text{e}}^{\beta (M_0+u\left(x_0\right))}$

${\left|Du\left(x\right)\right|}^2\le {\left|Du\left(x_0\right)\right|}^2{\text{e}}^{\beta (u\left(x_0\right)-u(\; x\; )})$

$\left|Du\left(x\right)\right|\le \left|Du\left(x_0\right)\right|{\text{e}}^{\frac{1}{2}\beta (u\left(x_0\right)-u\left(x\right))}\le \left|Du\left(x_0\right)\right|{\text{e}}^{\beta |u{|}_{C^0}}$

$\left|Du\left(x\right)\right|\le \left|Du\left(x_0\right)\right|\exp \left\{\beta {\left|u\right|}_{C^0}\right\}\text{.}\text{inΩ}$ (3)

若 $\phi \left(x\right)$ 在 $x_0\in \partial \text{Ω}$ 处达到极大值，则

$\left|Du\left(x_0\right)\right|\le \underset{\partial \Omega }{\sup }\left|Du\right|\text{inΩ}$ (4)

若 $\phi \left(x\right)$ 在 $x_0\in \text{Ω}$ 处达到极大值，由极值原理

${\left(\log \phi \right)}_i\left(x_0\right)=0$ 和 ${\left(\log \phi \right)}_{ij}\left(x_0\right)\le 0$

${\left(\log \phi \right)}_i=\frac{2u_k{u}_{ki}}{{\left|Du\right|}^2}+\beta u_i$

${\left(\log \phi \right)}_{ij}=\frac{2u_k{u}_{kij}}{{\left|Du\right|}^2}+\frac{2u_{ki}{u}_{kj}}{{\left|Du\right|}^2}-\frac{4u_k{u}_l{u}_{ki}{u}_{lj}}{{\left|Du\right|}^4}+\beta u_{ij}$

因此

$a_{ij}{\left(\log \phi \right)}_{ij}=\frac{2u_k}{{\left|Du\right|}^2}{a}_{ij}{u}_{kij}+\frac{2}{{\left|Du\right|}^2}{a}_{ij}{u}_{ki}{u}_{kj}-\frac{4u_k{u}_l}{{\left|Du\right|}^4}{a}_{ij}{u}_{ki}{u}_{lj}+\beta a_{ij}{u}_{ij}$

为了消掉上式中的三阶导数，对(2)求微分可得

$a_{ij}{u}_{kij}+a_{ij,p_l}{u}_{kl}{u}_{ij}={\partial }_{k}f$

其中 $a_{ij,p_l}=-\frac{{\delta }_{li}{p}_j+{\delta }_{lj}{p}_i}{1+{\left|p\right|}^2}+\frac{2p_i{p}_j{p}_l}{{\left(1+{\left|p\right|}^2\right)}^2}$.

则

$a_{ij}{\left(log\phi \right)}_{ij}=-\frac{2u_k}{{\left|Du\right|}^2}{a}_{ij,p_l}{u}_{kl}{u}_{ij}+\frac{2}{{\left|Du\right|}^2}{a}_{ij}{u}_{ki}{u}_{kj}-\frac{4u_k{u}_l}{{\left|Du\right|}^4}{a}_{ij}{u}_{ki}{u}_{lj}+\frac{2u_k}{{\left|Du\right|}^2}{\partial }_{k}f+\beta f.$

以下计算都在 $x_0$ 点处，如下选取坐标标架，

$\left|Du\left(x_0\right)\right|=\left(u_1\left(x_0\right),0,\cdots ,0\right)$

且对于 $2\le i\ne j\le n$ 时， $u_{ij}\left(x_0\right)=0$.

$a_{ij}{\left(\log \phi \right)}_{ij}=-\frac{2}{u_1}{a}_{ij,p_l}{u}_{1l}{u}_{ij}+\frac{2}{u_1^2}{a}_{ij}{u}_{ki}{u}_{kj}-\frac{4}{u_1^2}{a}_{ij}{u}_{1i}{u}_{1j}+\frac{2}{u_1}{\partial }_{1}f+\beta f.$

由 ${\left(\log \phi \right)}_i=0$，有

$u_{1i}=-\frac{1}{2}\beta u_1{u}_i$

所以

$u_{11}=-\frac{1}{2}\beta u_1^2$， (5)

$u_{1i}=0,i\ge 2,$

故 $\left(u_{ij}\left(x_0\right)\right)$ 是对角矩阵。因此有

$\begin{array}{c}{a}_{ij}{\left(\log \phi \right)}_{ij}=-\frac{2}{u_1}{a}_{ii,p_1}{u}_{11}{u}_{ii}+\frac{2}{u_1^2}{a}_{ii}{u}_{ii}^2-\frac{4}{u_1^2}{a}_{11}{u}_{11}^2+\frac{2}{u_1}{\partial }_{1}f+\beta f\\ =-\frac{2}{u_1}{a}_{ii,p_1}{u}_{11}{u}_{ii}-\frac{2}{u_1^2}{a}_{11}{u}_{11}^2+{\displaystyle {\sum }_{i=2}^n\frac{2}{u_1^2}{a}_{ii}{u}_{ii}^2}+\frac{2}{u_1}{\partial }_{1}f+\beta f.\end{array}$

由于 $i\ge 2$ 时，在 $x_0$ 处有 $u_i\left(x_0\right)=0$，可得

$a_{11}=\frac{1}{1+u_1^2}$， $a_{11,p_1}=-\frac{2u_1}{{\left(1+u_1^2\right)}^2}$

$a_{ii}=1\left(i\ge 2\right)$， $a_{ii,p_1}=0\left(i\ge 2\right)$

所以

$\begin{array}{c}{a}_{ij}{\left(\log \phi \right)}_{ij}\ge \frac{4}{{\left(1+u_1^2\right)}^2}{u}_{11}^2-\frac{2}{u_1^2\left(1+u_1^2\right)}{u}_{11}^2+\frac{2}{u_1}{\partial }_{1}f+\beta f\\ =\frac{2\left(u_1^2-1\right)}{u_1^2{\left(1+u_1^2\right)}^2}{u}_{11}^2+\frac{2}{u_1}{\partial }_{1}f+\beta f.\end{array}$

由于

${\partial }_{1}f=H_1\sqrt{1+u_1^2}+\frac{H{u}_1{u}_{11}}{\sqrt{1+u_1^2}}+\alpha u_1$

则

$\begin{array}{c}{a}_{ij}{\left(\log \phi \right)}_{ij}\ge \frac{2\left(u_1^2-1\right)}{u_1^2{\left(1+u_1^2\right)}^2}{u}_{11}^2+\frac{2H_1}{u_1}\sqrt{1+u_1^2}+\frac{2H{u}_{11}}{\sqrt{1+u_1^2}}+2\alpha +\beta H\sqrt{1+u_1^2}+\beta \alpha u\\ \ge \frac{2\left(u_1^2-1\right)}{u_1^2{\left(1+u_1^2\right)}^2}{u}_{11}^2+\frac{2H_1}{u_1}\sqrt{1+u_1^2}+\frac{2H{u}_{11}}{\sqrt{1+u_1^2}}+\beta H\sqrt{1+u_1^2}.\end{array}$

把(5)代入上式

$a_{ij}{\left(\log \phi \right)}_{ij}\ge \frac{{\beta }^2{u}_1^2\left(u_1^2-1\right)}{2{\left(1+u_1^2\right)}^2}+\frac{2H_1}{u_1}\sqrt{1+u_1^2}+\frac{-\beta H{u}_1^2}{\sqrt{1+u_1^2}}+\frac{\beta H+\beta H{u}_1^2}{\sqrt{1+u_1^2}}$

由于 $a_{ij}{\left(\log \phi \right)}_{ij}\le 0$，可得

$\frac{{\beta }^2{u}_1^2\left(u_1^2-1\right)}{2{\left(1+u_1^2\right)}^2}+\frac{2H_1}{u_1}\sqrt{1+u_1^2}+\frac{\beta H}{\sqrt{1+u_1^2}}\le 0$

或者

$\sqrt{1+u_1^2}\left(\frac{{\beta }^2{u}_1^2\left(u_1^2-1\right)}{2{\left(1+u_1^2\right)}^2}+\frac{2H_1}{u_1}\sqrt{1+u_1^2}\right)\le -\beta H$

若 $u_1^2\le 3$，则

$\frac{u_1^2\left(u_1^2-1\right)}{2{\left(1+u_1^2\right)}^2}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{1+u_1^2}\right)\left(1-\frac{2}{1+u_1^2}\right)\le \frac{3}{16}$

$\frac{1+u_1^2}{u_1^2}=1+\frac{1}{u_1^2}\ge \frac{4}{3}$

$\frac{{\beta }^2{u}_1^2\left(u_1^2-1\right)}{2{\left(1+u_1^2\right)}^2}\le \frac{3}{16}{\beta }^2$

$\left|u_1\right|\left(\frac{3}{16}{\beta }^2+\frac{4}{\sqrt{3}}\left|\nabla H\right|\right)\le \beta \left|H\right|$

令 $\beta =c_0+\underset{\Omega }{\sup }\left|\nabla H\right|$，则

$\begin{array}{c}\frac{3}{16}{\beta }^2+\frac{4}{\sqrt{3}}\left|\nabla H\right|=\frac{3}{16}{\left(c_0+\underset{\Omega }{\sup }\left|\nabla H\right|\right)}^2+\frac{4}{\sqrt{3}}\left|\nabla H\right|\\ \ge \frac{3}{16}{\left(c_0+\underset{\Omega }{\sup }\left|\nabla H\right|\right)}^2,\end{array}$

当 $\beta \ge \frac{16}{3}$ 时，就有

$\frac{3}{16}{\beta }^2+\frac{4}{\sqrt{3}}\left|\nabla H\right|\ge \beta \ge 1$

因此有

$\left|\nabla u\left(x_0\right)\right|\le \underset{\Omega }{\sup }\left|H\right|$

若 $u_1^2\ge 3$，则

$\frac{u_1^2\left(u_1^2-1\right)}{2{\left(1+u_1^2\right)}^2}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{1+u_1^2}\right)\left(1-\frac{2}{1+u_1^2}\right)\ge \frac{3}{16}$

并且 $\frac{1+u_1^2}{u_1^2}=1+\frac{1}{u_1^2}\le \frac{4}{3}$，

所以 $\frac{{\beta }^2{u}_1^2\left(u_1^2-1\right)}{2{\left(1+u_1^2\right)}^2}\ge \frac{3}{16}{\beta }^2$，

这意味着 $\left|u_1\right|\left(\frac{3}{16}{\beta }^2-\frac{4}{\sqrt{3}}\left|\nabla H\right|\right)\le \beta \left|H\right|$。

$\begin{array}{c}\frac{3}{16}{\beta }^2-\frac{4}{\sqrt{3}}\left|\nabla H\right|=\frac{3}{16}{\left(c_0+\underset{\Omega }{\sup }\left|\nabla H\right|\right)}^2-\frac{4}{\sqrt{3}}\left|\nabla H\right|\\ =\frac{3}{16}\left(c_0{}^2+{\underset{\Omega }{\sup }}^2\left|\nabla H\right|+2c_0\underset{\Omega }{\sup }\left|\nabla H\right|\right)-\frac{4}{\sqrt{3}}\left|\nabla H\right|\\ =\frac{3}{16}\left(c_0{}^2+{\underset{\Omega }{\sup }}^2\left|\nabla H\right|\right)+\frac{3}{8}{c}_0\underset{\Omega }{\sup }\left|\nabla H\right|-\frac{4}{\sqrt{3}}\left|\nabla H\right|,\end{array}$

可知存在一个正常数 $c_0$，即 $c_0\ge 6$， $\underset{\Omega }{\sup }\left|\nabla H\right|\ge \frac{16}{3}$ 时 $\beta \ge \frac{34}{3}$，就有

$\frac{3}{16}{\beta }^2-\frac{4}{\sqrt{3}}\left|\nabla H\right|\ge \beta \ge 1$

则

$\left|u_1\left(x_0\right)\right|\le \underset{\Omega }{\sup }\left|H\right|$

因此有

$\left|\nabla u\left(x_0\right)\right|\le \underset{\Omega }{\sup }\left|H\right|$

综上所述，当 $\beta \ge \frac{34}{3}$ 时有

$\left|\nabla u\left(x_0\right)\right|\le \underset{\Omega }{\sup }\left|H\right|$ (6)

则由(4) (6)可得

$\left|\nabla u\left(x_0\right)\right|\le \underset{\partial \Omega }{\sup }\left|\nabla u\right|+\underset{\Omega }{\sup }\left|H\right|$ (7)

由(3) (7)可得要证得不等式。

即： $\underset{\Omega }{\sup }\left|\nabla u\right|\le \left(\underset{\partial \Omega }{\sup }\left|\nabla u\right|+\underset{\Omega }{\sup }\left|H\right|\right)\exp \left\{\left(\underset{\Omega }{\sup }\left|\nabla H\right|+c_0\right){\left|u\right|}_{C^0}\right\}$

定理证毕。

基金项目

新疆师范大学重点实验室(XJNUSYSO82018A02)国家自然科学基金项目(12061078)。