1. 引言
随机微分方程常被用来刻画随机动力系统,且已广泛地应用于物理、生物、医药、社会科学、经济、金融等诸多领域。在随机微分方程的研究中,稳定性是其研究的一个重要课题,关于随机微分方程稳定性的研究已取得一定的成果,见文献 [1] [2] [3] [4] 及其中的参考文献。实际中,许多物理系统在遭遇突变现象(如分支和内部联系紊乱、参数转移等)时,结构会发生随机改变。对于这样的物理系统,人们常用包含连续系统状态和离散系统状态的Markov切换系统来描述,关于带Markov切换的随机微分方程的稳定性研究也引起了学者们的极大兴趣,参阅文献 [5] [6] [7] [8]。
Brown运动是连续的随机过程,然而许多实际系统会遭受跳跃形式的随机突发扰动,如随机故障、地震、海啸等。在这些情形下,不能用Brown运动来刻画这些系统,因此将带跳过程引入到系统中来处理这些实际情形是合理的,见文献 [9] [10] [11]。近年来,关于带跳的随机微分方程的稳定性研究也获得了相应的成果,参阅文献 [12] [13] 及其中的参考文献。
本文研究一类不仅带有Markov切换还带有Poisson跳的随机微分方程的均方指数稳定性。该文结构如下:第2节给出所需的预备知识;第3节利用Lyapunov函数方法证明该类方程的平凡解是均方指数稳定的。第4节通过一个例子说明所得的结果。
2. 预备知识
记一个完备的概率空间为
,其滤子
满足通常的条件,即
是右连续的且
包含所
有的零测集。
代表的是定义在此完备概率空间上的一个取值为
的右连续时齐Markov链,其生成元(密度矩阵)
由转移概率矩阵确定,即
这里,
,
,对于
,
表示从状态
到状态
的转移速率且
。
作为一个事实,
的每个样本轨道是一个右连续的阶梯函数,且在
上的任何一个有限区间里至多存在有限个跳跃点(参阅 [14] )。
考虑如下形式的带Markov切换Poisson跳的随机微分方程:
(1)
初始值
,
,其中
。
和
分别是定义在该概率空间上的1-维Brown运动和强度为
的Poisson过程,这里假设Markov链
与Brown运动
和Poisson过程
是相互独立的。
表示
的补偿Poisson过程。本文假设函数
满足方程(1)解的全局存在唯一性的必需条件。而且,对
和
,假设
。因此,当方程(1)的初始值
时,该方程存在平凡解
。
定义 若存在正常数
和
使得对于任意给定的初始值
有
成立,则称方程(1)的平凡解是均方指数稳定的。
令
表示关于变量
二阶连续可导且关于变量
一阶连续可导的全体非负函数
的集合。给定任意的
,定义算子
其中,
,
,
。
3. 主要结果
本节利用Lyapunov函数证明方程(1)的平凡解是均方指数稳定的。为了讨论方程(1)的平凡解的稳定性,对
,假设存在常数
和
,以及正常数
满足如下条件:
(2)
(3)
(4)
定理 若条件(2)~(4)成立,且存在正常数
使得
(5)
成立,则方程(1)的平凡解是均方指数稳定的。
证明 取Lyapunov函数
。则对
,
由条件(2)~(4)可得
利用条件(5)进一步可得
因
所以
注意
,从而
即
证毕。
4. 例子
考虑如下带Markov切换Poisson跳的随机微分方程:
(6)
其中,
和
分别是1-维Brown运动和强度
的Poisson过程,
是取值为
的Markov链且其生成元如下:
方程(6)中的系数参数如下:
当
时,
;
当
时,
。
对
,可知
。经计算得,当
时,
当
时,
取
,由此可知对
,有
成立。根据第三节中的定理可得方程(6)的平凡解是均方指数稳定的。
NOTES
*通讯作者。