带有非线性阻尼的Kirchhoff型Berger方程的一致吸引子

Uniform Attractor for Berger Equation of Kirchhoff-Type with Nonlinear Damping

摘要: 本文考虑带有非线性阻尼的Kirchhoff型Berger方程解的长时间行为，运用收缩函数和渐近先验估计的方法证明了上述问题在空间(H²(Ω)∩H₀¹(Ω))×L²(Ω)中一致吸引子的存在性。

Abstract: In this paper, we consider the long-time behavior of solution for Berger equation of Kirchhoff-type with nonlinear damping, and prove the existence of uniform attractor for the above problem by using the method of contractive function and asymptotic priori estimation in the space (H²(Ω)∩H₀¹(Ω))×L²(Ω).

1. 引言

本文考虑带有非线性阻尼的Kirchhoff型非自治Berger方程

$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}+a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)+\left(\beta -\alpha {\displaystyle {\int }_{\Omega }{\left|\nabla u\right|}^2}\text{d}x\right)\Delta u+{\Delta }^{2}u+\mu u+g\left(u\right)=h\left(x,t\right),x\in \Omega ,(1)\\ {u|}_{\partial \Omega }={\Delta u|}_{\partial \Omega }=0,(2)\\ u\left(x,\tau \right)=u_{\tau }^0\left(x\right),u_t\left(x,\tau \right)=u_{\tau }^1\left(x\right)(\; 3\; )\end{array}$

一致吸引子的存在性，其中 $\Omega \subset {ℝ}^n$ 是一个具有足够光滑边界的有界域，函数 $u\left(x,t\right)$ 代表板的挠度， $\beta$ 是一个常数，它与作用在板上的压力成正比， $h\left(x,t\right)$ 描述板的横向负载，函数 $a\left(x\right)$ 表示环境阻力， $\mu$ 和 $\alpha$ 是大于0的常数。

假设函数 $h\left(x,t\right)$ 、 $\phi \left(s\right)$ 、 $g\left(s\right)$ 和 $a\left(x\right)$ 分别满足如下条件

(W1) 函数 $a\in L^{\infty }\left(\Omega \right)$，并且存在正常数 ${\alpha }_0$，使得

$a\left(x\right)\ge {\alpha }_0>0,x\in \Omega$. (4)

(W2) 函数 $\phi \in C^1\left(ℝ\right)$，满足以下条件

$\phi \left(0\right)=0,\phi 是严格增的,\lim {\inf }_{\left|s\right|\to \infty }\phi \prime \left(s\right)>0$, (5)

$\left|\phi \left(s\right)\right|\le C\left(1+{\left|s\right|}^q\right)$, (6)

其中当 $n\le 4$ 时， $1\le q<\infty$ ；当 $n>4$ 时， $1\le q\le \frac{n+4}{n-4}$。

(W3) 函数 $g\in C^1\left(ℝ\right)$, $G\left(u\right)={\displaystyle {\int }_0^{u}g\left(s\right)\text{d}s}$，满足如下条件

$\left|g^{\prime }\left(s\right)\right|\le C_1\left(1+{\left|s\right|}^p\right)$, (7)

$\lim {\inf }_{\left|s\right|\to \infty }\frac{g\left(s\right)}{s}>-{\lambda }_1$, (8)

其中当 $n\le 4$ 时， $1\le p<\infty$ ；当 $n>4$ 时， $1\le p\le \frac{4}{n-4}$。 ${\lambda }_1$ 是满足Poincáre不等式( ${\Vert \nabla u\Vert }^2\ge \sqrt{{\lambda }_{\text{1}}}{\Vert u\Vert }^2$ )的适当常数。

(W4) 外力项 $h\left(x,t\right)$ 满足条件

$h\left(x,t\right)\in L^{\infty }\left(ℝ;L^2\left(\Omega \right)\right)$, (9)

${\partial }_{t}h\in L_b^r\left(ℝ;L^r\left(\Omega \right)\right),r>\frac{2n}{n+4}$. (10)

Berger方程起源于飞机在空中飞行的过程中，金属表面遇到气流时的非线性振动现象以及能量耗散，它描述板的非线性振动情况，这类方程较早地可以追溯到Berger的理论中，参见文献 [1] [2]。

当 $\beta =\alpha =0$ 时，即方程(1)不具有Kirchhoff型且 $\phi \left(u_t\right)=u_t$ 时，文献 [3] ( $a\left(x\right)\equiv \xi$ (常数))和文献 [4] 都研究了自治的Berger方程在无界域上全局吸引子的存在性，文献 [5] 研究了方程(1)在空间 $H_0^2\left(\Omega \right)\times L^2\left(\Omega \right)$ 中一致吸引子的存在性；若 $\phi \left(u_t\right)$ 为非线性阻尼时，文献 [6] 研究了自治的Berger方程在空间 $H_0^2\left(\Omega \right)\times L^2\left(\Omega \right)$ 中全局吸引子的存在性。

当 $\beta ,\alpha$ 均不为0时，文献 [7] 研究了方程(1) ( $g\left(u\right)=0,\mu =0,\alpha =1$ )解的长时间动力学行为，并且在空间 $\left(H^2\left(\Omega \right)\cap H_0^1\left(\Omega \right)\right)\times L^2\left(\Omega \right)$ 中证明了该方程紧的一致吸引子的存在性。

受此启发，本文试图运用收缩函数和渐近先验估计的方法证明问题(1)~(3)在空间 $\left(H^2\left(\Omega \right)\cap H_0^1\left(\Omega \right)\right)\times L^2\left(\Omega \right)$ 中一致吸引子的存在性。特别地，非线性阻尼项和Kirchhoff项的引入给一致有界吸收集的存在性和过程渐近紧性的证明带来了本质性的困难。

本文的结构如下，第二部分，介绍本文相关的预备知识；第三部分，在所给的函数空间中证明问题(1)~(3)所对应过程的一致有界吸收集的存在性；第四部分，首先运用能量不等式进行先验估计，其次根据定理A证明过程的渐近紧性，进而得到问题(1)~(3)在空间 $\left(H^2\left(\Omega \right)\cap H_0^1\left(\Omega \right)\right)\times L^2\left(\Omega \right)$ 中一致吸引子的存在性。

在本文中， $C$ 和 $C_i\left(i=0,1,2,\cdots \right)$ 都表示正常数，在不同之处可表示不同的值。

2. 预备工作

为了方便起见，给出如下简写： $L^p=L^p\left(\Omega \right)$， $H^k=H^k\left(\Omega \right)$， $H=L^2$， $V_1=H_0^1$， $V_2=H^2\cap H_0^1$，其中 $p\ge 1$， $k>0$。这里 $H^k$ 是Sobolev空间， $H_0^k$ 是 $C_0^{\infty }\left(\Omega \right)$ 在 $H^k$ 中的闭包。

用 $\Vert ,\Vert$ 和 $(,)$ 分别表示空间 $H$ 中的范数和内积， $V_{-2}$ 表示 $V_2$ 的对偶空间， $\langle ,\rangle$ 表示对偶空间之间的对偶积。

定义算子 $A:V_2\to V_{-2}$，

$\langle Au,v\rangle =\langle \Delta u,\Delta v\rangle ,\forall u,v\in V_2$,

$D\left(A\right)=\left\{u\in H|Au\in H\right\}=\left\{u\in H^4|u,\Delta u\in H_0^1\right\}$,

则 $A$ 是空间 $H$ 中的自伴算子，且在空间 $V_2$ 中是严格正的。因此可以定义算子 $A$ 的能量为 $A^s\left(s\in ℝ\right)$，于是空间 $V_s=D\left(A^{\frac{s}{4}}\right)$ 是Hilbert空间，并且具有如下的内积和范数

${\left(u,v\right)}_s=\left(A^{\frac{s}{4}}u,A^{\frac{s}{4}}v\right),{\Vert u\Vert }_{V_s}=\Vert A^{\frac{s}{4}}u\Vert$.

显然， ${\Vert u\Vert }_{V_2}=\Vert A^{\frac{1}{2}}u\Vert =\Vert \Delta u\Vert ,{\Vert u\Vert }_{V_1}=\Vert A^{\frac{1}{4}}u\Vert =\Vert \nabla u\Vert$。

下面介绍一些非自治动态系统的基本概念和定理，至于更详细的理论可参考文献 [8] [9]。

空间 $L_{\text{loc}}^r\left(ℝ;L^k\left(\Omega \right)\right)\left(r,k\ge 1\right)$ 中的平移有界函数空间

$L_b^r\left(ℝ;L^k\left(\Omega \right)\right)=\left\{h\in L_{\text{loc}}^r\left(ℝ;L^k\left(\Omega \right)\right):{\sup }_{t\in ℝ}{{\displaystyle {\int }_t^{t+1}\Vert h\left(x,s\right)\Vert }}_{L^k(\Omega )}^r\text{d}s<\infty \right\}$.

假设X是Banach空间， $\sum$ 是参数集。如果对任意的 $\sigma \in \sum$， $\tau \in ℝ$，

$U_{\sigma }\left(t,s\right)\circ U_{\sigma }\left(s,\tau \right)=U_{\sigma }\left(t,\tau \right),\forall t\ge s\ge \tau$, (11)

$U_{\sigma }\left(\tau ,\tau \right)=\text{Id}\left(恒等算子\right)$, (12)

则称算子 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 为 $X$ 中的带有符号空间 $\sum$ 的过程族。

假设 ${\left\{T\left(s\right)\right\}}_{s\ge 0}$ 是作用于 $\sum$ 的平移半群，如果

$U_{\sigma }\left(t+s,\tau +s\right)=U_{T(s)\sigma }\left(t,\tau \right),\forall \sigma \in \sum ,t\ge \tau ,\tau \in ℝ,s\ge 0$, (13)

$T\left(s\right)\sum =\sum ,\forall s\ge 0$,(14)

则称过程族 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 满足平移恒等式。

用 $\mathcal{B}\left(X\right)$ 表示 $X$ 中所有有界集的集合， ${ℝ}_{\tau }=\left\{t\in ℝ,t\ge \tau \right\}$。

定义1 [8] 设 $B_0\in \mathcal{B}\left(X\right)$，如果对任意的 $\tau \in ℝ$, $B\in \mathcal{B}\left(X\right)$，存在时刻 $T_0=T_0\left(B,\tau \right)\ge \tau$，使得

${\displaystyle {\cup }_{\sigma \in \sum }{U}_{\sigma }\left(t,\tau \right)B}\subset B_0,t\ge T_0$,

则称 $B_0$ 是过程族 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 的一致(关于 $\sigma \in \sum$ )有界吸收集。

定义2 [8] 设 $\mathcal{A}\subset X$，如果对任意固定的 $\tau \in ℝ$，以及每一个 $B\in \mathcal{B}\left(X\right)$，

${\lim }_{t\to +\infty }\left({\sup }_{\sigma \in \sum }dist\left(U_{\sigma }\left(t,\tau \right)B,\mathcal{A}\right)\right)=0$,

则称 $\mathcal{A}$ 是过程族 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 的一致(关于 $\sigma \in \sum$ )吸引集，其中 $dist\left(\cdot ,\cdot \right)$ 表示 $X$ 中两个集合的Hausdorff半距离。特别地，如果闭的一致吸引集 ${\mathcal{A}}_{\sum }\subset X$ 包含在任何封闭的一致吸引集中(最小性)，则称 $\mathcal{A}$ 为过程族 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 的一致(关于 $\sigma \in \sum$ )吸引子。

定义3 [9] 设 $X$ 是Banach空间， $B$ 是 $X$ 的有界子集， $\sum$ 是符号空间，若对任何序列 ${\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\infty }\subset B$ 和每个 $\left\{{\sigma }_n\right\}\subset \sum$，都存在子序列 ${\left\{x_{n_k}\right\}}_{k=1}^{\infty }\subset {\left\{x_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 和 ${\left\{{\sigma }_{n_k}\right\}}_{k=1}^{\infty }\subset {\left\{{\sigma }_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$，使得

${\lim }_{k\to \infty }{\lim }_{l\to \infty }\varphi \left(x_{n_k},x_{n_l};{\sigma }_{n_k},{\sigma }_{n_l}\right)=0$,

则称 $\left(X\times X\right)\times \left(\sum \times \sum \right)$ 上的函数 $\varphi \left(\cdot ,\cdot ;\cdot ,\cdot \right)$ 是定义在 $B\times B$ 上的收缩函数。

$\text{contr}\left(B,\sum \right)$ 表示所有定义在 $B\times B$ 上收缩函数的集合。

定理A [9] 设 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 是Banach空间 $\left(X,\Vert \cdot \Vert \right)$ 中的一个过程族，满足平移恒等式(13)和(14)，并且有一致(关于 $\sigma \in \sum$ )有界吸收集 $B_0\subset X$。进一步，假设对任意的 $\epsilon >0$，存在 $T=T\left(B_0,\epsilon \right)$ 和 ${\varphi }_T\in \text{contr}\left(B,\sum \right)$，使得

$\Vert U_{{\sigma }_1}\left(T,0\right)x-U_{{\sigma }_2}\left(T,0\right)y\Vert \le \epsilon +{\varphi }_T\left(x,y;{\sigma }_1,{\sigma }_2\right),\forall x,y\in B_0,\forall {\sigma }_1,{\sigma }_2\in \sum$,

则称 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 在 $X$ 中是一致(关于 $\sigma \in \sum$ )渐近紧的。

非线性阻尼函数 $\phi$ 满足以下结果

引理1 [10] 设非线性函数 $\phi \left(s\right)$ 满足(W2)，则对任意的 $\delta >0$，存在 $C_{\delta }>0$，使得

${\left|u-v\right|}^2\le \delta +C_{\delta }\left(\phi \left(u\right)-\phi \left(v\right)\right)\left(u-v\right),\forall u,v\in ℝ.$

类似于文献 [7] 中定理3.1，可以得到问题(1)~(3)解的存在性和唯一性结果如下：

定理1 设(W1)~(W4)成立，则对任意的初值 $\left(u_{\tau }^0,u_{\tau }^1\right)\in V_2\times H$，问题(1)~(3)有唯一的解 $u\left(t\right)$ 满足

$\left(u\left(t\right),u_t\left(t\right)\right)\in C\left({ℝ}_{\tau };V_2\times H\right)和{\partial }_{tt}u\left(t\right)\in L_{loc}^2\left({ℝ}_{\tau };H^{-2}\left(\Omega \right)\right)$.

设 $y\left(t\right)=(u\left(t\right),u_t\left(t\right))$， $y_{\tau }=\left(u_{\tau }^0,u_{\tau }^1\right)$， $E_0=V_2\times H$，其范数为

${\Vert y\Vert }_{E_0}={\Vert \Delta u\Vert }^2+{\Vert u_t\Vert }^2$.

系统(1)~(3)等价于如下系统

$\{\begin{array}{l}{\partial }_t{u}_t=-a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)-\left(\beta -\alpha {\Vert \nabla u\Vert }^{\text{2}}\right)\Delta u-{\Delta }^{2}u-\mu u-g\left(u\right)+h\left(x,t\right),t\ge \tau ,\\ {u|}_{\partial \Omega }=\frac{\partial }{\partial \nu }{u|}_{\partial \Omega }=0,u\left(x,\tau \right)=u_{\tau }^0\left(x\right),u_t\left(x,\tau \right)=u_{\tau }^1\left(x\right),\end{array}$

该系统的算子表示形式如下

${\partial }_{t}y=A_{\sigma (t)}\left(y\right),{y|}_{t=\tau }=y_{\tau }$, (15)

其中 $\sigma \left(t\right)=h\left(x,t\right)$ 是方程(15)的符号。现在定义方程(15)的符号空间，取固定的符号 ${\sigma }_0\left(t\right)=h_0\left(x,t\right)$， $h_0\in L^{\infty }\left(ℝ;L^2\left(\Omega \right)\right)\cap W_b^{1,r}\left(ℝ;L^r\left(\Omega \right)\right)\left(r>\frac{2n}{n+4}\right)$ 和集合

${\sum }_0=\left\{h_0\left(x,t+s\right):s\in ℝ\right\}$, (16)

$符号空间\sum 是{\sum }_0在L^{\infty }\left(ℝ;L^2\left(\Omega \right)\right)\cap W_b^{1,r}\left(ℝ;L^r\left(\Omega \right)\right)中的弱*闭包$. (17)

于是有如下性质成立。

命题1 $\sum$ 在空间 $L^{\infty }\left(ℝ;L^2\left(\Omega \right)\right)\cap W_b^{1,r}\left(ℝ;L^r\left(\Omega \right)\right)$ 中是有界的，并且对任意的 $\sigma \in \sum$，有以下估计成立

${\Vert \sigma \Vert }_{L^{\infty }(ℝ;L^2(\Omega ))\cap W_b^{1,r}(ℝ;L^r(\Omega ))}\le {\Vert h_0\Vert }_{L^{\infty }(ℝ;L^2(\Omega ))\cap W_b^{1,r}(ℝ;L^r(\Omega ))}$.

因此，由定理1可知，问题(1)~(3)对所有的 $\sigma \in \sum$ 是适定的，并且产生了一个由公式 $U_{\sigma }\left(t,\tau \right)y_{\tau }=y\left(t\right)$ 给出的过程族 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$。 $y\left(t\right)$ 是问题(1)~(3)满足条件(W1)~(W4)的解，并且 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 满足(11)~(12)。同时，由唯一可解性知， $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 满足平移等式(13)~(14)。

用 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 表示由(15)~(17)产生的过程族。

应用文献 [11] 中命题7.1，可以得出如下结果：

命题2 设 $h\in L^{\infty }\left(ℝ;L^2\left(\Omega \right)\right)\cap W_b^{1,r}\left(ℝ;L^r\left(\Omega \right)\right)\left(r>\frac{2n}{n+4}\right)$，则存在常数 $M>0$，使得

${\sup }_{t\in ℝ}{\Vert h\left(x,t+s\right)\Vert }_{L^2(\Omega )}\le M,s\in ℝ$

命题3 设 $s_i\in ℝ\left(i=1,2,\cdots \right)$， $h\in L^{\infty }\left(ℝ;L^2\left(\Omega \right)\right)\cap W_b^{1,r}\left(ℝ;L^r\left(\Omega \right)\right)\left(r>\frac{2n}{n+4}\right)$， $\left\{u_n\left(t\right):t\ge 0,n=1,2,\cdots \right\}$ 在空间 $H^2\left(\Omega \right)\cap H_0^1\left(\Omega \right)$ 中有界，并且对每个 $T_1>0$， $\left\{u_{n_t}\left(t\right)|n=1,2,\cdots \right\}$ 在空间 $L^{\infty }\left(0,T_1;L^2\left(\Omega \right)\right)$ 中有界，则对任意的 $T>0$，存在子序列 ${\left\{u_{n_k}\right\}}_{k=1}^{\infty }\subset {\left\{u_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 和 ${\left\{s_{n_k}\right\}}_{k=1}^{\infty }\subset {\left\{s_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$，使得

${\lim }_{k\to \infty }{\lim }_{l\to \infty }{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_s^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(h\left(x,\tau +s_{n_k}\right)-h\left(x,\tau +s_{n_l}\right)\right){\left(u_{n_k}-u_{n_l}\right)}_t\left(\tau \right)\text{d}x}}\text{d}\tau }\text{d}s=0$.

3. 一致(关于 $\sigma \in \sum$ )有界吸收集的存在性

定理2 假设(W1)~(W4)成立，若 $h_0\in L^{\infty }\left(ℝ;L^2\left(\Omega \right)\right)\cap W_b^{1,r}\left(ℝ;L^r\left(\Omega \right)\right)\left(r>\frac{2n}{n+4}\right)$，且 $\sum$ 是由(17)所定义的，则问题(1)~(3)对应的过程族 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 在空间 $E_0$ 中有一致(关于 $\sigma \in \sum$ )有界吸收集。

证明 用方程(1)与 $u_t$ 在空间 $H$ 中作内积，可得

$\frac{\mathrm{d}}{\text{d}t}E\left(t\right)+{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)u_t}\text{d}x=\left(h\left(t\right),u_t\right),$ (18)

其中

$E\left(t\right)=\frac{1}{2}{\Vert u_t\Vert }^2+\frac{1}{2}{\Vert \Delta u\Vert }^2+\frac{\mu }{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{\alpha }{4}{\Vert \nabla u\Vert }^4-\frac{\beta }{2}{\Vert \nabla u\Vert }^2+{\displaystyle {\int }_{\Omega }G\left(u\right)\text{d}x}.$ (19)

联立(4)和(5)可知，存在 ${\delta }_1>0$ 和 $C_{{\delta }_1}>0$，使得

$\left(a\left(x\right)\phi \left(u_t\right),u_t\right)\ge 2{\delta }_1{\Vert u_t\Vert }^2-C_{{\delta }_1}\text{meas}\left(\Omega \right),$ (20)

$\left(\frac{3}{4}a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)-{\delta }_1{u}_t,u_t\right)\ge \frac{{\delta }_1}{2}{\Vert u_t\Vert }^2-C_{{\delta }_1}\text{meas}\left(\Omega \right).$ (21)

由(8)式可知，存在 ${\lambda }_1>{\lambda }^{\prime }>0$ 和 $C_0$，使得

$\left(g\left(u\right),u\right)\ge -{\lambda }^{\prime }{\Vert u\Vert }^2-C_0\text{meas}\left(\Omega \right),$ (22)

${\displaystyle {\int }_{\Omega }G\left(u\right)\text{d}x}\ge -\frac{{\lambda }^{\prime }}{2}{\Vert u\Vert }^2-C_0\text{meas}\left(\Omega \right).$ (23)

根据Poincáre不等式和(23)，可以推出

$-\frac{{\beta }^2}{2\alpha }-C_0\text{meas}\left(\Omega \right)\le \frac{1}{2}{\Vert u_t\Vert }^2+\frac{m}{2}{\Vert \Delta u\Vert }^2+\frac{\alpha }{8}{\Vert \nabla u\Vert }^4-\frac{{\beta }^2}{2\alpha }-C_0\text{meas}\left(\Omega \right)\le E\left(t\right),$ (24)

其中 $m\in \left(0,1\right]$ 是一个常数，若 $\mu \ge {\lambda }^{\prime }$，则 $m=1$ ；若 $0<\mu <{\lambda }^{\prime }$，则 $m\le 1-{\lambda }_1^{-1}\left({\lambda }^{\prime }-\mu \right)$。

由(5)和(6)可知

${\left|\phi \left(s\right)\right|}^{\frac{q+1}{q}}\le \{\begin{array}{l}C,\left|s\right|\le 1,\\ 2C\phi \left(s\right)s,\left|s\right|\ge 1.\end{array}$ (25)

运用Hölder不等式和Young不等式，结合(4)，(5)和(25)，可以得到如下估计

$\begin{array}{l}\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)u\text{d}x}\right|\\ \le \left|{\displaystyle {\int }_{\Omega \left(\left|u_t\right|\le 1\right)}a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)u\text{d}x}\right|+\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega \left(\left|u_t\right|\ge 1\right)}a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)u\text{d}x}\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_{\Omega \left(\left|u_t\right|\le 1\right)}Ca\left(x\right)\left|u\right|\text{d}x}+{\left({\displaystyle {\int }_{\Omega \left(\left|u_t\right|\ge 1\right)}2Ca\left(x\right)\phi \left(u_t\right)u_t}\text{d}x\right)}^{\frac{q}{q+1}}{\left({{\displaystyle {\int }_{\Omega \left(\left|u_t\right|\ge 1\right)}a\left(x\right)\left|u\right|}}^{q+1}\text{d}x\right)}^{\frac{1}{q+1}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\le C{\displaystyle {\int }_{\Omega \left(\left|u_t\right|\le 1\right)}a\left(x\right)\left|u\right|\text{d}x}+q{\left(q+1\right)}^{-\left(1+\frac{1}{q}\right)}{\epsilon }_2^{-\frac{1}{q}}{\displaystyle {\int }_{\Omega \left(\left|u_t\right|\ge 1\right)}2Ca\left(x\right)\phi \left(u_t\right)u_t}\text{d}x{\left({{\displaystyle {\int }_{\Omega \left(\left|u_t\right|\ge 1\right)}a\left(x\right)\left|u\right|}}^{q+1}\text{d}x\right)}^{\frac{q-1}{q\left(q+1\right)}}\\ +{\epsilon }_{\text{2}}{\left({{\displaystyle {\int }_{\Omega \left(\left|u_t\right|\ge 1\right)}a\left(x\right)\left|u\right|}}^{q+1}\text{d}x\right)}^{\frac{\text{2}}{q+1}}\\ \le \frac{C^2}{4{\epsilon }_{\text{1}}}\text{meas}\left(\Omega \right)+\left({\epsilon }_{\text{1}}{a}_0^2{\lambda }_1^{-1}+{\epsilon }_{\text{2}}{a}_0^{\frac{2}{q+1}}{C}_{\lambda }^{-1}\right){\Vert \Delta u\Vert }^2\\ +\left[2Cq{\left(q+1\right)}^{-\left(1+\frac{1}{q}\right)}{\epsilon }_2^{-\frac{1}{q}}{a}_0^{\frac{q-1}{(q+1)q}}{C}_{\lambda }^{-\frac{q-1}{2q}}\right]{\Vert \Delta u\Vert }^{\frac{q-1}{q}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)u_t}\text{d}x\\ =C_{\text{2}}+\eta {\Vert \Delta u\Vert }^2+C_{\eta }{\Vert \Delta u\Vert }^{\frac{q-1}{q}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)u_t}\text{d}x,\end{array}$ (26)

其中 $a_0=\sup \left\{a\left(x\right)|x\in \Omega \right\}$，由紧嵌入 $H^2⋐L^{q+1}$ 可知， ${\Vert \Delta u\Vert }^2\ge C_{\lambda }{\Vert u\Vert }_{q+1}^2$ ( $C_{\lambda }$ 为正常数)。

将 $v=u_t+{\delta }_{1}u$ ( ${\delta }_1$ 如(20)所定义)代入方程(1)，可得

$v_t-{\delta }_1{u}_t+a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)+{\Delta }^{2}u+\mu u+\left(\beta -\alpha {\Vert \nabla u\Vert }^2\right)\Delta u+g\left(u\right)=h\left(x,t\right)$. (27)

用 $v$ 与(27)式在空间 $H$ 中作内积，有

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{E}_{{\delta }_1}\left(t\right)+K\left(t\right)=0$, (28)

其中

$E_{{\delta }_1}\left(t\right)=\frac{1}{2}{\Vert v\Vert }^2-\frac{1}{2}{\delta }_1^2{\Vert u\Vert }^2+\frac{1}{2}{\Vert \Delta u\Vert }^2+\frac{\mu }{2}{\Vert u\Vert }^2+\frac{\alpha }{4}{\Vert \nabla u\Vert }^4-\frac{\beta }{2}{\Vert \nabla u\Vert }^2+{\displaystyle {\int }_{\Omega }G\left(u\right)\text{d}x},$ (29)

$\begin{array}{l}K\left(t\right)=\left(\frac{3}{4}a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)-{\delta }_1{u}_t,u_t\right)+\frac{1}{4}\left(a\left(x\right)\phi \left(u_t\right),u_t\right)+{\delta }_1\left(a\left(x\right)\phi \left(u_t\right),u\right)+{\delta }_1\alpha {\Vert \nabla u\Vert }^4\\ -{\delta }_1\beta {\Vert \nabla u\Vert }^2+{\delta }_1{\Vert \Delta u\Vert }^2+\mu {\delta }_1{\Vert u\Vert }^2+{\delta }_1\left(g\left(u\right),u\right)-\left(h\left(t\right),u_t\right)-\left(h\left(t\right),{\delta }_{1}u\right).\end{array}$ (30)

运用Poincáre不等式并结合(23)式，有

$\begin{array}{l}{E}_{{\delta }_1}\left(t\right)\ge \frac{1}{2}{\Vert v\Vert }^2+\left(\frac{m}{2}-\frac{{\delta }_1^2}{2{\lambda }_1}\right){\Vert \Delta u\Vert }^2+\frac{\alpha }{8}{\Vert \nabla u\Vert }^4-\left(\frac{{\beta }^2}{2\alpha }+C_0\text{meas}\left(\Omega \right)\right)\\ \ge {\text{C}}_3\left({\Vert v\Vert }^2+{\Vert \Delta u\Vert }^2+\frac{\alpha }{4}{\Vert \nabla u\Vert }^4\right)-\left(\frac{{\beta }^2}{2\alpha }+C_0\text{meas}\left(\Omega \right)\right),\end{array}$ (31)

其中 ${\delta }_1>0$ 足够小，使得 $2^{-1}m-{\left(2{\lambda }_1\right)}^{-1}{\delta }_1^2>0$。

运用Young不等式、Poincáre不等式，再结合(21)~(22)和(26)，能够得出下列估计

$\begin{array}{l}K\left(t\right)\ge \frac{{\delta }_1}{2}{\Vert u_t\Vert }^2-C_{{\delta }_1}\text{meas}\left(\Omega \right)+\frac{1}{4}\left(a\left(x\right)\phi \left(u_t\right),u_t\right)+{\delta }_1\left(-C_{\text{2}}-\eta {\Vert \Delta u\Vert }^2-C_{\eta }{\Vert \Delta u\Vert }^{\frac{q-1}{q}}{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)u_t}\text{d}x\right)\\ +\frac{{\delta }_1\alpha }{2}{\Vert \nabla u\Vert }^4-\frac{{\delta }_1{\beta }^2}{2\alpha }+{\delta }_1{\Vert \Delta u\Vert }^2+\mu {\delta }_1{\Vert u\Vert }^2+{\delta }_1\left(-{\lambda }^{\prime }{\Vert u\Vert }^2-C_0\text{meas}\left(\Omega \right)\right)-\frac{1}{2{\epsilon }_3}{\Vert h\left(t\right)\Vert }^2-\frac{{\epsilon }_3}{2}{\Vert u_t\Vert }^2\\ -\frac{1}{2{\epsilon }_3}{\Vert h\left(t\right)\Vert }^2-\frac{{\epsilon }_3}{2}{\delta }_1^2{\Vert u\Vert }^2\end{array}$

$\begin{array}{l}\ge \frac{{\delta }_1-{\epsilon }_3}{2}{\Vert u_t\Vert }^2+{\delta }_1\left(1-\eta \right){\Vert \Delta u\Vert }^2+{\delta }_1\left(\mu -{\lambda }^{\prime }-\frac{{\epsilon }_3{\delta }_1}{2}\right){\Vert u\Vert }^2+\left(\frac{1}{4}-{\delta }_1{C}_{E(\tau )}\right){\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)u_t}\text{d}x\\ +\frac{{\delta }_1\alpha }{2}{\Vert \nabla u\Vert }^4-\left(C_{{\delta }_1}\text{meas}\left(\Omega \right)+{\delta }_1{C}_{\text{2}}+\frac{{\delta }_1{\beta }^2}{2\alpha }+{\delta }_1{C}_0\text{meas}\left(\Omega \right)+\frac{1}{{\epsilon }_3}{\Vert h\left(t\right)\Vert }^2\right)\\ \ge \frac{{\delta }_1-{\epsilon }_3}{2}{\Vert u_t\Vert }^2+{\delta }_{1}m\prime \left(1-\eta \right){\Vert \Delta u\Vert }^2+\frac{{\delta }_1\alpha }{2}{\Vert \nabla u\Vert }^4-\left({\text{C}}_5+\frac{1}{{\epsilon }_3}{\Vert h\left(t\right)\Vert }^2\right)\\ \ge C_4\left({\Vert u_t\Vert }^2+{\Vert \Delta u\Vert }^2+\frac{\alpha }{4}{\Vert \nabla u\Vert }^4\right)-\left({\text{C}}_5+\frac{1}{{\epsilon }_3}{\Vert h\left(t\right)\Vert }^2\right)\end{array}$ (32)

其中 $C_{E(\tau )}$ 是依赖于 $C_{\eta },E\left(\tau \right)$ 的常数； ${\delta }_1,{\epsilon }_3,\eta >0$ 足够小，使得 $2^{-1}\left({\delta }_1-{\epsilon }_3\right)>0,1-\eta >0,4^{-1}-{\delta }_1{C}_{E(\tau )}>0$ ； $m\prime \in \left(0,1\right]$ 是一个常数，若 $\mu \ge {\lambda }^{\prime }+2^{-1}{\epsilon }_3{\delta }_1$，则 $m\prime =1$ ；若 $0<\mu <{\lambda }^{\prime }+2^{-1}{\epsilon }_3{\delta }_1$，则 $m\prime \le 1-{\lambda }_1^{-1}{\left(1-\eta \right)}^{-1}\times \left({\lambda }^{\prime }+2^{-1}{\epsilon }_3{\delta }_1-\mu \right)$。

${\Vert u_t\Vert }^2+{\Vert \Delta u\Vert }^2+\frac{\alpha }{4}{\Vert \nabla u\Vert }^4\le C_6\left({\Vert v\Vert }^2+{\Vert \Delta u\Vert }^2+\frac{\alpha }{4}{\Vert \nabla u\Vert }^4\right),$ (33)

其中 $C_6=\text{max}\left\{2,2{\delta }_1^2{\lambda }_1^{-1}+1\right\}$。

令

$Y\left(t\right)={\Vert u_t\left(t\right)\Vert }^2+{\Vert \Delta u\left(t\right)\Vert }^2+\frac{\alpha }{4}{\Vert \nabla u\left(t\right)\Vert }^4$,

联立(28)~(33)可得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}Y\left(t\right)+r_{1}Y\left(t\right)\le r_2+r_3{\Vert h\Vert }^2$,

其中 $r_1=C_4{C}_6{C}_3^{-1},r_2=C_5{C}_6{C}_3^{-1},\text{}\text{}\text{}\text{}{r}_3=C_6{C}_3^{-1}{\epsilon }_3^{-1}$。

运用Gronwall引理可以计算出

$Y\left(t\right)\le Y\left(\tau \right)\exp \left(-r_1\left(t-\tau \right)\right)+r_1^{-1}{r}_2+r_3\left(1+r_1^{-1}\right){\Vert h\Vert }_{L_b^2}^2$.

结合 $\sigma$ 的定义、命题1及命题2可知，对任意的 $\sigma \in \sum$，有 ${\Vert \sigma \Vert }_{L_b^2}^2\le {\Vert h_0\Vert }_{L_b^2}^2$，即 ${\Vert h\Vert }_{L_b^2}^2\le {\Vert h_0\Vert }_{L_b^2}^2$。

因此，就得到了 $E_0$ 中的一致(关于 $\sigma \in \sum$ )有界吸收集 $B_0$，

$B_0=\left\{\left(u_0,v_0\right)\in E_0|{\Vert \Delta u_0\left(t\right)\Vert }^2+{\Vert v_0\left(t\right)\Vert }^2+\frac{\alpha }{4}{\Vert \nabla u_0\left(t\right)\Vert }^4\le {\rho }^2\right\}$,

其中 ${\rho }^2=2r_1^{-1}{r}_2+2r_3\left(1+r_1^{-1}\right){\Vert h_0\Vert }_{L_b^2}^2$。即对于 $E_0$ 中的任意有界子集 $B$，存在 $t_0=t_0\left(\tau ,B\right)\ge \tau$，使得

${\cup }_{h\in \sum }{U}_h\left(t,\tau \right)B\subset B_0,\forall t\ge t_0.$

4. 一致(关于 $\sigma \in \sum$ )吸引子的存在性

在本节中，首先运用能量不等式进行先验估计，其次根据定理A证明空间 $E_0$ 中过程族 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 的一致(关于 $\sigma \in \sum$ )渐近紧性，最后给出问题(1)~(3)所对应的过程族一致(关于 $\sigma \in \sum$ )吸引子存在的结论。

用 $B_0$ 表示空间 $E_0$ 中过程族 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 的一致(关于 $\sigma \in \sum$ )有界吸收集，并且设

$E_w\left(t\right)=\frac{1}{2}{\Vert \Delta w\left(t\right)\Vert }^{\text{2}}+\frac{1}{2}{\Vert w_t\left(t\right)\Vert }^{\text{2}}.$

4.1. 先验估计

对任意的 $\left(u_0^i,v_0^i\right)\in B_0$，设 $\left(u_i\left(t\right),u_{i_t}\left(t\right)\right)$ 是对应于时间符号 ${\sigma }_i$ 且依赖于初值 $\left(u_0^i,v_0^i\right)$ 的解， $i=1,2$，即 $\left(u_i\left(t\right),u_{i_t}\left(t\right)\right)$ 是如下方程的解

$\{\begin{array}{l}{u}_{tt}+a\left(x\right)\phi \left(u_t\right)+\left(\beta -\alpha {\Vert \nabla u\Vert }^2\right)\Delta u+{\Delta }^{2}u+\mu u+g\left(u\right)={\sigma }_i\left(x,t\right),(34)\\ {u|}_{\partial \Omega }=\frac{\partial }{\partial v}{u|}_{\partial \Omega }=0,(35)\\ \left(u\left(0\right),u_t\left(0\right)\right)=\left(u_0^i,v_0^i\right).(\; 36\; )\end{array}$

为了方便起见，记 $h_i\left(t\right)={\sigma }_i\left(x,t\right)$， $t\ge 0$， $i=1,2$， $w\left(t\right)=u_1\left(t\right)-u_2\left(t\right)$，则 $w\left(t\right)$ 满足下面的方程组

$\{\begin{array}{l}{w}_{tt}\left(t\right)+a\left(x\right)\left(\phi \left(u_{1_t}\left(t\right)\right)-\phi \left(u_{2_t}\left(t\right)\right)\right)+{\Delta }^{2}w\left(t\right)-\alpha \left({\Vert \nabla u_1\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_1\left(t\right)-{\Vert \nabla u_2\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_2\left(t\right)\right)\\ +\mu w\left(t\right)+\beta \Delta w\left(t\right)+g\left(u_1\left(t\right)\right)-g\left(u_2\left(t\right)\right)=h_1\left(t\right)-h_2\left(t\right),(37)\\ {w|}_{\partial \Omega }=\frac{\partial }{\partial v}{w|}_{\partial \Omega }=0,(38)\\ \left(w\left(0\right),w_t\left(0\right)\right)=\left(u_0^1,v_0^1\right)-\left(u_0^2,v_0^2\right).(\; 39\; )\end{array}$

首先，用 $w\left(t\right)$ 乘以(37)式，并对其在 $\left[0,T\right]\times \Omega$ 上积分，得

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \Delta w\left(t\right)\Vert }^2}\text{d}t={\displaystyle {\int }_{\Omega }w\left(0\right)w_t\left(0\right)\text{d}x}-{\displaystyle {\int }_{\Omega }w\left(T\right)w_t\left(T\right)\text{d}x}+\beta {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \nabla w\left(t\right)\Vert }^2}\text{d}t+{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert w_t\left(t\right)\Vert }^2}\text{d}t-\mu {\displaystyle {\int }_0^T{\Vert w\left(t\right)\Vert }^2}\text{d}t\\ -{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)\left(\phi \left(u_{1_t}\left(t\right)\right)-\phi \left(u_{2_t}\left(t\right)\right)\right)w\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}-{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(g\left(u_1\left(t\right)\right)-g\left(u_2\left(t\right)\right)\right)w\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}\\ +\alpha {\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\Vert \nabla u_1\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_1\left(t\right)-{\Vert \nabla u_2\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_2\left(t\right)\right)w\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}+{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(h_1\left(t\right)-h_2\left(t\right)\right)w\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}.\end{array}$ (40)

在 $\left[0,T\right]$ 上对 $E_w\left(t\right)$ 关于 $t$ 积分，再结合(40)式，有

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^T{E}_w}\left(t\right)\text{d}t=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }w\left(0\right)w_t\left(0\right)\text{d}x}-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }w\left(T\right)w_t\left(T\right)\text{d}x}+\frac{\beta }{2}{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \nabla w(t)\Vert }^2}\text{d}t+{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert w_t(t)\Vert }^2}\text{d}t-\frac{\mu }{2}{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert w(t)\Vert }^2}\text{d}t\\ -\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)\left(\phi \left(u_{1_t}\left(t\right)\right)-\phi \left(u_{2_t}\left(t\right)\right)\right)w\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(g\left(u_1\left(t\right)\right)-g\left(u_2\left(t\right)\right)\right)w\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}\\ +\frac{\alpha }{2}{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\Vert \nabla u_1\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_1\left(t\right)-{\Vert \nabla u_2(t)\Vert }^2\Delta u_2\left(t\right)\right)w\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(h_1\left(t\right)-h_2\left(t\right)\right)w\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}.\end{array}$ (41)

其次，用 $w_t\left(t\right)$ 乘以(37)式，并对其在 $\left[s,T\right]\times \Omega \left(0\le s\le T\right)$ 上积分，得

$\begin{array}{l}{E}_w\left(T\right)+\frac{\mu }{2}{\Vert w\left(T\right)\Vert }^2+{\displaystyle {\int }_s^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)\left(\phi \left(u_{1_t}\left(t\right)\right)-\phi \left(u_{2_t}\left(t\right)\right)\right)w_t\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}\\ =E_w\left(s\right)+\frac{\mu }{2}{\Vert w\left(s\right)\Vert }^2+\frac{\beta }{2}{\Vert \nabla w\left(T\right)\Vert }^2-\frac{\beta }{2}{\Vert \nabla w\left(s\right)\Vert }^2-{\displaystyle {\int }_s^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(g\left(u_1\left(t\right)\right)-g\left(u_2\left(t\right)\right)\right)w_t\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}\\ \text{+}\alpha {\displaystyle {\int }_s^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\Vert \nabla u_1\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_1\left(t\right)-{\Vert \nabla u_2\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_2\left(t\right)\right)w_t\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}+{\displaystyle {\int }_s^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(h_1(t)-h_2(t)\right)w_t\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}.\end{array}$ (42)

对(42)式在 $\left[0,T\right]$ 上关于 $s$ 积分，可得

$\begin{array}{l}T{E}_w\left(T\right)\le {\displaystyle {\int }_0^T{E}_w}\left(s\right)\text{d}s+\frac{\mu }{2}{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert w\left(s\right)\Vert }^2}\text{d}s+\frac{T\beta }{2}{\Vert \nabla w\left(T\right)\Vert }^2-\frac{\beta }{2}{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert \nabla w\left(s\right)\Vert }^2}\text{d}s\\ \text{+}\alpha {\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_s^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\Vert \nabla u_1\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_1\left(t\right)-{\Vert \nabla u_2\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_2\left(t\right)\right)w_t\left(t\right)\text{d}x\text{d}t\text{d}s}}}\\ +{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_s^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(h_1\left(t\right)-h_2\left(t\right)\right)w_t\left(t\right)\text{d}x\text{d}t\text{d}s}}}-{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_s^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(g\left(u_1\left(t\right)\right)-g\left(u_2\left(t\right)\right)\right)w_t\left(t\right)\text{d}x\text{d}t\text{d}s}}.}\end{array}$ (43)

进一步，取 $s=0$，则由(42)式可知

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)\left(\phi \left(u_{1_t}\left(t\right)\right)-\phi \left(u_{2_t}\left(t\right)\right)\right)w_t\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}\\ =E_w\left(0\right)+\frac{\mu }{2}{\Vert w\left(0\right)\Vert }^2+\frac{\beta }{2}{\Vert \nabla w\left(T\right)\Vert }^2-\frac{\beta }{2}{\Vert \nabla w\left(0\right)\Vert }^2-{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(g\left(u_1\left(t\right)\right)-g\left(u_2\left(t\right)\right)\right)w_t\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}\\ \text{+}\alpha {\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\Vert \nabla u_1\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_1\left(t\right)-{\Vert \nabla u_2\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_2\left(t\right)\right)w_t\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}+{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(h_1\left(t\right)-h_2\left(t\right)\right)w_t\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}.\end{array}$ (44)

进而结合(4)和引理1可得，

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert w_t\left(t\right)\Vert }^2}\text{d}t\le \delta T\text{meas}\left(\Omega \right)\text{+}\frac{C_{\delta }}{{\alpha }_{\text{0}}}{E}_w\left(0\right)+\frac{\mu C_{\delta }}{2{\alpha }_{\text{0}}}{\Vert w\left(0\right)\Vert }^2+\frac{\beta C_{\delta }}{2{\alpha }_{\text{0}}}{\Vert \nabla w\left(T\right)\Vert }^2-\frac{\beta C_{\delta }}{2{\alpha }_{\text{0}}}{\Vert \nabla w\left(0\right)\Vert }^2\\ -\frac{C_{\delta }}{{\alpha }_{\text{0}}}{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(g\left(u_1\left(t\right)\right)-g\left(u_2\left(t\right)\right)\right)w_t\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}+\frac{C_{\delta }}{{\alpha }_{\text{0}}}{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(h_1\left(t\right)-h_2\left(t\right)\right)w_t\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}\\ \text{+}\frac{\alpha C_{\delta }}{{\alpha }_{\text{0}}}{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\Vert \nabla u_1\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_1\left(t\right)-{\Vert \nabla u_2\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_2\left(t\right)\right)w_t\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}.\end{array}$ (45)

下面估计 ${\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)\left(\phi \left(u_{1_t}\left(t\right)\right)-\phi \left(u_{2_t}\left(t\right)\right)\right)w\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}$。

先用方程(1)与 $u_{i_t}\left(t\right)$ 在空间 $H$ 中作内积，然后结合一致(关于 $\sigma \in \sum$ )有界吸收集存在性的证明过程，可知

${\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)\phi \left(u_{i_t}\left(t\right)\right)u_{i_t}\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}\le C_{\rho ,T}$, (46)

其中 $C_{\rho ,T}$ 是一个与空间 $E_0$ 中一致(关于 $\sigma \in \sum$ )有界吸收集 $B_0$ 的大小和 $T$ 有关的常数。

类似于(26)的估计方法，运用Hölder不等式，结合(5)、(25)和(46)可得，当 $i=1,2$ 时有

$\left|{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)\phi \left(u_{i_t}\left(t\right)\right)w\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}\right|\le 2C{C}_{\rho ,T}{\left({\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right){\left|w\left(t\right)\right|}^{q+1}}}\text{d}x\text{d}t\right)}^{\frac{1}{q+1}}+C{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)\left|w\left(t\right)\right|\text{d}x\text{d}t}}$. (47)

联立(41)、(45)、(47)、(43)，可以推出

$E_w\left(T\right)\le \frac{C_T}{T}+\frac{1}{T}{\varphi }_T\left(\left(u_0^1,v_0^1\right),\left(u_0^2,v_0^2\right);{\sigma }_1,{\sigma }_2\right)$ (48)

其中

$\begin{array}{l}{C}_T=\delta T\text{meas}\left(\Omega \right)+\frac{C_{\delta }}{{\alpha }_0}{E}_w\left(0\right)+\frac{\beta C_{\delta }}{2{\alpha }_{\text{0}}}{\Vert \nabla w\left(T\right)\Vert }^2-\frac{\beta C_{\delta }}{2{\alpha }_0}{\Vert \nabla w\left(0\right)\Vert }^2\\ +\frac{\mu C_{\delta }}{2{\alpha }_0}{\Vert w\left(0\right)\Vert }^2-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }w}\left(T\right)w_t\left(T\right)\text{d}x+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{\Omega }w}\left(0\right)w_t\left(0\right)\text{d}x,\end{array}$ (49)

$\begin{array}{c}{\varphi }_T\left(\left(u_0^1,v_0^1\right),\left(u_0^2,v_0^2\right);{\sigma }_1,{\sigma }_2\right)\\ =C{C}_{\rho ,T}{\left({\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right){\left|w\left(t\right)\right|}^{q+1}}}\text{d}x\text{d}t\right)}^{\frac{1}{q+1}}+C{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)\left|w\left(t\right)\right|\text{d}x\text{d}t}}+\frac{T\beta }{2}{\Vert \nabla w\left(T\right)\Vert }^2\\ +\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(h_1\left(t\right)-h_2\left(t\right)\right)w\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}-{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_s^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(g\left(u_1\left(t\right)\right)-g\left(u_2\left(t\right)\right)\right)w_t\left(t\right)\text{d}x\text{d}t\text{d}s}}}\\ +\frac{C_{\delta }}{{\alpha }_0}{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(h_1\left(t\right)-h_2\left(t\right)\right)w_t\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}-\frac{C_{\delta }}{{\alpha }_0}{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(g\left(u_1\left(t\right)\right)-g\left(u_2\left(t\right)\right)\right)w_t\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}\end{array}$

$\begin{array}{c}+{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_s^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(h_1\left(t\right)-h_2\left(t\right)\right)w_t\left(t\right)\text{d}x\text{d}t\text{d}s}}}-\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(g\left(u_1\left(t\right)\right)-g\left(u_2\left(t\right)\right)\right)w\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}\\ +\alpha {\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_s^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\Vert \nabla u_1\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_1\left(t\right)-{\Vert \nabla u_2\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_2\left(t\right)\right)w_t\left(t\right)\text{d}x\text{d}t\text{d}s}}}\\ +\frac{\alpha }{2}{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\Vert \nabla u_1\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_1\left(t\right)-{\Vert \nabla u_2\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_2\left(t\right)\right)w\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}\\ +\frac{\alpha C_{\delta }}{{\alpha }_0}{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\Vert \nabla u_1\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_1\left(t\right)-{\Vert \nabla u_2\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_2\left(t\right)\right)w_t\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}.\end{array}$ (50)

4.2. 渐近紧性

定理3 假设(W1)~(W4)成立，若 $h_0\in L^{\infty }\left(ℝ;L^2\left(\Omega \right)\right)\cap W_b^{1,r}\left(ℝ;L^r\left(\Omega \right)\right)\left(r>\frac{2n}{n+4}\right)$，且 $\sum$ 是由(17)所定义的，则问题(1)~(3)对应的过程族 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 在空间 $E_0$ 中是一致(关于 $\sigma \in \sum$ )渐近紧的。

证明 因为过程族 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 有一致有界吸收集，所以对任意固定的 $\epsilon >0$，取 $\delta \le {\left(2\text{meas}\left(\Omega \right)\right)}^{-1}\epsilon$，取 $T$ 足够大，使得 $T^{-1}{C}_T\le \epsilon$。因此，根据定理A，下面只需证明对于每一个固定的 $T$，函数 ${\varphi }_T\left(\cdot ,\cdot ;\cdot ,\cdot \right)\in \text{contr}\left(B_{\text{0}},\sum \right)$。

根据定理2的证明过程可以推断出，对于每一个固定的 $T$，

${\displaystyle {\cup }_{\sigma \in \sum }{\displaystyle {\cup }_{t\in [0,T]}{U}_{\sigma }\left(t,\text{0}\right)B_0}}在E_0中是有界的$ (51)

并且界依赖于 $T$。

设 $\left(u_n,u_{n_t}\right)$ 是对应于时间符号 ${\sigma }_n\in \sum$ 且依赖于初值 $\left(u_0^n,v_0^n\right)\in B_0$ 的解， $n=1,2,\cdots$ 依据(51)，假设

$u_n在空间L^{\infty }\left(\left[0,T\right];V_2\right)中弱*收敛于u$, (52)

$u_{n_t}在空间L^{\infty }\left(\left[0,T\right];H\right)中弱*收敛于u_t$, (53)

$u_n在空间L^2\left(\left[0,T\right];H\right)中收敛于u$, (54)

$u_n在空间L^{q+1}\left(\left[0,T\right];L^{q+1}\right)中收敛于u$, (55)

$u_n\left(T\right)在空间V_1中强收敛于u\left(T\right)$, (56)

其中有紧嵌入 $H^2⋐V_1$ ； $H^2⋐L^{q+1}$， $q<\frac{n+4}{n-4}$。

下面计算(50)中每一项。首先，由命题2和(55)可知

${\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{m\to \infty }{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(h_n\left(x,t\right)-h_m\left(x,t\right)\right)}\left(u_n\left(t\right)-u_m\left(t\right)\right)\text{d}x}\text{d}t=0$, (57)

且根据命题3有

${\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{m\to \infty }{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(h_n\left(x,t\right)-h_m\left(x,t\right)\right)}\left(u_{n_t}\left(t\right)-u_{m_t}\left(t\right)\right)\text{d}x}\text{d}t=0$, (58)

${\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{m\to \infty }{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_s^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(h_n\left(x,t\right)-h_m\left(x,t\right)\right)}\left(u_{n_t}\left(t\right)-u_{m_t}\left(t\right)\right)\text{d}x}\text{d}t}\text{d}s=0$.(59)

其次，结合(4)，(52)和(55)，有

${\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{m\to \infty }{\Vert \nabla u_n\left(T\right)-\nabla u_m\left(T\right)\Vert }^2=0$, (60)

${\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{m\to \infty }{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right)\left|u_n\left(t\right)-u_m\left(t\right)\right|\text{d}x\text{d}t}}=0$, (61)

${\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{m\to \infty }{\left({\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }a\left(x\right){\left|u_n\left(t\right)-u_m\left(t\right)\right|}^{q+1}}\text{d}x}\text{d}t\right)}^{\frac{1}{q+1}}=0$. (62)

因为 ${\left\{\left(u_n,u_{n_t}\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 在空间 $C\left(0,T;E_0\right)$ 中是有界的，且有紧嵌入 $H^2⋐C\left(\bar{\Omega }\right)$，根据Arzela定理， ${\left\{u_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 在空间 $C\left(0,T;C\left(\bar{\Omega }\right)\right)$ 中是紧的；另一方面， ${\left\{u_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 在空间 $L^{\infty }\left(0,T;V_2\right)$ 中弱*收敛于 $u$，因此 ${\left\{u_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 在空间 $C\left(0,T;C\left(\bar{\Omega }\right)\right)$ 中强收敛，于是有

$\left|{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\Vert \nabla u_n\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_n\left(t\right)-{\Vert \nabla u_m\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_m\left(t\right)\right)\left(u_n\left(t\right)-u_m\left(t\right)\right)\text{d}x}\text{d}t}\right|\le C_{R,T}{\Vert u_n\left(t\right)-u_m\left(t\right)\Vert }_{C(0,T;C(\bar{\Omega }))}.$ (63)

由上式可知

${\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{m\to \infty }{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\Vert \nabla u_n\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_n\left(t\right)-{\Vert \nabla u_m\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_m\left(t\right)\right)\left(u_n\left(t\right)-u_m\left(t\right)\right)\text{d}x}\text{d}t}=0.$ (64)

最后，由于解的光滑性，则有

${\displaystyle {\int }_{\Omega }{\Vert \nabla u\left(t\right)\Vert }^2\Delta u\left(t\right)u_t\left(t\right)\text{d}x}=-\frac{1}{4}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla u\left(t\right)\Vert }^4.$ (65)

根据上式，可以计算出

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\Vert \nabla u_n\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_n\left(t\right)-{\Vert \nabla u_m\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_m\left(t\right)\right)\left(u_{n_t}\left(t\right)-u_{m_t}\left(t\right)\right)\text{d}x\text{d}t}}\\ =-{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\Vert \nabla u_n\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_n\left(t\right)u_{m_t}\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}-{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\Vert \nabla u_m\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_m\left(t\right)u_{n_t}\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}\\ +\frac{1}{4}\left({\Vert \nabla u_n\left(0\right)\Vert }^4-{\Vert \nabla u_n\left(T\right)\Vert }^4+{\Vert \nabla u_m\left(0\right)\Vert }^4-{\Vert \nabla u_m\left(T\right)\Vert }^4\right).\end{array}$ (66)

结合(52)~(53)及(56)，先让 $m\to \infty$，再让 $n\to \infty$，可以推出

$\begin{array}{l}{\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{m\to \infty }{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\Vert \nabla u_n\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_n\left(t\right)-{\Vert \nabla u_m\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_m\left(t\right)\right)\left(u_{n_t}\left(t\right)-u_{m_t}\left(t\right)\right)\text{d}x\text{d}t}}\\ =\frac{1}{2}\left({\Vert \nabla u\left(0\right)\Vert }^4-{\Vert \nabla u\left(T\right)\Vert }^4\right)-2{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\Vert \nabla u\left(t\right)\Vert }^2\Delta u\left(t\right)u_t\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}=0.\end{array}$ (67)

类似地，可以得到

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_s^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\Vert \nabla u_n\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_n\left(t\right)-{\Vert \nabla u_m\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_m\left(t\right)\right)\left(u_{n_t}\left(t\right)-u_{m_t}\left(t\right)\right)\text{d}x\text{d}t}}\\ =-{\displaystyle {\int }_s^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\Vert \nabla u_n\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_n\left(t\right)u_{m_t}\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}-{\displaystyle {\int }_s^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }{\Vert \nabla u_m\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_m\left(t\right)u_{n_t}\left(t\right)\text{d}x\text{d}t}}\\ +\frac{1}{4}\left({\Vert \nabla u_n\left(s\right)\Vert }^4-{\Vert \nabla u_n\left(T\right)\Vert }^4+{\Vert \nabla u_m\left(s\right)\Vert }^4-{\Vert \nabla u_m\left(T\right)\Vert }^4\right).\end{array}$ (68)

同时，对于每个固定的 $T$， $\left|{\displaystyle {\int }_s^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\Vert \nabla u_n\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_n\left(t\right)-{\Vert \nabla u_m\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_m\left(t\right)\right)\left(u_{n_t}\left(t\right)-u_{m_t}\left(t\right)\right)\text{d}x}}\text{d}t\right|$ 是有界的，于是结合Lebesgue控制收敛定理，可以计算出

$\begin{array}{l}{\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{m\to \infty }{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_s^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\Vert \nabla u_n\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_n\left(t\right)-{\Vert \nabla u_m\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_m\left(t\right)\right)\left(u_{n_t}\left(t\right)-u_{m_t}\left(t\right)\right)\text{d}x\text{d}t\text{d}s}}}\\ ={\displaystyle {\int }_0^T\left({\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{m\to \infty }{\displaystyle {\int }_s^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left({\Vert \nabla u_n\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_n\left(t\right)-{\Vert \nabla u_m\left(t\right)\Vert }^2\Delta u_m\left(t\right)\right)\left(u_{n_t}\left(t\right)-u_{m_t}\left(t\right)\right)\text{d}x\text{d}t}}\right)\text{d}s}\\ ={\displaystyle {\int }_0^{T}0\text{d}s}=0.\end{array}$ (69)

由(54)可知

${\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{m\to \infty }{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(g\left(u_n\left(t\right)\right)-g\left(u_m\left(t\right)\right)\right)\left(u_n\left(t\right)-u_m\left(t\right)\right)\text{d}x\text{d}t}}=0.$ (70)

结合文献 [12] 中的引理4.4，类似地，可以推出

${\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{m\to \infty }{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(g\left(u_n\left(t\right)\right)-g\left(u_m\left(t\right)\right)\right)\left(u_{n_t}\left(t\right)-u_{m_t}\left(t\right)\right)\text{d}x\text{d}t}}=0,$ (71)

${\lim }_{n\to \infty }{\lim }_{m\to \infty }{\displaystyle {\int }_0^T{\displaystyle {\int }_s^T{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(g\left(u_n\left(t\right)\right)-g\left(u_m\left(t\right)\right)\right)\left(u_{n_t}\left(t\right)-u_{m_t}\left(t\right)\right)\text{d}x\text{d}t\text{d}s}}}=0.$ (72)

因此，结合(57)~(72)，有 ${\varphi }_T\left(\cdot ,\cdot ;\cdot ,\cdot \right)\in \text{contr}\left(B_{\text{0}},\sum \right)$。

4.3. 一致(关于 $\sigma \in \sum$ )吸引子的存在性

由定理2和定理3可以得到一致(关于 $\sigma \in \sum$ )吸引子的存在性，结果如下

定理4假设(W1)~(W4)成立，若 $h_0\in L^{\infty }\left(ℝ;L^2\left(\Omega \right)\right)\cap W_b^{1,r}\left(ℝ;L^r\left(\Omega \right)\right)\left(r>\frac{2n}{n+4}\right)$，且 $\sum$ 是由(17)所定义的，则问题(1)~(3)对应的过程族 $\left\{U_{\sigma }\left(t,\tau \right)\right\}\left(t\ge \tau ,\tau \in ℝ,\sigma \in \sum \right)$ 在空间 $E_0$ 中有紧的一致(关于 $\sigma \in \sum$ )吸引子。

基金项目

国家自然科学基金项目(11561064)；甘肃省自然科学基金项目(17JR5RA069)；甘肃省高等学校科研项目(2017B-90)；西北师范大学青年教师科研能力提升计划(NWNU-LKQN-16-16；NWNU-LKQN-18-14)。

NOTES

^*通讯作者。