凸体的λ Entropy的Brunn-Minkowski不等式

The Brunn-Minkowski Inequalities of λ Entropy of Convex Body

摘要: Borel测度λ绝对连续的假设下，证明了高斯像问题的解存在唯一性。在本文中，我们建立了凸体的λ entropy的Brunn-Minkowski不等式。作为推论，我们给出高斯像问题唯一性的另一证明。注意到，即使测度λ不是绝对连续的，我们所得到的关于λ entropy的Brunn-Minkowski不等式依旧成立。

Abstract: In the paper Gauss Image Problem, Böröczky-Lutwak-Yang-Zhang-Zhao proposed the Gaussian image problem, and under the assumption that the Borel measure λ is absolutely continuous, they proved the existence and uniqueness of the solution of the Gaussian image problem. In this paper, we establish the Brunn-Minkowski type inequality of the λ entropy of convex body. As a corollary, we give another proof of the uniqueness of the Gaussian image problem. Note that even if the measure λ is not absolutely continuous, the Brunn-Minkowski inequality of the λ entropy still holds.

1. 引言

Brunn-Minkowski不等式始现于19世纪末期，它在如今蓬勃发展的凸几何分析中扮演着十分重要的角色。Brunn-Minkowski不等式表明对于 ${ℝ}^n$ 中的凸体 $K,L$ 它们的体积及其代数和具有下述关系：

$V{\left(K+L\right)}^{\frac{1}{n}}\ge V{\left(K\right)}^{\frac{1}{n}}+V{\left(L\right)}^{\frac{1}{n}}$, (1.1)

等号成立当且仅当K和L位似，其中，V表示体积。

Aleksandrov在20世纪早期开创性的工作 [1] 表明在Brunn-Minkowski 类型的不等式和混合表面积测度的唯一性之间存在着等价关系。在这里，“唯一性”意味着：如果K和L具有相同的混合表面积测度 $S_i\left(K,\cdot \right)=S_i\left(L,\cdot \right)$，其中 $1\le i\le n-1$ [2]，那么K必是L的平移。

这一等价关系，对于 $L_p$ Brunn-Minkowski不等式以及 $L_p$ 表面积测度 [3] 也同样成立。当 $p>1$ 时，关于 $L_p$ Brunn-Minkowski不等式的问题已经得到解决 [4]，而 $P<1$ 的情况至今仍有待进一步的探索。 [5] [6] [7] 等解决了某些维度或者特殊p值的情形。

从对称性的观点出发，Lutwak [8] 在20世纪80年代引入了对偶Brunn-Minkowski理论。将经典意义下的和替换成径向和后，Lutwak建立了关于星体(详细定义参见第2节)的对偶Brunn-Minkowsk型不等式：

$V{\left(K\widetilde{+}L\right)}^{\frac{1}{n}}\le V{\left(K\right)}^{\frac{1}{n}}+V{\left(L\right)}^{\frac{1}{n}}$ (1.2)

该理论在解决著名的Busemann-Petty问题上取得的成果十分令人瞩目。参见Lutwak [8]，Gardner [9]，Zhang [10] 以及Koldobsky [11]。

给定一个星体K，在对偶Brunn-Minkowski理论中，最重要的概念之一就是对偶均质积分(dual quermassintegral) ${\tilde{W}}_{n-q}\left(K\right)$，它按如下方式定义

${\tilde{W}}_{n-q}\left(K\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle {\int }_{S^{n-1}}{\rho }_K^q\left(u\right)\text{d}u}$, $q\ne 0$,

其中， ${\rho }_K$ 是K的径向函数(详细定义参见第2节)。当 $q=0$ 时，我们就得到了奇异的情形，此时，我们考虑对偶entropy $\tilde{E}(\; K\; )$

$\tilde{E}\left(K\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle {\int }_{S^{n-1}}\log {\rho }_K\left(u\right)\text{d}u}$

最近几年，Huang-Lutwak-Yang-Zhang [12] 关于对偶均质积分有了令人惊讶的发现。他们发现对偶均质积分是“可微的”，对其微分后将得到一系列新的几何测度。这揭示出了古典Brunn-Minkowski理论和对偶Brunn-Minkowsk理论的新联系。对于凸体K，这些新的几何测度统称为 $\left(p,q\right)$ -次对偶曲率测度，其一般形式记为 ${\tilde{C}}_{p,q}\left(K,\cdot \right)$。当 $p=0$ 时，该测度就变成了对偶曲率测度 [12]。当 $q=0$ 时， $n{\tilde{C}}_{p,q}\left(K^{*},\cdot \right)$ 就变成了在 [13] 中引入的 $L_p$ 积分曲率测度 $J_p\left(K,\cdot \right)$，其中 $K^{*}$ 是K的极体(参见第2节)。特别地， ${\tilde{C}}_{0.0}\left(K^{*},\cdot \right)$ 是Alesandorv积分曲率。

Brunn-Minkowski类型的不等式与Minkowski问题存在紧密联系。然而，已知的关于径向和 $K\widetilde{+}L$ 的对偶Brunn-Minkowski型不等式(1.2)式在测度 ${\tilde{C}}_{p,q}\left(K,\cdot \right)$ 的唯一性问题上没有帮助。在许多公开的学术讨论中，Huang-Lutwak-Yang-Zhang关于对偶Brunn-Minkowski不等式曾猜测：

${\tilde{W}}_{n-q}{\left(K+L\right)}^{\frac{1}{q}}\ge {\tilde{W}}_{n-q}{\left(K\right)}^{\frac{1}{q}}+{\tilde{W}}_{n-q}{\left(L\right)}^{\frac{1}{q}}$ (1.3)

以及当 $q>0$ 时，

${\tilde{W}}_{n-q}\left(\left(1-t\right)\cdot K{+}_{0}t\cdot L\right)\ge {\tilde{W}}_{n-q}{\left(K\right)}^{1-t}\tilde{W}{\left(L\right)}^t$ (1.4)

其中， $\left(1-t\right)\cdot K{+}_{0}t\cdot L$ 是关于函数 $h_K^{1-t}{h}_L^t$ 的Wulff形(详细定义参见第2节)， $h_K$ 和 $h_L$ 分别是K和L的支撑函数(详细定义参见第2节)。

在凸几何分析中，高斯像 ${\alpha }_K$ 可以将各种测度间接地联系起来。如通过径向高斯像，它将定义在 $S^{n-1}$ 上的Aleksandrov积分曲率和球面Lebesgue测度联系起来，同时，也将经典的表面积测度与Federer的 $\left(n-1\right)$ -次曲率测度联系起来( [2]，定理4.2.3 [12] )。具体说来，在 [12] 中，Brunn-Minkowsk理论和对Brunn-Minkowski理论的联系正是通过径向高斯像 ${\alpha }_K$ 建立的。在此基础上，Böröczky-Lutwak-Yang-Zhang-Zhao在 [14] 中引入了高斯像测度的概念，给出了测度唯一性的证明，并提出高斯像问题。下文中，我们用 ${\mathcal{K}}_o{}^n$ 表示内部包含原点的凸体类。

设 $\lambda$ 是定义在 $S^{n-1}$ 上的Lebesgue可测集类上的子测度(submeasure)。 $K\in {\mathcal{K}}_o{}^n$，对任意的Borel集 $\omega \subset S^{n-1}$， $\lambda$ 关于K的高斯像测度 $\lambda \left(K,\cdot \right)$ 可以定义为

$\lambda \left(K,\omega \right)=\lambda \left({\alpha }_K\left(\omega \right)\right)$,

其中， ${\alpha }_K(\cdot )$ 是关于K的高斯像 (具体定义参见第2节)。

高斯像问题。设 $\lambda$ 是一个定义在 $S^{n-1}$ 上的Lebesgue可测集类上的子测度， $\mu$ 是定义在 $S^{n-1}$ 上的Borel子测度。对 $\lambda ,\mu$ 是否存在充分条件和必要条件，使得存在一个凸体 $K\in {\mathcal{K}}_o{}^n$ 对 $S^{n-1}$ 上的Borel集，满足

$\lambda \left(K,\cdot \right)=\mu$

若满足要求的凸体存在，那么在什么程度上是唯一的？

高斯像测度 $\lambda$ 与我们已知的很多测度存在联系。当 $\lambda$ 是 $S^{n-1}$ 上的Lebesgue测度时， $\lambda \left(K,\cdot \right)$ 是凸体K的Aleksandrov积分曲率测度 [15]，

$\lambda \left(K,\cdot \right)=C_0\left(K,\cdot \right)$,

当 $\lambda$ 是某个凸体K的曲率测度 $C_{n-1}\left(K,\cdot \right)$ 时，逆高斯像测度(详细定义参见第2节)就是表面积测度，即

${\lambda }^{*}\left(K,\cdot \right)=S_{n-1}\left(K,\cdot \right)$

此外，Aleksandrov-Fenchel-Jessen的经典的表面积测度 [16] 以及最近发现的对偶曲率测度都是高斯像测度 [12]。这样，高斯像测度的引入就扩展了Minkowski问题的研究范围。

关于测度 $\lambda$ 的对偶Entropy ${\tilde{E}}_{\lambda }\left(K\right)$ 的定义为

${\tilde{E}}_{\lambda }\left(K\right)={\displaystyle {\int }_{S^{n-1}}\log {\rho }_K\left(v\right)\text{d}\lambda \left(v\right)}$.

Borel测度 $\mu$ 是绝对连续的，指的是 $\mu$ 是关于球面Lebesgue测度绝对连续的。Böröczky-Lutwak-Yang-Zhang-Zhao [14] 在 $\mu$ 是绝对连续的假设下，证明了高斯像问题的解存在唯一性。

本文通过几何的方法，建立了关于 ${\tilde{E}}_{\lambda }\left(K\right)$ 的不等式和等号条件。在此基础上，利用 ${\tilde{E}}_{\lambda }\left(K\right)$ 的凹性，结合变分公式，我们给出高斯像测度唯一性的另一种证明。我们得到的结果如下：

定理A. 设 $\lambda$ 是定义在 $S^{n-1}$ 上的Borel测度。 $K,L\in {\mathcal{K}}_o{}^n$， $t\in \left[0,1\right]$，则

${\tilde{E}}_{\lambda }\left(\left(1-t\right)\cdot K{+}_{0}t\cdot L\right)\ge \left(1-t\right){\tilde{E}}_{\lambda }\left(K\right)+t{\tilde{E}}_{\lambda }(\; L\; )$

等号成立当且仅当 $K,L$ 是膨胀的。

定理B. 设 $\lambda$ 是 $S^{n-1}$ 上绝对连续的Borel测度。 $K,L\in {\mathcal{K}}_o{}^n$，则

$\lambda \left(K,\cdot \right)=\lambda \left(L,\cdot \right)$

当且仅当 $K,L$ 是膨胀的。

2. 预备知识

在本节中，我们将给出一些关于凸体的术语和记号。对于凸几何分析来说，Gardner [16]，Gruber [17] 以及Schneider [2] 的书都可以作为极好的参考。

对于 $x,y\in {ℝ}^n$，我们将其内积记为 $\langle x,y\rangle$。将x的模长记为 $\left|x\right|=\sqrt{\langle x,x\rangle }$。单位球面 $\left\{x\in {ℝ}^n:\left|x\right|=1\right\}$ 用 $S^{n-1}$ 表示。以原点为中心的单位球 $\left\{x\in {ℝ}^n:\left|x\right|\le 1\right\}$ 记为B， ${\omega }_n$ 是B的体积， $n{\omega }_n$ 是B的表面积。V是n维勒贝格测度。 $\mu$ 是一个测度， $\left|\mu \right|=\mu \left(S^{n-1}\right)$。

凸体是 ${ℝ}^n$ 中内部非空的紧凸集。对于 $K\in {\mathcal{K}}_o{}^n$，它的支撑函数 $h_K$ 是

$h_K\left(u\right)=\max \left\{\langle x,u\rangle :x\in K\right\}$.

$\alpha >0$， $x\in {ℝ}^n\bcancel{}\left\{0\right\}$，凸体K的径向函数 ${\rho }_K$ 的定义为

${\rho }_K\left(x\right)=\max \left\{\alpha :\alpha x\in K\right\}$.

设K是 ${ℝ}^n$ 中的凸体，对于 $v\in {ℝ}^n\bcancel{}\left\{0\right\}$，K的以v为外法向量的支撑平面按如下方式定义

$H_K\left(v\right)=\left\{x\in {ℝ}^n:\langle x,v\rangle =h_K\left(v\right)\right\}$.

设 $K\in {\mathcal{K}}_o{}^n$， $K\ne \varnothing$，若对于任意的 $x\in K$，线段 $\left[0,x\right]\subset K$，则称K是关于原点o的星集。当一个星集的径向函数为正的且连续时，称该星集为星体。 ${ℝ}^n$ 中所有包含原点的星体组成一个星体类，记为 ${\mathcal{S}}_o{}^n$。

设 $C^{+}\left(S^{n-1}\right)$ 是定义在 $S^{n-1}$ 上的正向函数类。对每一个 $f\in C^{+}\left(S^{n-1}\right)$，由f生成的Wulff形记为 $\left[f\right]$，其定义为

$\left[f\right]=\left\{x\in {ℝ}^n:\langle x,v\rangle \le f\left(v\right),\forall v\in S^{n-1}\right\}$.

对于任意的 $K\in {\mathcal{K}}_o{}^n$，易证 $h_{\left[f\right]}\le f$ 以及 $\left[h_K\right]=K$。

设 $\Omega \subset S^{n-1}$ 是一个不包含 $S^{n-1}$ 上任意闭半球面的闭集。若 $h:\Omega \to \left(0,\infty \right)$ 且 $f:\Omega \to ℝ$ 是连续的， $\delta >0$ 以及

$\log h_t\left(v\right)=\log h\left(v\right)+tf\left(v\right)+o\left(t,v\right)$,

其中，对每一个 $t\in \left(-\delta ,\delta \right)$，函数 $o\left(t,\cdot \right):\Omega \to ℝ$ 是连续的，且 $\underset{t\to 0}{\lim }o\left(t,\cdot \right)/t=0$ 在 $\Omega$ 上是一致。

对于函数 $h_t$ 生成的wulff形 $\left[h_t\right]$，我们也称 $\left[h_t\right]$ 是由 $\left(K,f\right)$ 生成的Wulff 形。当h是某个凸体K的支撑函数时，我们也将 $\left[h_t\right]$ 写为 $\left[K,f\right]$ 或 $\left[K,f,t\right]$。

设 $g:\Omega \to ℝ$ 是连续的， $\delta >0$，对每一个 $t\in \left(-\delta ,\delta \right)$， ${\rho }_t:\Omega \to \left(0,\infty \right)$ 是连续的，以及

$\log {\rho }_t\left(u\right)=\log \rho \left(u\right)+tg\left(u\right)+o\left(t,u\right)$,

其中，函数 $o\left(t,\cdot \right):\Omega \to ℝ$ 是连续的，且 $\underset{t\to 0}{\lim }o\left(t,\cdot \right)/t=0$ 在 $\Omega$ 上是一致。

将由函数 ${\rho }_t$ 生成的凸包定义为

$\langle {\rho }_t\rangle =conv\left\{{\rho }_t\left(u\right)u:u\in S^{n-1}\right\}$,

称 $\langle {\rho }_t\rangle$ 是由 $\left(\rho ,g\right)$ 生成的对数族的凸包。如果 $\rho$ 恰好是某个凸体的径向函数，就将 $\langle {\rho }_t\rangle$ 记为 $\langle K,g\rangle$，并称 $\langle K,g\rangle$ 是由 $\left(K,g\right)$ 生成的对数族的凸包。

$\alpha \in \left(0,1\right)$，星体的 $L_p$ 对偶组合 $\left(1-\alpha \right)\cdot K{\widetilde{+}}_p\alpha \cdot L$ (参见 [14] )按如下方式定义

$\left(1-\alpha \right)\cdot K{\widetilde{+}}_p\alpha \cdot L=\left\{tu:0\le t\le {\left(\left(1-\alpha \right){\rho }_K^p\left(u\right)+\alpha {\rho }_L^p\left(u\right)\right)}^{\frac{1}{p}},u\in S^{n-1}\right\},p\ne 0$

在上式中，对括号中的不等式的最右边取极限就得到了 $p=0$ 的情形，此时上式函数变为 ${\rho }_K^{1-\alpha }{\rho }_L^{\alpha }$。

对任意 $K\in {\mathcal{K}}_o{}^n$， $K^{*}$ 是K的极体，其定义为

$K^{*}=\left\{x\in {ℝ}^n:\langle x,y\rangle \le 1,\forall y\in K\right\}$,

注意到 $K^{*}\in {\mathcal{K}}_o{}^n$，由 $K^{*}$ 的定义，我们有

${\rho }_K=\frac{1}{h_{K^{*}}}$, $h_K=\frac{1}{{\rho }_{K^{*}}}$ (2.1)

由此易得

$K^{**}=K$

对于 $K,L\in {\mathcal{K}}_o{}^n$，如果存在 $c>0$ 使得

$K=cL$

则称K和L是膨胀的。

$\sigma \subset \partial K$ 的球面像的定义为

${\upsilon }_K\left(\sigma \right)=\left\{v\in S^{n-1}:x\in H_K\left(v\right),\exists x\in \sigma \right\}\subset S^{n-1}$

对于 $K\in {\mathcal{K}}_o{}^n$， $u\in S^{n-1}$，将K的径向映射(radial map)定义为

$r_K:S^{n-1}\to \partial K$, $r_K\left(u\right)={\rho }_K\left(u\right)u\in \partial K$,

其中 $\partial K$ 表示K的边界集。

对于 $\omega \subset S^{n-1}$，定义 $\omega$ 的径向高斯像为

${\alpha }_K\left(\omega \right)={\upsilon }_K\left(r_K\left(\omega \right)\right)\subset S^{n-1}$.

类似地，对于 $\eta \subset S^{n-1}$， ${\alpha }_K^{*}\left(\eta \right)$ 表示逆径向高斯像，它是所有径向方向 $u\in S^{n-1}$ 的集合，对于边界点 ${\rho }_K\left(u\right)u$ 可以在 $\eta$ 中至少找到一个元素v，作为边界点 ${\rho }_K\left(u\right)u$ 的外法向量，即

${\alpha }_K^{*}\left(\eta \right)=\left\{u\in S^{n-1}:{\alpha }_K\left(u\right)\cap \eta \ne \varnothing \right\}$.

设 $\lambda$ 是定义在 $S^{n-1}$ 的Lebesgue可测子集的子测度， $K\in {\mathcal{K}}_o{}^n$。对任意的Borel集 $\omega \subset S^{n-1}$， $\lambda$ 关于K的高斯像测度 $\lambda \left(K,\cdot \right)$ 可以定义为

$\lambda \left(K,\omega \right)=\lambda \left({\alpha }_K\left(\omega \right)\right)$.

对于每一个Borel集 $\omega \subset S^{n-1}$， ${\lambda }^{*}\left(K,\omega \right)$ 表示逆高斯像测度，其定义为

${\lambda }^{*}\left(K,\omega \right)=\lambda \left({\alpha }_K^{*}\left(\omega \right)\right)=\lambda \left({\alpha }_{K^{*}}\left(\omega \right)\right)$.

对于任意的 $c>0$， $\lambda \left(K,\cdot \right)$ 和 ${\lambda }^{*}\left(K,\cdot \right)$ 都是膨胀不变的，即

$\lambda \left(cK,\cdot \right)=\lambda \left(K,\cdot \right)$, ${\lambda }^{*}\left(cK,\cdot \right)={\lambda }^{*}\left(K,\cdot \right)$

此外，关于 $\lambda \left(K,\cdot \right)$ 和 ${\lambda }^{*}\left(K,\cdot \right)$ 的关系，

${\lambda }^{*}\left(K,\cdot \right)=\lambda \left(K^{*},\cdot \right)$ (2.2)

$K\in {\mathcal{K}}_o{}^n$， [14] 还给出了关于测度 $\lambda$ 的K的对数体积 ${\lambda }_0\left(K\right)$，

${\lambda }_0\left(K\right)=\exp \left\{\frac{1}{\left|\lambda \right|}{\displaystyle {\int }_{S^{n-1}}\log {\rho }_K\left(u\right)\text{d}\lambda \left(u\right)}\right\}$.

由对数体积 ${\lambda }_0\left(K\right)$ 和关于 $\lambda$ 的对偶Entropy的定义，有下式成立

${\tilde{E}}_{\lambda }\left(K\right)=\left|\lambda \right|\log {\lambda }_0\left(K\right)$ (2.3)

引理2.1 ( [14]，引理4.2) 设 $\lambda$ 是 $S^{n-1}$ 上绝对连续的Borel测度， $K\in {\mathcal{K}}_o{}^n$， $f,g:S^{n-1}\to ℝ$ 是连续的，若 $\langle K,g\rangle$ 是一个由 $\left(K,g\right)$ 生成的对数族的凸包，则

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\log {\lambda }_0\left({\langle K,f,t\rangle }^{*}\right)|}_{t=0}=\frac{1}{\left|\lambda \right|}{\displaystyle {\int }_{S^{n-1}}g\left(u\right)\text{d}\lambda \left(K,u\right)}$

若 $\left[K,f\right]$ 是由 $\left(K,f\right)$ 生成的Walff形，则

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\log {\lambda }_0\left(\left[K,f,t\right]\right)|}_{t=0}=\frac{1}{\left|\lambda \right|}{\displaystyle {\int }_{S^{n-1}}f\left(u\right)\text{d}{\lambda }^{*}\left(K,u\right)}$

引理2.2 设 $\lambda$ 是 $S^{n-1}$ 上绝对连续的Borel测度， $K,L\in {\mathcal{K}}_o{}^n$，则

$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{{\tilde{E}}_{\lambda }\left(\left(1-t\right)\cdot K{+}_{0}t\cdot L\right)-{\tilde{E}}_{\lambda }\left(K\right)}{t}={\displaystyle {\int }_{S^{n-1}}\log \frac{h_L\left(u\right)}{h_K\left(u\right)}\text{d}\lambda \left(K^{*},v\right)}$

证明. 对充分小的 $\delta >0$， $t\in \left(-\delta ,\delta \right)$，令 $h_t=h_K^{1-t}{h}_L^t$，所以 $\log h_t=\log h_K+t\left(\log h_L-\log h_K\right)$，则 $f=\log h_L-\log h_K$，由关于函数 $h_t$ 的Wulff形的定义可知，

$\left[K,f,t\right]=\left(1-t\right)\cdot K{+}_{0}t\cdot L$,

f是连续的，结合引理2.1，(2.2)式以及(2.3)式，立即得证。

3. 关于高斯像测度的 Brunn-Minkowski不等式

引理3.1的证明我们已经在另一篇文章里给出了。在这里，考虑到文章的完整性，我们也给出证明。引理3.1给出的是一般的情形，取 $p=0$ 立即就得到了我们想要的结果。在本节中，我们假设 $K,L\in {\mathcal{K}}_o{}^n$。

引理3.1 设 $p\in ℝ$, $\alpha \in \left[0,1\right]$，则

$\left(1-\alpha \right)\cdot K{\widetilde{+}}_p\alpha \cdot L\subset \left(1-\alpha \right)\cdot K{+}_p\alpha \cdot L$, (3.1)

等号成立当且仅当K和L是膨胀的。

证明. 第一步：不等式(3.1)。注意到 $\left(1-\alpha \right)\cdot K{\widetilde{+}}_p\alpha \cdot L$ 是一个星体。为了证明(3.1)，只需要证明对任意的 $v\in S^{n-1}$，有

$\langle x,v\rangle \le h_{\left(1-\alpha \right)\cdot K{+}_p\alpha \cdot L}\left(v\right)$, $\forall x\in \partial \left(\left(1-\alpha \right)\cdot K{\widetilde{+}}_p\alpha \cdot L\right)$ (3.2)

因为 ${\rho }_K\left(u\right)u\in K$, ${\rho }_L\left(u\right)u\in L$, $\forall u\in S^{n-1}$，我们有

$\langle {\rho }_K\left(u\right)u,v\rangle \le h_K\left(v\right)$, $\langle {\rho }_L\left(u\right)u,v\rangle \le h_L\left(v\right)$, $\forall v\in S^{n-1}$

如果 $\langle u,v\rangle \ge 0$, $p\ne 0$，我们有

${\left(\left(1-\alpha \right){\rho }_K^p\left(u\right)+\alpha {\rho }_L^p\left(u\right)\right)}^{\frac{1}{p}}\langle u,v\rangle \le {\left(\left(1-\alpha \right)h_K^p\left(u\right)+\alpha h_L^p\left(u\right)\right)}^{\frac{1}{p}}$,

若 $\langle u,v\rangle <0$，则上面的不等式显然成立。由此可得，在 $p\ne 0$ 时，对任意的 $\left(1-\alpha \right)\cdot K{\widetilde{+}}_p\alpha \cdot L$ 的边界点，(3.2)成立。

令上面不等式的 $p\to 0$，我们得到

${\rho }_K^{1-\alpha }\left(u\right){\rho }_L^{\alpha }\left(u\right)\langle u,v\rangle \le h_K^{1-\alpha }\left(v\right)h_L^{\alpha }\left(v\right)$,

即 $p=0$ 时，(3.2)成立。

第二步：等号条件。现在我们假设在(3.1)中的等号成立。我们只给出 $p\ne 0$ 时的证明， $p=0$ 的情况是类似的。对于任意的方向 $u\in S^{n-1}$，边界点 ${\left(\left(1-\alpha \right){\rho }_K^p\left(u\right)+\alpha {\rho }_L^p\left(u\right)\right)}^{\frac{1}{p}}u$ 必有一个外法向量v，则

${\left(\left(1-\alpha \right){\rho }_K^p\left(u\right)+\alpha {\rho }_L^p\left(u\right)\right)}^{\frac{1}{p}}\langle u,v\rangle ={\left(\left(1-\alpha \right)h_K^p\left(v\right)+\alpha h_L^p\left(v\right)\right)}^{\frac{1}{p}}$,

由此可得

${\rho }_K\left(u\right)\langle u,v\rangle =h_K\left(v\right)$，以及 ${\rho }_L\left(u\right)\langle u,v\rangle =h_L\left(v\right)$。

所以我们证明了对任意方向 $u\in S^{n-1}$，边界点 ${\rho }_K\left(u\right)u\in \partial K$ 和边界点 ${\rho }_L\left(u\right)u\in \partial L$ 具有共同的法向量v。所以K和L必是膨胀的。

反之，如果K和L是膨胀的，(3.1)的等号显然成立。

定理3.2 设 $\lambda$ 是 $S^{n-1}$ 上的Borel测度， $K,L\in {\mathcal{K}}_o{}^n$， $t\in \left[0,1\right]$，则

${\tilde{E}}_{\lambda }\left(\left(1-t\right)\cdot K{+}_{0}t\cdot L\right)\ge \left(1-t\right){\tilde{E}}_{\lambda }\left(K\right)+t{\tilde{E}}_{\lambda }\left(L\right)$,

等号成立当且仅当 $K,L$ 是膨胀的。

证明. 由引理3.1以及 ${\tilde{E}}_{\lambda }(\cdot )$ 定义，我们有

$\begin{array}{c}{\tilde{E}}_{\lambda }\left(\left(1-t\right)\cdot K{+}_{0}t\cdot L\right)={\displaystyle {\int }_{S^{n-1}}\log {\rho }_{\left(1-t\right)\cdot K{+}_{0}t\cdot L}\left(u\right)\text{d}\lambda \left(u\right)}\\ \ge {\displaystyle {\int }_{S^{n-1}}\log {\rho }_{\left(1-t\right)\cdot K{\widetilde{+}}_{0}t\cdot L}\left(u\right)\text{d}\lambda \left(u\right)}\\ ={\displaystyle {\int }_{S^{n-1}}\log {\rho }_K^{1-t}\left(u\right){\rho }_L^t\left(u\right)\text{d}\lambda \left(u\right)}\\ =\left(1-t\right){\tilde{E}}_{\lambda }\left(K\right)+t{\tilde{E}}_{\lambda }(\; L\; )\end{array}$

由引理3.1的等号条件，等号成立当且仅当 $K,L$ 是膨胀的。

4. 高斯像测度的唯一性

定理4.1 设 $\lambda$ 是 $S^{n-1}$ 上绝对连续的Borel测度。 $K,L\in {\mathcal{K}}_o{}^n$，则

$\lambda \left(K,\cdot \right)=\lambda \left(L,\cdot \right)$

当且仅当 $K,L$ 是膨胀的。

证明. 对于 $t\in \left[0,1\right]$，定义函数 $F\left(t\right):={\tilde{E}}_{\lambda }\left(\left(1-t\right)\cdot K^{*}{+}_{0}t\cdot L^{*}\right)$，由定理3.2可知，函数 $F\left(t\right)$ 是凹的。由引理2.2可知，函数 $F\left(t\right)$ 在 $t=0$ 处是可微的。由函数 $F\left(t\right)$ 的凹性，我们可以得到不等式

$F^{\prime }\left(0\right)\ge F\left(1\right)-F\left(0\right)$.

在 $\lambda \left(K,\cdot \right)=\lambda \left(L,\cdot \right)$ 时，如果K和L不是膨胀的，我们就得到严格的不等式

$F^{\prime }\left(0\right)>F\left(1\right)-F\left(0\right)$.

由上面得到的严格不等式， $K^{**}=K$ 以及引理2.2，我们有

${\displaystyle {\int }_{S^{n-1}}\log \frac{h_{L^{*}}\left(v\right)}{h_{K^{*}}\left(v\right)}\text{d}\lambda \left(K,v\right)}>{\tilde{E}}_{\lambda }\left(L^{*}\right)-{\tilde{E}}_{\lambda }\left(K^{*}\right)$ (4.1)

${\displaystyle {\int }_{S^{n-1}}\log \frac{h_{K^{*}}\left(v\right)}{h_{L^{*}}\left(v\right)}\text{d}\lambda \left(L,v\right)}>{\tilde{E}}_{\lambda }\left(K^{*}\right)-{\tilde{E}}_{\lambda }\left(L^{*}\right)$ (4.2)

将(4.1)式和(4.2)式相加，我们可以得到 $0>0$，矛盾。

反过来，当K和L是膨胀的，即 $K=cL$ 时 $\left(c>0\right)$，由 $\lambda \left(K,\cdot \right)$ 的膨胀不变性，结果是显然的。

注：在另一文章中，我们已经得到了关于对偶均质积分 ${\tilde{W}}_{n-q}\left(K,\cdot \right)$ 的Brunn-Minkowsk不等式，并利用其刻画了 $\left(p,q\right)$ -次对偶曲率测度 ${\tilde{C}}_{p,q}\left(K,\cdot \right)$ 的唯一性。