理论数学  >> Vol. 11 No. 7 (July 2021)

凸体的λ Entropy的Brunn-Minkowski不等式
The Brunn-Minkowski Inequalities of λ Entropy of Convex Body

DOI: 10.12677/PM.2021.117153, PDF, HTML, XML, 下载: 19  浏览: 56 

作者: 张振坤:上海大学理学院,上海

关键词: Brunn-Minkowski不等式高斯像测度Aleksandrov积分曲率Brunn-Minkowski Inequality Gaussian Image Measure Aleksandrov’s Integral Curvature

摘要: Borel测度λ绝对连续的假设下,证明了高斯像问题的解存在唯一性。在本文中,我们建立了凸体的λ entropy的Brunn-Minkowski不等式。作为推论,我们给出高斯像问题唯一性的另一证明。注意到,即使测度λ不是绝对连续的,我们所得到的关于λ entropy的Brunn-Minkowski不等式依旧成立。
Abstract: In the paper Gauss Image Problem, Böröczky-Lutwak-Yang-Zhang-Zhao proposed the Gaussian image problem, and under the assumption that the Borel measure λ is absolutely continuous, they proved the existence and uniqueness of the solution of the Gaussian image problem. In this paper, we establish the Brunn-Minkowski type inequality of the λ entropy of convex body. As a corollary, we give another proof of the uniqueness of the Gaussian image problem. Note that even if the measure λ is not absolutely continuous, the Brunn-Minkowski inequality of the λ entropy still holds.

文章引用: 张振坤. 凸体的λ Entropy的Brunn-Minkowski不等式[J]. 理论数学, 2021, 11(7): 1361-1368. https://doi.org/10.12677/PM.2021.117153

1. 引言

Brunn-Minkowski不等式始现于19世纪末期,它在如今蓬勃发展的凸几何分析中扮演着十分重要的角色。Brunn-Minkowski不等式表明对于 n 中的凸体 K , L 它们的体积及其代数和具有下述关系:

V ( K + L ) 1 n V ( K ) 1 n + V ( L ) 1 n , (1.1)

等号成立当且仅当K和L位似,其中,V表示体积。

Aleksandrov在20世纪早期开创性的工作 [1] 表明在Brunn-Minkowski 类型的不等式和混合表面积测度的唯一性之间存在着等价关系。在这里,“唯一性”意味着:如果K和L具有相同的混合表面积测度 S i ( K , ) = S i ( L , ) ,其中 1 i n 1 [2],那么K必是L的平移。

这一等价关系,对于 L p Brunn-Minkowski不等式以及 L p 表面积测度 [3] 也同样成立。当 p > 1 时,关于 L p Brunn-Minkowski不等式的问题已经得到解决 [4],而 P < 1 的情况至今仍有待进一步的探索。 [5] [6] [7] 等解决了某些维度或者特殊p值的情形。

从对称性的观点出发,Lutwak [8] 在20世纪80年代引入了对偶Brunn-Minkowski理论。将经典意义下的和替换成径向和后,Lutwak建立了关于星体(详细定义参见第2节)的对偶Brunn-Minkowsk型不等式:

V ( K + ˜ L ) 1 n V ( K ) 1 n + V ( L ) 1 n (1.2)

该理论在解决著名的Busemann-Petty问题上取得的成果十分令人瞩目。参见Lutwak [8],Gardner [9],Zhang [10] 以及Koldobsky [11]。

给定一个星体K,在对偶Brunn-Minkowski理论中,最重要的概念之一就是对偶均质积分(dual quermassintegral) W ˜ n q ( K ) ,它按如下方式定义

W ˜ n q ( K ) = 1 n S n 1 ρ K q ( u ) d u , q 0 ,

其中, ρ K 是K的径向函数(详细定义参见第2节)。当 q = 0 时,我们就得到了奇异的情形,此时,我们考虑对偶entropy E ˜ ( K )

E ˜ ( K ) = 1 n S n 1 log ρ K ( u ) d u

最近几年,Huang-Lutwak-Yang-Zhang [12] 关于对偶均质积分有了令人惊讶的发现。他们发现对偶均质积分是“可微的”,对其微分后将得到一系列新的几何测度。这揭示出了古典Brunn-Minkowski理论和对偶Brunn-Minkowsk理论的新联系。对于凸体K,这些新的几何测度统称为 ( p , q ) -次对偶曲率测度,其一般形式记为 C ˜ p , q ( K , ) 。当 p = 0 时,该测度就变成了对偶曲率测度 [12]。当 q = 0 时, n C ˜ p , q ( K * , ) 就变成了在 [13] 中引入的 L p 积分曲率测度 J p ( K , ) ,其中 K * 是K的极体(参见第2节)。特别地, C ˜ 0.0 ( K * , ) 是Alesandorv积分曲率。

Brunn-Minkowski类型的不等式与Minkowski问题存在紧密联系。然而,已知的关于径向和 K + ˜ L 的对偶Brunn-Minkowski型不等式(1.2)式在测度 C ˜ p , q ( K , ) 的唯一性问题上没有帮助。在许多公开的学术讨论中,Huang-Lutwak-Yang-Zhang关于对偶Brunn-Minkowski不等式曾猜测:

W ˜ n q ( K + L ) 1 q W ˜ n q ( K ) 1 q + W ˜ n q ( L ) 1 q (1.3)

以及当 q > 0 时,

W ˜ n q ( ( 1 t ) K + 0 t L ) W ˜ n q ( K ) 1 t W ˜ ( L ) t (1.4)

其中, ( 1 t ) K + 0 t L 是关于函数 h K 1 t h L t 的Wulff形(详细定义参见第2节), h K h L 分别是K和L的支撑函数(详细定义参见第2节)。

在凸几何分析中,高斯像 α K 可以将各种测度间接地联系起来。如通过径向高斯像,它将定义在 S n 1 上的Aleksandrov积分曲率和球面Lebesgue测度联系起来,同时,也将经典的表面积测度与Federer的 ( n 1 ) -次曲率测度联系起来( [2],定理4.2.3 [12] )。具体说来,在 [12] 中,Brunn-Minkowsk理论和对Brunn-Minkowski理论的联系正是通过径向高斯像 α K 建立的。在此基础上,Böröczky-Lutwak-Yang-Zhang-Zhao在 [14] 中引入了高斯像测度的概念,给出了测度唯一性的证明,并提出高斯像问题。下文中,我们用 K o n 表示内部包含原点的凸体类。

λ 是定义在 S n 1 上的Lebesgue可测集类上的子测度(submeasure)。 K K o n ,对任意的Borel集 ω S n 1 λ 关于K的高斯像测度 λ ( K , ) 可以定义为

λ ( K , ω ) = λ ( α K ( ω ) ) ,

其中, α K ( ) 是关于K的高斯像 (具体定义参见第2节)。

高斯像问题。设 λ 是一个定义在 S n 1 上的Lebesgue可测集类上的子测度, μ 是定义在 S n 1 上的Borel子测度。对 λ , μ 是否存在充分条件和必要条件,使得存在一个凸体 K K o n S n 1 上的Borel集,满足

λ ( K , ) = μ

若满足要求的凸体存在,那么在什么程度上是唯一的?

高斯像测度 λ 与我们已知的很多测度存在联系。当 λ S n 1 上的Lebesgue测度时, λ ( K , ) 是凸体K的Aleksandrov积分曲率测度 [15],

λ ( K , ) = C 0 ( K , ) ,

λ 是某个凸体K的曲率测度 C n 1 ( K , ) 时,逆高斯像测度(详细定义参见第2节)就是表面积测度,即

λ * ( K , ) = S n 1 ( K , )

此外,Aleksandrov-Fenchel-Jessen的经典的表面积测度 [16] 以及最近发现的对偶曲率测度都是高斯像测度 [12]。这样,高斯像测度的引入就扩展了Minkowski问题的研究范围。

关于测度 λ 的对偶Entropy E ˜ λ ( K ) 的定义为

E ˜ λ ( K ) = S n 1 log ρ K ( v ) d λ ( v ) .

Borel测度 μ 是绝对连续的,指的是 μ 是关于球面Lebesgue测度绝对连续的。Böröczky-Lutwak-Yang-Zhang-Zhao [14] 在 μ 是绝对连续的假设下,证明了高斯像问题的解存在唯一性。

本文通过几何的方法,建立了关于 E ˜ λ ( K ) 的不等式和等号条件。在此基础上,利用 E ˜ λ ( K ) 的凹性,结合变分公式,我们给出高斯像测度唯一性的另一种证明。我们得到的结果如下:

定理A. 设 λ 是定义在 S n 1 上的Borel测度。 K , L K o n t [ 0 , 1 ] ,则

E ˜ λ ( ( 1 t ) K + 0 t L ) ( 1 t ) E ˜ λ ( K ) + t E ˜ λ ( L )

等号成立当且仅当 K , L 是膨胀的。

定理B. 设 λ S n 1 上绝对连续的Borel测度。 K , L K o n ,则

λ ( K , ) = λ ( L , )

当且仅当 K , L 是膨胀的。

2. 预备知识

在本节中,我们将给出一些关于凸体的术语和记号。对于凸几何分析来说,Gardner [16],Gruber [17] 以及Schneider [2] 的书都可以作为极好的参考。

对于 x , y n ,我们将其内积记为 x , y 。将x的模长记为 | x | = x , x 。单位球面 { x n : | x | = 1 } S n 1 表示。以原点为中心的单位球 { x n : | x | 1 } 记为B, ω n 是B的体积, n ω n 是B的表面积。V是n维勒贝格测度。 μ 是一个测度, | μ | = μ ( S n 1 )

凸体是 n 中内部非空的紧凸集。对于 K K o n ,它的支撑函数 h K

h K ( u ) = max { x , u : x K } .

α > 0 x n { 0 } ,凸体K的径向函数 ρ K 的定义为

ρ K ( x ) = max { α : α x K } .

设K是 n 中的凸体,对于 v n { 0 } ,K的以v为外法向量的支撑平面按如下方式定义

H K ( v ) = { x n : x , v = h K ( v ) } .

K K o n K ,若对于任意的 x K ,线段 [ 0 , x ] K ,则称K是关于原点o的星集。当一个星集的径向函数为正的且连续时,称该星集为星体。 n 中所有包含原点的星体组成一个星体类,记为 S o n

C + ( S n 1 ) 是定义在 S n 1 上的正向函数类。对每一个 f C + ( S n 1 ) ,由f生成的Wulff形记为 [ f ] ,其定义为

[ f ] = { x n : x , v f ( v ) , v S n 1 } .

对于任意的 K K o n ,易证 h [ f ] f 以及 [ h K ] = K

Ω S n 1 是一个不包含 S n 1 上任意闭半球面的闭集。若 h : Ω ( 0 , ) f : Ω 是连续的, δ > 0 以及

log h t ( v ) = log h ( v ) + t f ( v ) + o ( t , v ) ,

其中,对每一个 t ( δ , δ ) ,函数 o ( t , ) : Ω 是连续的,且 lim t 0 o ( t , ) / t = 0 Ω 上是一致。

对于函数 h t 生成的wulff形 [ h t ] ,我们也称 [ h t ] 是由 ( K , f ) 生成的Wulff 形。当h是某个凸体K的支撑函数时,我们也将 [ h t ] 写为 [ K , f ] [ K , f , t ]

g : Ω 是连续的, δ > 0 ,对每一个 t ( δ , δ ) ρ t : Ω ( 0 , ) 是连续的,以及

log ρ t ( u ) = log ρ ( u ) + t g ( u ) + o ( t , u ) ,

其中,函数 o ( t , ) : Ω 是连续的,且 lim t 0 o ( t , ) / t = 0 Ω 上是一致。

将由函数 ρ t 生成的凸包定义为

ρ t = c o n v { ρ t ( u ) u : u S n 1 } ,

ρ t 是由 ( ρ , g ) 生成的对数族的凸包。如果 ρ 恰好是某个凸体的径向函数,就将 ρ t 记为 K , g ,并称 K , g 是由 ( K , g ) 生成的对数族的凸包。

α ( 0 , 1 ) ,星体的 L p 对偶组合 ( 1 α ) K + ˜ p α L (参见 [14] )按如下方式定义

( 1 α ) K + ˜ p α L = { t u : 0 t ( ( 1 α ) ρ K p ( u ) + α ρ L p ( u ) ) 1 p , u S n 1 } , p 0

在上式中,对括号中的不等式的最右边取极限就得到了 p = 0 的情形,此时上式函数变为 ρ K 1 α ρ L α

对任意 K K o n K * 是K的极体,其定义为

K * = { x n : x , y 1 , y K } ,

注意到 K * K o n ,由 K * 的定义,我们有

ρ K = 1 h K * , h K = 1 ρ K * (2.1)

由此易得

K * * = K

对于 K , L K o n ,如果存在 c > 0 使得

K = c L

则称K和L是膨胀的。

σ K 的球面像的定义为

υ K ( σ ) = { v S n 1 : x H K ( v ) , x σ } S n 1

对于 K K o n u S n 1 ,将K的径向映射(radial map)定义为

r K : S n 1 K , r K ( u ) = ρ K ( u ) u K ,

其中 K 表示K的边界集。

对于 ω S n 1 ,定义 ω 的径向高斯像为

α K ( ω ) = υ K ( r K ( ω ) ) S n 1 .

类似地,对于 η S n 1 α K * ( η ) 表示逆径向高斯像,它是所有径向方向 u S n 1 的集合,对于边界点 ρ K ( u ) u 可以在 η 中至少找到一个元素v,作为边界点 ρ K ( u ) u 的外法向量,即

α K * ( η ) = { u S n 1 : α K ( u ) η } .

λ 是定义在 S n 1 的Lebesgue可测子集的子测度, K K o n 。对任意的Borel集 ω S n 1 λ 关于K的高斯像测度 λ ( K , ) 可以定义为

λ ( K , ω ) = λ ( α K ( ω ) ) .

对于每一个Borel集 ω S n 1 λ * ( K , ω ) 表示逆高斯像测度,其定义为

λ * ( K , ω ) = λ ( α K * ( ω ) ) = λ ( α K * ( ω ) ) .

对于任意的 c > 0 λ ( K , ) λ * ( K , ) 都是膨胀不变的,即

λ ( c K , ) = λ ( K , ) , λ * ( c K , ) = λ * ( K , )

此外,关于 λ ( K , ) λ * ( K , ) 的关系,

λ * ( K , ) = λ ( K * , ) (2.2)

K K o n , [14] 还给出了关于测度 λ 的K的对数体积 λ 0 ( K )

λ 0 ( K ) = exp { 1 | λ | S n 1 log ρ K ( u ) d λ ( u ) } .

由对数体积 λ 0 ( K ) 和关于 λ 的对偶Entropy的定义,有下式成立

E ˜ λ ( K ) = | λ | log λ 0 ( K ) (2.3)

引理2.1 ( [14],引理4.2) 设 λ S n 1 上绝对连续的Borel测度, K K o n f , g : S n 1 是连续的,若 K , g 是一个由 ( K , g ) 生成的对数族的凸包,则

d d t log λ 0 ( K , f , t * ) | t = 0 = 1 | λ | S n 1 g ( u ) d λ ( K , u )

[ K , f ] 是由 ( K , f ) 生成的Walff形,则

d d t log λ 0 ( [ K , f , t ] ) | t = 0 = 1 | λ | S n 1 f ( u ) d λ * ( K , u )

引理2.2 设 λ S n 1 上绝对连续的Borel测度, K , L K o n ,则

lim t 0 E ˜ λ ( ( 1 t ) K + 0 t L ) E ˜ λ ( K ) t = S n 1 log h L ( u ) h K ( u ) d λ ( K * , v )

证明. 对充分小的 δ > 0 t ( δ , δ ) ,令 h t = h K 1 t h L t ,所以 log h t = log h K + t ( log h L log h K ) ,则 f = log h L log h K ,由关于函数 h t 的Wulff形的定义可知,

[ K , f , t ] = ( 1 t ) K + 0 t L ,

f是连续的,结合引理2.1,(2.2)式以及(2.3)式,立即得证。

3. 关于高斯像测度的 Brunn-Minkowski不等式

引理3.1的证明我们已经在另一篇文章里给出了。在这里,考虑到文章的完整性,我们也给出证明。引理3.1给出的是一般的情形,取 p = 0 立即就得到了我们想要的结果。在本节中,我们假设 K , L K o n

引理3.1 设 p , α [ 0 , 1 ] ,则

( 1 α ) K + ˜ p α L ( 1 α ) K + p α L , (3.1)

等号成立当且仅当K和L是膨胀的。

证明. 第一步:不等式(3.1)。注意到 ( 1 α ) K + ˜ p α L 是一个星体。为了证明(3.1),只需要证明对任意的 v S n 1 ,有

x , v h ( 1 α ) K + p α L ( v ) , x ( ( 1 α ) K + ˜ p α L ) (3.2)

因为 ρ K ( u ) u K , ρ L ( u ) u L , u S n 1 ,我们有

ρ K ( u ) u , v h K ( v ) , ρ L ( u ) u , v h L ( v ) , v S n 1

如果 u , v 0 , p 0 ,我们有

( ( 1 α ) ρ K p ( u ) + α ρ L p ( u ) ) 1 p u , v ( ( 1 α ) h K p ( u ) + α h L p ( u ) ) 1 p ,

u , v < 0 ,则上面的不等式显然成立。由此可得,在 p 0 时,对任意的 ( 1 α ) K + ˜ p α L 的边界点,(3.2)成立。

令上面不等式的 p 0 ,我们得到

ρ K 1 α ( u ) ρ L α ( u ) u , v h K 1 α ( v ) h L α ( v ) ,

p = 0 时,(3.2)成立。

第二步:等号条件。现在我们假设在(3.1)中的等号成立。我们只给出 p 0 时的证明, p = 0 的情况是类似的。对于任意的方向 u S n 1 ,边界点 ( ( 1 α ) ρ K p ( u ) + α ρ L p ( u ) ) 1 p u 必有一个外法向量v,则

( ( 1 α ) ρ K p ( u ) + α ρ L p ( u ) ) 1 p u , v = ( ( 1 α ) h K p ( v ) + α h L p ( v ) ) 1 p ,

由此可得

ρ K ( u ) u , v = h K ( v ) ,以及 ρ L ( u ) u , v = h L ( v )

所以我们证明了对任意方向 u S n 1 ,边界点 ρ K ( u ) u K 和边界点 ρ L ( u ) u L 具有共同的法向量v。所以K和L必是膨胀的。

反之,如果K和L是膨胀的,(3.1)的等号显然成立。

定理3.2 设 λ S n 1 上的Borel测度, K , L K o n t [ 0 , 1 ] ,则

E ˜ λ ( ( 1 t ) K + 0 t L ) ( 1 t ) E ˜ λ ( K ) + t E ˜ λ ( L ) ,

等号成立当且仅当 K , L 是膨胀的。

证明. 由引理3.1以及 E ˜ λ ( ) 定义,我们有

E ˜ λ ( ( 1 t ) K + 0 t L ) = S n 1 log ρ ( 1 t ) K + 0 t L ( u ) d λ ( u ) S n 1 log ρ ( 1 t ) K + ˜ 0 t L ( u ) d λ ( u ) = S n 1 log ρ K 1 t ( u ) ρ L t ( u ) d λ ( u ) = ( 1 t ) E ˜ λ ( K ) + t E ˜ λ ( L )

由引理3.1的等号条件,等号成立当且仅当 K , L 是膨胀的。

4. 高斯像测度的唯一性

定理4.1 设 λ S n 1 上绝对连续的Borel测度。 K , L K o n ,则

λ ( K , ) = λ ( L , )

当且仅当 K , L 是膨胀的。

证明. 对于 t [ 0 , 1 ] ,定义函数 F ( t ) : = E ˜ λ ( ( 1 t ) K * + 0 t L * ) ,由定理3.2可知,函数 F ( t ) 是凹的。由引理2.2可知,函数 F ( t ) t = 0 处是可微的。由函数 F ( t ) 的凹性,我们可以得到不等式

F ( 0 ) F ( 1 ) F ( 0 ) .

λ ( K , ) = λ ( L , ) 时,如果K和L不是膨胀的,我们就得到严格的不等式

F ( 0 ) > F ( 1 ) F ( 0 ) .

由上面得到的严格不等式, K * * = K 以及引理2.2,我们有

S n 1 log h L * ( v ) h K * ( v ) d λ ( K , v ) > E ˜ λ ( L * ) E ˜ λ ( K * ) (4.1)

S n 1 log h K * ( v ) h L * ( v ) d λ ( L , v ) > E ˜ λ ( K * ) E ˜ λ ( L * ) (4.2)

将(4.1)式和(4.2)式相加,我们可以得到 0 > 0 ,矛盾。

反过来,当K和L是膨胀的,即 K = c L ( c > 0 ) ,由 λ ( K , ) 的膨胀不变性,结果是显然的。

注:在另一文章中,我们已经得到了关于对偶均质积分 W ˜ n q ( K , ) 的Brunn-Minkowsk不等式,并利用其刻画了 ( p , q ) -次对偶曲率测度 C ˜ p , q ( K , ) 的唯一性。

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