1. 引言
三角函数由于其性质的特殊性 [1],使得这类积分往往是比较困难的。在三角函数积分的计算中,我们教材中提到一般是用万能变换和变量替换的方法。但对于某些题目来说,经过变化就会更为复杂,更不利于积分的计算了。所以我们需要根据被积函数的特征,选取适合的方法进行求解。本文介绍了几种常用的积分计算方法,有利于化简被积函数从而提高做题效率。
2. 一般区间上的三角函数的定积分的算法
2.1. 利用三角函数恒等变形 [2]
当不定积分中的被积函数都是三角函数时,一般说来,不易直接看出求解方法,往往需先对被积函数作恒等变形,至于如何去变形,则需从实践中不断总结经验,变形过程中常用到三角函数的基本关系式、积化和差公式、倍角或半角公式等。
例:计算积分
。
解:因为
2.2. 利用变量代换 [3]
被积函数有
、
、
等,通过转化被积函数就转化为含有新的变量的函数。一般形式如
、
、
、
等可以用变量代换的方法。
例:求
。
解:由于
,设
,
。
则有
。
.
把
,
代入,
解得
。
2.3. 万能换元法 [4]
一般积分形式有
,此类积分一般通过万能替换
,则可以得到
,
,
.
例:计算积分:
。
解:令
,则
,
。从而
把
代入解得
。
注意:万能换元法,不要滥用万能公式。例如
用万能公式做反而麻烦,用三角恒等变形和变量的方法,则更为简单。
2.4. 利用被积函数奇偶性
考虑被积函数在积分区间上的奇偶性可以减少计算步骤,大大提高做题效率。
定理 [4]:
证明若
为
上的连续函数,则有
;
解:用换元的方法做
,则
;
例:计算积分
。
解:因为
,所以有
例:计算积分
。
解:令
,则
因为
在
上是偶函数,故可以写成
(在用万能变换
)
2.5. 利用递推公式
计算形如
这样的积分。
例 [5]:计算积分若
,证明当
,时有
解:
化简,因此,
。
同理可以把
提到
就可以得到第二个公式
.
3. 一类特殊区间上的三角函数定积分的算法
定理二1:记
,根据定理一则有
,则可以证明
证明:由于刚才而基础知识可以知道
而我们已知
;
;
,经过反复的递推就可以得到了。
注意:我们这个公式所的区间必须是要求在
上。对与三角函数在
,
我们通过三角函数的对称性就可以得到了。
例:计算积分
。
解:利用上面的公式
。
4. 结论
关于三角函数的定积分的计算技巧有很多种,因为方法灵活多样,就需要我们今后在练习中不断发现、积累、总结,达到能够根据被积函数的特征,选取最合适的方法进行求解。同时也希望我们在今后的学习中能探究更多的解题方法,提高三角函数定积分解题的效率。
NOTES
1李扬数学分析强化讲义[Z],2021。