基于模糊直觉不确定语言信息的工程决策方法研究

Research on Engineering Decision Making Method Based on Fuzzy Intuitionistic Uncertain Linguistic Information

摘要: 工程决策的完成需要人们先对基本指标进行相应评价，再综合给出相应结论。但专家评价过程中，往往使用定性语言，本文将定性的语言表达与直觉不确定语言术语集的理论相结合，提出模糊直觉不确定语言术语集的概念。本文理论可以细腻刻画决策者的犹豫程度和决策环境的不确定性，并给出模糊直觉不确定语言术语的运算规则、比较方法和集成算子。进而给出相应的决策方法，并通过算例分析表明了该方法工程决策问题中的可行性。

Abstract: To successfully complete an engineering decision making, individuals must first analyze the fundamental indices and then synthesize the related findings. Qualitative language, on the other hand, is frequently utilized in expert evaluation. By merging qualitative language expression and the idea of intuitionistic uncertain language term sets, this article proposes the concept of fuzzy intuitionistic uncertain language term set. The theory presented in this article can precisely explain the degree of hesitation of the choice maker and the uncertainty of the decision environment, as well as the operation rules, comparison procedures, and integration operators for fuzzy intuitionistic uncertain language words. Then the appropriate decision procedure is presented, and the approach’s applicability to engineering choice problems is proven through an examination of a numerical example.

1. 引言

工程决策实际上作为一个相对程序较多的过程，涉及的领域较多，为了给工程决策提供更多的参考方案，把决策理论应用到这个领域来是很好的解决手段。比如工程项目地址的选择问题 [1]，工程项目的方案选择问题，技术方案的选择等 [2] [3]，应用决策理论的知识对其进行分析，给出具有一定理论支撑的决策方案，帮助企业在工程项目中获得相应的保障。

随着决策理论的不断发展，基于多个专家的决策理论不断被更新，一些数学模型也被引入到工程决策的实际中。但在实际过程中，由于工程问题的复杂性，决策者对问题的描述以及对各项指标的评价往往不是定量的，而是定性的语。同时因为决策者的心里犹豫也要考虑实际决策过程中，基于不确定语言信息的群决策方法日益受到人们的关注。模糊集 [4] 在被提出之后，学者们不断对其进行优化改进，Atanassov通过隶属度和非隶属度对模糊性的刻画，提出了直觉模糊集概念 [5]。同时语言型的多属性群决策问题也不断引起学者们的关注，文献 [6] [7] [8] 通过假设隶属函数，基于拓展原理将评价信息转化成模糊数进行分析。文献 [9] [10] [11] 利用符号转移方法，设计有序语言计算模型，但是这个方法容易丢失一些信息。文献 [12] [13] [14] 为了避免信息丢失设计二维模型对评价进行刻画表达，但是这个方法使得表述形式更加繁琐，不太适用于工程决策问题。

目前已有的关于语言术语集的理论的研究文献中，大多是针对属性值的隶属度和非隶属度均为数值即为定量的情况，由于决策者们通常受到自身经验因素以及外界复杂环境影响，容易产生犹豫不确定的心理波动，评价结果也应该要体现对这个犹豫程度的刻画。因此以定性的语言评价来表达属性值的隶属度和非隶属度，在便于直观表示评价的同时，能更好地刻画人类思维的模糊不确定本质以及描述客观世界的不确定性。结合上述分析，本文给出模糊直觉不确定语言术语的概念，并根据直觉不确定语言术语集理论，对其运算法则进行了相应验证。在此基础上提出FIULTWA算子、FIULTOWA算子和FIULTHA算子，并得到相应决策方法。

2. 主要结果

2.1. 模糊直觉不确定语言术语及运算

2.1.1. 模糊直觉不确定语言术语

定义2.1设 $L=\left\{l_0,l_1,\cdots ,l_{2\tau }\right\}$ 为语言评价集， $\hat{L}$ 为L上的扩展语言评价集， $\tilde{L}$ 为所有不确定语言术语构成的语言集，对 $\left[l_{\theta \left(x\right)},l_{\eta \left(x\right)}\right]\in \tilde{L}$，X为一给定论域，则称 $G=\left\{\langle x\left[\left[l_{\theta \left(x\right)},l_{\eta \left(x\right)}\right],\left(l_{\alpha \left(x\right)}^u,l_{\beta \left(x\right)}^v\right)\right]\rangle |x\in X,l_{\alpha \left(x\right)}^u,l_{\beta \left(x\right)}^v\in \hat{L}\right\}$ 为X上的模糊直觉不确定语言术语集，其中 $l_{\alpha \left(x\right)}^u,l_{\beta \left(x\right)}^v$

分别表示x隶属于和非隶属于不确定语言评价值 $\left[l_{\theta \left(x\right)},l_{\eta \left(x\right)}\right]$ 的程度。称 $l_{\alpha \left(x\right)}^u$ 为 $\left[l_{\theta \left(x\right)},l_{\eta \left(x\right)}\right]$ 的隶属语言值， $l_{\beta \left(x\right)}^v$ 为非隶属语言值，且 $l_{\alpha \left(x\right)}^u,l_{\beta \left(x\right)}^v$ 满足条件 $0\le \alpha \left(x\right)+\beta \left(x\right)\le 2\tau$。

语言评价 $l_{\gamma \left(x\right)}^{\pi }=neg\left(l_{\alpha \left(x\right)+\beta \left(x\right)}\right)$ 则表示元素x属于不确定语言评价值 $\left[l_{\theta \left(x\right)},l_{\eta \left(x\right)}\right]$ 的犹豫度，称为犹豫语言值。 $l_{\gamma \left(x\right)}^{\pi }$ 越大，表示所给评价体现出来的犹豫程度越大； $l_{\gamma \left(x\right)}^{\pi }$ 越小，表示所给评价体现出来的犹豫程度越小。特别地，当 $l_{\gamma \left(x\right)}^{\pi }=l_0$ 时， $l_{\alpha \left(x\right)}^u\oplus l_{\beta \left(x\right)}^v=l_{2\tau }$，则表示不存在犹豫性。

定义2.2设 $G=\left\{\langle x\left[\left[l_{\theta \left(x\right)},l_{\eta \left(x\right)}\right],\left(l_{\alpha \left(x\right)}^u,l_{\beta \left(x\right)}^v\right)\right]\rangle |x\in X,l_{\alpha \left(x\right)}^u,l_{\beta \left(x\right)}^v\in \hat{L}\right\}$ 为模糊直觉不确定语言术语集，则三

元组 $\langle \left[l_{\theta \left(x\right)},l_{\eta \left(x\right)}\right],\left(l_{\alpha \left(x\right)}^u,l_{\beta \left(x\right)}^v\right)\rangle$ 称为模糊直觉不确定语言术语。G可以看作模糊直觉不确定语言术语的集合，故G又可以表示为：

$G=\left\{\langle \left[l_{\theta \left(x\right)},l_{\eta \left(x\right)}\right],\left(l_{\alpha \left(x\right)}^u,l_{\beta \left(x\right)}^v\right)\rangle |x\in X,l_{\alpha \left(x\right)}^u,l_{\beta \left(x\right)}^v\in \hat{L}\right\}$

为简便表示，以下模糊直觉不确定语言术语G可以写为 $G=\langle \left[l_{\theta },l_{\eta }\right],\left(l_{\alpha }^u,l_{\beta }^v\right)\rangle$。

2.1.2. 模糊直觉不确定语言术语的运算

本文将直觉不确定语言数的运算法则进行推广，得到关于模糊直觉不确定语言术语的加法、乘法、数乘的基本运算如下。

定义2.3对任意两个模糊直觉不确定语言术语 $g_1=\langle \left[l_{{\theta }_1},l_{{\eta }_1}\right],\left(l_{{\alpha }_1}^u,l_{{\beta }_1}^v\right)\rangle$ 和 $g_2=\langle \left[l_{{\theta }_2},l_{{\eta }_2}\right],\left(l_{{\alpha }_2}^u,l_{{\beta }_2}^v\right)\rangle$，一些基本运算法则如下，其中 $\lambda \ge 0$ ：

$g_1\hat{\oplus }{g}_2=\langle \left[l_{{\theta }_1+{\theta }_2},l_{{\eta }_1+{\eta }_2}\right],\left(l_{2\tau }-\left(l_{2\tau }-l_{{\alpha }_1}^u\right)\otimes \left(l_{2\tau }-l_{{\alpha }_2}^u\right),l_{{\beta }_1}^v\otimes l_{{\beta }_2}^v\right)\rangle$ ；

$g_1\hat{\otimes }{g}_2=\langle \left[l_{{\theta }_1\times {\theta }_2},l_{{\eta }_1\times {\eta }_2}\right],\left(l_{{\alpha }_1}^u\otimes l_{{\alpha }_2}^u,l_{2\tau }-\left(l_{2\tau }-l_{{\beta }_1}^v\right)\otimes \left(l_{2\tau }-l_{{\beta }_2}^v\right)\right)\rangle$ ；

$\lambda g_1=\langle \left[l_{\lambda {\theta }_2},l_{\lambda {\eta }_1}\right],\left(l_{2\tau }-{\left(l_{2\tau }-l_{{\alpha }_1}^u\right)}^{\lambda },{\left(l_{{\beta }_1}^v\right)}^{\lambda }\right)\rangle$ ；

$g_1{}^{\lambda }=\langle \left[l_{{\theta }_1{}^{\lambda }},l_{{\eta }_1{}^{\lambda }}\right],\left({\left(l_{{\alpha }_1}^u\right)}^{\lambda },l_{2\tau }-{\left(l_{2\tau }-l_{{\beta }_1}^v\right)}^{\lambda }\right)\rangle$。

其中基本语言的运算仍然遵循语言术语集的规则 [15]，且上述定义的计算结果，仍为模糊直觉不确定语言术语。则对于任意两个模糊直觉不确定语言术语 $g_1$ 和 $g_2$，有如下计算法则成立：

a) $g_1\hat{\oplus }{g}_2=g_2\hat{\oplus }{g}_1$ ；

b) $g_1\hat{\otimes }{g}_2=g_2\hat{\otimes }{g}_1$ ；

c) $\lambda \left(g_1\hat{\oplus }{g}_2\right)=\lambda g_1\hat{\oplus }\lambda g_2$， $\lambda \ge 0$ ；

d) ${\lambda }_1{g}_1\hat{\oplus }{\lambda }_2{g}_1=\left({\lambda }_1+{\lambda }_2\right)g_1$， ${\lambda }_1,{\lambda }_2\ge 0$ ；

e) $g_1{}^{{\lambda }_1}\hat{\otimes }{g}_1{}^{{\lambda }_2}={\left(g_1\right)}^{{\lambda }_1+{\lambda }_2}$， ${\lambda }_1,{\lambda }_2\ge 0$ ；

f) $g_1{}^{{\lambda }_1}\hat{\otimes }{g}_2{}^{{\lambda }_1}={\left(g_1\hat{\otimes }{g}_2\right)}^{{\lambda }_1}$。

2.1.3. 模糊直觉不确定语言术语的比较

为比较两个模糊直觉不确定语言术语，利用记分函数和精确函数对直觉模糊值的比较思想，以及记分函数和精确函数的一些拓展形式，本文给出如下定义。

定义2.4设 $g_1=\langle \left[l_{{\theta }_1},l_{{\eta }_1}\right],\left(l_{{\alpha }_1}^u,l_{{\beta }_1}^v\right)\rangle$ 为模糊直觉不确定语言术语，则称 $Ec\left(g_1\right)$ 为 $g_1$ 的期望值，形式如下：

$Ec\left(g_1\right)=\frac{1}{4\tau }\left(l_{{\alpha }_1}^u\oplus l_{2\tau }-l_{{\beta }_1}^v\right)\otimes l_{\left({\theta }_1+{\eta }_1\right)/2}=l_{\left({\theta }_1+{\eta }_1\right)\times \left({\alpha }_1+2\tau -{\beta }_1\right)/8\tau }$ (1)

其中 $Ec\left(g_1\right)\in \left[l_0,l_{{\eta }_1}\right]$， $Ec\left(g_1\right)$ 越大， $g_1$ 就越大。特别地，如果 $Ec\left(g_1\right)=l_{{\eta }_1}$，那么 $g_1$ 取最大值， $g_1=\langle \left[l_{{\eta }_1},l_{{\eta }_1}\right],\left(l_{2\tau },l_0\right)\rangle$。如果 $Ec\left(g_1\right)=l_0$，那么 $g_1$ 取最小值， $g_1=\langle \left[l_{{\theta }_1},l_{{\theta }_1}\right],\left(l_0,l_{2\tau }\right)\rangle$。

定义2.5设 $g_1=\langle \left[l_{{\theta }_1},l_{{\eta }_1}\right],\left(l_{{\alpha }_1}^u,l_{{\beta }_1}^v\right)\rangle$ 为模糊直觉不确定语言术语，则 $Sc\left(g_1\right)$ 称为 $g_1$ 的记分函数，如下式所示：

$Sc\left(g_1\right)=l_{\left({\theta }_1+{\eta }_1\right)/2}\otimes \left(l_{{\alpha }_1}^u-l_{{\beta }_1}^v\right)=l_{\left({\theta }_1+{\eta }_1\right)\times \left({\alpha }_1-{\beta }_1\right)/2}$ (2)

定义2.6设 $g_1=\langle \left[l_{{\theta }_1},l_{{\eta }_1}\right],\left(l_{{\alpha }_1}^u,l_{{\beta }_1}^v\right)\rangle$ 为模糊直觉不确定语言术语，则称为的精确函数，

$Hc\left(g_1\right)=l_{\left({\theta }_1+{\eta }_1\right)/2}\otimes \left(l_{{\alpha }_1}^u\oplus l_{{\beta }_1}^v\right)=l_{\left({\alpha }_1+{\beta }_1\right)\times \left({\theta }_1+{\eta }_1\right)/2}$ (3)

基于以上分析，结合直觉模糊值的比较思想，本文拓展给出一种模糊直觉不确定语言术语的比较排序方法。

定义2.7设 $g_1$ 和 $g_2$ 为任意两个模糊直觉不确定语言术语，则有：

1) 如果 $Ec\left(g_1\right)\succ Ec\left(g_2\right)$，那么 $g_1\succ g_2$ ；

2) 如果 $Sc\left(g_1\right)\succ Sc\left(g_2\right)$，那么 $g_1\succ g_2$ ；

3) 如果 $Ec\left(g_1\right)=Ec\left(g_2\right)$， $Sc\left(g_1\right)=Sc\left(g_2\right)$ ；那么进一步，

如果 $Hc\left(g_1\right)\succ Hc\left(g_2\right)$，那么 $g_1\succ g_2$ ；

如果 $Hc\left(g_1\right)=Hc\left(g_2\right)$，那么 $g_1=g_2$。

2.2. 模糊直觉不确定语言术语集结算子

根据之前研究，至今为止形如梯形语言术语、三角模糊语言术语、不确定语言术语以及语言术语，均有可以有适应的集结算子对其进行集结。但针对模糊直觉不确定语言术语，现在有的语言集结算子还不能直接使用。因此，根据上述基于模糊直觉不确定语言术语的运算规则，以及根据WA算子和OWA算子的特点；本文将推广到模糊直觉不确定语言环境中，提出模糊直觉不确定语言术语相关集结算子。

定义2.8设 $g_i=\langle \left[l_{{\theta }_i},l_{{\eta }_i}\right],\left(l_{{\alpha }_i}^u,l_{{\beta }_i}^v\right)\rangle \left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 是一组模糊直觉不确定语言术语，若 $FIULTWA:{\tilde{L}}^n\to \tilde{L}$，满足：

$FIULTW{A}_{\omega }\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)={\omega }_1{g}_1\hat{\oplus }{\omega }_2{g}_2\hat{\oplus }\cdots \hat{\oplus }{\omega }_n{g}_n$ (4)

其中， $\omega ={\left({\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n\right)}^{\text{T}}$ 是 $g_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 的加权向量，且 ${\omega }_i\in \left[0,1\right]$， ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\omega }_i}=1$。那么，就称FIULTWA为模糊直觉不确定语言术语的加权算术平均算子。特别地，如果 $\omega ={\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n},\cdots ,\frac{1}{n}\right)}^{\text{T}}$，则称FIULTWA为模

糊直觉不确定语言术语的算术平均算子。

定理2.1设 $g_i=\langle \left[l_{{\theta }_i},l_{{\eta }_i}\right],\left(l_{{\alpha }_i}^u,l_{{\beta }_i}^v\right)\rangle \left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 是一组模糊直觉不确定语言术语，则公式(6)的计算结果仍为模糊直觉不确定语言术语，且有：

$\begin{array}{l}FIULTW{A}_{\omega }\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)={\omega }_1{g}_1\hat{\oplus }{\omega }_2{g}_2\hat{\oplus }\cdots \hat{\oplus }{\omega }_n{g}_n\\ =\langle \left[l_{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\omega }_i{\theta }_i}},l_{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{\omega }_i{\eta }_i}}\right],\left(l_{2\tau -{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{\left(2\tau -{\alpha }_i\right)}^{{\omega }_i}}}^u,l_{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{\beta }_i{}^{{\omega }_i}}}^v\right)\rangle \end{array}$ (5)

其中， $\omega ={\left({\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n\right)}^{\text{T}}$ 是 $g_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 的加权向量，且 ${\omega }_i\in \left[0,1\right]$， ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\omega }_i}=1$。

定义2.9设 $g_i=\langle \left[l_{{\theta }_i},l_{{\eta }_i}\right],\left(l_{{\alpha }_i}^u,l_{{\beta }_i}^v\right)\rangle \left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 是一组模糊直觉不确定语言术语，若 $FIULTOWA:{\tilde{L}}^n\to \tilde{L}$，满足：

$FIULTOW{A}_w\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)=w_1{g}_{{\sigma }_1}\hat{\oplus }{w}_2{g}_{{\sigma }_2}\hat{\oplus }\cdots \hat{\oplus }{w}_n{g}_{{\sigma }_n}$ (6)

其中， $w={\left(w_1,w_2,\cdots ,w_n\right)}^{\text{T}}$ 是FIULTOWA算子相关联的加权向量，且 $w_i\in \left[0,1\right]$， ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i}=1$。 $\left({\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_n\right)$ 是 $\left(1,2,\cdots ,n\right)$ 的一个置换，是的对任意的i有 $g_{{\sigma }_{i+1}}\underset{\_}{\succ }{g}_{{\sigma }_i}$。则称FIULTOWA为模糊直觉不确定术语的有序加权平均算子．特别地，如果 $w={\left(\frac{1}{n},\frac{1}{n},\cdots ,\frac{1}{n}\right)}^{\text{T}}$，那么FIULTOWA算子就退化为FIULTWA算子。

依据遇到的问题不同也有w不同的确定，通常采用如下公式。

1) 可由下式计算：

$w_i=Q\left(\frac{i}{n}\right)-Q\left(\frac{i-1}{n}\right)$， $i=1,2,\cdots ,n$ (7)

式中，模糊语义量化算子Q由下式给出：

$Q\left(z\right)=\{\begin{array}{l}0,z<c\\ \frac{z-c}{d-c},c\le z\le d\\ 1,z>d\end{array}$ (8)

其中 $c,d,z\in \left[0,1\right]$，模糊语义取值与量化标准关系 [11]，见表1。

Table 1. The corresponding standard of fuzzy semantic quantization standard

表1. 模糊语义量化标准的对应标准

w位置加权向量可由组合数确定，计算公式如下：

$w_{i+1}=\frac{C_{n-1}^i}{2^{n-1}}$， $i=0,1,\cdots ,n-1$ (9)

定理2.2设 $g_i=\langle \left[l_{{\theta }_i},l_{{\eta }_i}\right],\left(l_{{\alpha }_i}^u,l_{{\beta }_i}^v\right)\rangle \left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 是一组模糊直觉不确定语言术语，则公式(6)的计算结果仍为模糊直觉不确定语言术语，且有：

$\begin{array}{l}FIULTOW{A}_w\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)=w_1{g}_{{\sigma }_1}\hat{\oplus }{w}_2{g}_{{\sigma }_2}\hat{\oplus }\cdots \hat{\oplus }{w}_n{g}_{{\sigma }_n}\\ =\langle \left[l_{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{w}_i{\theta }_{{\sigma }_i}}},l_{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{w}_i{\eta }_{{\sigma }_i}}}\right],\left(l_{2\tau -{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{\left(2\tau -{\alpha }_{{\sigma }_i}\right)}^{w_i}}}^u,l_{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{\beta }_{{\sigma }_i}{}^{w_i}}}^v\right)\rangle \end{array}$ (10)

容易证明算子具有如下性质：

性质2.1 (单调性)设两组模糊直觉不确定语言术语为 $\left({g^{\prime }}_1,{g^{\prime }}_2,\cdots ,{g^{\prime }}_n\right)$ 和 $\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)$，在权重向量不变的情况下，若对所有 $i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$，有 ${g^{\prime }}_i\underset{\_}{\succ }{g}_i$ 成立，则：

$FIULTOW{A}_w\left({g^{\prime }}_1,{g^{\prime }}_2,\cdots ,{g^{\prime }}_n\right)\underset{\_}{\succ }FIULTOW{A}_w\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)$

性质2.2 (幂等性)设模糊不确定直觉语言术语 $g_i=g$， $i=1,2,\cdots ,n$，则：

$FIULTOW{A}_w\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)=g$

性质2.3 (有界性)设一组模糊直觉不确定语言术语为 $\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)$，则有：

$\min \left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)\underset{\_}{\prec }FIULTOW{A}_w\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)\underset{\_}{\prec }\max \left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)$

性质2.4 (置换不变性)设 $\left({g^{\prime }}_1,{g^{\prime }}_2,\cdots ,{g^{\prime }}_n\right)$ 是 $\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)$ 的任一置换，即：

$FIULTOW{A}_w\left({g^{\prime }}_1,{g^{\prime }}_2,\cdots ,{g^{\prime }}_n\right)=FIULTOW{A}_w\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)$

由于FIULTWA算子和FIULTOWA算子分别考虑了每个语言标度的自身重要性程度和语言标度所在位置进行的赋权，二者均具片面性。为此，下面将引进模糊直觉不确定混合平均算子，对上述两算子进行改进。

定义2.10设 $g_i=\langle \left[l_{{\theta }_i},l_{{\eta }_i}\right],\left(l_{{\alpha }_i}^u,l_{{\beta }_i}^v\right)\rangle \left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 是一组模糊直觉不确定语言术语，若 $FIULTHA:{\tilde{L}}^n\to \tilde{L}$，满足：

$FIULTH{A}_{w,\omega }\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)=w_1{b}_{{\sigma }_1}\hat{\oplus }{w}_2{b}_{{\sigma }_2}\hat{\oplus }\cdots \hat{\oplus }{w}_n{b}_{{\sigma }_n}$ (11)

其中， $w={\left(w_1,w_2,\cdots ,w_n\right)}^{\text{T}}$ 是与FIULTHA相关联的权重向量，且 $w_i\in \left[0,1\right]$， ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_i}=1$ ； $b_{{\sigma }_i}$ 为加权模糊直

觉不确定语言术语 $b_k\left(k=1,2,\cdots ,n\right)$ 中第k大元素， $b_{{\sigma }_i}=n{\omega }_k{g}_k\left(k=1,2,\cdots ,n\right)$，n为平衡因子， $\omega ={\left({\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n\right)}^{\text{T}}$ 为 $g_k\left(k=1,2,\cdots ,n\right)$ 的加权向量，且 $w_k\in \left[0,1\right]$， ${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}{\omega }_k}=1$。则称，FIULTHA为模糊直

觉不确定语言混合加权平均算子。

定理2.3设 $g_i=\langle \left[l_{{\theta }_i},l_{{\eta }_i}\right],\left(l_{{\alpha }_i}^u,l_{{\beta }_i}^v\right)\rangle \left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 是一组模糊直觉不确定语言术语，则公式(11)的计算结果仍为模糊直觉不确定语言术语，且有：

$\begin{array}{l}FIULTH{A}_{w,\omega }\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)=w_1{b}_{{\sigma }_1}\hat{\oplus }{w}_2{b}_{{\sigma }_2}\hat{\oplus }\cdots \hat{\oplus }{w}_n{b}_{{\sigma }_n}\\ =\langle \left[l_{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{w}_i{\theta }_{b_{{\sigma }_i}}}},l_{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^n{w}_i{\eta }_{b_{{\sigma }_i}}}}\right],\left(l_{2\tau -{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{\left(2\tau -{\alpha }_{b_{{\sigma }_i}}\right)}^{w_i}}}^u,l_{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{\beta }_{b_{{\sigma }_i}}{}^{w_i}}}^v\right)\rangle \end{array}$ (12)

定理2.5 FIULTWA算子和FIULTOWA算子分别是FIULTHA算子的特例。

3. 基于模糊直觉不确定语言术语的群决策方法

对于一个模糊直觉不确定语言MAGDM问题，设 $C=\left\{C_1,C_2,\cdots ,C_n\right\}$ 为属性集， $A=\left\{A_1,A_2,\cdots ,A_m\right\}$ 表示方案集， $E=\left\{E_1,E_2,\cdots ,E_p\right\}$ 表示群决策中的专家集； $\lambda ={\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_p\right)}^{\text{T}}$ 表示决策专家的相应权重，且 ${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{p}{\sum }}{\lambda }_k}=1$ ； $\omega ={\left({\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n\right)}^{\text{T}}$ 表示属性权重向量，且 ${\omega }_j\ge 0$， ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\omega }_j}=1$。假设，专家 $E_k$ 给出决策方案 $A_i$ 在属性 $C_j$ 下的评价用模糊直觉不确定语言术语表示，为 $R_{ij}^k=\langle \left[l_{{\theta }_{ij}^k},l_{{\eta }_{ij}^k}\right],\left(l_{{\alpha }_{ij}^k}^u,l_{{\beta }_{ij}^k}^v\right)\rangle$，其中， $l_{{\theta }_{ij}^k},l_{{\eta }_{ij}^k},l_{{\alpha }_{ij}^k}^u,l_{{\beta }_{ij}^k}^v$ 均为 $L=\left\{l_0,l_1,\cdots ,l_{2\tau }\right\}$ 中的元素 $\left[l_{{\theta }_{ij}^k},l_{{\eta }_{ij}^k}\right]\in \tilde{L}$， $\tilde{L}$ 为所有不确定语言术语构成的语言集，且 $0\le {\alpha }_{ij}^k+{\beta }_{ij}^k\le 2\tau$， $\left(i=1,2,\cdots ,m;j=1,2,\cdots ,n;k=1,2,\cdots p\right)$。即决策专家给出的决策矩阵为 $R^k={\left[R_{ij}^k\right]}_{m\times n}$，下面给出一种基于模糊直觉不确定语言的MAGDM方法步骤，具体过程如下给出：

步骤1利用FIULTWA算子对决策矩阵 $R^k={\left[R_{ij}^k\right]}_{m\times n}$ 中第i行的属性值进行集成，从而得到专家 $E_k$ 对方案 $A_i$ 的综合属性值 $R_i^k$。

$R_i^k=FIULTW{A}_{\omega }\left(R_{i1}^k,R_{i2}^k,\cdots ,R_{in}^k\right)$

步骤2利用FIULTHA算子对p位专家给出 $A_i$ 的综合属性值 $R_i^k$ 进行集成，得到 $A_i$ 的群体综合属性值 $R_i$。

$R_i=FIULTH{A}_{w,\lambda }\left(R_i^1,R_i^2,\cdots ,R_i^p\right)=w_1{b}_{i{\sigma }_1}\hat{\oplus }{w}_2{b}_{i{\sigma }_2}\hat{\oplus }\cdots \hat{\oplus }{w}_p{b}_{i{\sigma }_p}$

其中， $w={\left(w_1,w_2,\cdots ,w_n\right)}^{\text{T}}$ 是与FIULTHA相关的加权向量，由公式(7)计算得出，且 $w_k\in \left[0,1\right]$， ${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{p}{\sum }}{w}_k}=1$ ； $b_{i{\sigma }_k}$ 为加权模糊直觉不确定语言术语 $b_{ik}$ 中第k大元素 $\left(k=1,2,\cdots ,p\right)$， $b_{ik}=p{\lambda }_k{R}_i^k$。

步骤3利用定义2.4，定义2.5，定义2.6分别计算 $R_i$ 的期望值 $Ec\left(R_i\right)$ 、记分函数值 $Sc\left(R_i\right)$ 和精确函数值 $Hc\left(R_i\right)$， $i=1,2,\cdots ,m$。

步骤4根据定义2.7，对 $A_i\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$ 进行排序，从而得到最佳方案。

4. 算例分析

为了响应国家最新环保政策，广西某燃煤电厂需要进行改造，要达到在基准氧含量为6%时SO₂的排放量在35 gm/Nm³以下的国家标准。但是用于烟气脱硫的设施要对原有机组的系统进行较大的改造，同时新设施的维护费用较高。电厂在选择合适的脱硫技术方案时，既要保障企业的利润，更要满足国家的环保要求。该燃煤电厂根据自身的机组情况，以及企业可以投入的资金，参考其他省市的脱硫方案，制定了四种备选的脱硫方案：喷雾干燥法脱硫、石膏湿法脱硫、氨法脱硫、循环流化床法脱硫。这四种方案各有优缺点，为了选出最合适的脱硫方案，该燃煤电厂咨询了由多位脱硫专家、生产部工程师和咨询顾问构成的3个专家组 $\left\{E_1,E_2,E_3\right\}$。通过对燃煤参数的调研以及对该电厂汽包锅炉系统构造的调研，专家组根据Delphi Method原则，以及评价指标体系的构造原则，最终确定燃煤电厂脱硫环保改造工程的4项评价指标分别为：技术性、安全性、经济性和环保性。专家组采用语言术语集 $L=\left\{l_0,l_1,l_2,l_3,l_4,l_5,l_6\right\}$ = {很低，低，稍微低，一般，稍高，高，很高}的表达形式，对该燃煤电厂机组的脱硫环保改造工程的四个备选方案进行评价，其结果见表2。其中，3个专家组的权重为 $\lambda =\left(0.4,0.35,0.25\right)$，备选方案分别用 $A_1$ 表示喷雾干燥法脱硫， $A_2$ 表示石膏湿法脱硫， $A_3$ 表示氨法脱硫， $A_4$ 表示氨法脱硫。评价体系为分别用 $C_1$ 表示技术性， $C_2$ 表示安全性， $C_3$ 表示经济性， $C_4$ 表示环保性。

Table 2. The results of the evaluation of the alternatives presented by the expert group

表2. 专家组给出的备选方案的评价结果

决策步骤如下：

步骤1利用FIULTWA算子对决策矩阵 $R^k={\left[R_{ij}^k\right]}_{m\times n}$ 中第i行的属性值进行集成，从而得到专家组 $\left\{E_1,E_2,E_3\right\}$ 对方案 $A_i$ 的综合属性值 $R_i^k$，结果见表3。

Table 3. The comprehensive attribute value R i k of scheme A i

表3. 方案 $A_i$ 的综合属性值 $R_i^k$

步骤2利用FIULTHA算子对p位专家给出 $A_i$ 的综合属性值 $R_i^k$ 进行集成，得到 $A_i$ 的群体综合属性值 $R_i$ ；其中，位置向量w由公式(9)计算得到， $w=\left(0.25,0.5,0.25\right)$，则得到：

$R_1=\langle \left[l_{3.9},l_{4.4}\right]\left(l_{0.9}^u,l_{3.6}^v\right)\rangle$， $R_1=\langle \left[l_{3.8},l_{4.6}\right]\left(l_{1.4}^u,l_{3.3}^v\right)\rangle$

$R_3=\langle \left[l_{3.5},l_{4.2}\right]\left(l_{0.5}^u,l_{3.7}^v\right)\rangle$， $R_4=\langle \left[l_{3.6},l_{4.1}\right]\left(l_{1.3}^u,l_{3.1}^v\right)\rangle$

步骤3利用定义2.4，计算 $R_i$ 的期望值 $Ec\left(R_i\right)$，得到：

$Ec\left(R_1\right)=l_{1.2}$， $Ec\left(R_2\right)=l_{1.5}$

$Ec\left(R_3\right)=l_{0.9}$， $Ec\left(R_4\right)=l_{1.4}$

步骤4根据定义2.7，对方案 $A_i\left(i=1,2,3,4\right)$ 进行排序，得到 $A_2\succ A_4\succ A_1\succ A_3$，从而得到 $A_2$ 最佳方案。

通过决策方法的计算得到最优方案为 $A_2$ 方案，也就是该燃煤电厂应该使用石膏湿法脱硫来改造机组。通过算例结果发现， $A_4$ 的相关期望值跟 $A_2$ 方案较为接近，也可以把氨法脱硫方案作为备选改造方案，或者把石膏湿法脱硫与氨法脱硫方案组合进行改造。该方法优势在于比较细致地考虑了评价的模糊性，充分考虑了专家组在决策时候的心理因素，即犹豫不确定性。最终能为燃煤电厂最终改造方案的决策提供合理且有意义的参考建议。

5. 结论

本文对直觉不确定语言术语集进行拓展，定义了模糊直觉不确定语言术语，进而推导出相应的算子以及决策方法。该方法能很好地刻画人类思维的模糊本质以及决策者的犹豫性。由于工程决策一直是工程管理方面的非常复杂的过程，涉及内容繁多，企业在做决策的同时容易丢失一些信息，未考虑到一些主观的干扰因素，因此本文提供的方法为工程决策提供了非常有益且合理的决策思路以及参考。

基金项目

2021年度广西高校中青年教师科研基础能力提升项目，基于决策者风险偏好的区间直觉模糊多属性决策方法研究，2021KY1563。

参考文献

附录

定理2.1证明：当 $n=1$ 时，结论直接由定义4.3和相关结果可得．下面用数学归纳法证明式(4.2)

(1) 当 $n=2$ 时，由于

${\omega }_1{g}_1=\langle \left[l_{{\omega }_1{\theta }_1},l_{{\omega }_1{\eta }_1}\right],\left(l_{2\tau }-{\left(l_{2\tau }-l_{{\alpha }_1}^u\right)}^{{\omega }_1},{\left(l_{{\beta }_1}^v\right)}^{{\omega }_1}\right)\rangle =\langle \left[l_{{\omega }_1{\theta }_1},l_{{\omega }_1{\eta }_1}\right],\left(l_{2\tau -{\left(2\tau -{\alpha }_1\right)}^{{\omega }_1}}^u,l_{{\beta }_1{}^{{\omega }_1}}^v\right)\rangle$

${\omega }_2{g}_2=\langle \left[l_{{\omega }_2{\theta }_2},l_{{\omega }_2{\eta }_2}\right],\left(l_{2\tau }-{\left(l_{2\tau }-l_{{\alpha }_2}^u\right)}^{{\omega }_2},{\left(l_{{\beta }_2}^v\right)}^{{\omega }_2}\right)\rangle =\langle \left[l_{{\omega }_2{\theta }_2},l_{{\omega }_2{\eta }_2}\right],\left(l_{2\tau -{\left(2\tau -{\alpha }_2\right)}^{{\omega }_2}}^u,l_{{\beta }_2{}^{{\omega }_2}}^v\right)\rangle$

则，

$\begin{array}{l}FIULTW{A}_{\omega }\left(g_1,g_2\right)=\langle \left[l_{{\omega }_1{\theta }_1},l_{{\omega }_1{\eta }_1}\right],\left(l_{2\tau -{\left(2\tau -{\alpha }_1\right)}^{{\omega }_1}}^u,l_{{\beta }_1{}^{{\omega }_1}}^v\right)\rangle \hat{\oplus }\langle \left[l_{{\omega }_2{\theta }_2},l_{{\omega }_2{\eta }_2}\right],\left(l_{2\tau -{\left(2\tau -{\alpha }_2\right)}^{{\omega }_2}}^u,l_{{\beta }_2{}^{{\omega }_2}}^v\right)\rangle \\ =\langle \left[l_{{\omega }_1{\theta }_1+{\omega }_2{\theta }_2},l_{{\omega }_1{\eta }_1+{\omega }_2{\eta }_2}\right],\left(l_{2\tau -\left[2\tau -\left(2\tau -{\left(2\tau -{\alpha }_1\right)}^{{\omega }_1}\right)\right]\times \left[2\tau -\left(2\tau -{\left(2\tau -{\alpha }_2\right)}^{{\omega }_2}\right)\right]}^u,l_{{\beta }_1{}^{{\omega }_1}\times {\beta }_2{}^{{\omega }_2}}^v\right)\rangle \\ =\langle \left[l_{{\omega }_1{\theta }_1+{\omega }_2{\theta }_2},l_{{\omega }_1{\eta }_1+{\omega }_2{\eta }_2}\right],\left(l_{2\tau -{\left(2\tau -{\alpha }_1\right)}^{{\omega }_1}{\left(2\tau -{\alpha }_2\right)}^{{\omega }_2}}^u,l_{{\beta }_1{}^{{\omega }_1}{\beta }_2{}^{{\omega }_2}}^v\right)\rangle \end{array}$

(2) 当 $n=k$ 时，式(5)成立，即

$\begin{array}{l}FIULTW{A}_{\omega }\left(g_1,g_2,\cdots ,g_k\right)={\omega }_1{g}_1\hat{\oplus }{\omega }_2{g}_2\hat{\oplus }\cdots \hat{\oplus }{\omega }_k{g}_k\\ =\langle \left[l_{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^k{\omega }_i{\theta }_i}},l_{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^k{\omega }_i{\eta }_i}}\right],\left(l_{2\tau -{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\prod }}{\left(2\tau -{\alpha }_i\right)}^{{\omega }_i}}}^u,l_{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\prod }}{\beta }_i{}^{{\omega }_i}}}^v\right)\rangle \end{array}$

则，当 $n=k+1$ 时，由定义2.3中的(1)和(3)可得

$\begin{array}{l}FIULTW{A}_{\omega }\left(g_1,g_2,\cdots ,g_k,g_{k+1}\right)={\omega }_1{g}_1\hat{\oplus }{\omega }_2{g}_2\hat{\oplus }\cdots \hat{\oplus }{\omega }_k{g}_k\hat{\oplus }{\omega }_{k+1}{g}_{k+1}\\ =\langle \left[l_{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^k{\omega }_i{\theta }_i}},l_{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^k{\omega }_i{\eta }_i}}\right],\left(l_{2\tau -{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\prod }}{\left(2\tau -{\alpha }_i\right)}^{{\omega }_i}}}^u,l_{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\prod }}{\beta }_i{}^{{\omega }_i}}}^v\right)\rangle \hat{\oplus }\langle \left[l_{{\omega }_{k+1}{\theta }_{k+1}},l_{{\omega }_{k+1}{\eta }_{k+1}}\right],\left(l_{2\tau -{\left(2\tau -{\alpha }_{k+1}\right)}^{{\omega }_{k+1}}}^u,l_{{\beta }_{k+1}{}^{{\omega }_{k+1}}}^v\right)\rangle \\ =\langle \left[l_{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^k{\omega }_i{\theta }_i}+{\omega }_{k+1}{\theta }_{k+1}},l_{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^k{\omega }_i{\eta }_i}+{\omega }_{k+1}{\eta }_{k+1}}\right],\left(l_{2\tau -\left[2\tau -\left(2\tau -{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\prod }}{\left(2\tau -{\alpha }_i\right)}^{{\omega }_i}}\right)\right]\times \left[2\tau -\left(2\tau -{\left(2\tau -{\alpha }_{k+1}\right)}^{{\omega }_{k+1}}\right)\right]}^u,l_{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\prod }}{\beta }_i{}^{{\omega }_i}}\times {\beta }_{k+1}{}^{{\omega }_{k+1}}}^v\right)\rangle \\ =\langle \left[l_{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{\omega }_i{\theta }_i}},l_{{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{k+1}{\omega }_i{\eta }_i}}\right],\left(l_{2\tau -{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k+1}{\prod }}{\left(2\tau -{\alpha }_i\right)}^{{\omega }_i}}}^u,l_{{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k+1}{\prod }}{\beta }_i{}^{{\omega }_i}}}^v\right)\rangle \end{array}$

即，当 $n=k+1$ 时，式(5)也成立，综合上述步骤(1)和(2)可知，对一切n，式(5)均成立。

定理2.2和定理2.3的证明过程与定理2.1的类似，此处从略。

性质2.1证明：因为 $FIULTOW{A}_w\left({g^{\prime }}_1,{g^{\prime }}_2,\cdots ,{g^{\prime }}_n\right)=w_1{g^{\prime }}_{{\sigma }_1}\hat{\oplus }{w}_2{g^{\prime }}_{{\sigma }_2}\hat{\oplus }\cdots \hat{\oplus }{w}_n{g^{\prime }}_{{\sigma }_n}$， $FIULTOW{A}_w\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)=w_1{g}_{{\sigma }_1}\hat{\oplus }{w}_2{g}_{{\sigma }_2}\hat{\oplus }\cdots \hat{\oplus }{w}_n{g}_{{\sigma }_n}$，对所有的i，有 ${g^{\prime }}_i\underset{\_}{\succ }{g}_i$，也就有 ${g^{\prime }}_{{\sigma }_i}\underset{\_}{\succ }{g}_{{\sigma }_i}$，所以 $FIULTOW{A}_w\left({g^{\prime }}_1,{g^{\prime }}_2,\cdots ,{g^{\prime }}_n\right)\underset{\_}{\succ }FIULTOW{A}_w\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)$。

性质2.2证明：

$\begin{array}{c}FIULTOW{A}_w\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)=w_1{g}_{{\sigma }_1}\hat{\oplus }{w}_2{g}_{{\sigma }_2}\hat{\oplus }\cdots \hat{\oplus }{w}_n{g}_{{\sigma }_n}\\ =w_{1}g\hat{\oplus }{w}_{2}g\hat{\oplus }\cdots \hat{\oplus }{w}_{n}g\\ =\left(w_1+w_2+\cdots +w_n\right)g\\ ={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_{j}g}=g{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{w}_j}=g\end{array}$

性质2.3证明：假设 $a=\min \left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)$， $b=\max \left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)$，由于对于所有的i，有 $a\underset{\_}{\prec }{g}_i$，根据性质1，有 $FIULTOW{A}_w\left(a,a,\cdots ,a\right)\underset{\_}{\prec }FIULTOW{A}_w\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)$。根据性质2，有 $FIULTOW{A}_w\left(a,a,\cdots ,a\right)=a$，所以 $a\underset{\_}{\prec }FIULTOW{A}_w\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)$。

同理， $FIULTOW{A}_w\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)\underset{\_}{\prec }b$ ；

故 $a\underset{\_}{\prec }FIULTOW{A}_w\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)\underset{\_}{\prec }b$ ；

即 $\min \left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)\underset{\_}{\prec }FIULTOW{A}_w\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)\underset{\_}{\prec }\max \left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)$ 成立。

性质2.4证明：因为 $FIULTOW{A}_w\left({g^{\prime }}_1,{g^{\prime }}_2,\cdots ,{g^{\prime }}_n\right)=w_1{g^{\prime }}_{{\sigma }_1}\hat{\oplus }{w}_2{g^{\prime }}_{{\sigma }_2}\hat{\oplus }\cdots \hat{\oplus }{w}_n{g^{\prime }}_{{\sigma }_n}$， $FIULTOW{A}_w\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)=w_1{g}_{{\sigma }_1}\hat{\oplus }{w}_2{g}_{{\sigma }_2}\hat{\oplus }\cdots \hat{\oplus }{w}_n{g}_{{\sigma }_n}$，而 $\left({g^{\prime }}_1,{g^{\prime }}_2,\cdots ,{g^{\prime }}_n\right)$ 是 $\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)$ 的任一置换，有 $g_{{\sigma }_i}={g^{\prime }}_{{{\sigma }^{\prime }}_i}$，所以， $FIULTOW{A}_w\left({g^{\prime }}_1,{g^{\prime }}_2,\cdots ,{g^{\prime }}_n\right)=FIULTOW{A}_w\left(g_1,g_2,\cdots ,g_n\right)$。