幻阵的规范化定义

The Standard Definition of Magic Matrix

摘要: 幻阵是具有限定条件的矩阵，其在组合设计、工程安排及统计学中都有着十分重要的应用。幻阵一词首次使用已无从查考，但自从幻阵概念开始使用至2000年，幻阵只是一个符号，但对于其理论并未做深入的工作，在此前提下，利用矩阵结合公式化的条件及限定集合给出各类幻阵的规范化定义。

Abstract: Magic matrix is a matrix of restricted conditions, which has very important applications in combinatorial design, engineering arrangement and statistics. The term “magic matrix” was used for the first time. However, since the concept of magic matrix was first used until 2000, magic matrix is only a symbol. However, no in-depth work has been done on its theory. In this paper, the standard definitions of all kinds of magic matrices are given by using the matrix combined with conditions of fortification and restricted sets.

1. 引言

由于幻方界的专家们对于幻阵定义的规范性重视不够，因而造成其它学科或者数学分支的专家及幻方爱好者对幻方界褒贬不一，为了改变这种状态，刘娟娟等在2018年的《第二届国际幻方论坛》上提出了文献 [1]，并在会议结束后将建议提交国家自然科学科学名词审定委员会办公室，同时在对幻方界的科学名词术语进行科学规范化的同时，也将对科学名词的定义进行规范化。以下是在对现有文献 [2] - [15] 中定义的基础上归纳总结后，根据概念规范化的原则，对相关定义进行补充及完善并形成完整的规范化定义。在下文中将对和幻阵、积幻阵及和积幻阵的相关定义分别给出其规范化的形式。

2. 主要内容

为了定义的方便，我们先给出以下几个集合

$S_1=\left\{i|i\left(i=1,2,\cdots ,n^2\right)\right\}$

$S_{\text{2}}=\left\{a+i|i\left(i=1,2,\cdots ,n^2\right),a\in Z\right\}$

$S_3=\left\{a_i|a_i=i\left(i=1,2,\cdots ,n^2\right),a_i\ne a_j\left(i\ne j;i,j=1,2,\cdots ,n^2\right)\right\}$

$S_4=\left\{{\delta }_i{k}_i|k_i=i,{\delta }_i=1或者-1\left(i=1,2,\cdots ,n^2\right)\right\}$

下文中出现的F是数域。

2.1. 和幻阵的规范定义

定义2.1.1设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}\in F^{m\times n}$，如果 $A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)=S_r\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_i}\left(m,1\right)\right)$，则称矩阵A为F上的 $m\times n$ 阶行和幻阵，并称S_r为F上的 $m\times n$ 阶行和幻阵A的行幻和。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和幻阵，并称S_r为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和幻阵A的行幻和。

定义2.1.2设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}\in F^{m\times n}$，如果 $\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_j}\left(1,m\right)\right)A=S_c\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)$，则称矩阵A为F上的 $m\times n$ 阶列和幻阵，并称S_c为F上的 $m\times n$ 阶列和幻阵A的列幻和。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和幻阵，并称S_c为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和幻阵A的列幻和。

定义2.1.3设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}\in F^{m\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) $A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)=S_r\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_i}\left(m,1\right)\right)$，

2) $\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_j}\left(1,m\right)\right)A=S_c\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)$，

则称矩阵A为F上的 $m\times n$ 阶行和列和幻阵，并称S_r为F上的 $m\times n$ 阶行和列和幻阵A的行幻和，S_c为F上的 $m\times n$ 阶行和列和幻阵A的列幻和。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和列和幻阵，并称S_r为F上的 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和列和幻阵A的行幻和，S_c为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和列和幻阵A的列幻和。

定义2.1.4设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}\in F^{n\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) $A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)=S\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)$，

2) $\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)A=S\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)$，

则称矩阵A为F上的n阶弱和幻方，并称S为F上的n阶弱和幻方A的幻和。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)弱和幻方，并称S为F上的n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)弱和幻方A的幻和。

定义2.1.5设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}\in F^{n\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) $A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)=S\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)$，

2) $\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)A=S\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)$，

3) $\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(1,n\right)\right)A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)=S$，

4) $\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(1,n\right)\right)A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{n+1-i}}\left(n,1\right)\right)=S$，

则称矩阵A为F上的n阶和幻方，并称S为F上的n阶和幻方A的幻和。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)和幻方，并称S为F上的n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)和幻方A的幻和。

定义2.1.6设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}\in F^{n\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) $A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)=S\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)$，

2) $\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)A=S\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)$，

3) $\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(1,n\right)\right)A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)=S$，

4) $\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(1,n\right)\right)A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{n+1-i}}\left(n,1\right)\right)=S$，

5) $\forall k\in \left\{0,1,2,\cdots ,n-1\right\}$，都有 $\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(1,n\right)\right)A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{\left(i+k\right)\left(\mathrm{mod}n\right)}}\left(n,1\right)\right)=S$，

6) $\forall k\in \left\{0,1,2,\cdots ,n-1\right\}$，都有 $\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(1,n\right)\right)A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{\left(k-i+1\right)\left(\mathrm{mod}n\right)}}\left(n,1\right)\right)=S$，

则称矩阵A为F上的n阶完美和幻方，并称S为F上的n阶完美和幻方A的幻和。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)完美和幻方，并称S为F上的n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)完美和幻方A的幻和。

2.2. 积幻阵的规范定义

定义2.2.1设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}\in F^{m\times n}$，如果 ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P_r\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$，则称矩阵A为F上的 $m\times n$ 阶行积幻阵，并称P_r为F上的 $m\times n$ 阶行积幻阵A的行幻积。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行积幻阵，并称P_r为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行积幻阵A的行幻积。

定义2.2.2设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}\in F^{m\times n}$，如果 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\prod }}{a}_{ij}}=P_c\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$，则称矩阵A为F上的 $m\times n$ 阶列积幻阵，并称P_c为F上的 $m\times n$ 阶列积幻阵A的列幻积。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列积幻阵，并称P_c为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列积幻阵A的列幻积。

定义2.2.3设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}\in F^{m\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P_r\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$，

2) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\prod }}{a}_{ij}}=P_c\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$，

则称矩阵A为F上的 $m\times n$ 阶行列积幻阵，并称P_r为F上的 $m\times n$ 阶行列积幻阵A的行幻积，P_c为F上的 $m\times n$ 阶行列积幻阵A的列幻积。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列积幻阵，并称P_r为F上的 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列积幻阵A的行幻积，P_c为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列积幻阵A的列幻积。

定义2.2.4设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}\in F^{n\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$，

2) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$，

则称矩阵A为F上的n阶弱积幻方，并称P为F上的n阶弱积幻方A的幻积。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)弱积幻方，并称P为F上的n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)弱积幻方A的幻积。

定义2.2.5设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}\in F^{n\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$，

2) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$，

3) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ii}}=P$，

4) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{i,n+1-i}}=P$，

则称矩阵A为F上的n阶积幻方，并称P为F上的n阶积幻方A的幻积。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)积幻方，并称P为F上的n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)积幻方A的幻积。

定义2.2.6设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}\in F^{n\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$，

2) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$，

3) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ii}}=P$，

4) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{i,n+1-i}}=P$，

5) $\forall k\in \left\{0,1,2,\cdots ,n-1\right\}$，都有 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{e}_i}A{e}_{\left(i+k\right)\left(\mathrm{mod}n\right)}^T=P$，

6) $\forall k\in \left\{0,1,2,\cdots ,n-1\right\}$，都有 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{e}_i}A{e}_{\left(k+1-i\right)\left(\mathrm{mod}n\right)}^T=P$，

(注意：在(5)及(6)中规定 $0\left(\mathrm{mod}n\right)=n$)

则称矩阵A为F上的n阶完美积幻方，并称P为F上的n阶完美积幻方A的幻积。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)完美积幻方，并称P为F上的n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)完美积幻方A的幻积，

2.3. 和积幻阵的规范定义

定义2.3.1设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}\in F^{m\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) $A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)=s_r\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_i}\left(m,1\right)\right)$，

2) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P_r\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$，

则称矩阵A为F上的 $m\times n$ 阶行和行积幻阵，并称S_r为F上的 $m\times n$ 阶行和行积幻阵A的行幻和，P_r为F上的 $m\times n$ 阶行和行积幻阵A的行幻积。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和行积幻阵，并称S_r为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和行积幻阵A的行幻和，P_r为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和行积幻阵A的行幻积。

定义2.3.2设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}\in F^{m\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) $A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)=S_r\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_i}\left(m,1\right)\right)$，

2) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\prod }}{a}_{ij}}=P_c\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$，

则称矩阵A为F上的 $m\times n$ 阶行和列积幻阵，并称S_r为F上的 $m\times n$ 阶行和列积幻阵A的行幻和，P_c为F上的 $m\times n$ 阶行和列积幻阵A的列幻积。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和列积幻阵，并称S_r为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和列积幻阵A的行幻和，P_c为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和列积幻阵A的列幻积。

定义2.3.3设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}\in F^{m\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) $A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)=S_r\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_i}\left(m,1\right)\right)$，

2) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P_r\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$，

3) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\prod }}{a}_{ij}}=P_c\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$，

则称矩阵A为F上的 $m\times n$ 阶行和行列积幻阵，并称S_r为F上的 $m\times n$ 阶行和行列积幻阵A的行幻和，P_r为F上的 $m\times n$ 阶行和行列积幻阵A的行幻积，P_c为 $m\times n$ 阶行和行列积幻阵A的列幻积。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和行列积幻阵，并称S_r为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和行列积幻阵A的行幻和，P_r为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和行列积幻阵A的行幻积，P_c为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和行列积幻阵A的列幻积。

定义2.3.4设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}\in F^{m\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) $\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_j}\left(1,m\right)\right)A=S_c\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)$，

2) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P_r\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$，

则称矩阵A为F上的 $m\times n$ 阶列和行积幻阵，并称S_c为F上的 $m\times n$ 阶列和行积幻阵A的列幻和，P_r为F上的 $m\times n$ 阶行和行积幻阵A的行幻积。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和行积幻阵，并称S_c为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和行积幻阵A的列幻和，P_r为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和行积幻阵A的行幻积。

定义2.3.5设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}\in F^{m\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) $\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_j}\left(1,m\right)\right)A=S_c\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)$，

2) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\prod }}{a}_{ij}}=P_c\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$，

则称矩阵A为F上的 $m\times n$ 阶列和列积幻阵，并称S_c为F上的 $m\times n$ 阶列和列积幻阵A的列幻和，P_c为F上的 $m\times n$ 阶列和列积幻阵A的列幻积。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和列积幻阵，并称S_c为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和列积幻阵A的列幻和P_c为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和列积幻阵A的列幻积。

定义2.3.6设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}\in F^{m\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) $\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_j}\left(1,m\right)\right)A=S_c\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)$，

2) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P_r\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$，

3) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\prod }}{a}_{ij}}=P_c\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$，

则称矩阵A为F上的 $m\times n$ 阶列和行列积幻阵，并称S_c为F上的 $m\times n$ 阶列和行列积幻阵A的列幻和，P_r为F上的 $m\times n$ 阶列和行列积幻阵A的行幻积，P_c为 $m\times n$ 阶列和行列积幻阵A的列幻积。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)则称矩阵A为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和行列积幻阵，并称S_c为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和行列积幻阵A的列幻和，P_r为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和行列积幻阵A的行幻积，P_c为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和行列积幻阵A的列幻积。

定义2.3.7设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}\in F^{m\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) $A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)=S_r\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_i}\left(m,1\right)\right)$，

2) $\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_j}\left(1,m\right)\right)A=S_c\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)$，

3) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P_r\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$，

则称矩阵A为F上的 $m\times n$ 阶行列和行积幻阵，并称S_r为F上的 $m\times n$ 阶行列和行积幻阵A的行幻和，S_c为F上的 $m\times n$ 阶行列和行积幻阵A的列幻和，P_r为F上的 $m\times n$ 阶行列和行积幻阵A的行幻积。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)则称矩阵A为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和行积幻阵，并称S_r为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和行积幻阵A的行幻和，S_c为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和行积幻阵A的列幻和，P_r为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和行积幻阵A的行幻积。

定义2.3.8设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}\in F^{m\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) $A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)=S_r\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_i}\left(m,1\right)\right)$，

2) $\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_j}\left(1,m\right)\right)A=S_c\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)$，

3) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\prod }}{a}_{ij}}=P_c\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$，

则称矩阵A为F上的 $m\times n$ 阶行列和列积幻阵，并称S_r为F上的 $m\times n$ 阶行列和列积幻阵A的行幻和，S_c为F上的 $m\times n$ 阶行列和列积幻阵A的列幻和，P_c为 $m\times n$ 阶行列和列积幻阵A的列幻积。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和列积幻阵，并称S_r为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和列积幻阵A的行幻和，S_c为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和列积幻阵A的列幻和，P_c为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和列积幻阵A的列幻积。

定义2.3.9设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}\in F^{m\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) $A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)=S_r\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_i}\left(m,1\right)\right)$，

2) $\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{E}_j}\left(1,m\right)\right)A=S_c\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)$，

3) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P_r\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$，

4) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\prod }}{a}_{ij}}=P_c\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$，

则称矩阵A为F上的 $m\times n$ 阶行列和行列积幻阵，并称S_r为F上的 $m\times n$ 阶行列和行列积幻阵A的行幻和，S_c为F上的 $m\times n$ 阶行列和行列积幻阵A的列幻和，P_r为 $m\times n$ 阶行列和行列积幻阵A的行幻积，P_c为 $m\times n$ 阶行列和行列积幻阵A的列幻积。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和行列积幻阵，并称S_r为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和行列积幻阵A的行幻和，S_c为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和行列积幻阵A的列幻和，P_r为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和行列积幻阵A的行幻积，P_c为 $m\times n$ 阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行列和行列积幻阵A的列幻积。

定义2.3.10设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}\in F^{n\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) $A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)=S_r\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)$，

2) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$，

3) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$，

则称矩阵A为F上的n阶行和弱积幻阵。并称S_r为F上的n阶行和弱积幻阵A的行幻和。P为F上的n阶行和弱积幻阵A的弱幻积。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和弱积幻阵，并称S_r为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和弱积幻阵A的行幻和，P为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)行和弱积幻阵A的弱幻积。

定义2.3.11设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}\in F^{n\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) $\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)A=S_c\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)$，

2) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$，

3) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$，

则称矩阵A为F上的n阶列和弱积幻阵。并称S_c为F上的n阶列和弱积幻阵A的列幻和。P为F上的n阶列和弱积幻阵A的弱幻积。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和弱积幻阵，并称S_c为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和弱积幻阵A的列幻和，P为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)列和弱积幻阵A的弱幻积。

定义2.3.12设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}\in F^{n\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) $A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)=S\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)$，

2) $\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)A=S\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)$，

3) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$，

4) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$，

则称矩阵A为F上的n阶弱和弱积幻阵。并称S为F上的n阶弱和弱积幻阵A的弱幻和。P为F上的n阶弱和弱积幻阵A的弱幻积。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)弱和弱积幻阵，并称S为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)弱和弱积幻阵A的弱幻和，P为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)弱和弱积幻阵A的弱幻积。

定义2.3.13设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}\in F^{n\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) $A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)=S\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)$，

2) $\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)A=S\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)$，

3) $\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(1,n\right)\right)A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)=S$，

4) $\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(1,n\right)\right)A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{n+1-i}}\left(n,1\right)\right)=S$，

5) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$，

6) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$，

则称矩阵A为F上的n阶和弱积幻阵。并称S为F上的n阶和弱积幻阵A的幻和。P为F上的n阶和弱积幻阵A的弱幻积。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)和弱积幻阵，并称S为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)和弱积幻阵A的幻和，P为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)和弱积幻阵A的弱幻积。

定义2.3.14设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}\in F^{n\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) $A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)=S\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)$，

2) $\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)A=S\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)$，

3) $\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(1,n\right)\right)A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)=S$，

4) $\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(1,n\right)\right)A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{n+1-i}}\left(n,1\right)\right)=S$，

5) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$，

6) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$，

7) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ii}}=P$，

8) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{i,n+1-i}}=P$，

则称矩阵A为F上的n阶和积幻方或者双重幻方。并称S为F上的n阶和积幻方或者双重幻方A的幻和。P为F上的n阶和积幻方或者双重幻方A的幻积。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)双重幻方，并称S为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)双重幻方A的幻和，P为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)双重幻方A的幻积。

定义2.3.15设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}\in F^{n\times n}$，如果矩阵A满足下列条件

1) $A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)=S\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)$，

2) $\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)A=S\left({\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_j}\left(1,n\right)\right)$，

3) $\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(1,n\right)\right)A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(n,1\right)\right)=S$，

4) $\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(1,n\right)\right)A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{n+1-i}}\left(n,1\right)\right)=S$，

5) $\forall k\in \left\{0,1,2,\cdots ,n-1\right\}$，都有 $\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(1,n\right)\right)A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{\left(i+k\right)\left(\mathrm{mod}n\right)}}\left(n,1\right)\right)=S$，

6) $\forall k\in \left\{0,1,2,\cdots ,n-1\right\}$，都有 $\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_i}\left(1,n\right)\right)A\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{E}_{\left(k-i+1\right)\left(\mathrm{mod}n\right)}}\left(n,1\right)\right)=S$，

7) ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$，

8) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ij}}=P\left(j=1,2,\cdots ,n\right)$，

9) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{ii}}=P$，

10) ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{a}_{i,n+1-i}}=P$，

11) $\forall k\in \left\{0,1,2,\cdots ,n-1\right\}$，都有 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{e}_i}A{e}_{\left(i+k\right)\left(\mathrm{mod}n\right)}^T=P$，

12) $\forall k\in \left\{0,1,2,\cdots ,n-1\right\}$，都有 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\prod }}{e}_i}A{e}_{\left(k+1-i\right)\left(\mathrm{mod}n\right)}^T=P$，

(注意：在(11)及(12)中规定 $0\left(\mathrm{mod}n\right)=n$)

则称矩阵A为F上的n阶完美和积幻方或者完美双重幻方。并称S为F上的n阶完美和积幻方或者完美双重幻方A的幻和。P为F上的n阶完美和积幻方或者完美双重幻方A的幻积。若把F换为S₁ (S₂, S₃, C, R, Q, Z, N, S₄)，则称矩阵A为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)完美双重幻方，并称S为n阶始元(连元，异元，复，实，有理，整数，自然数，类自然数)完美双重幻方A的幻和，P为n阶始元完美双重幻方A的幻积。

在新的幻方种类出现后会继续添加新类的规范性定义。