过指定顶点的四次B样条曲线及其应用

Quadratic B-Spline Curve of Passing Appointed Vertexes and Its Application

摘要: 本文构造了插值给定型值点序列P_i(i=0,1,2,3,4)指定点且与始末两边相切的四次B样条曲线，并以此四次B样条曲线为轴线的管道光滑拼接了轴线异面圆管道。该方法相较于三段连续的三次均匀B样条曲线为轴线的管道、插值于始末端点两段连续的三次均匀B样条曲线为轴线的管道、插值于两端点并与控制多边形的始末边相切的三次有理B样条曲线为轴线的管道，具有容易构造等特点。具有理论意义和应用价值。

Abstract: In this paper, we construct a quartic B-spline curve that is interpolated to the appointed vertexes of the fixed value point sequence P_i(i=0,1,2,3,4) and tangent to the start and end points of the control polygon. Circular tubes whose axes are in non-coplanar are smoothly blended by tube take a quartic B-spline curve as its axis. The results show that the method is better than that in which tubes are smoothly blended between smoothly connected three-segment continuous tubes with cubic uniform B-spline curves as its axis, and tubes are smoothly blended by two-segment continuous tubes whose axis is a cubic uniform B-spline curve interpolated at both the start and end vertexes, and tubes are smoothly blended by tube whose axis is a cubic rational B-spline curve interpolated at both ends and tangent to the start and end edges of the control polygon, which has theoretical significance and application value.

1. 引言

B样条方法具有表示与设计自由型曲线的强大功能。但是B样条曲线不过特征多边形的始末端点。我们在文 [1] 中，对于一段三次B样条曲线的控制顶点 $V_0,V_1,V_2,V_3$，在 $V_0{V}_1$ 的反向延长线上取 $V_{-1}$，在 $V_2{V}_3$ 的延长线上取 $V_4$，构造了过 $V_0$ 和 $V_3$ 的三段连续的三次均匀B样条曲线，并以此三段连续的三次均匀B样条曲线为轴线的三段光滑连接的管道光滑拼接了轴线异面管道。在文 [2] 中，构造了插值于给定型值点 $P_0,P_1,P_2,P_3$ 的始末点，且与始末边相切的一段三次有理B样条曲线，并将其应用于轴线异面圆管道拼接。而在文 [3] 中，构造了插值于给定型值点 $P_0,P_1,P_2,P_3,P_4$ 的始末点和点 $V_2$ 的两段连续的三次均匀B样条曲线，并将其应用于轴线异面椭圆管道拼接。三种方法各有其优缺点，三段连续的三次均匀B样条曲线为轴线的管道应用于轴线异面管道拼接，在圆管道的拼接光顺性好，但是应用于椭圆管道的拼接需要多次调整椭圆管道的走向，不宜应用；一段三次均匀有理B样条曲线为轴线应用于轴线异面管道拼接取决于权因子的选取，不适用于椭圆管道的拼接；插值于三点的两段连续的三次均匀B样条曲线应用于轴线异面管道的拼接曲线形状取决于点 $P_2$ 的选取。

本文研究两个轴线异面圆管道用过指定顶点的四次均匀B样条曲线为轴线的管道拼接问题。

设

${\Phi }_1:\{\begin{array}{l}x=x_1+a{N}_{11}\cos \phi +a{B}_{11}\sin \phi ,\\ y=y_1+b_{1}s+a{N}_{12}\cos \phi +a{B}_{12}\sin \phi ,\\ z=a{N}_{13}\cos \phi +a{B}_{13}\sin \phi .\end{array}$ 和 ${\Phi }_2:\{\begin{array}{l}x=a{N}_{21}\cos \phi +a{B}_{21}\sin \phi ,\\ y=y_2+a{N}_{22}\cos \phi +a{B}_{22}\sin \phi ,\\ z=z_2+c_{2}s+a{N}_{23}\cos \phi +a{B}_{23}\sin \phi .\end{array}\phi \in \left[0,2\pi \right]$ (1)

是两个轴线异面的圆管道的参数表示，其中a是两个轴线异面圆管道的半径， $N_i=\left(N_{i1},N_{i2},N_{i3}\right)$， $B_i=\left(B_{i1},B_{i2},B_{i3}\right),i=1,2$ 分别是 $s=0$ 和 $s=1$ 时的主法矢和副法矢。 $L_1$ 和 $L_2$ 是两个圆管道的轴线， $L_1$ 位于OXY平面上与X轴相交， $L_2$ 位于OYZ平面上与Y轴相交。

$L_1:\{\begin{array}{l}x=x_1+0\cdot s,\\ y=y_1+b_{1}s,\\ z=0+0\cdot s,\end{array}$ 和 $L_2:\{\begin{array}{l}x=0+0\cdot s,\\ y=y_2+b_{\text{2}}\cdot s,\\ z=z_2+c_{2}s.\end{array}$ (2)

是 $L_1$ 和 $L_2$ 的参数表示。

2. 过指定顶点的四次均匀B样条曲线

假设轴线异面管道轴线 $L_1$ 和 $L_2$ 是异面直线，为了便于表述取 $L_1$ 位于空间直角坐标系XOY平面内且与Y轴平行， $L_2$ 位于YOZ平面内且与Y轴相交，取 $L_1$ 上两点 $P_0$ 和 $P_1$， $L_2$ 上的两点 $P_3$ 和 $P_4$，适当选取 $P_2$，构成 $P_0,P_1,P_2,P_3,P_4$ 型值点序列。

定义1 设

$r_i\left(s\right)={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{4}{\sum }}{N}_{j,4}}\left(s\right)V_{i+j}$ (3)

是四次均匀B样条曲线段。其中 $N_{0,4}\left(s\right),N_{1,4}\left(s\right),N_{2,4}\left(s\right),N_{3,4}\left(s\right),N_{4,4}\left(s\right)$ 为四次均匀B样条基

$V_i,V_{i+1},V_{i+2},V_{i+3},V_{i+4}$

为特征多边形的顶点。

构造插值于 $P_0,P_2,P_4$，并在 $P_0$ 处与 $P_0{P}_1$ 相切，在 $P_4$ 处与 $P_3{P}_4$ 相切的四次均匀B样条曲线段，需满足：

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{24}{V}_0+\frac{11}{24}{V}_1+\frac{11}{24}{V}_2+\frac{1}{24}{V}_3=P_0,\\ N_{0,4}\left(a\right)V_0+N_{1,4}\left(a\right)V_1+N_{2,4}\left(a\right)V_2+N_{3,4}\left(a\right)V_3+N_{4,4}\left(a\right)V_4=P_2,\\ \frac{1}{24}{V}_1+\frac{11}{24}{V}_2+\frac{11}{24}{V}_3+\frac{1}{24}{V}_4=P_4,\\ -\frac{1}{6}{V}_0-\frac{1}{2}{V}_1+\frac{1}{2}{V}_2+\frac{1}{6}{V}_3=P_1-P_0,a\in \left(0,1\right)\\ -\frac{1}{6}{V}_1-\frac{1}{2}{V}_2+\frac{1}{2}{V}_3+\frac{1}{6}{V}_4=P_4-P_3.\end{array}$ (4)

反解出 $V_0,V_1,V_2,V_3,V_4$，得到以 $V_0,V_1,V_2,V_3,V_4$ 为控制顶点，插值于 $P_0,P_2,P_4$，并在 $P_0$ 处与 $P_0{P}_1$ 相切，在 $P_4$ 处与 $P_3{P}_4$ 相切的一段四次均匀B样条曲线段

$r\left(s\right)={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{4}{\sum }}{N}_{j,4}}\left(s\right)V_j$ (5)

这一段四次B样条曲线的形状与式(2)中参数a的选取和点 $P_2$ 的位置有关。

例1 设

${\Phi }_1:\{\begin{array}{l}x=5+\sin \phi ,\\ y=-5+s,\\ z=\cos \phi .\end{array}$ 和 ${\Phi }_2:\{\begin{array}{l}x=\sin \phi ,\\ y=5+\cos \phi ,\\ z=6+s.\end{array}\phi \in \left[0,2\pi \right]$

是两个轴线异面管道，轴线的参数表达式分别为

$L_1:\{\begin{array}{l}x=5,\\ y=-5+s,\\ z=0.\end{array}$ 和 $L_2:\{\begin{array}{l}x=0,\\ y=5,\\ z=6+s.\end{array}$

取 $L_1$ 上两点 $P_0=\left(5,-3,0\right)$ 和 $P_1=\left(0,5,0\right)$， $L_2$ 上的两点 $P_3=\left(0,5,0\right)$ 和 $P_4=\left(0,5,6\right)$，当 $a=\frac{1}{2}$ 时

1) 取 $P_2=\left(\frac{10}{3},\frac{5}{3},1\right)$，得到一段四次均匀B样条曲线

$\{\begin{array}{l}x=\frac{40}{3}{s}^3-\frac{50}{3}{s}^3-\frac{5}{3}s+5,\\ y=\frac{50}{3}{s}^4-\frac{145}{3}{s}^3+\frac{110}{3}{s}^2+5s+5,\\ z=-20s^4+34s^3-8s^2.\end{array}$

2) 取 $P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},1\right)$，得到一段四次均匀B样条曲线

$\{\begin{array}{l}x=10s^3-15s^3+5,\\ y=30s^4-75s^3+50s^2+5s-5,\\ z=-20s^4+34s^3-8s^2.\end{array}$

3) 取 $P_2=\left(\frac{5}{3},\frac{10}{3},1\right)$，得到一段四次均匀B样条曲线

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{40}{3}{s}^3+\frac{110}{3}{s}^3-\frac{85}{3}{s}^2+5,\\ y=\frac{130}{3}{s}^4-\frac{305}{3}{s}^3+\frac{190}{3}{s}^2+5s+5,\\ z=-20s^4+34s^3-8s^2.\end{array}$

三段B样条曲线与轴线拼接效果为图1所示：

Figure 1. When $a=\frac{1}{2}$, $P_2$ respectively $P_2=\left(\frac{10}{3},\frac{5}{3},1\right),P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},1\right),P_2=\left(\frac{5}{3},\frac{10}{3},1\right)$ for the axis blending effect diagram

图1. $a=\frac{1}{2}$， $P_2$ 分别为 $P_2=\left(\frac{10}{3},\frac{5}{3},1\right),P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},1\right),P_2=\left(\frac{5}{3},\frac{10}{3},1\right)$ 时轴线拼接效果图

例2 两个轴线异面管道同例1，轴线 $L_1$ 上两点 $P_0$ 和 $P_1$ 取 $P_0=\left(5,-3,0\right),P_1=\left(0,5,0\right)$， $L_2$ 上的两点 $P_3$ 和 $P_4$ 取 $P_3=\left(0,5,0\right),P_4=(0,5,6)$，当 $a=\frac{1}{3}$ 时

1) 取 $P_2=\left(\frac{10}{3},\frac{5}{3},\frac{1}{3}\right)$，得到一段四次均匀B样条曲线

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{5}{2}{s}^4+25s^3-\frac{45}{2}{s}^3+5,\\ y=\frac{135}{2}{s}^4-150s^3+\frac{175}{2}{s}^2+5s-5,\\ z=-\frac{63}{4}{s}^4+\frac{51}{2}{s}^3-\frac{15}{4}{s}^2.\end{array}$

2) 取 $P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},1\right)$，得到一段四次均匀B样条曲线

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{195}{8}{s}^4+\frac{235}{4}{s}^3-\frac{315}{8}{s}^3+5,\\ y=\frac{675}{8}{s}^4-\frac{735}{4}{s}^3+\frac{835}{8}{s}^2+5s-5,\\ z=-\frac{9}{4}{s}^4-\frac{3}{2}{s}^3+\frac{39}{4}{s}^2.\end{array}$

3) 取 $P_2=\left(\frac{5}{3},\frac{10}{3},\frac{5}{3}\right)$，得到一段四次均匀B样条曲线

$\{\begin{array}{l}x=-\frac{165}{4}{s}^4+\frac{185}{2}{s}^3-\frac{225}{4}{s}^3+5,\\ y=\frac{405}{4}{s}^4-\frac{435}{2}{s}^3+\frac{485}{4}{s}^2+5s-5,\\ z=\frac{45}{4}{s}^4-\frac{57}{2}{s}^3+\frac{93}{4}{s}^2.\end{array}$

三段B样条曲线与轴线拼接效果为图2所示：

Figure 2. When $a=\frac{1}{3}$, $P_2$ respectively $P_2=\left(\frac{10}{3},\frac{5}{3},1\right),P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},1\right),P_2=\left(\frac{5}{3},\frac{10}{3},1\right)$ for the axis blending effect diagram

图2. $a=\frac{1}{3}$， $P_2$ 分别为 $P_2=\left(\frac{10}{3},\frac{5}{3},\frac{1}{3}\right),P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},1\right),P_2=\left(\frac{5}{3},\frac{10}{3},\frac{5}{3}\right)$ 时轴线拼接效果图

例3 两个轴线异面管道同例1，轴线 $L_1$ 上两点 $P_0$ 和 $P_1$ 取 $P_0=\left(5,-3,0\right),P_1=\left(0,5,0\right)$， $L_2$ 上的两点 $P_3$ 和 $P_4$ 取 $P_3=\left(0,5,0\right),P_4=\left(0,5,6\right)$，当 $a=\frac{2}{3}$ 时

1) 取 $P_2=\left(\frac{10}{3},\frac{5}{3},\frac{1}{3}\right)$，得到一段四次均匀B样条曲线

$\{\begin{array}{l}x=\frac{165}{4}{s}^4-\frac{145}{2}{s}^3+\frac{105}{4}{s}^3+5,\\ y=-\frac{45}{2}{s}^4+30s^3-\frac{5}{2}{s}^2+5s-5,\\ z=-\frac{261}{4}{s}^4+\frac{249}{2}{s}^3-\frac{213}{4}{s}^2.\end{array}$

2) 取 $P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},1\right)$，得到一段四次均匀B样条曲线

$\{\begin{array}{l}x=\frac{195}{8}{s}^4-\frac{155}{4}{s}^3+\frac{75}{8}{s}^3+5,\\ y=-\frac{45}{8}{s}^4-\frac{15}{4}{s}^3+\frac{115}{8}{s}^2+5s-5,\\ z=-\frac{207}{4}{s}^4+\frac{195}{2}{s}^3-\frac{159}{4}{s}^2.\end{array}$

3) 取 $P_2=\left(\frac{5}{3},\frac{10}{3},\frac{5}{3}\right)$，得到一段四次均匀B样条曲线

$\{\begin{array}{l}x=\frac{15}{2}{s}^4-5s^3-\frac{15}{2}{s}^2+5,\\ y=\frac{45}{4}{s}^4-\frac{75}{2}{s}^3+\frac{125}{4}{s}^2+5s-5,\\ z=-\frac{153}{4}{s}^4+\frac{141}{2}{s}^3-\frac{105}{4}{s}^2.\end{array}$

三段B样条曲线与轴线拼接效果为图3所示：

Figure 3. When $a=\frac{2}{3}$, $P_2$ respectively $P_2=\left(\frac{10}{3},\frac{5}{3},\frac{1}{3}\right),P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},1\right),P_2=\left(\frac{5}{3},\frac{10}{3},\frac{5}{3}\right)$ for the axis blending effect diagram

图3. $a=\frac{2}{3}$， $P_2$ 分别为 $P_2=\left(\frac{10}{3},\frac{5}{3},\frac{1}{3}\right),P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},1\right),P_2=\left(\frac{5}{3},\frac{10}{3},\frac{5}{3}\right)$ 时轴线拼接效果图

从以上三个例子可以看出：

1) 参数a的取值与点 $P_2$ 的位置有关。

① 例1中，当 $a=\frac{1}{2}$ 时，取 $P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},1\right)$ 时分别与两个轴线拼接的光顺性比较好，而其余两个一端光顺性较好另一端较差。

② 例2中，当 $a=\frac{1}{3}$ 时，取 $P_2=\left(\frac{10}{3},\frac{5}{3},\frac{1}{3}\right)$ 时分别与两个轴线拼接的光顺性比较好，而其余两个一端光顺性较好另一端较差。

③ 例3中， $a=\frac{2}{3}$ 时，取 $P_2=\left(\frac{5}{3},\frac{10}{3},\frac{5}{3}\right)$ 时分别与两个轴线拼接的光顺性比较好，而其余两个一端光顺性较好另一端较差。

2) $P_2$ 作为点 $P_1$ 与 $P_3$ 的中间点，应取在线段 $P_1{P}_3$ 的中间位置与两个轴线异面管道的轴线拼接光滑度较好。在例1~例3中，分别取 $a=\frac{1}{2},a=\frac{1}{3},a=\frac{2}{3}$ 时，显然 $a=\frac{1}{2}$ 时拼接效果较好。

3) $P_2$ 选定后，为了得到更好的拼接效果，还需要调整曲线与控制多边形靠近程度，即适当选取点 $P_2$ 的第三个坐标。

例4 两个轴线异面管道同例1，轴线 $L_1$ 上两点 $P_0=\left(5,-3,0\right)$ 和 $P_1=\left(0,5,0\right)$， $L_2$ 上的两点 $P_3=\left(0,5,0\right)$

和 $P_4=\left(0,5,6\right)$。当 $a=\frac{1}{2}$ 时，分别取 $P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},0\right),P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},1\right),P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},2\right)$ 时，三段B样条曲线与轴

线拼接效果比较：

1) 取 $P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},0\right)$，得到一段四次均匀B样条曲线

$\{\begin{array}{l}x=10s^3-15s^3+5,\\ y=30s^4-75s^3+50s^2+5s-5,\\ z=-36s^4+66s^3-24s^2.\end{array}$

2) 取 $P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},1\right)$，得到一段四次均匀B样条曲线

$\{\begin{array}{l}x=10s^3-15s^3+5,\\ y=30s^4-75s^3+50s^2+5s-5,\\ z=-20s^4+34s^3-8s^2.\end{array}$

3) 取 $P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},2\right)$，得到一段四次均匀B样条曲线

$\{\begin{array}{l}x=10s^3-15s^3+5,\\ y=30s^4-75s^3+50s^2+5s-5,\\ z=-4s^4+2s^3+8s^2.\end{array}$

三段B样条曲线与轴线拼接效果为图4所示。

3. 过指定顶点的四次均匀B样条曲线及其在轴线异面圆管道拼接中的应用

基于轴线光滑拼接的轴线异面管道拼接方法在 [4] [5] [6] 中有详细的推导，这里就不再赘述。

Figure 4. When $a=\frac{1}{2}$, $P_2$ respectively $P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},0\right),P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},1\right),P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},2\right)$ for the axis blending effect diagram

图4. $a=\frac{1}{2}$， $P_2$ 分别为 $P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},0\right),P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},1\right),P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},2\right)$ 时轴线拼接效果图

例5 两个轴线异面管道同例1，轴线 $L_1$ 上两点 $P_0=\left(5,-3,0\right)$ 和 $P_1=\left(0,5,0\right)$， $L_2$ 上的两点 $P_3=\left(0,5,0\right)$

和 $P_4=\left(0,5,6\right)$。当 $a=\frac{1}{2}$ 时，取 $P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},1\right)$。 $P_0,P_1,P_2,P_3,P_4$ 构成型值点序列，以插值于 $P_0,P_2,P_4$，并在 $P_0$ 处与 $P_0{P}_1$ 相切，在 $P_4$ 处与 $P_3{P}_4$ 相切的四次均匀B样条曲线段为轴线的圆管道的参数表达式为

$\Phi \left(s,\phi \right):\{\begin{array}{l}x=10s^3-15s^2+5+N_1\left(s\right)\cos \phi +B_1\left(s\right)\sin \phi ,\\ y=30s^4-75s^3+50s^2+5s+5+N_2\left(s\right)\cos \phi +B_2\left(s\right)\sin \phi ,\\ z=-20s^4+34s^3-8s^2+N_3\left(s\right)\cos \phi +B_3\left(s\right)\sin \phi .\end{array}s\in \left[0,1\right],\phi \in \left[0,2\pi \right]$

其中 $N=\left(N_1\left(s\right),N_2\left(s\right),N_3\left(s\right)\right)$ 和 $B=\left(B_1\left(s\right),B_2\left(s\right),B_3\left(s\right)\right)$ 是光滑拼接两个轴线异面管道轴线的四次均匀B样条曲线的主法矢和副法矢。

以四次均匀B样条曲线为轴线的管道与两个轴线异面管道拼接效果如下图5：

Figure 5. When $a=\frac{1}{2}$, $P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},1\right)$, effect diagram of circular tubes whose axes are in non-coplaner is smoothly blended by tube take a quartic B-spline curve as its axis

图5. $a=\frac{1}{2}$， $P_2=\left(\frac{5}{2},\frac{5}{2},1\right)$ 时，以四次均匀B样条曲线为轴线的管道拼接两个轴线异面圆管道拼接效果图

4. 结束语

用插值于指定三顶点的四次均匀B样条曲线为轴线的圆管道拼接两个轴线异面圆管道，相较于两段连续的三次均匀B样条曲线为轴线的两段光滑的管道和三段连续的三次均匀B样条曲线为轴线的三段光滑的管道拼接两个轴线异面圆管道段数少。但是，需要优化中间插值点 $P_2$ 的位置和对应参数s的选取方法。这种方法不能应用于椭圆管道的拼接。

基金项目

国家自然科学基金项目资助(11561052)。