F²(Cⁿ)空间上无界的复对称加权复合算子

Unbounded Complex Symmetric Weighted Composition Operators on F²(Cⁿ) Space

摘要: 本文研究了n维Fock空间上加权复合算子T_ψD_θ^kf:=ψ⋅f^(k)。θ关于共轭(Jf)(z)=(C_1,0,c)f(z)=cf(z)的复对称性和自伴性，其中θ和ψ是Cⁿ上的两个整函数，k是非负整数，得出了算子T_ψD_θ^k是J-自伴的等价刻画。此外，我们还给出了T_ψD_θ^k是厄米特算子的充要条件。

Abstract: In this paper, we study the complex symmetry and self-adjoint of the conjugate (Jf)(z)=(C_1,0,c)f(z)=cf(z) by the weighted complex operator T_ψD_θ^kf:=ψ⋅f^(k)。θ on n dimensional Fock space, where θ and ψ are two entire functions, k is a nonnegative integer. We give an equivalence characterization where the operator T_ψD_θ^k is a J-self-adjoint. In addition, we prove that the unbounded maximal weighted composition operator is self-adjoint.

1. 引言

关于复对称型算子的研究，涉及到函数理论、矩阵分析等多个数学领域的知识，在过去几年里这个研究就引起了许多研究人员的注意。Garcia，Putinar and Wogen在文献 [1] [2] [3] 提出了复对称算子的一般研究。在文献 [4] [5] [6] [7] 中研究者探讨了解析函数空间中各种再生核希尔伯特空间上的加权复合算子的结构，使得加权复合算子关于共轭 $Jf=\overline{f\left(\stackrel{¯}{z}\right)}$ 是复对称的。Hai和Khoi在文献 [8] 中给出了关于 $F^2\left(c\right)$ 上的加权复合共轭 $C_{a,b,c}$ 的描述，映射 $C_{a,b,c}:F^2\left(c\right)\to F^2\left(c\right)$ 由 $C_{a,b,c}f\left(z\right)=c{\text{e}}^{bz}f\left(az+b\right)$ 定义，其中 $a,b,c$ 是满足 $\left|a\right|=1$， ${\left|c\right|}^2{\text{e}}^{{\left|b\right|}^2}=1$， $\bar{a}b+\bar{b}=0$ 的复数。最近有关学者在 [9] [10] 中进一步探讨了Fock空间上有界加权组合算子的复对称性。在 [11] 中，P. V. Hai研究了Fock空间无界加权复合算子的自伴的问题。在 [12] 中，Aastha Malhotra 和Anuradha Gupta研究了一维Fock空间整函数关于特定共轭的复对称性和自伴性，其中 $\left|a\right|=\left|c\right|=1$。受到这些研究发展的激励，我们在本文中研究了n维 $F^2$ 空间中整函数在 $C^n$ 关于特定共轭 $\left(Jf\right)\left(z\right)=C_{1,0,c}f\left(z\right)=c\overline{f\left(\stackrel{¯}{z}\right)}$ 的复对称性和厄米特性，其中 $a=\left|c\right|=1$。

2. 预备知识

2.1. 复对称算子

我们首先回顾一下一些基本的定义。在本文中，H是一个可分离的复希尔伯特空间，无界线性算子的域表示为 $dom(.)$，当A，B是两个无界的线性算子， $A\underset{\_}{\prec }B$ 表示在 $dom\left(A\right)$ 上，B是A的扩展，或者说A是B的限制，也就是说， $dom\left(A\right)\underset{\_}{\prec }dom\left(B\right)$，且当 $x\in dom\left(A\right)$ 时， $Ax=Bx$，如果 $A\underset{\_}{\prec }B$， $A\underset{\_}{\prec }B$，则 $A=B$。

定义2.1

一个反线性算子 $C:H\to H$ 如果同时是对合的和等距的，则C称为是共轭的。

定义2.2

令 $T\in H\to H$ 是一个稠定义的闭算子，且是C是共轭的，则：

1) 如果 $T\underset{\_}{\prec }C{T}^{\ast }C$，则称T是C-对称的。

2) 如果 $T=C{T}^{\ast }C$，则称T是C-自伴的。

在这两种情况下，算子T都是复对称的，即： $\left[Tx,y\right]=\left[x,Ty\right]$， $x,y\in dom\left(T\right)$。容易看到，每个C-自伴算子都是C-对称算子，但逆并不总是正确的。

2.2. $F^2\left(C^n\right)$ 空间

令 $C^n$ 是n维复数空间， $dv$ 表示 $C^n$ 上的体积测度，如果 $z=\left(z_1,z_2,\cdots ,z_n\right)$ 和 $w=\left(w_1\cdots w_n\right)$ 是 $C^n$ 上的两点，则我们记： $z\cdot \bar{w}={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{z}_j\overline{w_j}}$， $\left|z\right|={\left(z\cdot \bar{z}\right)}^{\frac{1}{2}}$。当 $0<p\le \infty$， $C^n$ 上所有使得 $f\left(z\right){\text{e}}^{\frac{-{\left|z\right|}^2}{2}}$ 属于 $L^p\left(C^n,dV\right)$ 的整函数构成的空间称为Fock空间。记为 $F^p\left(C^n\right)$。

当 $p=2$ 时，记： $\Vert f\Vert =\frac{\text{1}}{{\left(\text{2}\Pi \right)}^n}{\displaystyle \underset{{\text{c}}^n}{\int }{\left|f\left(z\right)\right|}^{\text{2}}{\text{e}}^{\frac{-{\left|z\right|}^2}{\text{2}}}\text{d}v\left(z\right)}$， $f\in F^{\text{2}}\left(C^n\right)$。

再生核函数 $K_w\left(z\right)={\text{e}}^{\frac{\langle z,w\rangle }{2}}$， $w,z\in C^n$。

$K_w^{\left[k\right]}\left(z\right)=\left(\frac{1}{2^k}\right)\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{\frac{z\bar{w}}{2}}$， $w,z\in C^n$。

其中 $\alpha$ 是多重指标， $\alpha ={\alpha }_1!\cdots {\alpha }_2!$， $\left|\alpha \right|=\left|{\alpha }_1\right|+\cdots +\left|{\alpha }_n\right|$， $z^{\alpha }=z_1^{{\alpha }_1}\cdots z_n^{{\alpha }_n}$， ${\alpha }_i$ 是非负整数，若 $\beta$ 也为多重指标， $\alpha \le \beta \iff {\alpha }_i\le {\beta }_i$。

$f^{\left[k\right]}\left(w\right)=\langle f,K_w^{\left[k\right]}\left(z\right)\rangle$

更多关于Fock空间的研究结果可参见文献 [13]。

2.3. 广义加权复合算子 $T_{\psi }{D}_{\theta }^k$

定义2.3 假设 $\theta$ 和 $\psi$ 是 $C^n$ 上的两个整函数，令 $D^k$ 表示k阶微分算子，定义为： $D^{k}f=f^{\left(k\right)}$。

定义2.4 加权复合算子 $T_{\psi }{D}_{\theta }^k$ 的定义： $T_{\psi }{D}_{\theta }^{k}f=\psi \cdot f^{\left(k\right)}\circ \theta$，其中k是非负整数， $f\in F^2\left(C^n\right)$， $T_{\psi }$ 是乘法算子。

众所周知，所有的算子都可以由加权复合算子得到。当 $\theta :C^n\to C$， $\psi :C^n\to C$，我们考虑 $F^2\left(C^n\right)$ 空间上标准的广义加权复合算子的表达式为以下形式： ${\Delta }^k\left(\psi ,\theta \right)f=\psi \cdot f^{\left(k\right)}\circ \theta$，与表达式 ${\Delta }^k\left(\psi ,\theta \right)$ 相对应的 $F^2\left(C^n\right)$ 空间上。

定义2.5 极大广义加权复合算子定义为： $T_{\psi }{D}_{\theta }^k{}_{,\max }f=\psi \cdot f^{\left(k\right)}\circ \theta$，这 $f\in Dom\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k\right)$

$Dom\left(T_{\psi }{D}_{\theta }^k{}_{,\max }\right)=\left\{F\in F^2:{\Delta }^k\left(\psi ,\varphi \right)f\in F^2\right\}$， $f\in Dom\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k\right)$

$Dom\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k\right)$ 被称为是最大的域。

定义2.6 当 $T_{\psi }{D}_{\theta }^k\underset{\_}{\prec }Dom\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k\right)$ 时， $T_{\psi }{D}_{\theta }^k$ 称为是无界的广义加权复合算子的定义：也就是说， $f\in Dom\left(T_{\psi }{D}_{\theta }^k\right)$ 时， $Dom\left(T_{\psi }{D}_{\theta }^k\right)\subseteq Dom\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k\right)$ 且 $T_{\psi }{D}_{\theta }^{k}f=T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^{k}f$。

3. 主要结果

$T_{\psi }{D}_{\theta }^k$ 的基本性质

命题3.1 令 $T_{\psi }{D}_{\theta }^k$ 是无界的广义加权复合算子，由整函数 $\theta$ 和 $\psi$ 生成。假设 $T_{\psi }{D}_{\theta }^k$ 是稠密定义的，则：(1)当 $w\in C^n$，可得 $K_w\in Dom\left({\left(T_{\psi }{T}_{\theta }^k\right)}^{\ast }\right)$，且 ${\left(T_{\psi }{D}_{\theta }^k\right)}^{\ast }{K}_w=\overline{\psi \left(\omega \right)}{K}_{\theta \left(w\right)}^{\left[k\right]}$，其中 ${\left(T_{\psi }{D}_{\theta }^k\right)}^{\ast }$ 表示 $T_{\psi }{D}_{\theta }^k$ 的伴随。

特别的，如果 $\theta \left(w\right)=Aw+2D$，其中 $A,D$ 是复常数，设， $w\in C^n$， $r,j$ 是多元指标，则 $K_w^{\left[k\right]}\in Dom\left({\left(T_{\psi }{T}_{\theta }^k\right)}^{\ast }\right)$

${\left(T_{\psi }{D}_{\theta }^k\right)}^{\ast }{K}_w^{\left[k\right]}={\displaystyle \underset{r\ge j}{\sum }\left(\begin{array}{l}r\\ j\end{array}\right)}\overline{{\psi }^{\left(r-j\right)}\left(w\right)A^j}{K}_{\theta \left(w\right)}^{\left[k+j\right]}$ (3.1)

证明：

1) 当 $f\in Dom\left(T_{\psi }{D}_{\theta }^k\right)$， $w\in C^n$，我们可以得

$\langle T_{\psi }{D}_{\theta }^{k}f,K_w\rangle =\langle \psi \cdot f^{\left(k\right)}\circ \theta ,K_w\rangle =\psi \left(w\right)\cdot f^{\left(k\right)}\left(\theta \left(w\right)\right)=\langle f,\overline{\psi \left(\omega \right)}\cdot K_{\theta \left(w\right)}^{\left[k\right]}\rangle$

因此我们可以得到 ${\left(T_{\psi }{D}_{\theta }^k\right)}^{\ast }{K}_w=\overline{\psi \left(w\right)}\cdot K_{\theta \left(w\right)}^{\left[k\right]}$，其中 $w\in C^n$。

2) 假设 $\theta \left(w\right)=Az+2D$， $r,j$ 是多元指标且

$\begin{array}{c}\langle T_{\psi }{D}_{\theta }^{k}f,K_w^{\left[k\right]}\rangle ={\left(T_{\psi }{D}_{\theta }^k\right)}^{\left(r\right)}f\left(w\right)\\ ={\left(\psi \cdot f^{\left(k\right)}\circ \theta \right)}^{\left(r\right)}\left(w\right)\\ =\psi \left(w\right)\cdot f^{\left(k\right)}{\left(Az+2D\right)}^{\left(r\right)}\\ ={\displaystyle \underset{j\le r}{\sum }\left(\begin{array}{l}r\\ j\end{array}\right)}{\psi }^{\left(r-j\right)}\left(w\right)A^j{f}^{\left(k+j\right)}\left(A\text{z}+2D\right)\\ =\langle f,{\displaystyle \underset{j\le r}{\sum }\left(\begin{array}{l}r\\ j\end{array}\right)}\overline{{\psi }^{\left(r-j\right)}\left(w\right)A^j}{K}_{Az+\text{2}D}^{\left[k+j\right]}\rangle \end{array}$

命题3.2 极大广义加权复合算子 $T_{\psi }{D}_{\theta }^k{}_{,\max }$ 是闭算子。

证明：考虑域 $Dom\left(T_{\psi }{D}_{\theta }^k\right)$ 的序列 $\langle f_n\rangle$，令 $f,g\in F^2\left(C^n\right)$，使得在 $F^2\left(C^n\right)$ 中

$f_n\to f$，且 $T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k{f}_n\to g$

因为在 $F^2\left(C^n\right)$ 中范数收敛可以推出点收敛，所以我们 $f_n^{\left(m\right)}\left(z\right)\to f\left(z\right)$ 且 $T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k{f}_n\left(z\right)\to g\left(z\right)$， $z\in C^n$。因此我们有

$T_{\psi }{D}_{\theta ,\text{max}}^k{f}_n\left(z\right)=\psi \left(z\right)\cdot f_n^{\left(k\right)}\left(\theta \left(z\right)\right)\to \psi \left(z\right)\cdot f^{\left(k\right)}\left(\theta \left(z\right)\right)$， $z\in C^n$。

于是可得： $\psi \left(z\right)\cdot f^{\left(k\right)}\left(\theta \left(z\right)\right)=g\left(z\right)$， $z\in C^n$，因为 $g\in F^2\left(C^n\right)$，这推出 $\psi \left(z\right)\cdot f^{\left(k\right)}\left(\theta \left(z\right)\right)\in F^2$， $z\in C^n$，所以 $f\in Dom\left(T_{\psi }{D}_{\theta }^k\right)$， $T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^{k}f=g$，因此可以得到算子 $T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k$ 是闭算子。

命题3.3 集合 $\Gamma =Span\left\{K_w:w\in C^n\right\}$ 是 $F^2\left(C^n\right)$ 的稠密子空间。

命题3.4 令P是线性算子， $Dom\left(p\right)=\Gamma$， $P{K}_w=\psi \left(w\right)K_{\theta \left(w\right)}^{\left[k\right]}$，其中 $k\in N$。则 $T_{\psi }{D}_{\theta ,\text{max}}^k=P^{\ast }$，且算子 $T_{\psi }{D}_{\theta ,\text{max}}^k$ 是稠密的当且仅当算子P是闭算子。

证明：对于任意的 $g={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\delta }_i{K}_{wi}}\in Dom\left(P\right)$，当 $h\in F^2\left(C^n\right)$，我们计算

$\begin{array}{c}\langle Pg,h\rangle =\langle P{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\delta }_j{K}_{w_j}},h\rangle \\ =\langle {\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}{\delta }_{j}P{K}_{w_j}},h\rangle \\ =\langle {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\delta }_i\overline{\psi \left({\omega }_i\right)}{K}_{\theta \left(w_i\right)}^{\left[k\right]}},h\rangle \\ ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\delta }_i}\overline{\psi \left({\omega }_i\right)h^k\left(\theta \left(w_i\right)\right)}\\ ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\delta }_i}\overline{{\Delta }^k\left(\psi ,\theta \right)h\left(w_i\right)}\end{array}$

由Riesz lemma，我们计算得 $h\in Dom\left(P^{\ast }\right)$ 当且仅当存在 $M>0$，使得

$\left|\langle Pg,h\rangle \right|\le M\Vert g\Vert ,\forall g\in Dom(\; P\; )$

或者当且仅当

${\left|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\overline{{\delta }_i}}{\Delta }^k\left(\psi ,\theta \right)h\left(w_i\right)\right|}^2\le M^2{\displaystyle \underset{i,l=1}{\overset{n}{\sum }}{\delta }_i\overline{{\delta }_l}}{K}_{w_i}\left(w_l\right)$ (3.2)

因此我们可以推出 ${\Delta }^k\left(\psi ,\theta \right)h\in F^2\left(C^n\right)$，所以 $Dom\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\text{max}}^k\right)=Dom\left(P^{\ast }\right)$。

当 $g\in Dom\left(p\right)$， $h\in Dom\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\text{max}}^k\right)$ 时，可得： $\langle Pg,h\rangle =\langle g,{\Delta }^k\left(\psi ,\theta \right)h\rangle =\langle g,T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^{k}h\rangle$ 这就推出了我们的结论： $T_{\psi }{D}_{\theta ,\text{max}}^k=P^{\ast }$。

定理3.5 假设 $\theta$ 和 $\psi$ 是 $C^n$ 上的两个整函数，令 $T_{\psi }{D}_{\theta ,\text{max}}^k$ 是最大的广义加权算子。如果 $J{\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\text{max}}^k\right)}^{\ast }{K}_w\left(z\right)=T_{\psi }{D}_{\theta ,\text{max}}^{k}J{K}_w\left(z\right)$，其中 $w,z\in C^n$， $\theta \left(w\right)=Az+2D$， $\psi \left(z\right)=C_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{Dz}$，其中A， $C_k\left(\ne \text{0}\right)$，D是复常数。

证明：对任意的 $w,z\in C^n$，且

$\begin{array}{c}{T}_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^{k}J{K}_w\left(z\right)=T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k\left(c\overline{K_w\stackrel{¯}{\left(z\right)}}\right)\\ =c{T}_{\psi }{D}_{\theta ,\text{max}}^k\left({\text{e}}^{\frac{1}{2}wz}\right)\\ =c\psi \left(z\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{w}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{\frac{1}{2}w\theta (\; z\; )}\end{array}$

$\begin{array}{c}J{\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k\right)}^{\ast }{K}_w\left(z\right)=J\left(\overline{\psi \left(w\right)}\right)K_{\theta \left(w\right)}^{\left[k\right]}\left(z\right)\\ =c\psi \left(w\right)\overline{K_{\theta \left(w\right)}^{\left[k\right]}\stackrel{¯}{\left(z\right)}}\\ =c\psi \left(w\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{\frac{1}{2}z\theta (\; w\; )}\end{array}$

当 $w,z\in C^n$， $k\in N$ 时，我们有：

$c\psi \left(w\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{\frac{\text{1}}{\text{2}}z\theta \left(w\right)}=c\psi \left(z\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{w}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{\frac{1}{2}w\theta \left(z\right)}$ (3.3)

两边对w做k次微分，得到的结果令 $w=w_0,w_0=\left(0,\cdots ,0\right)$，则得：

$\psi \left(z\right)=\frac{{\psi }^{\left(k\right)}\left(w_0\right)}{{\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }\alpha !}}\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{\frac{1}{2}z\theta \left(w_0\right)}$ (3.4)

令 $C_k=\frac{{\psi }^{\left(k\right)}\left(w_0\right)}{{\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }\alpha !}}$， $D=\frac{1}{2}\theta \left(w_0\right)$，则 $\psi \left(z\right)=C_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{Dz}$，把它们带回(3.3)式中可得：

$\frac{\theta \left(z\right)-\theta \left(w_0\right)}{z}=\frac{\theta \left(w\right)-\theta \left(w_0\right)}{w}=A$

其中 $w,z\in C^n/\left(0,\cdots ,0\right)$，A是复常数，因此 $\theta \left(z\right)=Az+2D$。在接下来的命题中，我们得到了算子 $J{T}_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^{K}J$ 的明确的形式。

命题3.6 令 $\psi \left(z\right)=C_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{Dz}$， $\theta \left(z\right)=Az+2D$， $\tilde{\psi }\left(z\right)={\tilde{C}}_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{\tilde{D}z}$， $\theta \left(z\right)=\bar{A}z+2\bar{D}$，其中 $D=\frac{1}{2}\theta \left(w_0\right)$，且 $C_k\left(\ne 0\right)$ 是复常数，则下面的结论成立：

1) $J{\Delta }^k\left(\psi ,\theta \right)J={\Delta }^k\left(\tilde{\psi },\tilde{\theta }\right)$。

2) $J{T}_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^{K}J=J{T}_{\tilde{\psi }}{D}_{\tilde{\theta },\max }^{K}J$。

证明：对任意的 $f\in F^2$，我们有

$J{\Delta }^k\left(\psi ,\theta \right)J=J{\Delta }^k\left(\psi ,\theta \right)\left(c\overline{f\left(\stackrel{¯}{z}\right)}\right)$ (3.5)

其中 $\left|c\right|=1$。如果整函数f以泰勒级数展开， $f\left(z\right)={\displaystyle \underset{I\in N_0^n}{\sum }{a}_I{z}^I}$，f为k阶可导，令 $I,\beta$ 是n维多重指标 $\left|\beta \right|=k$， $I\ge \beta$，即

$f^{\left(k\right)}\left(z\right)={\displaystyle \underset{I\ge \beta }{\sum }\frac{I!}{\left(I-\beta \right)!}{a}_{\alpha }{z}^{I-\beta }}$，令 $g\left(z\right)=\overline{f\left(\stackrel{¯}{z}\right)}={\displaystyle \underset{I\in N_0^n}{\sum }{\bar{a}}_I{z}^I}$

直接计算有： $\overline{\psi \left(\stackrel{¯}{z}\right)}={\bar{C}}_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{\bar{D}z}$，且 $g^{\left(k\right)}\left(\theta \left(\bar{z}\right)\right)={\displaystyle \underset{I\ge \beta }{\sum }\frac{I!}{\left(I-\beta \right)!}{\bar{a}}_I{\left(A\bar{z}+2D\right)}^{I-\beta }}$，进一步，我们可以得到 $\overline{g^{\left(k\right)}\left(\theta \left(\stackrel{¯}{z}\right)\right)}={\displaystyle \underset{I\ge \beta }{\sum }\frac{I!}{\left(I-\beta \right)!}{a}_I{\left(\bar{A}z+2\bar{D}\right)}^{I-\beta }}$ 则(3.5)可以推出

$\begin{array}{c}J{\Delta }^k\left(\psi ,\theta \right)Jf\left(z\right)=\bar{c}J\left(\psi \left(z\right)\right)g^{\left(k\right)}\left(\theta \left(z\right)\right)\\ ={\left|c\right|}^2\overline{\psi \left(\stackrel{¯}{z}\right)g^{\left(k\right)}\left(\theta \left(\stackrel{¯}{z}\right)\right)}\\ ={\bar{C}}_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=\left|k\right|}{\sum }{z}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{\bar{D}z}\\ =\tilde{\psi }\left(z\right)f^{\left(k\right)}\left(\tilde{\theta }\left(z\right)\right)\\ =\Delta \left(\tilde{\psi },\tilde{\theta }\right)\end{array}$

这就由2)推出了1)。

在接下来的定理中，我们找到了 $F^2\left(C^n\right)$ 空间上共轭 ${\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\text{max}}^k\right)}^{\ast }$ 的清晰的表达式，此时 $\theta \left(z\right)=Az+2D$ $\theta$ 是仿射， $\psi \left(z\right)=C_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{Dz}$， $A,D,C_k$ 都是复常数。

定理3.7 令 $T_{\psi }{D}_{\theta ,\text{max}}^k$ 是极大加权复合算子，其中 $\psi \left(z\right)=C_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{Dz}$， $\theta \left(z\right)=Az+2D$， $A,D,C_k$ 都是复常数，且 $D=\frac{1}{2}\theta \left(w_0\right)$ 是复常数，则 ${\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\text{max}}^k\right)}^{\ast }=T_{\tilde{\psi }}{D}_{\tilde{\theta },\text{max}}^k$， $T_{\tilde{\psi }}{D}_{\tilde{\theta },\text{max}}^k$ 是极大广义加权算子，且 $\tilde{\theta }\left(z\right)=\bar{A}z+2\bar{D}$， $\tilde{\psi }\left(z\right)={\tilde{C}}_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{\tilde{D}z}$。

证明：假设 $w,z\in C^n$， $f\in Dom\left({\left(T_{\psi }{D}_{\theta }{}_{,\max }\right)}^{\ast }\right)$，我们首先证明： ${\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k\right)}^{\ast }\underset{\_}{\prec }{T}_{\tilde{\psi }}{D}_{\tilde{\theta },\max }^k$。

直接计算有：

$\begin{array}{c}{T}_{\psi }{D}_{\theta ,\text{max}}^k{K}_w\left(z\right)=\psi \left(z\right)K_w^{\left(k\right)}\left(z\right)\left(\theta \left(z\right)\right)\\ =C_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right)\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{w}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{Dz+\frac{1}{2}\left(Az+2D\right)\bar{w}}\\ =C_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{w}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{D\bar{w}}\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right)K_{\bar{A}w+2\bar{D}}\left(z\right)\\ =C_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{w}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{D\bar{w}}{K}_{\bar{A}w+2\bar{D}}^{\left(k\right)}(\; z\; )\end{array}$

两边对f做内积，可得

$\begin{array}{c}\langle f,T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k{K}_w\left(z\right)\rangle =\langle f,C_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{w}^k}\right){\text{e}}^{D\bar{w}}{K}_{\bar{A}w+2\bar{D}}^{\left(k\right)}\left(z\right)\rangle \\ ={\bar{C}}_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{w}^k}\right){\text{e}}^{D\bar{w}}\langle f,K_{\bar{A}w+2\bar{D}}^{\left(k\right)}\left(z\right)\rangle \\ =\tilde{\psi }\left(\omega \right)f^{\left(k\right)}\left(\bar{A}w+2\bar{D}\right)\\ =T_{\tilde{\psi }}{D}_{\tilde{\theta },\max }^{k}f(\; \omega \; )\end{array}$

另一方面，通过伴随函数和核函数的定义，我们有：

$\begin{array}{c}\langle f,T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k{K}_w\left(z\right)\rangle =\langle {\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k{K}_w\right)}^{\ast }f,K_w\rangle \\ ={\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k{K}_w\right)}^{\ast }f(\; w\; )\end{array}$

这表明：

$\begin{array}{c}{\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k{K}_w\right)}^{\ast }f\left(\omega \right)=\tilde{\psi }\left(w\right)f^{\left(k\right)}\left(\bar{A}w+\bar{D}\right)\\ =T_{\tilde{\psi }}{D}_{\tilde{\theta },\max }^{k}f(\; w\; )\end{array}$

其中 $w,z\in C^n$， $f\in Dom\left({\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k\right)}^{\ast }\right)$。

因此我们可以得到

${\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k\right)}^{\ast }\underset{\_}{\prec }{T}_{\tilde{\psi }}{D}_{\tilde{\theta },\max }^k$

为了证明反向包含，只需要证明对于每个

$f\in Dom\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k\right)$， $g\in Dom\left(T_{\tilde{\psi }}{D}_{\tilde{\theta },\max }^K\right)$

有

$\langle T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^{k}f,g\rangle =\langle f,T_{\tilde{\psi }}{D}_{\tilde{\theta },\max }^{k}g\rangle$ (3.6)

对于每个

$f\in Dom\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k\right)$， $f\left(z\right)={\displaystyle \underset{v\in N_0^n}{\sum }{f}_v{z}^v}$

有

$\begin{array}{c}{T}_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^{k}f\left(z\right)=\psi \left(z\right)f^{\left(k\right)}\left(\theta \left(z\right)\right)\\ =C_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{Dz}{f}^{\left(k\right)}\left(Az+2D\right)\\ =C_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right)\left({\displaystyle \underset{p\in N_0^N}{\overset{}{\sum }}\frac{{\left(Dz\right)}^p}{p!}}\left({\displaystyle \underset{v\ge \eta }{\overset{}{\sum }}\frac{v!}{\left(v-\eta \right)!}{f}_v{\left(Az+2D\right)}^{v-\eta }}\right)\right)\\ =C_k{\displaystyle \underset{p\in N_0^N}{\overset{}{\sum }}{\displaystyle \underset{v\ge \eta }{\overset{}{\sum }}{\displaystyle \underset{\left|l\right|=0}{\overset{v-\eta }{\sum }}\frac{v!}{\left(v-\eta \right)!}\left(\begin{array}{l}v-\eta \\ l\end{array}\right)f_v{A}^{v-\eta -l}{\left(2D\right)}^l\frac{D^p}{p!}{z}^{v-l+p}}}}\end{array}$

其中

${\left(Az+2D\right)}^{v-\eta }={\displaystyle \underset{l=0}{\overset{v-\eta }{\sum }}\left(\begin{array}{c}v-\eta \\ l\end{array}\right)A^{v-\eta -l}{\left(2D\right)}^l{z}^{v-l-\eta }}$

令

$g\in Dom\left(T_{\tilde{\psi }}{D}_{\tilde{\theta },\max }^K\right)$， $g\left(z\right)={\displaystyle \underset{q\in N_0^n}{\sum }{g}_q{z}^q}$ ( $g_q$ 是泰勒系数)

直接的计算展开有

$\begin{array}{c}{T}_{\tilde{\psi }}{D}_{\tilde{\theta },\max }^{k}g\left(z\right)=\tilde{\psi }{g}^{\left(k\right)}\left(\tilde{\theta }\left(z\right)\right)\\ ={\bar{C}}_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{Dz}{g}^{\left(k\right)}\left(\bar{A}z+2\bar{D}\right)\\ ={\bar{C}}_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right)\left({\displaystyle \underset{r\in N_0^N}{\overset{}{\sum }}\frac{{\left(Dz\right)}^r}{r!}}\left({\displaystyle \underset{q\ge \eta }{\overset{}{\sum }}\frac{q!}{\left(q-\eta \right)!}{g}_q{\left(\bar{A}z+2\bar{D}\right)}^{q-\eta }}\right)\right)\\ ={\bar{C}}_k{\displaystyle \underset{m\in N_0^N}{\overset{}{\sum }}{\displaystyle \underset{q\ge \eta }{\overset{}{\sum }}{\displaystyle \underset{\left|m\right|=0}{\overset{q-\eta }{\sum }}\frac{q!}{\left(q-\eta \right)!}\left(\begin{array}{l}q-\eta \\ m\end{array}\right)g_q{A}^{q-\eta -m}{\left(2\bar{D}\right)}^m\frac{{\bar{D}}^r}{r!}{z}^{q-m+r}}}}\end{array}$

其中

${\left(\bar{A}z+2\bar{D}\right)}^{q-\eta }={\displaystyle \underset{\left|m\right|=0}{\overset{q-\eta }{\sum }}\left(\begin{array}{c}q-\eta \\ m\end{array}\right){\bar{A}}^{q-\eta -m}{\left(2\bar{D}\right)}^m{z}^{q-\eta -m}}$， $q\ge \eta$

接下来，我们根据(3.6)来得到以下内容：

$\langle T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^{k}f\left(z\right),g\rangle =C_k{\displaystyle \underset{p\in N_0^N}{\overset{}{\sum }}{\displaystyle \underset{v\in N_k^n}{\overset{}{\sum }}{\displaystyle \underset{\left|l\right|=\text{0}}{\overset{v-\eta }{\sum }}\frac{v!}{\left(v-\eta \right)!}\left(\begin{array}{l}v-\eta \\ l\end{array}\right)f_v{\bar{g}}_{v-l+p}{A}^{v-\eta -l}{\left(2D\right)}^l\frac{D^p}{p!}{\Vert z^{v-l+p}\Vert }^2}}}$ (3.7)

$\langle f,T_{\tilde{\psi }}{D}_{\tilde{\theta },\max }^{k}g\rangle ={\displaystyle \underset{l\in N_0^N}{\overset{}{\sum }}{\displaystyle \underset{q\in N_0^n}{\overset{}{\sum }}{\displaystyle \underset{m=w_0}{\overset{q-\eta }{\sum }}{C}_k\frac{q!}{\left(q-\eta \right)!}\left(\begin{array}{l}q-\eta \\ m\end{array}\right)f_{q-m+r}}}}{g}_q{A}^{q-\eta -m}{\left(2D\right)}^m\frac{D^r}{r!}{\Vert z^{q-m+r}\Vert }^2$ (3.8)

通过改变上式的变量： $r\to l,m\to p$，可得

$\begin{array}{c}\langle f,T_{\tilde{\psi }}{D}_{\tilde{\theta },\max }^{k}g\rangle ={\displaystyle \underset{l\in N_0^n}{\overset{}{\sum }}{\displaystyle \underset{q\in N_k^n}{\overset{}{\sum }}{\displaystyle \underset{\left|p\right|=0}{\overset{q-k}{\sum }}{C}_k\frac{q!}{\left(q-\eta \right)!}\left(\begin{array}{l}q-\eta \\ p\end{array}\right)f_{q-p+l}}}}{g}_q{A}^{q-\eta -p}{\left(2D\right)}^p\frac{D^l}{l!}{\Vert z^{q-p+l}\Vert }^2\\ ={\displaystyle \underset{p\in N_0^n}{\overset{}{\sum }}{\displaystyle \underset{l\in N_0^n}{\overset{}{\sum }}{\displaystyle \underset{q-\eta =p}{\overset{\infty }{\sum }}{C}_k\frac{q!}{\left(q-\eta \right)!}\left(\begin{array}{l}q-k\\ p\end{array}\right)f_{q-p+l}}}}{\bar{g}}_q{A}^{q-\eta -p}{\left(2D\right)}^p\frac{D^l}{l!}{\Vert z^{q-p+l}\Vert }^2\end{array}$ (3.9)

如果令 $v=q-p+l$，可得；

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{q-\eta =p}{\overset{\infty }{\sum }}{C}_k\frac{\left(v+p-l\right)!}{\left(v+p-l-\eta \right)!}\left(\begin{array}{l}v+p-l-\eta \\ p\end{array}\right)f_{q-p+l}}{\bar{g}}_{v+p-l}{A}^{v-\eta -l}{\left(2D\right)}^p\frac{D^l}{l!}{\Vert z^{q-p+l}\Vert }^2\\ ={\displaystyle \underset{v-\eta =l}{\overset{\infty }{\sum }}{C}_k\left(\frac{\left(v+p-l\right)!}{\left(v+p-l-k\right)!}\right)\left(\begin{array}{l}v+p-l-\eta \\ p\end{array}\right)f_v{\bar{g}}_{v+p-l}{\bar{A}}^{v-\eta -l}{\left(2D\right)}^p\frac{B^p}{l!}v!}\end{array}$

等价于

${\displaystyle \underset{v-\eta =l}{\overset{\infty }{\sum }}{C}_k\left(\frac{\left(v\right)!}{\left(v-\eta \right)!}\right)\left(\begin{array}{l}v-\eta \\ l\end{array}\right)f_v{\bar{g}}_{v+p-l}{\bar{A}}^{v-\eta -l}\frac{{\left(2D\right)}^l}{p!}{D}^p{\Vert z^{v-l+p}\Vert }^2}$ (3.10)

由3.9式和3.10式得：

$\begin{array}{c}\langle f,T_{\tilde{\psi }}{D}_{\tilde{\theta },\max }^{k}g\rangle ={\displaystyle \underset{p\in N_0^n}{\overset{}{\sum }}{\displaystyle \underset{l\in N_0^n}{\overset{}{\sum }}{\displaystyle \underset{v-\eta =l}{\overset{\infty }{\sum }}{C}_k\frac{\left(v+p-l\right)!}{\left(v+p-l-\eta \right)!}\left(\begin{array}{c}v+p-l-\eta \\ p\end{array}\right)f_v}}}{\bar{g}}_{v+p-l}{A}^{v-\eta -l}\frac{{\left(2D\right)}^l}{p!}{D}^p{\Vert z^{v+p-l}\Vert }^2\\ ={\displaystyle \underset{p\in N_0^n}{\overset{}{\sum }}{\displaystyle \underset{v=\eta }{\overset{}{\sum }}{\displaystyle \underset{\left|l\right|=0}{\overset{v-\eta }{\sum }}{C}_k\frac{v!}{\left(v-\eta \right)!}\left(\begin{array}{c}v-\eta \\ p\end{array}\right)f_v}}}{\bar{g}}_{v-l+q}{A}^{v-\eta -l}\frac{{\left(2D\right)}^l}{p!}{D}^p{\Vert z^{v+p-l}\Vert }^2\\ =\langle T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^{k}f,g\rangle \end{array}$

因此我们可以得到： ${\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^K\right)}^{\ast }=T_{\tilde{\psi }}{D}_{\tilde{\theta },\max }^K$。

4. 关于算子 $T_{\psi }{D}_{\theta ,max}^K$ 的J自伴的主要结果

我们现在来证明关于算子 $T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^K$ 的J-自伴的主要结果，这结论在证明无界广义加权复合算子在 $F_{\alpha }^2$ 空间上J-自伴中有用到。

定理4.1 令 $T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k$ 是广义加权复合算子，由整函数 $\theta$ 和 $\psi$ 生成，则下面这些结论成立。

1) $T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k$ 是J-自伴算子。

2) $T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k$ 算子是稠密的，且满足： ${\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k\right)}^{\ast }\underset{\_}{\prec }J{T}_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^{k}J$。

3) $\psi ,\theta$ 有这样的形式： $\psi \left(z\right)=C_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{Dz}$， $\theta \left(z\right)=Az+2D$，其中 $A,D,C_k$ 是复常数

证明：

1) $\Rightarrow$ 2)，直接由J的自伴性可得。

2) $\Rightarrow$ 3)，由定理3.1可得。

3) $\Rightarrow$ 1)，假设结论3) 是成立的，我们在前面的命题中已经证明了 $T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k$ 是闭算子。

则我们可以称算子 $T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k$ 是密集定义的。

直接的计算有：

$T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k{K}_w\left(z\right)=C_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{w}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{D\bar{w}}{K}_{\bar{A}w+2\bar{D}}^{\left(k\right)}(\; z\; )$

可以推出：

对于每个 $w\in C^n$， $K_w\in Dom\left(T_{\psi }{D}_{\theta }^k\right)$，由命题3.2和3.3可得：

$J{T}_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^{K}J=J{T}_{\tilde{\psi }}{D}_{\tilde{\theta },\max }^{K}J={\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^K\right)}^{\ast }$

因此我们可以得到算子 $T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k$ 是J-自伴的。

定理4.2 对于 $C^n$ 上的两个整函数 $\psi$ 和 $\theta$，令 $T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k$ 是在 $F^2$ 无界的广义加权复合算子，那么算子 $T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k$ 是J-自伴的当且仅当 $T_{\psi }{D}_{\theta }^k=T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k$，且

$\psi \left(z\right)=C_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{Dz}$， $\theta \left(z\right)=Az+B$ (4.1)

其中 $A,D,C_k$ 是复常数。

证明：我们在定理4.1中已经证明了，倘若极大广义加权复合算子的算符具有(4.1)的形式，则我们说它是J-自伴的。

反过来，如果我们假设 $T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k$ 是J-自伴的，满足 ${\left(T_{\psi }{D}_{\theta }^k\right)}^{\ast }=J{T}_{\psi }{D}_{\theta }^{k}J$，在 $T_{\psi }{D}_{\theta }^k\underset{\_}{\prec }{T}_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k$ 的条件下，我们有：

${\left(T_{\psi }{D}_{\theta ，\max }^k\right)}^{\ast }\underset{\_}{\prec }{\left(T_{\psi }{D}_{\theta }^k\right)}^{\ast }=J{T}_{\psi }{D}_{\theta }^{k}J\underset{\_}{\prec }J{T}_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^{k}J$

因为J是自合的，所以我们有 $J{\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k\right)}^{\ast }\underset{\_}{\prec }{T}_{\psi }{D}_{\theta ，\max }^{k}J$。

在定理3.1中我们可以看到， $K_{\omega }\in Dom\left(J{\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k\right)}^{\ast }\right)$，其中 $w\in C^n$。因此可以得到 $J{\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k\right)}^{\ast }{K}_{\omega }=T_{\psi }{D}_{\theta ，\max }^{k}J{K}_{\omega }$，通过定理3.5，我们得到了(4.1)的形式，定理4.1推出了算子 $T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k$ 是J-自伴的。更多的，

$J{T}_{\psi }{D}_{\theta }^{k}J\underset{\_}{\prec }J{T}_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^{k}J={\left(T_{\psi }{D}_{\theta ，\max }^k\right)}^{\ast }\underset{\_}{\prec }{T}_{\psi }{D}_{\theta ，\max }^k=J{T}_{\psi }{D}_{\theta }^{k}J$

因此， $T_{\psi }{D}_{\theta }^k=T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k$。

5. Hermiticity

本节主要讨论了算子 $T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k$ 的算符的结构使得 $T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k$ 在n维Fock空间上具有厄米特性。

定理5.1 $T_{\psi }{D}_{\theta }^k{}_{,\max }$ 是由整函数 $\psi$ 和 $\theta$ 生成的极大广义加权算子，如果算子对于每个 $w\in C^n$，都满足： ${\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k\right)}^{\ast }{K}_{\omega }=T_{\psi }{D}_{\theta ，\max }^k{K}_{\omega }$，则 $\psi \left(z\right)=C_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=\text{k}}{\sum }{z}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{\bar{D}z}$， $\theta \left(z\right)=Az+2D$，其中 $A,D,C_k$ 是实常数。

证明：假设对所有的 $w,z\in C^n$，有

${\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k\right)}^{\ast }{K}_w\left(z\right)=T_{\psi }{D}_{\theta ，\max }^k{K}_w\left(z\right)$ (5.1)

可以推出：

$\psi \left(z\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{\left(\bar{w}\right)}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{\bar{w}\theta \left(z\right)}=\overline{\psi \left(w\right)}{\left(\frac{1}{2}\right)}^k{\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{\left(z\right)}^{\alpha }}\right)}^k{\text{e}}^{\overline{\theta \left(w\right)}z}$ (5.2)

当k = 0时，前人在 [8] 中已经得到了证明，接下来我们主要证明 $k\in N$ 的情况。对(5.2)式对z做k次微分，并令 $z_0=\left(0,\cdots ,0\right)$，我们可得：

$\psi \left(w\right)=\frac{\overline{{\psi }^{\left(k\right)}\left(z_0\right)}}{{\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }\alpha !}}\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{\frac{1}{2}w\overline{\theta \left(z_0\right)}}$ (5.3)

再一次对4.3式关于对w得k次微分，并令 $w_0=\left(0,\cdots ,0\right)$，可得： ${\psi }^{\left(k\right)}\left(w_0\right)=\overline{{\psi }^{\left(k\right)}\left(w_0\right)}$， $k\in N$。

因此， $\psi \left(z\right)=C_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{\bar{D}z}$，其中 $B=\theta \left(0\right)$， $C^k=\frac{{\psi }^{\left(k\right)}\left(w_0\right)}{{\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }\alpha !}}$， $k\in N$，用这个表达式代替(4.2)中的 $\psi$，我们可得， $\left(\overline{\theta \left(w\right)}-2\bar{D}\right)z=\left(\theta \left(z\right)-2\bar{D}\right)\bar{w}$， $z,w\in C^n$，因此， $\frac{\theta \left(z\right)-2D}{z}=A$，其中 $A,C^k\in R$，可以得到， $\theta \left(z\right)=Az+2D$。

定理5.2

令 $T_{\psi }{D}_{\theta }^k{}_{,\max }$ 是由整函数 $\psi$ 和 $\theta$ 生成的极大广义加权复合算子，则以下结论成立：

1) $T_{\psi }{D}_{\theta }^k{}_{,\max }$ 是厄米特算子。

2) $T_{\psi }{D}_{\theta }^k{}_{,\max }$ 是稠密定义的算子，且满足： ${\left(T_{\psi }{D}_{\theta }^k{}_{,\max }\right)}^{\ast }\underset{\_}{\prec }{T}_{\psi }{D}_{\theta }^k{}_{,\max }$。

3) 符号 $\psi$ 和 $\theta$ 的形式为， $\psi \left(z\right)=C_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{\bar{D}z}$， $\theta \left(z\right)=Az+2D$，其中 $D\in C$，且 $A,C_k$ 都是实数。

证明：由定理4.1我们可以得到1) $\Rightarrow$ 2)和2) $\Rightarrow$ 3)，接下来证明3) $\Rightarrow$ 1)，若3)成立，且由前面结果可得， $T_{\psi }{D}_{\theta }^k{}_{,\max }$ 是闭算子，并且是稠密定义的，则根据3.3我们可知， $T_{\psi }{D}_{\theta }^k{}_{,\max }$ 是厄米特算子。

定理5.3 设 $\psi :C^n\to C$， $\theta :C^n\to C$ 的两个整函数，极大广义加权复合算子 $T_{\psi }{D}_{\theta }^k{}_{,\max }$ 是厄米特算子当且仅当 $T_{\psi }{D}_{\theta }^k{}_{,\max }=T_{\psi }{D}_{\theta }^k$，并且 $\psi \left(z\right)=C_k\left({\displaystyle \underset{\left|\alpha \right|=k}{\sum }{z}^{\alpha }}\right){\text{e}}^{\bar{D}z}$， $\theta \left(z\right)=Az+2D$，其中 $D\in C$，且 $A,C_k$ 都是实数。

证明：由定理5.2可以很容易证出问题的充分性，反之，如果解设 $T_{\psi }{D}_{\theta }^k$ 是厄米特算子，由于 $T_{\psi }{D}_{\theta }^k\underset{\_}{\prec }{T}_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k$，我们可以得到， ${\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k\right)}^{\ast }\underset{\_}{\prec }{\left(T_{\psi }{D}_{\theta }^k\right)}^{\ast }=T_{\psi }{D}_{\theta }^k\underset{\_}{\prec }{T}_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k$，因此， ${\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k\right)}^{\ast }{K}_w\left(z\right)=T_{\psi }{D}_{\theta ，\max }^k{K}_w\left(z\right)$， $w,z\in C^n$，定理5.1给出了算符是(5.4)的形式，我们有 $T_{\psi }{D}_{\theta }^k{}_{,\max }$ 是厄米特算子。因为 $T_{\psi }{D}_{\theta }^k\underset{\_}{\prec }{T}_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k\underset{\_}{\prec }{\left(T_{\psi }{D}_{\theta ,\max }^k\right)}^{\ast }\underset{\_}{\prec }{\left(T_{\psi }{D}_{\theta }^k\right)}^{\ast }=T_{\psi }{D}_{\theta }^k$，我们可以得到， $T_{\psi }{D}_{\theta }^k{}_{,\max }=T_{\psi }{D}_{\theta }^k$。因此定理的结论都是成立的。

下面的推论断言了一个非常有趣的事实，即一类复对称型的广义加权复合算子包含适当的厄米特广

义加权复合算子。如果在定理4.2中令 $a=\frac{\bar{D}}{D}$，这就能很容易得到这个结论。

推论5.4 如果无界的广义加权复合算子 $T_{\psi }{D}_{\theta ，\max }^k$ 是厄米特算子，其中 $\psi$ 和 $\theta$ 是 $C^n$ 上的整函数，则 $T_{\psi }{D}_{\theta ，\max }^k$ 是J-自伴的。

基金项目

国家自然科学基金(11671152)。