1. 引言
本文我们考虑如下3维分数阶Boussinesq方程组的正则性准则问题:
(1.1)
其中
表示流体的速度,
表示流体的温度或者密度,
表
示流体的压力,
,
;常数
,
分别表示粘性系数和热扩散系数。Zygmund
算子
通过Fourier变换定义为
,
.
当方程组(1)中
时,为经典的Boussinesq方程组,它被广泛应用于大气科学和海洋流中。在二维情形中,常数
和
不全为零时,经典Boussinesq方程组的全局正则性已有许多的结果,具体可参考文献 [1] [2] [3]。
且
时只有局部适定性结果(可看文献 [4] ),全局正则性仍是开放性问题。而在三维情形中,方程组的全局适定性问题还未解决,因此很多学者给出了解的正则性准则,例如文献 [5] 中给出了解在乘子空间中的正则性准则。
近年来,分数阶Boussinesq方程组越来越吸引众多学者的目光,二维情形下,在
有条件限制下,方程组(1.1)已有许多全局适定性结果,可看文献 [6] [7] [8]。三维情形下方程组(1.1)的全局适定性结果还非常少,所以研究方程组的正则性准则很有必要,可参考文献 [9] [10];文献 [11] 给出了n维情形下在Besov空间中关于速度的梯度的一个正则性准则。
2. 预备知识和主要结论
方便起见,我们先来回顾一下分数阶Boussinesq方程组的弱解的定义。
定义2.1 若作用在
的函数
满足下列条件,则称
是3维分数阶Boussinesq方程组的弱解。
(i)
(ii)
在分布意义下满足方程组(i),即对任意的
,都有等式
和
成立。
下面我们来介绍一下文中要用到的乘子空间;
定义2.2 给定映射
,则有界线性乘子的齐次Banach空间
的范数定义为
且有以下嵌入关系
,
由定义2.2我们不难推出下列引理;
引理2.1 若
,
,则有
,且有
最后我们叙述一下文章的主要定理;
定理2.1 假设
是方程组(1.1)的一个弱解,且初始值满足
,
。如果速度u满足
,
(2.1)
则此弱解在
上是正则的。
3. 定理2.1的证明
首先我们在方程(1.1)1的左右两边同时作用
,再与
作内积,同样的在方程(1.1)2两边同时作用
,与
作内积,利用
的条件,把两式相加后可以得到
(3.1)
接下来我们分别来估计
这三项。对于
,我们应用Plancherel定理,Holder不等式和
Young不等式
可得到
(3.2)
对于
,由于
(3.3)
我们应用Holder不等式,Young不等式,G-N不等式及引理2.1可得
(3.4)
对于
,我们用相同的做法可以得到
(3.5)
然后我们将式子(3.2),(3.4)和(3.5)代入(3.1),化简整理可以得到
(3.6)
由基本不等式
,在上式两边同时加上
,又因为
,所以
有嵌入关系
,即我们有关系式
,
则不等式(3.6)可以变成
(3.7)
利用Gronwall不等式,我们可以得出
(3.8)
最后我们估计式子
,由上式我们可以得到
最后将上式代入(3.8)中,再次利用Gronwall不等式,可以得出
(3.9)
我们得出结论
。