(1 + 1)维Benjiamin Omo方程的精确行波解研究

Study of the Exact Traveling Wave Solutions of (1+1) Dimensional Benjiamin Omo Equation

摘要: 通过行波变换，利用微分方程定性理论与动力系统分支方法，我们得到了(1 + 1)维Benjiamin Omo方程在不同参数形式下的线性波解。

Abstract: Through the traveling wave transformation, by exploiting the qualitative theory of differential equations and the bifurcation method of dynamical systems, we obtained some nonlinearwave solutions for Benjiamin Omo equation under different parameter forms after travelingwave transformation.

1. 研究背景和预备知识

我们考虑如下的Benjiamin Omo方程

$u_{tt}+\beta {\left(u^2\right)}_{xx}+\gamma {{\displaystyle u}}_{{}_{xxxx}}=0.$ (1)

其中 $\beta ,\gamma$ 是任意常数。

(1 + 1) 维Benjiamin Omo方程 [1] [2] [3] 是物理学中一个十分重要的非线性发展方程，已经有许多人对这一模型进行了广泛的研究.如文献 [4] 中用基于改进的投影Riccati法求得了该模型的单变量行波解。文献 [5] 通过Jacobi椭圆函数展开法，求得了该方程的精确周期解。在文献 [6] [7] 中，利用双线性方法和扩展的测试函数求得了其周期孤波解和双周期孤波解。文献 [8] 中通过改进的辅助方程法，求得了该方程的精确解。而本文运用平面动力系统的分支方法定性理论 [9]，讨论方程(1)的非线性波解。

为了研究方程(1)的非线性波，设 $c>0$ 是波速， $u\left(x,t\right)=\phi \left(\xi \right)$， $\xi =x-ct$。将 $u=\phi \left(\xi \right)$ 代入方程(1)可得

$c^2{\phi }^{″}+2\beta {\left({\phi }^{\prime }\right)}^2+2\beta \phi {\phi }^{″}+\gamma {\phi }^{‴}\text{'}=0.$ (2)

对(2)式关于 $\xi$ 积分两次可得

$c^2\phi +\beta {\phi }^2+\gamma {\phi }^{″}=0.$ (3)

令 ${\phi }^{\prime }=y$，得到下面的平面系统

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}\phi }{\text{d}\xi }=y\\ \frac{\text{d}y}{\text{d}\xi }=-\frac{1}{\gamma }\left(\beta {\phi }^2+c^2\phi \right).\end{array}$ (4)

很明显，系统(4)是一个有着Hamiltonian函数的Hamiltonian系统

$H\left(\phi ,y\right)={{\displaystyle y}}^2+\frac{2\beta }{3\gamma }{\phi }^3+\frac{c^2}{\gamma }{\phi }^2.$ (5)

如果令 $f\left(\phi \right)=-\frac{1}{\gamma }\left(\beta {\phi }^2+c^2\phi \right)$

$\Delta =\frac{c^4}{{\gamma }^2}$

则我们有下面的结果。

当 $\Delta >0$ 时， $f\left(\phi \right)$ 有两个零点 ${\phi }_1$ 和 ${\phi }_2$，它们的表达式为

${\phi }_1=0,{\phi }_2=\frac{-c^2}{\beta }.$ (6)

当 $\Delta \le 0$ 时， $f\left(\phi \right)$ 没有零点。

如果 $\tilde{\phi }$ 是系统(4)的一个奇点，那么在 $\left(\tilde{\phi },0\right)$ 的特征值为

$\lambda =\pm \sqrt{f^{\prime }\left(\tilde{\phi }\right)}.$

利用微分方程动力系统的定性理论，我们有下面的结论。

(1) 如果 $f^{\prime }\left(\tilde{\phi }\right)>0$，则 $\left(\tilde{\phi },0\right)$ 是一个鞍点。

(2) 如果 $f^{\prime }\left(\tilde{\phi }\right)<0$，则 $\left(\tilde{\phi },0\right)$ 是一个中心。

(3) 如果 $f^{\prime }\left(\tilde{\phi }\right)=0$，则 $\left(\tilde{\phi },0\right)$ 是一个退化鞍点。

2. Benjiamin Omo方程的行波解的参数表达式

命题1. 当 $\gamma >0,\beta >0$ 时，方程(1)有两个孤立波解 $u_1^{\pm }$ 和两个周期波解 $u_2^{\pm }$。

$u_1^{\pm }=p\left(1-3{\tanh }^2\left(\frac{1}{2}{\eta }_1\left|\xi \right|\right)\right)$ (7)

$u_2^{\pm }=\frac{a_2\left(a_3-a_1\right)-a_2\left(a_3-a_2\right)s{n}^2(\sqrt{\frac{\beta \left(a_3-a_1\right)}{6\gamma }}\left|\xi \right|,\sqrt{\frac{a_3-a_2}{a_3-a_1}})}{a_3-a_1-\left(a_3-a_2\right)s{n}^2\left(\sqrt{\frac{\beta \left(a_3-a_1\right)}{6\gamma }}\left|\xi \right|,\sqrt{\frac{a_3-a_2}{a_3-a_1}}\right)}$ (8)

其中

$p=\frac{c^2}{2\beta },$

${\eta }_1=\sqrt{\frac{c^2}{\gamma }},$

$a_1+a_2+a_3=-\frac{3c^2}{2\beta },$

$a_1{a}_2+a_1{a}_3+a_2{a}_3=0,$

$a_1{a}_2{a}_3=0.$

如图1所示

证明。在(5)式中，令 $H\left({\phi }_2,0\right)=h_1$，则有

${\Gamma }_1^{\pm }:y^2=\frac{2\beta }{3\gamma }\left(-{\phi }^3-\frac{3c^2}{2\beta }{\phi }^2+\frac{3\gamma }{2\beta }{h}_1\right)=\frac{2\beta }{3\gamma }{\left(\phi -{\phi }_2\right)}^2\left(p-\phi \right)$ (9)

由(4)式得

$\frac{\text{d}\phi }{\text{d}\xi }=\pm \sqrt{\frac{2\beta }{3\gamma }{\left(\phi -{\phi }_2\right)}^2\left(p-\phi \right)}$ (10)

积分(10)式得

Figure 1. Track chart of the ${\Gamma }_1^{\pm }$ and ${\Gamma }_2^{\pm }$

图1. ${\Gamma }_1^{\pm }$ 和 ${\Gamma }_2^{\pm }$ 的轨道图

${\displaystyle {\int }_{{\phi }_2}^{\phi }\frac{\text{d}\phi }{\left(\phi -{\phi }_2\right)\sqrt{p-\phi }}}=\pm {\displaystyle {\int }_0^{\xi }\sqrt{\frac{2\beta }{3\gamma }}}\text{d}\xi$ (11)

由(11)式得到方程的孤立波解的表达式为 $u_1^{\pm }$。

同理，在(5)式中，令 $H\left({\phi }_1,0\right)=0$，则有

${\Gamma }_2^{\pm }:y^2=\frac{2\beta }{3\gamma }\left(-{\phi }^3-\frac{3c^2}{2\beta }{\phi }^2\right)=\frac{2\beta }{3\gamma }\left(\phi -a_1\right)\left(\phi -a_2\right)\left(a_3-\phi \right)$ (12)

由(4)式可得

$\frac{\text{d}\phi }{\text{d}\xi }=\pm \sqrt{\frac{2\beta }{3\gamma }\left(\phi -a_1\right)\left(\phi -a_2\right)\left(a_3-\phi \right)}.$ (13)

积分(13)式得

${\displaystyle {\int }_{a_2}^{\phi }\frac{\text{d}\phi }{\sqrt{\left(\phi -a_1\right)\left(\phi -a_2\right)\left(a_3-\phi \right)}}}=\pm {\displaystyle {\int }_0^{\xi }\sqrt{\frac{2\beta }{3\gamma }}}\text{d}\xi .$ (14)

由(14)式得到方程的周期波解的表达式为 $u_2^{\pm }$。

命题2. 当 $\gamma <0,\beta >0$ 时，方程(1)有两个孤立波解 $u_3^{\pm }$ 和两个周期波解 $u_4^{\pm }$。

$u_3^{\pm }=\frac{3c^2}{2\beta }\left({\tanh }^2\left(\frac{1}{2}{\eta }_2\left|\xi \right|\right)-1\right)$ (15)

$u_4^{\pm }=\left(a_2-a_1\right)s{n}^2(\sqrt{\frac{-\beta \left(a_3-a_1\right)}{6\gamma }}\left|\xi \right|,\sqrt{\frac{a_2-a_1}{a_3-a_1}})+a_1$ (16)

其中 ${\eta }_2=\sqrt{-\frac{c^2}{\gamma }}$，

如图2所示

证明。在(5)式中，令 $H\left({\phi }_1,0\right)=0$，则有

${\Gamma }_3{}^{\pm }:y^2=\frac{-2\beta }{3\gamma }({\phi }^3+\frac{3c^2}{2\beta }{\phi }^2)=-\frac{2\beta }{3\gamma }{\phi }^2(\phi +\frac{3c^2}{2\beta })$ (17)

Figure 2. Track chart of the ${\Gamma }_3^{\pm }$ and ${\Gamma }_4^{\pm }$

图2. ${\Gamma }_3^{\pm }$ 和 ${\Gamma }_4^{\pm }$ 的轨道图

由(4)式得

$\frac{\text{d}\phi }{\text{d}\xi }=\pm \sqrt{-\frac{2\beta }{3\gamma }{\phi }^2\left(\phi +\frac{3c^2}{2\beta }\right)}$ (18)

积分(18)式得

${\displaystyle {\int }_{\frac{-3c^2}{2\beta }}^{\phi }\frac{\text{d}\phi }{-\phi \sqrt{\phi +\frac{3c^2}{2\beta }}}}=\pm {\displaystyle {\int }_0^{\xi }\sqrt{-\frac{2\beta }{3\gamma }}}\text{d}\xi$ (19)

由(19)式得到方程的孤立波解的表达式为 $u_3^{\pm }$。

同理，在(5)式中，令 $H\left({\phi }_2,0\right)=h_1$，则有

${\Gamma }_4^{\pm }:y^2=-\frac{2\beta }{3\gamma }\left({\phi }^3+\frac{3c^2}{2\beta }{\phi }^2-\frac{3\gamma }{2\beta }{h}_1\right)=\frac{-2\beta }{3\gamma }\left(\phi -a_1\right)\left(a_2-\phi \right)\left(a_3-\phi \right)$ (20)

由(4)式可得

$\frac{\text{d}\phi }{\text{d}\xi }=\pm \sqrt{-\frac{2\beta }{3\gamma }\left(\phi -a_1\right)\left(a_2-\phi \right)\left(a_3-\phi \right)}$ (21)

积分(21)式得

${\displaystyle {\int }_{a_1}^{\phi }\frac{\text{d}\phi }{\sqrt{\left(\phi -a_1\right)\left(a_2-\phi \right)\left(a_3-\phi \right)}}}=\pm {\displaystyle {\int }_0^{\xi }\sqrt{\frac{-2\beta }{3\gamma }}}\text{d}\xi$ (22)

由(22)式可得到方程的周期波解的表达式为 $u_4^{\pm }$。

命题3。当 $\gamma >0,\beta <0$ 时，方程(1)有两个孤立波解(与 $u_1^{\pm }$ 有着相同形式)和两个周期波解(与 $u_4^{\pm }$ 有着相同形式)。

如图3所示

证明。在(5)式中，令 $H\left({\phi }_2,0\right)=h_1$，则有

${\Gamma }_5^{\pm }:y^2=\frac{-2\beta }{3\gamma }\left({\phi }^3+\frac{3c^2}{2\beta }{\phi }^2-\frac{3\gamma }{2\beta }{h}_1\right)=-\frac{2\beta }{3\gamma }{\left({\phi }_2-\phi \right)}^2\left(\phi -p\right)$ (23)

Figure 3. Track chart of the ${\Gamma }_5^{\pm }$ and ${\Gamma }_6^{\pm }$

图3. ${\Gamma }_5^{\pm }$ 和 ${\Gamma }_6^{\pm }$ 的轨道图

由(4)式得

$\frac{\text{d}\phi }{\text{d}\xi }=\pm \sqrt{-\frac{2\beta }{3\gamma }{\left({\phi }_2-\phi \right)}^2\left(\phi -p\right)}$ (24)

由(24)式得到方程的孤立波解的参数表达式与 $u_1^{\pm }$ 式形式相同。

同理，在(5)式中，令 $H\left({\phi }_1,0\right)=0$，则有

${\Gamma }_6^{\pm }:y^2=-\frac{2\beta }{3\gamma }\left({\phi }^3+\frac{3c^2}{2\beta }{\phi }^2\right)=\frac{-2\beta }{3\gamma }\left(\phi -a_1\right)\left(a_2-\phi \right)\left(a_3-\phi \right)$ (25)

由(4)式可得

$\frac{\text{d}\phi }{\text{d}\xi }=\pm \sqrt{-\frac{2\beta }{3\gamma }\left(\phi -a_1\right)\left(a_2-\phi \right)\left(a_3-\phi \right)}$ (26)

由(26)式可得到方程的周期波解的表达式为与 $u_4^{\pm }$ 形式相同 。

命题4。当 $\gamma <0,\beta <0$ 时，方程(1)有两个孤立波解(与 $u_3^{\pm }$ 有着相同形式)和两个周期波解(与 $u_2^{\pm }$ 有着相同形式)。

如图4所示

证明。在(5)式中，令 $H\left({\phi }_1,0\right)=0$，则有

${\Gamma }_7^{\pm }:y^2=\frac{2\beta }{3\gamma }\left(-{\phi }^3-\frac{3c^2}{2\beta }{\phi }^2\right)=\frac{2\beta }{3\gamma }{\phi }^2\left(-\frac{3c^2}{2\beta }-\phi \right)$ (27)

由(4)式得

$\frac{\text{d}\phi }{\text{d}\xi }=\pm \sqrt{\frac{2\beta }{3\gamma }{\phi }^2\left(-\frac{3c^2}{2\beta }-\phi \right)}$ (28)

由(28)式得到方程的孤立波解的表达式与 $u_3^{\pm }$ 式形式相同。

同理，在(5)式中，令 $H\left({\phi }_2,0\right)=h_1$，则有

Figure 4. Track chart of the ${\Gamma }_7^{\pm }$ and ${\Gamma }_8^{\pm }$

图4. ${\Gamma }_7^{\pm }$ 和 ${\Gamma }_8^{\pm }$ 的轨道图

${\Gamma }_8^{\pm }:y^2=\frac{2\beta }{3\gamma }\left(-{\phi }^3-\frac{3c^2}{2\beta }{\phi }^2+\frac{3\gamma }{2\beta }{h}_1\right)=\frac{2\beta }{3\gamma }\left(\phi -a_1\right)\left(\phi -a_2\right)\left(a_3-\phi \right)$ (29)

由(4)式可得

$\frac{\text{d}\phi }{\text{d}\xi }=\pm \sqrt{\frac{2\beta }{3\gamma }\left(\phi -a_1\right)\left(\phi -a_2\right)\left(a_3-\phi \right)}.$ (30)

由(30)式得到方程的周期波解的表达式与 $u_2^{\pm }$ 形式相同。

综上所述，在不同的参数条件下我们获得了Benjiamin Omo方程的多个行波解的精确解。

NOTES

^*通讯作者。