带损失率约束的甘蔗企业生产计划模型与算例研究

Production Planning Model and Case Study for Sugarcane Enterprises with Loss Rate Constraint

摘要: 在现代“智慧农业”种植与生产的时代背景下，针对我国甘蔗企业生产加工中普遍存在的蔗糖损失高消耗问题，研究如何有效地降低损失率：在不考虑环境温度和湿度等因素影响下，建立了带损失率约束的生产计划0-1二次规划模型；在对模型的特点进行了分析的基础时，应用内点算法计算得到最优的生产计划执行方案。计算结果表明，编制甘蔗企业生产计划存在着一个优先原则：损失率越高且剩余时间越短的货车，就越优先安排生产；损失率越低且剩余时间越长的货车，就越往后安排生产。

Abstract: Under the background of modern “intelligent agriculture” planting and production, in view of the problem of high consumption of sugar in the production and processing of sugar cane enterprises in China, to study how to effectively reduce the loss rate: without considering factors such as ambient temperature and humidity, the 0-1 quadratic programming model of production planning with loss rate constraint is established; on the basis of an analysis of the characteristics of the model, the optimal production plan execution is obtained by using interior point algorithm. The results show that there is a principle of priority in the preparation of production plans for sugar cane enterprises: the higher the loss rate and the shorter the remaining time, the higher the priority of production; the lower the loss rate and the longer the remaining time of the truck, the more later the arrangement of production.

1. 引言

如何降低我国的甘蔗种植生产成本问题的研究，主要存在如下两个方面：第一是在宏观层面进行的定性研究，从整合土地资源培育蔗种开始，直到蔗糖成品进入市场，种植与生产的全方位和全过程链的成本：土地租金成本、劳动力成本、相关生产资料成本(蔗种、农药、施肥、机械设备耕作和收割、装车与企业生产加工)进行综合定性或初步定量分析，如广州甘蔗糖业研究所、广东省甘蔗改良与生物炼制重点实验室的江永等人的研究 [1] [2] [3]；广西民族大学商学院的廖东声等人对广西甘蔗产业现状、生产特点及生产成本项目等方面进行财务会计分析、生产成本核算及成本控制等方面的研究 [4]；第二是在微观层面以“智慧农业”为理念，综合应用北斗遥感卫星影像(RS)、地理信息系统(GIS)与人工智能(AI)优化算法、5G通信与无人机械化种植管理等技术手段，而进行精益种植与精准生产方面的研究，如华南理工大学轻化工研究所的陈山等人应用系统工程的原理与方法，对制糖企业生产管理进行最小二乘法的决策建模 [5] ，来降低企业生产成本；广西农业科学院甘蔗研究所罗亚伟等人的研究，对甘蔗生产全程机械化应用成本及效益进行投入–产出模型分析 [6]。

本文则应用运筹学二次规划建模的原理与最优化方法，对制糖企业生产如何降低蔗糖损失的研究则属于第二方面。

2. 问题描述与建模

广西省某家甘蔗种植与生产基地专业生产蔗糖。甘蔗在收砍后将通过同型号(具有相同载重)的货车运送到甘蔗制糖企业。每辆货车的运输量、能够生产出来的蔗糖取决于甘蔗收砍的地理位置、以及甘蔗成熟度。在收砍之后，甘蔗中的含糖量将因发酵而急剧下降，因而所含糖分损失随时间而增加。如下表1是依据往年历史经验数据，对车辆的损失率以及剩余时间进行统计，得到的每辆货车甘蔗的属性表。

Table 1. The nature of each truck’s sugar cane

表1. 每辆货车甘蔗的属性表

现有n辆货车到达生产企业，在生产企业内有m条固定生产线，每辆货车甘蔗的加工时间平均为t小时，生产制糖企业经营主管希望编制一个生产计划，使得总甘蔗损失降到最低。因为收砍后的甘蔗蔗糖分的损失不仅仅与运送时间有关，还受所处的环境温度、湿度等因素影响，所以生产计划建模过程暂且不考虑环境温度、湿度等因素影响。在每辆货车甘蔗的属性表1中，鉴于甘蔗的最大剩余时间为8小时，设定最早加工时间为0，这样可将整个加工时段分割成4个时段1~2、3~4、5~6、7~8，即每2个小时为一个时段，分别称为时段1、时段2、时段3、时段4。

设0-1变量 $x_{ij}$ 表示第i辆货车是否在第j个时段上加工，即 $x_{ij}=1$ 表示第i辆货车开始在j个时段加工， $x_{ij}=0$ 表示其他情况；第i辆货车的剩余时间为 $b_i$，损失率为 $p_i$ ( $i=1,2,\cdots ,n$ )，则目标函数是使总

的甘蔗损失降到最低，总的甘蔗损失可表示 $\min Z={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{4}{\sum }}tj{p}_i}}{x}_{ij}$，约束条件如下：

(1) 每辆货车必须编制在4个时段至少1次且仅1次的限制： ${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{4}{\sum }}{x}_{ij}}=1$。

(2) m条固定生产线，每个时段最多只能同时允许m辆货车加工，可表述为 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{ij}}\le m$。

(3) 每车甘蔗平均加工时间为t小时，甘蔗必须在质量寿命结束之前完成加工的限制，即 $t{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{4}{\sum }}j{x}_{ij}}\le b_i$。

所以生产计划模型描述如下：

$\min Z={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{4}{\sum }}tj{p}_i}}{x}_{ij}$

${\displaystyle \underset{j=1}{\overset{4}{\sum }}{x}_{ij}}=1$ $\forall i=1,2,\cdots ,n$ ①

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_{ij}}\le m$ $\forall j=1,2,3,4$ ②

$t{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{4}{\sum }}j{x}_{ij}}\le b_i$ $\forall i=1,2,\cdots ,n$ ③

$x_{ij}=0或1$ $\forall i=1,2,\cdots ,n$ $\forall j=1,2,3,4$ ④

3. 模型分析与算例

模型分析：除了约束条件① ②是线性约束(分别为等式约束与不等式约束)外，另两个约束条件③ ④则为非线性约束(分别是不等式约束与等式约束)，因为按照求解非线性0-1二次规划问题的NCP函数法思想 [7] ，可将0-1变量等价转化为非线性不等式与等式约束，即

$x_{ij}\in \{0,1\}\iff x_{ij}\ge 0$， $1-x_{ij}\ge 0$， $x_{ij}\left(1-x_{ij}\right)=0$ $\forall i=1,2,\cdots ,n$ $\forall j=1,2,3,4$

目标函数为非线性二次函数，这是0-1二次规划模型 [8] ，于是应用非线性凸二次规划的内点算法 [9] [10] 来求解，可在运筹学软件包如Matlab [11] 中编程、或Excel加载宏规划求解中实现 [12]。选择Excel加载宏规划求解的计算平台，设置目标函数与约束条件的相应参数后，得到的计算结果见表2所示。

最优方案生产计划表2不仅表明：编号为4、5、6、13的货车在时间片段1加工；编号为3、10、12、14的货车在时间片段2加工；编号为2、9、11、15的货车在时间片段3加工；编号为1、7、8的货车在时间片段4加工，甘蔗最小损失量是2440 kg，而且还发现编制生产计划的一条优先原则：损失率越高、剩余时间越短的货车，就越优先安排生产；损失率越低、剩余时间越长的货车，就越往后安排生产。

Table 2. The optimal plan of production planning for sugarcane enterprises

表2. 甘蔗企业生产计划的最优方案

4. 结束语

本文简要地概括了如何降低我国甘蔗种植生产成本问题存在的两大研究方向，针对我国南方甘蔗企业生产加工中普遍存在的蔗糖损失消耗问题，在暂不考虑环境温度和湿度等因素的影响下，研究了如何有效地降低损失率，建立了带损失率约束的生产计划非线性0-1二次规划模型，并对模型的特点进行了必要的分析，应用求解二次规划模型的内点算法，计算得到最优的生产计划执行方案，算例结果还表明，编制甘蔗企业生产计划存在着一个优先原则：损失率越高且剩余时间越短的货车，就越优先安排生产；损失率越低且剩余时间越长的货车，就越往后安排生产。

基金项目

项目来源湖北省自然科学青年基金(Z2020202)。