1. 逆矩阵的概念 [1]
n阶方阵A是可逆的,如果存在数域P上的n阶方阵B,使得
,这里的E是n阶单位阵。当A可逆时,逆矩阵由A唯一确定,记为
。
2. 利用初等变换求矩阵的逆 [1]
初等变换法:
1.
对于阶数
的矩阵一般采用初等行变换,但需要注意用上述方法求矩阵的逆只可以用初等行变换。
2. 可以利用
。
3. 特别的当A是可逆的,可以用
,
快速求出
和
。
例1:
求矩阵
的逆矩阵
解:利用
故
。
例2 求矩阵
的逆矩阵
解利用
故
。
3. 利用伴随矩阵求矩阵的逆 [2]
伴随矩阵法:
对于阶数比较低(
)的矩阵或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此方法求逆矩阵。特别的对
于2阶方阵
的伴随矩阵为
,即可以概括为主对角元素互换,次对角元素
变号。
例3 求矩阵
的逆矩阵
解:
各个元素的代数余子式分别为:
,
,
,
,
,
,
,
,
,故有伴随矩阵
,有公式
,故
。
4. 利用哈密顿–凯莱定理求逆矩阵 [3]
定理:设A是数域P上的n阶方阵,则
是A的特征多项式,
,
记
可以得到
注:此种方法适用于阶数不多的矩阵求逆。
例4 求矩阵
的逆矩阵
解:A的特征多项式为
,由哈密顿–凯莱定理有
,所以得到
5. 利用分块矩阵求矩阵的逆
分块矩阵多适用于高阶矩阵求逆。
对于分块的对角矩阵或次对角交矩阵可以有公式一、公式二成立 [4];
公式一
,
,其中每个
均为可逆矩阵。
例5 已知
,求
将A分块如下
,其中,
,
,对于二阶矩阵可求得,
,
,所以有
。
可见对于矩阵分块可以简化高阶矩阵求逆,将其转化为容易求逆的低阶矩阵,进而在求逆。
设矩阵
,其中ABCD均为方阵。
方法一1:
则可以利用初等变换
方法二:利用
进行初等行变换或者初等列变换:
1. 进行行初等变换得到
,
为初等矩阵
2. 进行列初等变换得到
,
为初等矩阵
有
3. 或者同时进行行列的初等变换
,其中每个
均为可逆的对角矩阵,
,
则
利用上面的分块矩阵的初等变换的步骤很容易算出,
,这四类分
块矩阵的逆矩阵了。
例6 已知
,求
将
,其中
,则有
。
利用方法一:
利用方法二:
故
。
6. 利用初等循环矩阵进行求逆
A为
阶循环矩阵,如果存在多项式,
满足
,称多项式
为A的关联多项式,这里的系数
正好是第一行元素。
初等循环矩阵定义:A的行和为
,则
(i)
(ii) 当A可逆,且
,则有
。
证明:
,两边取逆
。
定理 [5]:设A为
阶循环矩阵且可逆,则可以证明下列结论成立
(i)
(ii) 证明:
,所以有
,A的逆右乘两端得:
,化简移项得:
,所以有
成立。
结论:通过(i)我们知道,如果可用
来表示一个初等循环矩阵B,其中A是一个初等循环矩阵并且A的逆矩阵易求。
例7设
,求
。
解:
,设
,
,
,
则有
。
推论:通过构造初等循环矩阵,利用一个公式就能轻松地求出一个较为复杂的矩阵的逆。同时我们还可以与上面的分块矩阵求逆相结合,把一个求高阶的循环矩阵变成求低阶的循环矩阵。
7. 总结
本篇文章利用矩阵的初等变换,分块矩阵的初等变换以及哈密顿–凯莱定理对矩阵求逆的方法,进行了总结分析。以上求逆矩阵的方法只是一些初步认识,通过归纳总结可以看出,在求逆矩阵的过程中,必须熟练掌握运用相关的可逆矩阵定理和性质,同时运用恰当的技巧可使计算更加简便。但是文章最后我们用了初等循环矩阵求逆,这是针对一类特殊类型的矩阵求逆,所以我们能看到矩阵求逆的方法多种多样,对于其他类型的矩阵求逆,则需要继续深入研究。
NOTES
1李扬高等代数强化讲义[Z]. 2021。