理论数学  >> Vol. 11 No. 10 (October 2021)

单纯3-设计与群PSL(2,q),q≡1(mod4)
Simple 3-Designs and Group PSL(2,q), q≡1(mod4)

DOI: 10.12677/PM.2021.1110188, PDF, HTML, XML, 下载: 29  浏览: 89  国家自然科学基金支持

作者: 韦萌萌, 李伟霞*:青岛大学数学与统计学院,山东 青岛

关键词: 3-齐次的自同构群3-设计3-Homogeneous Automorphism Group 3-Design

摘要: 在本文中,我们以特殊射影线性群PSL(2,q)为自同构群,考虑了PSL(2,q)在射影直线X=GF(q)∪{∞}上的作用,其中q是一个素数幂且q≡1(mod4)。通过取PSL(2,q)作用下的轨道的并,我们构建了一些单纯3-设计。
Abstract: In this paper, we consider the action of PSL(2,q) acting as a group of automorphisms on the projective line X=GF(q)∪{∞}, where q is a prime power and congruent to 1 modulo 4. We construct some simple 3-designs by taking a union of orbits under the action of PSL(2,q).

文章引用: 韦萌萌, 李伟霞. 单纯3-设计与群PSL(2,q),q≡1(mod4)[J]. 理论数学, 2021, 11(10): 1685-1690. https://doi.org/10.12677/PM.2021.1110188

1. 引言

t , v , k λ 是整数,其中 0 < t k < v λ > 0 。令X是一个v-集合, B 是X的一组k-子集,若X的任意给定的t-子集都恰好出现在 B λ 个成员之中,则称有序对 ( X , B ) 是一个 t - ( v , k , λ ) 设计,其中X的元素称为点, B 中的成员称为区组。若 B 中的任意两个区组都不相同,则称这个设计为单纯的。在本文中,我们只考虑单纯t-设计。

G s y m ( X ) ,对于任意 g G S X ,令 g ( S ) = { g ( x ) | x S } G ( S ) = { g ( S ) | g G } G S = { g G | g ( S ) = S } 分别称为S的轨道和稳定子群,且 | G | = | G ( S ) | | G S | [1] 。长度为 | G | 的轨道 G ( S ) 称为正则轨道,即 | G ( S ) | = | G | ,其它的轨道称为非正则轨道。对于任意的 x , y X ,若存在 g G 使 g ( x ) = y ,则称G在X上的作用是传递的。若G在集合 P k ( X ) 上的作用是传递的,其中 P k ( X ) 是X的所有k-子集

的集合,则称G是k-齐次的。

在本文中,设 q = p n ,其中 q 1 ( mod 4 ) 且p为素数, X = G F ( q ) { } 为射影直线。对于任意的 a , b , c , d G F ( q ) ,定义映射f:

x a x + b c x + d = f ( x ) ,

其中 a d b c G F ( q ) 中的一个非零平方元。所有形如f的映射的集合构成一个群,称为射影特殊线性群 PSL ( 2 , q ) 。以下总是用G表示 PSL ( 2 , q )

q 3 ( mod 4 ) 时,群G是3-齐次的,即G作用在集合 P 3 ( X ) 上是传递的。因此,G在 P k ( X ) 上作用的轨道可以构造出单纯3-设计。文献 [2] [3] 给出了以G为自同构群,区组长度为4,5和6的单纯3-设计的完整结果。目前,这种设计的最好结果在文献 [4] 中,给出了所有以G为自同构群,区组长度为k的所有单纯3-设计,其中 k 0 , 1 ( mod p ) 。然而,当 q 1 ( mod 4 ) 时,G不是3-齐次的。因此,G在 P k ( X ) 上作用的轨道不一定能构造出单纯3-设计。但在文献 [5] 中提供了一种方法,可以利用G在 P k ( X ) 上作用的轨道的并来构造单纯3-设计。通过这种方法,文献 [6] [7] 找到了一些单纯3-设计存在的例子。

本文在文献 [6] [7] 的基础上,借助上述方法给出了其它单纯3-设计的一些例子。

2. 预备知识

下面的引理给出了G的所有子群。

引理1 [8] G的一个子群必为下列之一:

1) p m 阶初等Abel群,其中 m n

2) 循环群 C d d | q ± 1 2

3) 2d阶二面体群, d | q ± 1 2

4) A 4

5) S 4 ,当 q 2 1 ( mod 16 ) 时;

6) p m 阶初等Abel群和d阶循环群的半直积,其中 d | q 1 2 d | ( p m 1 )

7) A 5 ,当 q 2 1 ( mod 5 ) 时;

8) PSL ( 2 , p m ) ,其中 m | n

9) PGL ( 2 , p m ) ,其中 2 m | n

以下总假设K是群G的一个子群, N l 表示K在X上作用的长度为 的轨道的条数。在文献 [7] [9] [10] 中都介绍了下面引理所列举的结果。

引理2设K是一个d阶循环群,则

1) 若 d | ( q + 1 ) / 2 ,则 N d = q + 1 d

2) 若 d | ( q 1 ) / 2 ,则 N 1 = 2 N d = q 1 d

3) 若 d = p ,则 N 1 = 1 N d = q d

引理3设K是一个 p m 阶初等Abel群和一个d阶循环群的半直积,其中 d | q 1 2 d | ( p m 1 ) ,则 N 1 = 1 N p m = 1 且其他轨道是正则的。

引理4设 K = PSL ( 2 , p m ) ,其中 m | n ,则

1) 若n/m是奇数,则 N p m + 1 = 1 且其他轨道是正则的;

2) 若n/m是偶数,则 N p m + 1 = 1 N p m ( p m 1 ) = 1 且其他轨道是正则的。

3. 主要结果

以下总假设 θ G F ( q ) 的一个本原元。下面的引理指出,我们可以通过G在 P k ( X ) 上作用轨道的并来构造一个3-设计。设 B 是X的k-子集的一个集合,Δ是X的一个t-子集,其中 t < k 。令 λ B ( Δ ) 表示 B 中包含Δ的k-子集的个数,即 λ B ( Δ ) = | { B | B B , Δ B } |

引理5 [6] 设Γ是G在X的k-子集上作用的一个轨道,则

λ Γ ( { 0 , 1 , } ) = λ θ Γ ( { 0 , θ , } ) ,

λ θ Γ ( { 0 , 1 , } ) = λ Γ ( { 0 , θ , } ) .

B = Γ θ Γ ,则 λ B ( { 0 , 1 , } ) = λ B ( { 0 , θ , } ) 。因此, ( X , B ) 是一个3- ( q + 1 , k , λ ) 设计,其中 λ = k ( k 1 ) ( k 2 ) | G B |

以下我们总假设 H = { 1 , θ 2 , θ 4 , , θ q 3 } f ( x ) = θ 2 x g ( x ) = 1 x ,其中 x X ,则 f , g G ,易见 f , g G H 。因 | f | = q 1 2 | g | = 2 g f = f 1 g ,故 f , g D q 1 ,易见 f , g G H

定理1设 q 1 ( mod 8 ) q > 11 k = q 1 2 ,则存在一个单纯3- ( q + 1 , k , ( k 1 ) ( k 2 ) 2 ) 设计。

证明取 B = H ,令 B = Γ θ Γ ,其中 Γ = G ( B ) = { g ( B ) | g G } ,由引理5知, ( X , B ) 是一个3- ( q + 1 , k , λ ) 设计,其中

λ = k ( k 1 ) ( k 2 ) | G B | .

f , g G B ,故 ( 2 k ) | | G B | ,可得 λ | ( k 1 ) ( k 2 ) 2 。又 q 1 ( mod 8 ) ,故 k 0 ( mod 4 ) ,从而 ( k 1 ) ( k 2 ) 2 为奇数,可得 λ 为奇数。所以 ( X , B ) 是一个单纯3-设计。

f , g G B ,由引理1知, G B 不为循环群或初等Abel群。又 | f | = k > 5 ,故 G B 中含有阶数大于5的元素,从而 G B 不为 A 4 S 4 A 5 。又 k = q 1 2 ,故 ( k , p ) = 1 。若 G B 是阶数为 p m d 的半直积,则 ( 2 k ) | p m d 。又p是奇素数,故 ( 2 k , p m ) = 1 ,所以 ( 2 k ) | d ,可得 d > k 。由引理2知,这是不可能的。

G B = PSL ( 2 , p m ) ,其中 m | n ,则B是由 PSL ( 2 , p m ) 在X上作用的轨道的并构成。由引理4知, | B | p m + 1 。又 f G B | B | = k ,故 G B 中元素的最大阶为k。而 PSL ( 2 , p m ) 中元素的最大阶为 p m + 1 2 ,故 k = p m + 1 2 ,即 | B | = p m + 1 2 ,与 | B | p m + 1 矛盾。

G B = PGL ( 2 , p m ) ,其中 ( 2 m ) | n ,则 G B 中元素的最大阶为 p m + 1 。因此 k = p m + 1 ,即

p m + 1 = q 1 2 = p n 1 2 ,

可得 p m | 3 。所以 p = 3 m = 1 ,故 k = 4 ,与 k > 5 矛盾。

综上所述, G B 是阶数为2d的二面体群,其中 d | q ± 1 2 。因 f G B ,故 d = q 1 2 ,从而 G B = f , g ,所以 λ = ( k 1 ) ( k 2 ) 2

定理2设 q 1 ( mod 8 ) q > 11 k = q 1 2 + 2 ,则存在一个单纯3- ( q + 1 , k , k ( k 1 ) 2 ) 设计。

证明取 B = H { 0 , } ,易知 f , g G B f , g G B 。令 B = Γ θ Γ ,其中 Γ = G ( B ) = { g ( B ) | g G } ,由引理5知, ( X , B ) 是一个3- ( q + 1 , k , λ ) 设计,其中

λ = k ( k 1 ) ( k 2 ) | G B | .

f , g G B ,故 ( 2 k 4 ) | | G B | ,从而 λ | k ( k 1 ) 2 。又 q 1 ( mod 8 ) ,故 k 2 ( mod 4 ) ,从而 k ( k 1 ) 2 为奇数,可得 为奇数。所以, ( X , B ) 是一个单纯3-设计。

f , g G B ,由引理1知, G B 不为循环群或初等Abel群。又 k > 7 ,则 | f | = k 2 > 5 ,从而 G B 中含有阶数大于5的元素,所以 G B 不为 A 4 S 4 A 5 。又 k = q 1 2 + 2 ,故 ( k 2 , p ) = 1 。若 G B 是阶数为 p m d 的半直积,则 ( 2 k 4 ) | p m d 。又p是奇素数,故 ( 2 , p ) = 1 ,从而 ( 2 ( k 2 ) , p ) = 1 ,所以 ( 2 k 4 ) | d ,可得 d > k 。由引理2知,这是不可能的。

G B = PSL ( 2 , p m ) ,其中 m | n ,则 G B 中元素的最大阶为 p m + 1 2 ,而 G B 中含有阶数为 k 2 的元素,故 k 2 p m + 1 2 ,即 q p m + 2 。所以 m = n ,即 G B = PSL ( 2 , q ) ,从而 G B 中含有 q + 1 2 阶元 h 1 ,而 h 1 无不动点,与 k = q + 1 2 + 1 矛盾。

G B = PGL ( 2 , p m ) ,其中 ( 2 m ) | n ,设 h 2 G B 中阶数为 p m + 1 的元素,则 k 2 | h 2 | k ,而 h 2 无不动点,故

p m + 1 = k = q 1 2 + 2 = p n + 3 2 ,

可得 p m | 1 。所以 p = 1 ,从而 q = 1 ,与 q > 11 矛盾。

综上所述, G B 是阶数为2d的二面体群,其中 d | q ± 1 2 。因 f G B ,故 d = q 1 2 ,从而 G B = f , g ,所以 λ = k ( k 1 ) 2

定理3设 q 1 ( mod 4 ) q > 11 k = q 1 2 + 1 ,则存在一个单纯3- ( q + 1 , k , k ( k 2 ) ) 设计。

证明取 B = H { 0 } ,易知 f G B ,从而 f G B 。令 B = Γ θ Γ ,其中 Γ = G ( B ) = { g ( B ) | g G } ,由引理5知, ( X , B ) 是一个3- ( q + 1 , k , λ ) 设计,其中

λ = k ( k 1 ) ( k 2 ) | G B | .

f G B ,故 ( k 1 ) | | G B | ,从而 λ | k ( k 2 ) 。又 q 1 ( mod 4 ) ,故k为奇数,从而 k ( k 2 ) 为奇数,可得 λ 为奇数。所以, ( X , B ) 是一个单纯3-设计。

f G B ,由引理1知, G B 不为初等Abel群。又 k > 6 ,则 | f | = k 1 > 5 ,从而 G B 中含有阶数大于5的元素,所以 G B 不为 A 4 S 4 A 5 。若 G B = D 2 d ,则 ( k 1 ) | d ,即 q 1 2 | d ,从而 d = q 1 2 = k 1 ,而 | G B | = ( 2 k 2 ) | k ( k 1 ) ( k 2 ) ,故 2 | k ( k 2 ) ,与 k ( k 2 ) 为奇数矛盾。所以 G B 不为二面体群。又 k = q 1 2 + 1 ,故 ( k 1 , p ) = 1 ,从而 ( k 1 , p m ) = 1 。若 G B 是阶数为 p m d 的半直积,则 ( k 1 ) | p m d ,即 q 1 2 | p m d ,从而 q 1 2 | d ,可得 d = q 1 2 。因 d | ( p m 1 ) ,故 q 1 2 | ( p m 1 ) ,所以 m = n ,即 | G B | = q ( q 1 ) 2 。因B是由 G B 在X上作用的轨道的并构成,由引理3知, | B | q ,而 | B | = k = q + 1 2 ,与 q > q + 1 2 矛盾。

G B = PSL ( 2 , p m ) ,其中 m | n ,则B是由 PSL ( 2 , p m ) 在X上作用的轨道的并构成。由引理4知, | B | p m + 1 。又 f G B ,故 G B 中含有阶数为 k 1 的元素。而 PSL ( 2 , p m ) 中元素的最大阶为 p m + 1 2 ,故 k 1 p m + 1 2 ,即 k p m + 1 2 + 1 ,因此 p m + 1 | B | p m + 1 2 + 1 。所以 p m + 1 p m + 1 2 + 1 ,即 p m 1 ,可得 p = 1 ,从而 q = 1 ,与 q > 11 矛盾。

G B = PGL ( 2 , p m ) ,其中 ( 2 m ) | n ,设h是 G B 中阶数为 p m + 1 的元素,则 k 1 | h | k ,而h无不

动点,故

p m + 1 = k = q 1 2 + 1 = p n + 1 2 ,

可得 p m | 1 。所以 p = 1 ,从而 q = 1 ,与 q > 11 矛盾。

综上所述, G B 是d阶循环群,其中 d | q ± 1 2 。因 f G B ,故 d = q 1 2 。所以 G B = f ,故 λ = k ( k 2 )

致谢

衷心感谢导师李伟霞在本文写作过程中的悉心指导。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(11501315)。

NOTES

*通讯作者。

参考文献

[1] Biggs, N.L. and White, A.T. (1979) Permutation Groups and Combinatorial Structures. Cambridge University Press, Cambridge, 1-27.
https://doi.org/10.1017/CBO9780511600739
[2] Cusack, C.A., Graham, S.W. and Kreher, D.L. (1995) Large Sets of 3-Designs from with Block Sizes 4 and 5. Journal of Combinatorial Designs, 3, 147-160.
https://doi.org/10.1002/jcd.3180030207
[3] Omidi, G.R., Pournaki, M.R. and Tayfeh-Rezaie, B. (2007) 3-Designs with Block Size 6 from and Their Large Sets. Discrete Mathematics, 307, 1580-1588.
https://doi.org/10.1016/j.disc.2006.09.009
[4] Cameron, P.J., Maimani, H.R., Omidi, G.R. and Tayfeh-Rezaie, B. (2006) 3-Designs from . Discrete Mathematics, 306, 3063-3073.
https://doi.org/10.1016/j.disc.2005.06.041
[5] Li, W.X. (2010) On the Existence of Simple 3-(30,7,15) and 3-(26,12,55) Designs. Ars Combinatoria, 95, 531-536.
[6] Balachandran, N. and Ray-Chaudhuri, D. (2007) Simple 3-Designs and with . Designs Codes Crytography, 44, 263-274.
https://doi.org/10.1007/s10623-007-9096-z
[7] Liu, W.J., Tang, J.X. and Wu, Y.X. (2012) Some New 3-Designs from with . Science China Mathematics, 55, 1901-1911.
https://doi.org/10.1007/s11425-012-4454-3
[8] Dickson, L.E. (1958) Linear Groups, with an Introduction to the Galois Field Theory. Dover Publications, New York, 260-287.
[9] Huber, M. (2007) A Census of Highly Symmetric Combinatorial Designs. Journal of Algebraic Combinatorics, 26, 453-476.
https://doi.org/10.1007/s10801-007-0065-4
[10] Tang, J.X., Liu, W.J. and Wang, J.H. (2013) Groups and 3- Designs. Ars Combinatoria, 110, 217-226.