1. 引言
物理为数学的研究提供背景,数学为物理提供研究工具。本文正是基于这样的基本思想,通过建立测度论与路径积分的联系,得到路径积分的物理量间的新的关系。
2. 考虑有限的平面路径积分情形
考虑x-t的平面路径积分图(如下),将其看作为平面矩形图( [1] )。于是坐标
满足:
I区域:
,
II区域:
,
Figure 1. Simple plane path integral diagram
图1. 简单平面路径积分图
对于图1,由于区域
是矩形平面初等集,其测度为:
这里m是满足
的Lebesgue测度,所以该平面是坐标
的集族
。由于该平面内的点属于
,并且满足条件:
1)
,且
;
2)
的测度为
因此该平面矩形的测度m满足
可加性。
现在考虑一种简单的自由粒子对
的近似情况:
由路径积分( [2] )中的
计算
这里假设路径为贯穿两个区域的一条直线,所以有
由前面的测度理论可得
速度为
其中
。将
替换为
;
替换为
,所以
根据delta函数的性质,可得
.
3. 趋近无穷时的平面路径积分情形
下面研究自由粒子的路径趋近
时的情形(如下图2):
根据前面的已知条件,
是初等集集族,测度m具有
可加性。考虑图2的情形,不妨令路径间的间距相等,得到的路径积分( [3]、 [4] )为
Figure 2. Multi-planar path integral diagram
图2. 多重平面路径积分图
这里
,
。令
,因为
将
代入,就有
代入,得到
可以写成
若只考虑坐标点之间的关系,可得
(1)
其中令
(2)
将(1)式与(2)式进行比较,得到
当
时,得到
当
时,得到
当
时,得到
所以由
所以
前面已令
,所以知
,所以
其中
。
取矩形
,已知A的外测度是
。则任何与A相邻的矩形B,使得
有图3所示的几种情形:
Figure 3. Several adjacent rectangular graphs
图3. 几种相邻矩形图
所以
,这里
因为
所以
,同时
。所以有路径积分
令
为Lebesgue意义( [1]、 [5] )下的路径积分。再令
就有
。
考虑矩形
形成具有m测度的环
,且
,可知
所以
由于
,
在此条件下令
所以
是Jordan集。得到Jordan意义( [1]、 [5] )下的路径积分
.
下面考虑由图4给出的两种情形:
测度m给定在X里的集半环
,
,
,在图(I)情形下,
,由初等集的性质就得到
因为
Figure 4. Arbitrary path integral diagram
图4. 任意路径积分图
所以就有
所以在P区域的自由粒子的路径积分为:
并且满足
(3)
当“=”成立时,
,所以在此条件下有Caratheodory意义( [1]、 [5] )下可测的路径积分,并且
。
在图(II)的情形下:
因为
所以
即
(4)
因为
当且仅当
,即
时,“=”成立。所以就有
在此条件下有Caratheodory意义( [1]、 [5] )下可测的路径积分,且
。
4. 总结
通过以上的论述和计算得到了在Hilbert紧空间变换条件下的两个从不同方向趋近的能级表达式,所得到的两个能级表达式体现为在谐波振子状态下的距离不对称性。然而相关的深入研究以及应用问题还需要进一步地加深探索。