函数域上双重酉除数函数的均值
The Average Value of Bi-Unitary Divisor Function in Function Fields
DOI: 10.12677/PM.2021.1110192, PDF, HTML, XML, 下载: 58  浏览: 127 
作者: 马顺琪:青岛大学数学与统计学院,山东 青岛
关键词: 双重酉除数函数函数域均值Bi-Unitary Divisor Function Function Fields Average Value
摘要: 设Fq为q元有限域,在函数域Fq(T)中,我们称首一多项式d为多项式f的酉因式,如果f=dδ且(d,δ)=1。若d同时为多项式f与g的酉因式,则称d是f与g的酉公因式。记(f,g)∗∗为f与g的次数最大的首一酉公因式。我们称g是f的双重酉因式,如果f=gh且(g,h)∗∗=1。令τ∗∗(f)为f的双重酉因式的个数,本文研究了τ∗∗(f)的均值,并给出了相应的渐近公式。
Abstract: Let Fq be the finite field with q elements. In the function field Fq(T), a monic divisor d of a polynomial f is called unitary, if f=dδ and (d,δ)=1. For polynomials f,g, if d is an unitary divisor of both f and g, it is called the common unitary divisor of them. Let (f,g)∗∗ be the common unitary monic divisor of f and g, whose degree is the largest. We say a divisor g of f is bi-unitary, if f=gh and (g,h)∗∗=1. Let τ∗∗(f) denote the number of bi-unitary divisor of f. We consider the average value of τ∗∗(f) and give a corresponding asymptotic formula.
文章引用:马顺琪. 函数域上双重酉除数函数的均值[J]. 理论数学, 2021, 11(10): 1712-1719. https://doi.org/10.12677/PM.2021.1110192

1. 引言

对于正整数n,除数函数 τ ( n ) 表示n的正除数的个数。1849年,Dirichlet (见文献 [1] )考虑了 τ ( n ) 的均值并给出了以下渐近公式:

n x τ ( n ) = x ( log x + 2 γ 1 ) + O ( x ) ,

其中 x 2 γ 是欧拉常数。1874年,Mertens (见文献 [2] )考虑了酉除数函数的均值。如果正整数 n = d δ gcd ( d , δ ) = 1 ,则称d是n的一个酉除数。记 τ ( n ) 为n的全部酉除数的个数,Mertens证明了

n x τ ( n ) = x ζ ( 2 ) ( log x + 2 γ 1 2 ζ ( 2 ) ζ ( 2 ) ) + O ( x log x ) ,

其中 ζ ( s ) ζ ( s ) 分别表示Riemann-zeta函数及其导函数。1972年,Suryanarayana [3] 进一步考虑了双重酉除数函数的均值。若d是最大的a与b的公共酉除数,则称d为a与b的最大酉公因子,记作 d = ( a , b ) 。如果d满足 n = d δ ( d , δ ) = 1 ,则称d为n的双重酉除数。令 τ ( n ) 为n的全部双重酉除数的个数,Suryanarayana得到

n x τ ( n ) = A x ( log x + 2 γ 1 + 2 p ( p 1 ) 2 p 2 log p ( p 2 + 1 ) ( p 4 + 2 p 1 ) + 2 B ) + O ( x 1 / 2 log x ) ,

其中A与B是常数, p 表示对所有素数求和。其他相关研究还可参见文献 [4] 与 [5]。

F q 为q元有限域,在函数域 F q ( T ) 中,类似的我们也可以考虑各类除数函数的均值。对于 f F q [ T ] ,令 τ ( f ) 表示f的全部首一因式的个数,我们有(见文献 [6] )

f τ ( f ) = ( n + 1 ) q n ,

其中 f 表示对所有 n 1 次首一多项式求和。最近,牛威 [7] 考虑了函数域上酉除数函数的均值。令 τ ( f ) 表示f的全部首一酉因式的个数,他证明了对于任意 ε > 0 ,有

f τ ( f ) = ( n + 1 ) q n + O ε ( n q n 1 / 2 + ε ) ,

其中 f 表示对所有 n 1 次首一多项式求和。

本文将讨论函数域上双重酉除数函数的均值,并给出相应的渐近公式。为简单起见,令 Α = F q [ T ] 表示有限域 F q 上的一元多项式环,令M表示A中所有首一多项式构成的集合, Μ n 表示A中所有n次首一多项式构成的集合。

对于任意 f , d , δ Α ,若 f = d δ ( d , δ ) = 1 ,则称d是f的酉因式,记作 d | | f 。设 f , g Α 且不全为0,如果多项式 d Μ 满足:

1) d | | f , d | | g

2) 若有任意的多项式h满足 h | | f , h | | g ,则一定有 h | d

那么称d是 f , g 的最大酉公因式,记作 d = ( f , g ) 。容易证明,任意 f , g Α 的最大酉公因式存在且唯一。若 f = g h ( g , h ) = 1 ,则称g是f的双重酉因式。令 τ ( f ) 表示多项式f的所有双重酉因式的个数,我们有以下结果。

定理1.1 对于任意整数 n 1 以及 0 < ε < 1 / 2 ,我们有

f Μ n τ ( f ) = ( n + 1 ) q n + O ε ( n q n 1 / 2 + ε ) .

符号说明:

2. 预备知识与引理

2.1. 函数域上的Zeta函数

为证明定理1.1,我们首先介绍函数域上zeta函数的定义与性质。函数域 F q ( T ) 中多项式f的范数定义为 f : = q deg f ,其中 deg f 表示f的次数。函数域 F q ( T ) 上的zeta函数为(见文献 [6] )

ζ Α ( s ) = f Μ 1 f s , ( s ) > 1 , (2.1)

其欧拉乘积为

ζ Α ( s ) = irr . P Μ ( 1 1 P s ) 1 , ( s ) > 1 , (2.2)

其中无穷乘积历遍所有首一的不可约多项式。根据(2.1)式,我们可以得到

ζ Α ( s ) = 1 1 q 1 s , ( s ) > 1 . (2.3)

根据(2.3)式可知,函数 ζ Α ( s ) 可以解析延拓到整个复平面并且在 s = 1 处为简单极点。为简单起见,令 u = q s ,则(2.3)式可写为

ζ ^ Α ( u ) : = 1 1 q u , | u | < q 1 . (2.4)

2.2. 双重酉除数函数的性质

我们首先证明双重酉除数函数 τ ( f ) 是可乘的。

引理2.2.1. 对任意 f , g Μ { 0 } ( f , g ) = 1 ,有

τ ( f g ) = τ ( f ) τ ( g ) .

证明:由 τ ( f ) 定义,有

τ ( f g ) = d | f g ( d , f g / d ) = 1 1 .

因为 ( f , g ) = 1 d | f g ,所以存在 d 1 , d 2 Μ { 0 } ,使 d = d 1 d 2 ( d 1 , d 2 ) = 1 d 1 | f , d 2 | g 。从而有

τ ( f g ) = d 1 d 2 | f g ( d 1 d 2 , f g / ( d 1 d 2 ) ) = 1 1 .

由此可见,若能证明当 ( f , g ) = 1 ( d 1 , d 2 ) = 1 时,

( d 1 d 2 , f g / ( d 1 d 2 ) ) = ( d 1 , f / d 1 ) ( d 2 , g / d 2 ) (2.5)

成立,则有

τ ( f g ) = d 1 d 2 | f g ( d 1 , f / d 1 ) ( d 2 , g / d 2 ) = 1 1 = d 1 | f ( d 1 , f / d 1 ) = 1 1 d 2 | g ( d 2 , g / d 2 ) = 1 1 = τ ( f ) τ ( g ) ,

即引理结论成立。

下证当 ( f , g ) = 1 ( d 1 , d 2 ) = 1 时,公式(2.5)成立。记

t = ( d 1 d 2 , f g / ( d 1 d 2 ) ) , r = ( d 1 , f / d 1 ) , s = ( d 2 , g / d 2 ) .

由最大酉公因式定义可知 r | | d 1 , r | | ( f / d 1 ) s | | d 2 , s | | ( g / d 2 ) 。因为 ( d 1 , d 2 ) = 1 ,所以 r s | | d 1 d 2 。同理,由 ( f , g ) = 1 可得 ( f / d 1 g / d 2 ) = 1 ,因此 r s | | f g / ( d 1 d 2 ) 。由此可得 r s d 1 d 2 f g / ( d 1 d 2 ) 的酉公因式。由最大酉公因式定义可得 r s | t

下证 t | r s 。由t的定义可得 t | | d 1 d 2 , t | | f g / ( d 1 d 2 ) 。因为 ( d 1 , d 2 ) = 1 ,所以存在 t 1 , t 2 满足 t = t 1 t 2 ,并且 t 1 | | d 1 t 2 | | d 2 。由 ( f / d 1 , g / d 2 ) = 1 t | | f g / ( d 1 d 2 ) 并根据函数域上的算术基本定理和最大酉公因式定义可得,对上述 t 1 , t 2 ,仍有 t 1 | | ( f / d 1 ) t 2 | | ( g / d 2 ) 。从而 t 1 | ( d 1 , f / d 1 ) t 2 | ( d 2 , g / d 2 ) 。由此可得 t 1 t 2 | ( d 1 , f / d 1 ) ( d 2 , g / d 2 ) ,即 t | r s

综上所述,我们有 t = r s ,因此引理得证。¨

接下来我们计算 τ ( f ) 在不可约多项式幂次处的值。

引理2.2.2. 设 α i 为正整数,P为A中首一的不可约多项式,则有

τ ( P α i ) = { α i α i , α i + 1 α i .

证明:对于正整数 α i ,易知 P α i 共有 ( α i + 1 ) 个因式,其中 P Μ 且不可约。当 α i 是奇数时,因为对于所有 m , n Ν m + n = α i ,都有 ( P m , P n ) = 1 ,所以 τ ( P α i ) = α i + 1 。当 α i 是偶数时,因为有 ( P α i / 2 , P α i / 2 ) = P α i / 2 1 ,所以 τ ( P α i ) = α i + 1 1 = α i 。引理得证。¨

2.3. 其他所需引理

s C ,我们定义

G ( s ) = irr . P Μ ( 1 1 P 2 s + 1 P 3 s 1 ( P 1 ) ) ,(2.6)

其中无穷乘积历遍所有首一的不可约多项式。下面我们将考虑 G ( s ) 的有界性。

引理2.3.1. 对于任意 ε > 0 ,当 ( s ) 1 + ε 2 时,我们有 G ( s ) = O ( 1 )

证明:由 G ( s ) 的定义,我们有

G ( s ) = n = 1 irr . P Μ n ( 1 1 P 2 s + 1 P 3 s 1 ( P 1 ) ) .

由范数定义可得

G ( s ) = n = 1 irr . P Μ n ( 1 1 q 2 n s + 1 q n ( 3 s 1 ) ( q n 1 ) ) = n = 1 ( 1 1 q 2 n s + 1 q n ( 3 s 1 ) ( q n 1 ) ) a n ,

其中 a n 表示 Μ n 中首一的不可约多项式的个数。又因为

1 q n ( 3 ( s ) 1 ) ( q n 1 ) < 2 q 3 n ( s ) < 2 q 2 n ( s ) ,

且存在常数 C 1 > 0 ,使得 a n C 1 q n n (见文献 [6] ),所以

| G ( s ) | n = 1 ( 1 + 1 q 2 n ( s ) ) ( C 1 q n ) / n .(2.7)

利用换底公式及 log ( 1 + x ) 的泰勒展开式可得

| G ( s ) | exp { O ( n = 1 1 n q n ( 2 ( s ) 1 ) ) } .

因为当 ( s ) 1 + ε 2 时,级数 n = 1 1 n q n ( 2 ( s ) 1 ) 收敛,所以存在 C ( ε ) > 0 ,使得

| G ( s ) | C ( ε ) , (2.8)

从而引理得证。¨

下面我们将用 G ( s ) ζ Α 表示 τ ( f ) 的Dirichlet级数。

引理2.3.2. 对于 ( s ) 1 + ε 2 ,我们有

f Μ τ ( f ) f s = ζ Α 2 ( s ) G ( s ) ,(2.9)

其中 ζ Α 是函数域上的zeta函数, G ( s ) 由(2.6)式给出。

证明:记

F ( s ) = f Μ τ ( f ) f s ,(2.10)

由引理2.2.1 τ ( f ) 是可乘函数可得 F ( s ) 的欧拉乘积为

F ( s ) = irr . P Μ ( 1 + τ ( P ) P s + τ ( P 2 ) P 2 s + ) ,

其中无穷乘积历遍所有首一不可约多项式。由引理2.2.2可得

F ( s ) = irr . P Μ ( 1 + 2 P s + 2 P 2 s + + 2 k P ( 2 k 1 ) s + 2 k P 2 k s + ) .

根据上式并利用 ζ Α 的欧拉乘积(2.2)式以及 G ( s ) 的定义(2.6)式,可以得到

F ( s ) = ζ Α 2 ( s ) G ( s ) .

引理得证。¨

( s ) 1 + ε 2 时,我们可以将 G ( s ) 写成如下Dirichlet级数的形式

G ( s ) = f Μ h ( f ) f s , (2.11)

其中 h ( f ) G ( s ) 的欧拉乘积(2.6)式确定的可乘函数。更进一步,我们有

G ( s ) = l = 0 f Μ l h ( f ) q l s .

u = q s ,上式可以写成

G ^ ( u ) : = l = 0 h l u l , | u | q 1 / 2 ε ,(2.12)

其中

h l : = f Μ l h ( f ) .(2.13)

为证明定理1.1,我们还需要 h l 的上界。

引理2.3.3. 对于任意 ε > 0 ,存在常数 C ( ε ) > 0 使得

| h l | C ( ε ) q ( l + l ε ) / 2 .

证明:由 h l 的定义(2.13)式, G ^ ( u ) 的定义(2.12)式并且利用洛朗定理(见文献 [8] )可得

h l = 1 2 π i Γ G ^ ( u ) u l + 1 d u ,(2.14)

其中围道 Γ | u | = q ( 1 + ε ) / 2 给出。对(2.14)式两边取模,由引理2.3.1以及围道 Γ 取法可得

| h l | 1 2 π Γ | G ^ ( u ) | | u l + 1 | | d u | 1 2 π C ( ε ) q ( 1 + ε ) ( l + 1 ) / 2 Γ | d u | .

从而有

| h l | 1 2 π C ( ε ) q ( 1 + ε ) ( l + 1 ) / 2 2 π q ( 1 + ε ) / 2 = C ( ε ) q ( l + l ε ) / 2 .

引理得证。¨

3. 定理1.1的证明

F ( s ) 定义(2.10)式可得

F ( s ) = n = 0 f Μ n τ ( f ) q n s .

u = q s ,上式可写为

F ^ ( u ) : = n = 0 f Μ n τ ( f ) u n ,(3.1)

同时(2.9)式可写为

F ^ ( u ) = ζ ^ Α 2 ( u ) G ^ ( u ) .

根据(2.4)式 ζ ^ Α ( u ) 的泰勒展开式以及(2.12)式可得

F ^ ( u ) = ( r = 0 q r u r ) 2 l = 0 h l u l = n = 0 r + m + l = n q r + m h l u r + m + l .(3.2)

由比较(3.1)式和(3.2)式右边幂级数的系数可得

f Μ n τ ( f ) = r + m + l = n q r + m h l .

从而有

f Μ n τ ( f ) = r = 0 n q r m = 0 n r q m h n r m = r = 0 n q r m = 0 n r q n r m h m .

由此可得

f Μ n τ ( f ) = q n r = 0 n m = 0 n r q m h m .(3.3)

h 0 = 1 我们有

r = 0 n m = 0 n r q m h m = n + 1 + O ( r = 0 n 1 m = 1 n r q m h m ) = n + 1 + O ( n m = 1 n q m h m ) .(3.4)

下面估计(3.4)式最右边的O项。由 h m 的定义(2.13)式以及引理2.3.3可得

| n m = 1 n q m h m | n m = 1 n q m ( C ( ε ) q m ( 1 + ε ) / 2 ) C ( ε ) n q ( ε 1 ) / 2 m = 0 n 1 q m ( ε 1 ) / 2 . (3.5)

对于(3.5)式中 m = 0 n 1 q m ( ε 1 ) / 2 ,当 0 < ε < 1 / 2 时,我们有

m = 0 n 1 q m ( ε 1 ) / 2 m = 0 q m / 4 m = 0 2 m / 4 ,

从而

m = 0 n 1 q m ( ε 1 ) / 2 = O ( 1 ) . (3.6)

将(3.6)式代入(3.5)式我们有

n m = 1 n q m h m = O ε ( n q ( ε 1 ) / 2 ) . (3.7)

将(3.7)式代入(3.4)式右边的O项我们有

r = 0 n m = 0 n r q m h m = n + 1 + O ε ( n q ( ε 1 ) / 2 ) . (3.8)

将(3.8)式代入(3.3)式,可得当 0 < ε < 1 / 2 时,

f Μ n τ ( f ) = ( n + 1 ) q n + O ε ( n q n + ( ε 1 ) / 2 ) .

定理得证。

参考文献

[1] Iwaniec, H. and Kowalski, E. (2004) Analytic Number Theory. Colloquium Publications, American Mathematical Society, Providence, Vol. 53, p 22.
https://doi.org/10.1090/coll/053
[2] Cohen, E. (1960) The Number of Unitary Divisors of an Integer. American Mathematical Monthly, 67, 879-880.
https://doi.org/10.2307/2309455
[3] Suryanarayana, D. (1975) The Number of Bi-Unitary Divisors of an Integer. Springer, Berlin, Heidelberg.
[4] Cohen, E. (1960) Arithmetical Functions Associated with the Unitary Divisors of an Integer. Mathematische Zeitschrift, 74, 66-80.
https://doi.org/10.1007/BF01180473
[5] Chidambaraswamy, J. (1967) Sum Functions of Unitary and Semi-Unitary Divisors. Journal of the Indian Mathematical Society, 31, 117-126.
[6] Rosen, M. (2002) Number Theory in Function Fields. Springer-Verlag, New York, 1-19.
https://doi.org/10.1007/978-1-4757-6046-0
[7] 牛威. 广义酉除数和函数在函数域上的均值[J]. 理论数学, 2021, 11(6): 1242-1249.
https://doi.org/10.12677/pm.2021.116137
[8] 钟玉泉. 复变函数论[M]. 第三版. 北京: 高等教育出版社, 2004: 185-188.