1. 引言与定理
本文使用Nevalinna理论的符号,假设读者熟悉值分布的相关理论(详见参考文献 [1] [2] )。
定义1设
和
是关于z的多项式,
是非常数亚纯函数,则
称为指数型多项式。
常见的指数多项式类型有:
定义2 [3] 我们把形如
称为k次齐次线性复微分–差分多项式,其中
,m是一个正整数且
是多项式。如果
,则称
有相同的位移。
目前,不少学者研究非线性微分差分方程解的存在性和解的结构。在利用Nevalinna理论研究这类方程时,指数多项式起着很重要的作用。
在2012年,Wen [4] 等人研究了
的有限级整函数解,其中
是整数,
,
和
是多项式且
不恒等于0,
不是常数。在2016年,Liu [5] 在Wen等人研究的基础上研究了一类非线性微分差分方程
的有限级超越整函数解,这里
。他得到了相似的结果。
在2018年,Chen等人 [6] 考虑用
替换
,研究
, (1.1)
得到下面的定理:
定理1设
是整数,
和
是非零常数,
是非恒为零多项式,
是非常数多项式。如果
是方程(1.1)的一个有限级整函数解,那么下面结论成立:
(I) 每个解都满足
;
(II) 如果
,那么以下两种情况必有一种成立
(a)
,
;
(b)
,
。
这里,b和B都是常数。
Chen等人猜测上述定理在
时仍成立。因此,在2020年,Xu等人 [7] 考虑当
时的情况,得到了更一般的结论,部分地解决了Chen等人的猜想。他们研究以下非线性微分差分方程
, (1.2)
得到以下定理:
定理2设k是一个非负整数,
和
是非零常数且
,
是非恒为零多项式,
是非常数多项式。如果
是方程(1.2)的一个超越整函数解,那么:
(1) 每个解都满足
;
(2) 如果
是指数多项式,那么
;
(3) 如果
,那么以下两种情况必有一种成立
(a)
,
,
,
;
(b)
,
,
,
.
这里b和B是常数,
是多项式。
受文献 [3] [4] [5] [6] [7] 的启发,本文考虑研究一类非线性微分差分方程
(1.3)
的有限级整函数解,得到如下定理:
定理3设
,
是非零整数,
是不恒为零的k次齐次线性微分–差分多项式,
是非恒为零多项式,
是非常数多项式,
是非零常数且
。如果
是方程(1.3)
的一个有限级整函数解,那么:
(I) 每个解都满足
;
(II) 如果
,那么以下两种情况必有一种成立
(a)
,
,
,
;
(b)
,
,
,
。
这里,B和s是常数,
是一个非零多项式。
下面给出2个例子进行说明。
例1函数
是
的有穷级超越整函数解,其中
,
,
,
,
,
,
。此时满足定理3的(I)和(II)中的(a)。
例2函数
是
的有穷级超越整函数解,其中
,
,
,
,
,
,
。此时满足定理3的(I)和(II)中的(b)。
注:显然
,
时,定理1是定理3的特殊情形。
2. 引理
证明定理3需要下述的引理证明。
引理1 [2] 设
为亚纯函数,
为整函数,且它们满足下列
条件:
1)
;
2) 当
时,
不是常数;
3) 当
且
时,
。其中
是有限线性测度或对数测度集。那么,
。
引理2 [3] 如果
是非常数亚纯函数,
是任意两个互不相同的复数,若
的超级
,那么
.
此外,若
是k次微分差分多项式,那么
.
引理3 [8] 设
是一个非常数有限级超越亚纯函数,
和
是两个以
的小函数为系数且关于
的差分多项式,使得
,
差分多项式
中关于
和
的总次数不超过n。设
,
,那么对于所有r,除去一个有限对数测度的可能例外值有
.
注:当
和
是两个以
的小函数为系数且关于
的微分差分多项式时,有
.
3. 定理3的证明
3.1. 结论(I)的证明
设
是方程(1.3)的有限级整函数解,那么
因为
,所以有
,
因此,
。
假设
,由方程(1.3)右边的级为1,我们有
,此时
。取
,其中
。那么方程(1.3)可写为
.
其中,
,
且它们的级均小于1。
以下分三种情况讨论。
情况1.
和
。
由引理1可知,
。与
是非零常数矛盾。
情况2.
和
。
方程(1.3)可写为
,
由引理1可知,
与
是非零常数矛盾。
情况3.
和
。
类似于情况2,得到
与
是非零常数矛盾。
因此,
。又因为
,所以
。
设
,令
,
,那么
。
方程(1.3)可写为
.(3.1)
对(3.1)微分,可得
.(3.2)
其中,
。由(3.1)和(3.2)消去
,得
因为
,
是关于
的次数不超过k的微分差分多项式。由引理3可得,
和
.
若
不恒为0,那么
,
得到矛盾。
若
,那么
.
积分得,
.(3.3)
这里,c是非零常数。
把式子(3.3)代入(1.3),有
. (3.4)
当
时,方程(3.4)的左边级大于1,而右边级等于1,得到矛盾。当
时,
,矛盾。因此,
。
3.2. 结论(II)的证明
因为
及结论(I)
,故设
(3.5)
和
, (3.6)
这里
是非零常数,B和s是常数。
由式子(3.5)可得
, (3.7)
其中,
。把式子(3.5)~(3.7)代入(1.3),整理后有
.(3.8)
以下分四种情况讨论
情况1.
和
由引理1可得
。矛盾。
情况2.
和
。
如果
,那么由方程(3.8)和引理1可得
。矛盾。
如果
,
和
有且只有两个相等,不失一般性,我们假设
,由方程(3.8)有
. (3.9)
由方程(3.9)和引理1可得
,矛盾。
如果
,由方程(3.8)有
.
由引理1可得
,矛盾。
情况3.
和
。
如果
,那么
,矛盾。
如果
,则
,
。即
。由方程(3.8)有
.
由引理1可得,
,
,
,
。
情况4.
和
。
如果
,由引理1可得
。矛盾。
如果
,则
,
。即
。由方程(3.8)有
.
由引理1可得,
,
,
,
。
基金项目
广东省自然科学基金资助项目(2021A1515010062)和江门市基础与理论科学研究类科技计划项目(2021A24)。