2-弧传递基图的一些零散构造

Some Sporadic Constructions of 2-Arc Transitive Base Graphs

摘要: 本文主要给出一些2-弧传递基图的例子构造，包括一些零散的PA型2-弧传递基图和一个AS型2-弧传递基图。

Abstract: This paper gives some examples of 2-arc transitive base graphs, including some sporadic PA type 2-arc transitive base graphs and an AS type 2-arc transitive base graph.

1. 引言

在群与图的研究领域中，2-弧传递图是学者们研究得比较多的组合对象，尤其是当Praeger在1992年做了一项非常重要的工作之后，人们对其的研究变得更为活跃。Praeger [1] 将本原群的O’Nan-Scott定理推广到了拟本原的情形，证明了有限拟本原群为下面8种类型之一：CD，SD，HC，HS，HA，AS，TW，PA。并且证明了每一个拟本原 $\left(G,2\right)$ -弧传递图，G必为其中的4种类型：HA，AS，TW，PA。

进而，对非二部2-弧传递图的分类工作可以通过下面两个步骤来进行：

(1) 构造全部拟本原2-弧传递图；

(2) 对(1)中图构造满足2-弧传递的覆盖图。

我们有时候称(1)中的图为“基本”图，它们一共有4种类型，其中的HA，AS，TW这三种类型在1993年就已经构造出大量的例子来了。例如，HA型由Ivanov和Praeger [2] 在1992年完全分类，AS型的例子由方新贵，Praeger等人在文献 [3] [4] 中大量构造，而TW型由Badderley [5] 在1993年给出了一些刻画的结果和例子的构造。然而，PA型的例子似乎是难以构造的，其存在性问题在2006年才由李才恒和A. Seress在文献 [6] 中解决。

因此，一件十分有必要的工作将是构造或者刻画2-弧传递基图。本文的主要工作将是构造一些AS型或者PA型的2-弧传递基图。

2. 预备知识

在这节给出一些基本定义和若干预备的结果。

设G是作用在 $\Omega$ 上的有限传递置换群。我们称G是拟本原的，如果G的每一个非平凡正规子群在 $\Omega$ 上的作用是传递的。设X是作用在 $\Omega$ 上的拟本原置换群， $N=Soc\left(X\right)$。则 $N=T_1\times \cdots \times T_k=T^k$，其中 $k\ge 1$，T是单群。由文献 [1]，X至多包含两个极小正规子群。

(1) 假设X包含两个极小正规子群，即 $N=L\times M$，其中 $L\cong M\cong T^m$ 是X的两个极小正规子群。

(i) 称X是HS型的：如果 $M=L$， $\stackrel{⌢}{T}\times \stackrel{⌣}{T}\le X\le \stackrel{⌢}{T}:Aut\left(T\right)$， $Inn\left(T\right)\le X_1\le Aut\left(T\right)$。

(ii) 称X是HC型的：如果 $M=T^m\left(m\ge 2\right)$， $\stackrel{⌢}{M}\times \stackrel{⌣}{M}\le X\le \left(\stackrel{⌢}{M}\times \stackrel{⌣}{M}\right)\cdot Out\left(T\right)wr{S}_m$， $Inn\left(M\right)\le X_1\le Aut\left(M\right)$。

(2) 假设X包含唯一的一个极小正规子群N。则：

(i) 称X是HA型的：如果 $\stackrel{⌢}{N}⊲X\le \stackrel{⌢}{N}:Aut\left(N\right)\cong Z_p^d:GL\left(d,p\right)=AGL\left(d,p\right)$。

(ii) 称X是AS型的：如果 $N=T$， $T\le X\le Aut\left(T\right)$。

(iii) 称X是TW型的：如果N在 $\Omega$ 上的作用是正则的。

(iv) 称X是SD型的：如果N包含一个正规子群 $L\cong T^{k-1}$ 作用在 $\Omega$ 上是正则的， $N_v\cong T$。

(v) 称X是CD型的：如果N包含一个正则正规子群 $L\cong T^m$， $m\le k-2$， $N_v\cong T^{k-m}$。

(vi) 称X是PA型的：如果 $N_v\ne 1$，N不包含正规子群作用在 $\Omega$ 上正则。

如果X是PA型的，则由文献 [6]，X具有以下性质：

(1) $N=T^k<G<Hwr{S}_k<Sym\left(\Delta \right)wr{S}_k$， $k>1$，T是有限非交换单群，H是作用在 $\Delta$ 上的型为AS的拟本原置换群并且其基柱T非正则；

(2) 取元素 $v\in \Delta$，设 $R=T_v$。则 $1<R<T$ 并且存在 $\Omega$ 的一个G-不变划分 ${\Omega }^{\prime }$ 使得对于 $w\in {\Omega }^{\prime }$， $N_v=R^k$ 以及 $\alpha \in w$， $N_{\alpha }$ 是 $R_v$ 的次直积。

Praeger在文献 [1] 中，把拟本原置换群分成以上定义的8类，即下面的引理：

引理2.1设X为作用在 $\Omega$ 上的拟本原置换群，则X必为如下8种类型之一：HA型，HS型，HC型，AS型，TW型，SD型，CD型以及PA型。■

设X为有限群，H为X的无核子群。对于 $g\in X-H$ 满足 $g^2\in H$，定义陪集 $\Gamma =Cos\left(X,H,g\right)$

为：

$V\Gamma :=\left[X:H\right]$, $E\Gamma :=\left\{\left(Hx,Hdx\right)|d\in HgH\right\}$.

考虑X在右陪集 $\left[X:H\right]$ 上的右乘作用，则作用忠实且保边。因而， $X\le Aut\Gamma$。通过定义容易证明： $\Gamma$ 为X-弧传递图； $\Gamma$ 连通当且仅当 $\langle H,g\rangle =X$ ； $val\Gamma =\left|H:H\cap H^g\right|$。记顶点H，Hg分别为 $\alpha$， $\beta$。则点稳定子 $X_{\alpha }=H$， $X_{\beta }=H^g$，弧稳定子 $X_{\alpha \beta }=X_{\alpha }\cap X_{\beta }=H\cap H^g$。

为了方便我们写成下面的引理。其由陪集图的定义是容易证明的，在此省略证明过程。

引理2.2令 $\Gamma =Cos\left(X,H,g\right)$。则 $\Gamma$ 是G-弧传递图且下列结论成立：

(1) $val\Gamma =\left|H:H\cap H^g\right|$ ；

(2) $\Gamma$ 是无向图当且仅当存在一个2-元素 $g\in G-H$ 使得 $g^2\in H$ ；

(3) $\Gamma$ 是连通图当且仅当 $\langle H,g\rangle =G$。

(4) 如果G包含一个子群R作用在图 $Cos\left(G,H,g\right)$ 的顶点集上正则，则 $Cos\left(G,H,g\right)\cong Cay\left(R,S\right)$，其中 $S=R\cap HgH$。

反之，每一个G-弧传递图 $\Sigma$ 都同构于一个陪集图 $Cos\left(G,G_v,g\right)$，其中 $g\in N_G\left(G_{vw}\right)$ 是一个2-元素使得 $g^2\in G_v$， $v\in V\Sigma$， $w\in \Sigma \left(v\right)$。■

对于一个图 $\Gamma$，容易证明 $\Gamma$ 是 $\left(G,2\right)$ -弧传递的当且仅当 $G\le Aut\Gamma$ 在顶点集合上传递且 $G_{\alpha }^{\Gamma \left(\alpha \right)}$ 在 $\Gamma \left(\alpha \right)$ 上是2-传递的。

对更一般的G-弧传递图，下面的引理( [6]，引理2.2)告诉我们怎么通过群G去寻找一些图自同构。

引理2.3设 $\Gamma =Cos\left(G,G_{\alpha },G_{\alpha }g{G}_{\alpha }\right)$ 是一个G-弧传递图， $L=N_{S\text{y}m\left(V\Gamma \right)}\left(G\right)$，其中 $\alpha \in V\Gamma$。则 $t\in L_{\alpha }$ 是 $\Gamma$ 的一个图自同构当且仅当 ${\left(G_{\alpha }g{G}_{\alpha }\right)}^t=G_{\alpha }g{G}_{\alpha }$。■

3. 例子的构造

在这一节中，构造一些AS型或者PA型的例子。首先，下面的几个例子是X为PA型的。

构造3.1 设 $G=A_7^2\le S_{14}$ 是自然的作用在 $\Omega =\left\{1,2,\cdots ,14\right\}$ 上的置换群。令：

$h=\left(37456\right)\left(1011131412\right)$,

$g=\left(15\right)\left(26\right)\left(813\right)\left(912\right)$.

则 $\langle h,g\rangle =G=A_7^2$。设 $H=\langle h\rangle \cong Z_5$，定义陪集图： $\Gamma =Cos\left(G,H,HgH\right)$。■

引理3.4 在构造3.1中的图 $\Gamma =Cos\left(G,H,HgH\right)$ 是5度 $\left(X,2\right)$ -弧传递， $\left(G,1\right)$ -正则图，其中 $G⊲X$， $X=A_7^2:Z_4$ 是作用在 $V\Gamma$ 的PA型拟本原群。

证明：显然 $\Gamma$ 是5度的。令 $\tau =\left(1829\right)\left(311410\right)\left(513612\right)\left(714\right)$。则有：

${\tau }^2=\left(12\right)\left(34\right)\left(56\right)\left(89\right)\left(1011\right)\left(1213\right)$,

$g^{\tau }=\left(813\right)\left(912\right)\left(26\right)\left(15\right)=g$,

$h^{\tau }=\left(1114101312\right)\left(34675\right)=h^2$.

因此， ${\left(HgH\right)}^{\tau }=HgH$，由引理2.3， $\tau \in Aut\Gamma$。令 $X=\langle G,\tau \rangle$。则 $X=G:\langle \tau \rangle =A_7^2:Z_4\le Aut\Gamma$。此外，X是作用在 $V\Gamma$ 的PA型拟本原群，其中 $X_{\alpha }=H\cdot \langle \tau \rangle \cong AGL\left(1,5\right)$。显然， $G⊲X$ 在 $\Gamma$ 的弧集合上正则。■

构造3.2 设 $G=A_8^2\le S_{16}$ 是自然作用在 $\Omega =\left\{1,2,\cdots ,16\right\}$ 上的置换群。令：

$h=\left(16852\right)\left(913141016\right)$,

$g=\left(14\right)\left(23\right)\left(56\right)\left(78\right)\left(912\right)\left(1011\right)\left(1314\right)\left(1516\right)$.

则 $\langle h,g\rangle =G=A_8^2$。设 $H=\langle h\rangle \cong Z_5$，定义陪集图： $\Gamma =Cos\left(G,H,HgH\right)$。■

引理3.5 在构造3.2中的图 $\Gamma =Cos\left(G,H,HgH\right)$ 是5度 $\left(X,2\right)$ -弧传递， $\left(G,1\right)$ -正则图，其中 $G⊲X$， $X=A_8^2:Z_4$ 是作用在 $V\Gamma$ 的PA型拟本原群。

证明：显然 $\Gamma$ 是一个连通5度 $\left(G,1\right)$ -弧正则图。令 $\tau =\left(19210\right)\left(311412\right)\left(513614\right)\left(715\right)\left(816\right)$ 则有：

${\tau }^2=\left(1,2\right)\left(3,4\right)\left(5,6\right)\left(9,10\right)\left(11,12\right)\left(13,14\right)$,

$g^{\tau }=\left(912\right)\left(1011\right)\left(1314\right)\left(1516\right)\left(23\right)\left(14\right)\left(65\right)\left(78\right)=g$,

$h^{\tau }=\left(914161310\right)\left(26518\right)=h^2$.

因此， ${\left(HgH\right)}^{\tau }=HgH$。由引理2.3，得 $\tau \in Aut\Gamma$。令 $X=\langle G,\tau \rangle$。则 $X=G:\langle \tau \rangle =A_8^2:Z_4\le Aut\Gamma$。此外，X是作用在 $V\Gamma$ 的PA型拟本原群，其中 $X_{\alpha }=H\cdot \langle \tau \rangle \cong AGL\left(1,5\right)$。显然， $G⊲X$ 在 $\Gamma$ 的弧集合上正则。■

构造3.3 设 $G=A_6^2$ 是作用在 $\Omega =\left\{1,2,\cdots ,12\right\}$ 的置换群。令 ${\sigma }_1=\left(15234\right)$， ${\sigma }_2=\left(7810119\right)$， ${\tau }_1=\left(35\right)\left(46\right)$ 以及 ${\tau }_2=\left(911\right)\left(1012\right)$。设 $h:=\left({\sigma }_1,{\sigma }_2\right)$， $g:=\left({\tau }_1,{\tau }_2\right)$， $G_{\alpha }=\langle h\rangle \cong Z_5$。定义陪集图： $\Gamma =Cos\left(G,G_{\alpha },G_{\alpha }g{G}_{\alpha }\right)$。 ■

引理3.6 在构造3.3中的图 $\Gamma =Cos\left(G,G_{\alpha },G_{\alpha }g{G}_{\alpha }\right)$ 是5度 $\left(X,2\right)$ -弧传递， $\left(G,1\right)$ -正则图，其中 $G⊲X$， $X=A_6^2:Z_4$ 是作用在 $V\Gamma$ 的PA型拟本原群。

证明：因为 ${\sigma }_1^5={\tau }_1^2={\left({\sigma }_1{\tau }_1\right)}^4=1$ 且 ${\sigma }_2^5={\tau }_2^2={\left({\sigma }_2{\tau }_2\right)}^5=1$，所以不存在 $\phi \in AutT$ 使得 ${\langle {\sigma }_1,{\tau }_1\rangle }^{\phi }=\langle {\sigma }_2,{\tau }_2\rangle$。又因为 $\langle {\sigma }_1,{\tau }_1\rangle \cong A_6$， $\langle {\sigma }_2,{\tau }_2\rangle \cong A_6$，所以 $\langle G_{\alpha },g\rangle =\langle h,g\rangle \cong A_6^2=G$。

令 $d\in AutT-InnT$ 使得 $o\left(d\right)=2$， ${\sigma }_1^d={\sigma }_1^{-1}$， ${\tau }_1^d={\tau }_1$。事实上，d决定的自同构为：

$\left(12345\right)\to \left(15346\right),\left(456\right)\to \left(154\right)\left(236\right)$

令 $\tau =\left(d,id\right)\left(1,2\right)$， $X=\langle G,\tau \rangle$。则 $h^{\tau }=\left({\sigma }_2,{\left({\sigma }_1\right)}^{-1}\right)=\left({\sigma }_2,{\left({\sigma }_1\right)}^4\right)=\left(\left(7810119\right),\left(14325\right)\right)=h^2$。因此， $\langle h,\tau \rangle \cong Z_5:Z_4$， $G_{\alpha }=\langle h\rangle =Z_5$， $G_{\alpha }^{\tau }=G_{\alpha }$。又因为 $g^{\tau }=\left({\tau }_2,{\tau }_1^d\right)=\left({\tau }_2,{\tau }_1\right)=g$，由引理2.3， $X\le Aut\Gamma$。又 $\langle h,g,\tau \rangle =X$，所以 $\Gamma$ 是一个5度连通 $\left(X,2\right)$ -弧传递图。此外， $X\cong A_6^2:Z_4$ 作用在 $V\Gamma$ 是PA型的拟本原群，其中 $X_{\alpha }=\langle h,\tau \rangle =G_{\alpha }\cdot \langle \tau \rangle \cong AGL\left(1,5\right)$。显然， $G=A_6^2⊲X$ 在 $\Gamma$ 的弧集合上正则。■

最后构造一个AS型的例子。

构造3.4 设 $T=PSU\left(3,5\right)$。则 $O:=Z_3:Z_2\cong D_6\le OutT$。令 $X=T\cdot O\le AutT$。则X是一个几乎单群且 $Soc\left(X\right)=T$。由Magma [7]，存在一个2-元素g使得 $g^2\in O$， $\langle O,g\rangle =X$， $\left|O\right|/\left|O\cap O^g\right|=3$。因此， $\Gamma =Cos\left(G,O,OgO\right)$ 是一个连通3度 $\left(X,2\right)$ -弧传递图，其中X包含一个正规弧正则子群 $G:=T\cdot Z_3$。因为 $T=Soc\left(X\right)$ 在 $V\Gamma$ 上正则，所以 $\Gamma \cong Cay\left(T,S\right)$ 是T上的Cayley图。■

基金项目

国家自然科学基金项目(12061089，11701503)；云南省教育厅科学研究基金项目(2017ZZX086)。