模糊Riesz空间上模糊Riesz同态性质的研究

The Properties of Fuzzy Riesz Homomorphism on Fuzzy Riesz Space

摘要: 本文首先讨论了模糊Riesz空间上模糊Riesz同态保持的一些性质，如：模糊Riesz子空间，模糊理想，模糊投影带等等。其次，给出了模糊Riesz同态的等价刻画。最后，讨论了模糊Riesz同态下相对模糊一致收敛的一些性质。

Abstract: In this paper, we first discuss some properties of fuzzy Riesz homomorphism preservation on fuzzy Riesz space, such as fuzzy Riesz subspace, fuzzy ideal, fuzzy projection band and so on. Secondly, the equivalent characterization of fuzzy Riesz homomorphism is given. Finally, some properties of relative fuzzy uniform convergence under fuzzy Riesz homomorphism are discussed.

1. 引言

1965年，Zadeh [1] 提出了模糊集的概念。1971年，他在文献 [2] 中，通过自反性、反对称性和传递性提出了模糊序关系的概念。1992年，Venugopalan [3] 定义并讨论了模糊序集。随后，Beg和Islam研究了模糊Riesz空间 [4]、模糊序线性空间 [5]、s-完备模糊Riesz空间 [6] 和模糊Archimedean空间 [7]。2015年Hong [8] 引入了模糊Riesz子空间、模糊理想、模糊带和模糊投影带的概念。

序同态在模糊拓扑中起着重要的作用。模糊格上的序同态的概念，揭示了模糊拓扑中两种不同拓扑之间的联系 [10] [11] [12] [13] [14]。

同态有着非常重要的作用，它们在拓扑、代数、向量值函数、信息系统中起着至关重要的作用。因此，不同的模糊类型在模糊领域中发挥着重要的作用。本文研究了模糊Riesz空间上的模糊同态，在模糊Riesz空间中有重要的作用。Mobashir Iqbal和Zia Bashir在文献 [9] 中利用模糊Riesz同态讨论了Archimedean模糊Riesz空间上模糊Dedekind完备性的存在性。本文首先讨论了模糊Riesz空间上模糊Riesz同态保持的一些性质，如：模糊Riesz子空间，模糊理想，模糊投影带等等。其次，给出了模糊Riesz同态的等价刻画。最后，讨论了模糊Riesz同态下相对模糊一致收敛的一些性质。

2. 预备知识

本文使用以下符号。

定义2.1 假设E是一个论域。R是 $E\times E$ 上的模糊子集，满足以下条件：

(i) (自反性)对 $x\in E$， ${\mu }_R\left(x,x\right)=1$ ；

(ii) (反对称性)对 $x,y\in E$，若 ${\mu }_R\left(x,y\right)+{\mu }_R\left(y,x\right)>1$，有 $x=y$ ；

(iii) (传递性)对 $x,z\in E$，有 ${\mu }_R\left(x,z\right)\ge \underset{y\in E}{\vee }\left[{\mu }_R\left(x,y\right)\wedge {\mu }_R\left(y,z\right)\right]$。

具有模糊序的集合称为模糊序集。

假设E是模糊序集， $x\in E$， $\uparrow x$ 表示对所有 $y\in E$，有 $\left(\uparrow x\right)\left(y\right)=\mu \left(x,y\right)$ ；同理， $\downarrow x$ 表示对所有 $y\in E$，有 $\left(\downarrow x\right)\left(y\right)=\mu \left(y,x\right)$。如果A是E的论域子集，则 $\uparrow A={\displaystyle \underset{x\in A}{\cup }\left(\uparrow x\right)}$， $\downarrow A={\displaystyle \underset{x\in A}{\cup }\left(\downarrow x\right)}$。

定义2.2 假设A是模糊序集E的论域子集，则子集A的上界 $U\left(A\right)$ 定义如下：

$U\left(A\right)\left(y\right)=\{\begin{array}{l}0,存在x\in A,有\left(\uparrow x\right)\left(y\right)\le \frac{1}{2},\\ \left({\displaystyle \underset{x\in A}{\cap }\uparrow x}\right)\left(y\right),其他.\end{array}$

子集A的下界 $L\left(A\right)$ 定义如下：

$L\left(A\right)\left(y\right)=\{\begin{array}{l}0,存在x\in A,有\left(\downarrow x\right)\left(y\right)\le \frac{1}{2},\\ \left({\displaystyle \underset{x\in A}{\cap }\downarrow x}\right)\left(y\right),其他.\end{array}$

如果存在 $x\in E$，有 $U\left(A\right)\left(x\right)>0$，记做 $x\in U\left(A\right)$。同理，当 $L\left(A\right)\left(x\right)>0$ 时，记做 $x\in L\left(A\right)$。若存在 $x\in E$，使得 $x\in U\left(A\right)$，称A是上有界的，元素x叫做A的上界。类似地，若存在 $x\in A$，使得 $x\in L\left(A\right)$，称A是下有界的，元素x叫做A的下界。若A有上界和下界，则称A有界。

若元素z满足(i) $z\in U\left(A\right)$ ；(ii) 若 $y\in U\left(A\right)$，有 $y\in U\left(z\right)$，则称元素z为A的上确界，记作 $z=\sup A$。同理，若z满足(i) $z\in L\left(A\right)$ ；(2) 若 $y\in L\left(A\right)$，有 $y\in L\left(z\right)$，则称元素z为A的下确界，记作 $z=\inf A$。

定义2.3 (实)线性空间E是模糊序集，如果满足以下两个条件，则称E是模糊序线性空间：

(1) 若 $x_1,x_2\in E$ 且 $\mu \left(x_1,x_2\right)>\frac{1}{2}$，对 $x\in E$，有 $\mu \left(x_1,x_2\right)\le \mu \left(x_1+x,x_2+x\right)$ ；

(2) 若 $x_1,x_2\in E$ 且 $\mu \left(x_1,x_2\right)>\frac{1}{2}$，对 $0<\alpha \in R$，有 $\mu \left(x_1,x_2\right)\le \mu \left(\alpha x_1,\alpha x_2\right)$。

定义2.4 如果模糊序向量空间是模糊格称为模糊Riesz空间。

定义2.5 假设E是模糊Riesz空间，K是E的向量子空间，若 $x,y\in K$，有 $x\vee y\in K$ 且 $x\wedge y\in K$，称K是E的模糊Riesz子空间。

定义2.6 模糊Riesz空间E上的子集A称为模糊实的，如果对 $x\in A$，且 $\mu \left(\left|x\right|,\left|y\right|\right)>\frac{1}{2}$，有 $y\in A$。即A是E的模糊实子集。E的模糊实向量子空间I称为E的模糊理想。

定义2.7 假设D是模糊Riesz空间E的子集，E中包含D的最小模糊理想称为由D产生的模糊理想，记为 $I_D$。如果D是单元素，即： $D=\left\{x\right\}$， $x\in E$，记 $I_D$ 为 $I_x$，称由x生成的主模糊理想。

定义2.8 假设 $\left(E,u\right)$ 是模糊Riesz空间，如果E的任意一个非空子集有上界并且有上确界，称E是模糊Dedekind完备的。

定义2.9 Directed序向量空间E称为模糊Archimedean空间，如果对任意的非负元素 $x\in E$，集合 $\left\{\lambda x|\lambda >0\right\}$ 没有上界。

定义2.10 假设 $\left(E,u\right),\left(F,v\right)$ 是模糊Riesz空间，算子 $T:E\to F$，如果 $\mu \left(0,x\right)>\frac{1}{2}$，有 $\nu \left(0,T\left(x\right)\right)>\frac{1}{2}$，则称T是模糊正算子。

定义2.11 假设 $\left(E,u\right),\left(F,v\right)$ 是模糊Riesz空间，算子 $T:E\to F$ 是模糊正算子，如果对于模糊序有界集 $C\subseteq E$，有 $T\left(C\right)\subseteq F$ 也是模糊序有界集，则称T是模糊序有界的。

定义2.12 假设 $\left(E,u\right),\left(F,v\right)$ 是模糊Riesz空间， $FL\left(E,F\right)$ 表示 $\left(E,u\right)$ 到 $\left(F,v\right)$ 上所有模糊线性算子全体。 $F{L}_b\left(E,F\right)$ 表示 $\left(E,u\right)$ 到 $\left(F,v\right)$ 上所有的模糊序有界算子全体。

定义2.13 假设 $\left(E,u\right),\left(F,v\right)$ 是模糊Riesz空间，若函数 $p:E\to F$ 满足以下两个条件，称p是模糊次线性的：

(1) 对 $x,y\in E$，有 $\mu \left(p\left(x+y\right),p\left(x\right)+p\left(y\right)\right)>\frac{1}{2}$ ；

(2) 对 $x\in E$ 和 $\lambda \in R^{+}$，有 $p\left(\lambda x\right)=\lambda p\left(x\right)$。

定义2.14 设E是模糊Riesz空间，A是E的模糊理想，如果 $x_n\subseteq {\left(A\right)}^{+}$ 且 $x_n\uparrow x$，有 $x\in A$，则称A是E的模糊σ-理想。

对于模糊Riesz空间理论相关的知识，请参考文献 [4] [5] [6] [7] [8]。

3. 模糊Riesz同态的性质

定义3.1 设 $\left(E,u\right),\left(F,v\right)$ 是模糊Riesz空间，算子 $T:E\to F$，如果 $x,y\in E$，有 $T\left(x\vee y\right)=T\left(x\right)\vee T\left(y\right)$，则称算子T是模糊Riesz同态。若T是双射，则称T是模糊Riesz同构。

考虑算子 $T:C\left[0,1\right]\to L_1\left[0,1\right]$，其中 $Tf\left(t\right)=tf\left(t\right),t\in \left[0,1\right]$，则T是模糊格同态。考虑算子 $T:C\left[0,1\right]\to R$，其中 $T\left(f\right)={\displaystyle {\int }_0^{1}f\left(t\right)\text{d}t}$，则T不是模糊格同态。

定理3.2 假设 $\left(E,u\right),\left(F,v\right)$ 是模糊Riesz空间， $T:E\to F$ 是模糊Riesz同态，则以下结论成立：

(1) $v\left(0,Tx\right)>\frac{1}{2}$ 当且仅当存在 $z\in Ker\left(T\right)$， $\mu \left(0,z\right)>\frac{1}{2}$，使得 $\mu \left(0,x+z\right)>\frac{1}{2}$。 $v\left(Tx,Ty\right)>\frac{1}{2}$ 当且仅当存在 $w\in E$，使得 $w\ge x,w\ge y$ 且 $Tw=Tx$。

(2) $v\left(\left|Tx\right|,\left|Ty\right|\right)>\frac{1}{2}$ 当且仅当存在 $w\in Ker\left(T\right)$，使得 $\mu \left(\left|w\right|,\left|x\right|\right)>\frac{1}{2}$ 且 $\mu \left(\left|x-w\right|,\left|y\right|\right)>\frac{1}{2}$。

证明：

(1) 假设 $v\left(0,Tx\right)>\frac{1}{2}$，由 [9] 中定理3.16可得 $Tx=T\left(x^{+}\right)={\left(Tx\right)}^{+}$，因此 $T\left(x^{+}-x\right)=0$，即 $T\left(x^{-}\right)=0$。令 $z=x^{-}$，则 $\mu \left(0,z\right)>\frac{1}{2}$ 且 $z\in Ker\left(T\right)$，又因 $x+z=x+x^{-}=x^{+}$，则 $\mu \left(0,x+z\right)>\frac{1}{2}$。

另一方面，假设 $z\in Ker\left(T\right)$ 且 $\mu \left(0,x+z\right)>\frac{1}{2}$，因 $Tx=T\left(x+z\right)$，则 $v\left(0,Tx\right)>\frac{1}{2}$。因此 $v\left(Tx,Ty\right)>\frac{1}{2}$ 当且仅当存在 $z\in Ker\left(T\right)$ 且 $\mu \left(0,z\right)>\frac{1}{2}$，使得 $\mu \left(0,x-y+z\right)>\frac{1}{2}$。取 $w=x+z$，则 $v\left(Tx,Ty\right)>\frac{1}{2}$ 当且仅当存在 $w\in E$，使得 $\mu \left(x,w\right)>\frac{1}{2},\mu \left(y,w\right)>\frac{1}{2}$ 且 $Tw=Tx$。

(2) 假设 $v\left(\left|Tx\right|,\left|Ty\right|\right)>\frac{1}{2}$，由 [9] 中定理3.16可知 $v\left(T\left|x\right|,T\left|y\right|\right)>\frac{1}{2}$，由性质(1)，存在 $z\in Ker\left(T\right)$，使得 $\mu \left(\left|x\right|,\left|y\right|+z\right)>\frac{1}{2}$。而 $\mu \left(\left|x\right|-\left|y\right|,z\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(\left|x\right|-\left|y\right|,\left|x\right|\right)>\frac{1}{2}$，因此 $\mu \left(\left|x\right|-\left|y\right|,\left|x\right|\wedge z\right)>\frac{1}{2}$。即： $\left|x\right|\wedge z\in Ker\left(T\right)$ 且 $\mu \left(\left|x\right|,\left|y\right|+\left|x\right|\wedge z\right)>\frac{1}{2}$。因此可假设 $\mu \left(\left|x\right|,\left|y\right|+z\right)>\frac{1}{2}$，其中 $z\in Ker\left(T\right)$， $\mu \left(0,z\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(z,\left|x\right|\right)>\frac{1}{2}$。由文献 [4] 定理4.12可知存在 $z_1,z_2\in E^{+}$，使得 $z=z_1+z_2$ 且 $\mu \left(z_1,x^{+}\right)>\frac{1}{2},\mu \left(z_2,x^{-}\right)>\frac{1}{2}$。由文献 [4] 性质4.7可知 $\left|x\right|-z=\left(x^{+}-z_1\right)+\left(x^{-}-z_2\right)=\left|\left(x^{+}-z_1\right)+\left(x^{-}-z_2\right)\right|=\left|\left(x^{+}-z_1\right)-\left(x^{-}-z_2\right)\right|$。令 $w=z_1-z_2$，则 $\left|x\right|-z=\left|x-w\right|$。因 $\mu \left(\left|x\right|-z,\left|y\right|\right)>\frac{1}{2}$，则当 $w\in Ker\left(T\right)$ 时，有 $\mu \left(\left|x-w\right|,\left|y\right|\right)>\frac{1}{2}$。且有 $\left|w\right|=\left|z_1-z_2\right|=z_1+z_2=z$， $\mu \left(\left|w\right|,\left|x\right|\right)>\frac{1}{2}$。另一方面，令 $w\in Ker\left(T\right)$， $\mu \left(\left|x-w\right|,\left|y\right|\right)>\frac{1}{2}$。因 $\mu \left(\left|x-w\right|-\left|x\right|,\left|w\right|\right)>\frac{1}{2}$，则 $\left(\left|x-w\right|-\left|x\right|\right)\in Ker\left(T\right)$。由此可得， $T\left(\left|x\right|\right)=T\left(\left|x-w\right|\right)$。由假设知 $\mu \left(\left|x-w\right|,\left|y\right|\right)>\frac{1}{2}$，则 $v\left(T\left(\left|x\right|\right),T\left(\left|y\right|\right)\right)>\frac{1}{2}$，由此可得 $v\left(\left|Tx\right|,\left|Ty\right|\right)>\frac{1}{2}$。

定理3.3 假设E和F是模糊Riesz空间， $T:E\to F$ 是模糊Riesz同态，则以下结论成立：

(1) 如果Z是E的模糊Riesz子空间，则T(Z)是F的模糊Riesz子空间。

(2) 如果W是F的模糊Riesz子空间，则 $T^{-1}\left(w\right)=\left(x:x\in Z,Tx\in W\right)$ 是E的模糊Riesz子空间。

证明：(1) 假设Z是E的模糊Riesz子空间，下面证明T(Z)是F的模糊Riesz子空间。令 $h,q\in T\left(Z\right)$，则存在 $x,y\in Z$，使得 $Tx=h,Ty=q$。由模糊Riesz同态的定义以及Z是E的模糊Riesz子空间可知 $Tx\vee Ty=T\left(x\vee y\right)\in T\left(Z\right)$。因此， $h\vee q\in T\left(Z\right)$。则T(Z)是F的模糊Riesz子空间。

(2) 假设W是F的模糊Riesz子空间，下面证明 $T^{-1}\left(W\right)$ 是E的模糊Riesz子空间。令 $x,y\in T^{-1}\left(W\right)$，则 $Tx,Ty\in W$。因W是F的模糊Riesz子空间，因此 $Tx\vee Ty=T\left(x\vee y\right)\in W$，即 $x\vee y\in T^{-1}\left(W\right)$。所以 $T^{-1}\left(W\right)$ 是E的模糊Riesz子空间。

定理3.4 假设 $\left(E,u\right),\left(F,v\right)$ 是模糊Riesz空间， $T:E\to F$ 是模糊Riesz同态。

(1) 若B是E的模糊理想，则T(B)是T(E)的模糊理想；

(2) 若B₁和B₂是E的模糊理想，则 $T\left(B_1\cap B_2\right)=T\left(B_1\right)\cap T\left(B_2\right)$。

证明：(1) 令 $x\in B^{+}$，则 $Tx,Ty\in W$。假设 $v\left(z,Tx\right)>\frac{1}{2}$ 且 $z\in {\left(T\left(E\right)\right)}^{+}$，下面证明 $z\in T\left(B\right)$。

若 $z\in T\left(E\right)$，则存在 $y\in E$，使得 $z=Ty$。因 $z\in {\left(T\left(E\right)\right)}^{+}$，则 $z=z^{+}={\left(Ty\right)}^{+}=T\left(y^{+}\right)$。令 $w=x\wedge y^{+}$，则 $w\in B$。又因T是模糊同态且 $v\left(T{y}^{+},Tx\right)>\frac{1}{2}$，则 $Tw=T\left(x\wedge y^{+}\right)=Tx\wedge T{y}^{+}=T{y}^{+}=z$。因此，存在 $w\in B$，使得 $Tw=z$，所以 $z\in T\left(B\right)$。即T(B)是T(E)的模糊理想。

(2) 假设B₁和B₂是E的模糊理想，首先证明 $T\left(B_1\cap B_2\right)=T\left(B_1\right)\cap T\left(B_2\right)$。令 $f\in T\left(B_1\cap B_2\right)$，则存在 $x\in B_1\cap B_2$，使得 $T\left(x\right)=f$。若 $x\in B_1\cap B_2$，则 $Tx\in T\left(B_1\right)$ 且 $Tx\in T\left(B_2\right)$，因此 $Tx\in T\left(B_1\right)\cap T\left(B_2\right)$。即 $f\in T\left(B_1\right)\cap T\left(B_2\right)$。另一方面，令 $f\in T\left(B_1\right)\cap T\left(B_2\right)$，则 $\left|f\right|\in T\left(B_1\right)\cap T\left(B_2\right)$。存在 $x\in B_1^{+},y\in B_2^{+}$，使得 $\left|f\right|=Tx,\left|f\right|=Ty$。令 $w=x\wedge y$，则 $w=B_1\cap B_2$，因T是模糊同态，则有 $Tw=T\left(x\wedge y\right)=Tx\wedge Ty=\left|f\right|$。因此，存在 $w=B_1\cap B_2$，使得 $Tw=\left|f\right|\in T\left(B_1\cap B_2\right)$。

定理3.5 设 $\left(E,u\right),\left(F,v\right)$ 是模糊Riesz空间， $T:E\to F$ 是模糊Riesz同态。

(1) 若B是T(E)的模糊理想，则 $T^{-1}\left(B\right)$ 是E的模糊理想。

(2) 若B₁是F的模糊理想，则 $T^{-1}\left(B_1\right)$ 是E的模糊理想。

证明：(1) 假设B是T(E)的模糊理想，设 $\mu \left(x,y\right)>\frac{1}{2}$，其中 $y\in T^{-1}\left(B\right),x\ge 0$。下面证明 $x\in T^{-1}\left(B\right)$。因 $y\in T^{-1}\left(B\right)$，则 $Ty\in B$。因T是模糊Riesz同态，则 $v\left(Tx,Ty\right)>\frac{1}{2}$ 且 $v\left(0,Tx\right)>\frac{1}{2}$。因B是T(E)的模糊理想，所以 $Tx\in B$，即 $x\in T^{-1}\left(B\right)$。

(2) 假设B₁是F的模糊理想，则 $B_1\cap T\left(E\right)$ 是T(E)的模糊理想。因此， $T^{-1}\left(B_1\right)=T^{-1}\left(B_1\cap T\left(E\right)\right)$ 是E的模糊理想。

定理3.6 假设 $\left(E,u\right),\left(F,v\right)$ 是模糊Riesz空间， $T:E\to F$ 是模糊Riesz同态。如果I_Z是E中由元素 $z\in E^{+}$ 生成的模糊主理想，则T(I_Z)是T(E)中由元素Tz产生的模糊主理想。

证明：因为I_Z是E中的模糊理想，则T(I_Z)是T(E)中的模糊理想。下面证明T(I_Z)是T(E)中由元素Tz产生的模糊主理想。因 $z\in E^{+}$ 且 $z\in I_z$，则有 $Tz\in T\left(I_z\right)$，即T(E)中由Tz产生的模糊理想是T(I_Z)的子集。另一方面，令 $m\in {\left(T\left(I_z\right)\right)}^{+}$，则存在 $x\in I_z$ 满足 $m=Tx$。由文献 [8] 中定义5.2可得，存在实数 $\alpha >0$ 且 $\mu \left(x,\alpha z\right)>\frac{1}{2}$。因此， $\nu \left(x,\alpha Tz\right)>\frac{1}{2}$。即m属于T(E)中由Tz产生的模糊理想。由此可得，T(I_Z)包含于T(E)中由元素Tz产生的模糊理想。

定理3.7 假设E和F是模糊Riesz空间， $T:E\to F$ 是模糊Riesz同态。若B是E的子集，则T(B^d)是(T(B))^d的子集。

证明：假设 $z\in T\left(B^d\right)$，则存在 $x\in B^d$ 满足 $Tx=z$。取 $y\in B$，则 $x\perp y$ 且 $Ty\in T\left(B\right)$。因 $\left|Tx\right|\wedge \left|Ty\right|=T\left|x\right|\wedge T\left|y\right|=T\left(\left|x\right|\wedge \left|y\right|\right)=0$，则有 $Tx\perp Ty$。即 $z=Tx\in {\left(T\left(B\right)\right)}^d$。

定理3.8 假设E和F是模糊Riesz空间， $T:E\to F$ 是模糊Riesz同态。则E中模糊投影带的像是T(E)中的模糊投影带。

证明：假设E₁是E中的模糊投影带，E₂是E₁的不交补，则 $E=E_1\oplus E_2$。由定理2.3可知，T(E₁)和T(E₂)是T(E)中的模糊理想，且 $T\left(E_1\right)\perp T\left(E_2\right)$。令 $f\in T\left(E\right)$，则存在 $x\in E$，使得 $f=Tx$。取 $x=x_1+x_2$，其中 $x_1\in E_1$， $x_2\in E_2$，则 $f=Tx=T{x}_1+T{x}_2$，其中 $T{x}_1\in T\left(E_1\right)$， $T{x}_2\in T\left(E_2\right)$。因此， $TE=T\left(E_1\right)+T\left(E_2\right)$，即T(E₁)和T(E₂)是T(E)中的模糊带。由模糊投影带的定义可知T(E₂)是T(E)中的模糊投影带。

定义3.9 假设E和F是模糊Riesz空间， $T:E\to F$ 是模糊Riesz同态，如果 $x=\sup x_n\left(n=1,2,\cdots \right)$ 在E中成立，有 $Tx=\sup T{x}_n$ 在F中成立，则称T是模糊σ-同态。

定理3.10 假设T是模糊Riesz空间 $\left(E,u\right)$ 到模糊Riesz空间 $\left(F,v\right)$ 映上的模糊同态，则以下结论等价：

(1) T是模糊Riesz σ-同态；

(2) 对F中模糊σ-理想A，T⁻¹(A)是E中的模糊σ-理想；

(3) T的核Ker(T)是E中的模糊σ-理想。

证明：(1) Þ (2) 假设T是模糊Riesz σ-同态，A是F中的模糊σ-理想。令 $y_n\uparrow y$ 且 $y_n\in {\left(T^{-1}\left(A\right)\right)}^{+}$。因T是模糊Riesz σ-同态，则 $T{y}_n\in A^{+}$ 且 $T{y}_n\uparrow Ty$。又因A是模糊σ-理想，则 $Ty\in A$，因此 $y\in T^{-1}\left(A\right)$。即 $T^{-1}\left(A\right)$ 是模糊σ-理想。

(2) Þ (3) 因 $KerT$ 是F中的模糊σ-理想{0}的逆像，因此KerT是E中的模糊σ-理想。

(3) Þ (1) 假设 $KerT$ 是模糊σ-理想，且 $y_n\in E^{+},y_n\uparrow y$。下面证明 $T{y}_n\uparrow Ty,T{y}_n\in F^{+}$。设 $\mu \left(x,y\right)>\frac{1}{2}$ (否则用 $x\wedge y$ 替换x)，取 $\nu \left(T{y}_n,Tx\right)>\frac{1}{2},\nu \left(Tx,Ty\right)>\frac{1}{2}$，令 $z_n=y_n\vee x-x$，则 $\mu \left(0,z_n\right)>\frac{1}{2},z_n\uparrow x\vee y-x=y-x$。因 $T{z}_n=T{y}_n\vee Tx-Tx=Tx-Tx$，则 $z_n\in KerT$。因 $KerT$ 是模糊σ-理想，则 $y-x\in KerT$，即 $Tx=Ty$，因此 $T{y}_n\uparrow Ty$。

定义3.11 假设 $\left(E,u\right)$ 是模糊Riesz空间，如果存在 $w\in E^{+}$，对任意的 $\epsilon >0$，存在指标集 $n\left(\epsilon \right)$，使得当 $n>n\left(\epsilon \right)$ 时，有 $\mu \left(\left|x-x_n\right|,\epsilon w\right)>\frac{1}{2}$，则称E中的序列 $\left\{x_n\right\}$ 模糊w-一致收敛于x。

定义3.12 假设 $\left(E,u\right)$ 是模糊Riesz空间，对于E中的序列 $\left\{x_n\right\}$，若存在 $w\in E^{+}$，使得 $\left\{x_n\right\}$ 模糊w-一致收敛于 $x\in E$，则称序列 $\left\{x_n\right\}$ 相对模糊一致收敛于 $x\in E$。

定义3.13 假设 $\left(E,u\right)$ 是模糊Riesz空间，若对任意的 $\epsilon >0$，存在指标集 $n\left(\epsilon \right)$，使得当 $m,n>n\left(\epsilon \right)$ 时，有 $\mu \left(\left|x_m-x_n\right|,\epsilon w\right)>\frac{1}{2}$，则称序列 $\left\{x_n\right\}$ 为模糊w-一致柯西列。

若对任意的 $w\in E$，每个模糊w-一致柯西列都有模糊w-一致极限，则称模糊Riesz空间是模糊一致完备的。

定理3.14 假设 $\left(E,u\right),\left(F,v\right)$ 是模糊Riesz空间， $T:E\to F$ 是模糊Riesz同态，则以下结论成立：

(1) E中相对模糊一致收敛柯西列的像是F中的相对模糊一致收敛柯西列。

(2) 若 $\left\{T{x}_n\right\}$ 是F中的相对模糊一致收敛柯西列，则存在子列 $\left\{T{x}_{n_k}\right\}$ 和E中对应的序列 $\left\{y_n\right\}$，使得对所有的k，有 $T{y}_k=T{x}_{nk}$，且 $\left\{y_n\right\}$ 是E中相对模糊一致收敛柯西列。

(3) 若E是模糊一致完备的，则F也是模糊一致完备的。即：模糊Riesz同态将模糊一致完备空间映成模糊一致完备空间。

证明：(1) 假设 $\left\{x_n\right\}$ 是相对模糊一致收敛柯西列，由定义可知，存在 $w\in E^{+}$，使得当 $m,n>n\left(\epsilon \right)$ 时，有 $\mu \left(\left|x_m-x_n\right|,\epsilon w\right)>\frac{1}{2}$。因此，对 $m,n>n\left(\epsilon \right)$，有 $\nu \left(\left|T{x}_m-T{x}_n\right|,\epsilon Tu\right)>\frac{1}{2}$，则 $\left\{T{x}_n\right\}$ 也是相对模糊一致收敛柯西列。

(2) 假设 $\left\{T{x}_n\right\}$ 是相对模糊一致收敛柯西列，则存在 $w\in E^{+}$，使得 $\left\{T{x}_n\right\}$ 是模糊Tw-一致收敛柯西列。假设 $\left\{T{x}_{n_k}\right\}$ 是 $\left\{T{x}_n\right\}$ 的子序列，且 $n_1<n_2<\cdots$， $\nu \left(\left|T{x}_{n_{k+1}}-T{x}_{n_k}\right|,2^{-k}Tw\right)>\frac{1}{2}$ 对所有的k成立。由定理2.1可知，存在 $\left\{z_n\right\}$，使得对所有的k，有 $T{z}_k=T{x}_{n_{k+1}}-T{x}_{n_k}$ 且 $\mu \left(\left|z_k\right|,2^{-k}w\right)>\frac{1}{2}$。令 $y_k=x_{n_1}+z_1+\cdots +z_{k-1}$ 对

所有的k满足 $T{y}_k=T{n}_k$，则 $\left\{y_n\right\}$ 是模糊w-一致柯西列。

(3) 假设E是模糊一致完备的，且 $\left\{T{x}_n\right\}$ 是模糊Tw-一致收敛柯西列。由(2)可知，存在子序列 $\left\{T{x}_{n_k}\right\}$ 和对应的序列 $\left\{y_n\right\}$，使得 $T{y}_k=T{x}_{n_k}$，且序列 $\left\{y_n\right\}$ 是模糊w-一致柯西列。因E是模糊一致完备的， $\left\{y_n\right\}$ 模糊w-一致收敛于 $y\in E$， $\left\{T{y}_k\right\}$ 模糊Tw-一致收敛于Ty。因此，当 $k\to \infty$， $\left\{T{y}_k\right\}$ 模糊Tw-一致收敛于Ty。

基金项目

国家自然科学基金资助(11801458)。

NOTES

^*通讯作者。