1. 引言
分数阶微分方程作为一个重要的数学工具,具有良好的研究意义,其中反周期边值问题因在不少学科中起到了关键性作用,故引起了数学工作者浓厚的研究兴趣,并取得了一定的研究成果 [1] [2] [3] [4]。P-Laplacian算子在非牛顿流体力学、多孔介质湍流及非线性粘弹性力学等多领域起到重要作用。因此也引得大量学者对其进行研究 [5] [6] [7] [8] [9]。但很少有文献研究具P-Laplacian算子的分数阶奇异微分方程反周期边值问题,故文章是对该类问题的补充与完善。
文献 [8] 中研究了一类具P-Laplacian算子的非线性分数阶微分方程反周期边值问题
(1)
解的存在性与唯一性,其中
,
,其中
。
是标准的Caputo导数。
文献 [10] 研究了分数阶微分方程奇异边值问题
(2)
是标准的Riemann-Liouville型分数阶导数,
,且f在
处有奇性。
受上述文献启发,本文将研究如下具有P-Laplacian算子的奇异分数阶微分方程反周期边值问题
(3)
解的存在性与唯一性,其中
和
是Caputo型分数阶导数,
,非线性项
,并且
(即f在
时是奇异的),并且满足存在实数
,使得
。
且
。
2. 预备知识
定义1.1 [1] 函数
的
阶分数阶积分是指
其中右边是在
逐点定义的。
定义1.2 [1] 函数
的
阶Caputo型分数阶微分是指
其中右边是在
逐点定义的
,特别的,当
时,
。
引理1.1 [1] 设
,及
,则
。
引理1.2 [1] 设
,
,则
,其中
。
引理1.3 [3] (Banach压缩映像原理)设E是Banach空间X的非空闭子集,如果映射T是E到其自身内的映像,它在E内满足Lipschit条件,即对任意
则必有唯一的
,使得
,即T在E上有唯一不动点。
引理1.4 [8] (Krasnosel’skiis不动点定理)设
为Banach空间X上的有界闭凸非空子集,其中有算子
满足:1)
,其中
;2) 算子
是全连续的;3) 算子
是压缩印象,则存在
,使得
。
引理1.5 [6] 如果
,并且
,则对P-Laplacian算子
,下列不等式成立
。
引理1.6 假设
是连续函数,
,则边值问题
(4)
有唯一解
证明:由引理1.2,对方程两端进行
阶积分,有
由Caputo分数阶微分性质可知:
,所以
。
对上式两边作用
的逆算子
,由P-Laplacian算子的性质,有
。
由引理1.1及引理1.2,对上式两边进行
阶积分,有
再由Caputo导数的性质,即
,有
最后由边值条件
,有
故有
3. 主要结果
定义
,则E是以
为范数的Banach空间。
定义算子
为:
在本节中,需附加以下条件来确保解的存在性与唯一性。
(H1) 对于实数
,使得
在
上连续,并且存在常数
,有
;
(H2) 对任意
,存在实数
,有
;
(H3) 记
;
(H4) 记
。
为方便下文计算,我们
。
定理2.1 假如
,若条件(H1)成立,则
在
上连续,且存在实数
,对任意
,有
。
证明:由于
时,根据
,可得
,并且有
.
则对
,
,有
即
在
上连续,故
。
定理2.2 若条件(H1)成立,根据定理2.1及引理1.3,可知边值问题(4)有唯一解。
证明:定义集合
,这里
。
首先
证明,对任意
,有
即
,故
成立。
其次,对
,当
时,
由假设条件(H3)可知
故有
,因此由引理1.3可知算子有唯一不动点。
定理2.3 若条件(H1)~(H4)满足,则根据定理2.1、2.2及引理1.4可知边值问题(4)至少有一个不动点。
证明:定义集合
,这里
,则
为E的有界闭子集。定义
上的算子
,其中
对
时,有
因此
,即
。
其次当
时,有
由条件(H4)及引理1.4可知算子Q在
中为压缩映射。
最后证明算子P在
上是全连续的,对任意
,有
可知算子P在
上一致有界。
其次对
当
时,有
即算子P在
上等度连续,由Arzela-Ascoli定理可知算子P为全连续算子,故由引理1.4可知边值问题(4)至少有一个解。
致谢
谨向审稿人提出的宝贵意见和建议表示诚挚的感谢!同时也要向我的指导老师胡卫敏教授表示我诚挚的谢意!
基金项目
新疆维吾尔自治区自然科学基金资助项目(2019D01C331)。