带弱阻尼项的二维MHD方程解的存在唯一性

Existence and Uniqueness of Solutions for Two Dimensional MHD Equations with Weakly Dampping

摘要: 本文主要考虑有界区域上带弱阻尼项的二维不可压的MHD方程解的适定性。首先应用经典的Faedo-Galerkin方法，证明其强解和弱解的存在唯一性。进一步，得到强解满足的能量等式和能量不等式。

Abstract: In this paper, we mainly consider the well-posedness of solutions of two dimensional incom-pressible MHD equations with weakly dampping defined on a bounded domain. First, the existence and uniqueness of strong and weak solutions are proved by using the classical Faedo-Galerkin approximation. Furthermore, the energy equation and energy inequality satisfied by the strong solution are obtained.

1. 引言

磁流体动力学(MHD)方程描述了一种导电流体在磁场存在下的运动，这是许多物理现象的基础，比如地球物理学中的地磁发电机和天体物理学中的太阳风和太阳耀斑 [1]。磁流体动力学(MHD)方程是流体动力学中的纳维–斯托克斯(Navier-Stokes)方程和电磁动力学中的麦克斯韦(Maxwell)方程的耦合。虽然MHD方程与Navier-Stokes方程在结构上非常相似，但MHD方程中出现了未知的磁场以及更多的耦合项，因此对MHD方程的理论研究将比Navier-Stokes方程更加困难。

本文研究的模型是带弱阻尼项的二维MHD方程。设 $\Omega \subset {ℝ}^2$ 是具有光滑边界 $\partial \Omega$ 的有界开集，方程的形式如下

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial t}+\left(u\cdot \nabla \right)u-\frac{1}{\mathrm{Re}}\Delta u+\nabla p+S\nabla \frac{{\left|B\right|}^2}{2}-S\left(B\cdot \nabla \right)B+\alpha u=\epsilon f,\left(x,t\right)\in \Omega \times {ℝ}_{\tau },\\ \frac{\partial B}{\partial t}+\left(u\cdot \nabla \right)B-\left(B\cdot \nabla \right)u+\frac{1}{\mathrm{Rm}}\widetilde{\text{curl}}\left(\text{curl}B\right)=0,\left(x,t\right)\in \Omega \times {ℝ}_{\tau },\\ \nabla \cdot u=0,\nabla \cdot B=0,\left(x,t\right)\in \Omega \times {ℝ}_{\tau },\\ u\left(\tau \right)=u_{\tau },B\left(\tau \right)=B_{\tau },x\in \Omega ,\end{array}$ (1)

其中， $u\left(x,t\right)$ 是速度场， $B\left(x,t\right)$ 是磁场，函数p表示压力， $\alpha$ 是正常数， $\alpha u$ 表示弱阻尼项， ${ℝ}_{\tau }\in \left[\tau ,+\infty \right)$， $\tau \in ℝ$， $\epsilon$ 是任意小的正常数，外力项f是关于时间的局部可积函数。

方程(1)满足以下边界条件

$\{\begin{array}{l}u\left(x,t\right)=0,x\in \partial \Omega \\ B\left(x,t\right)\cdot n=0和\text{curl}B\left(x,t\right)=0,x\in \partial \Omega \end{array}$ (2)

其中， $n$ 是边界 $\partial \Omega$ 上的单位外法向量。

阻尼效应常见于自然学科中的诸多领域，用于描述许多物理现象，如多孔介质流动，阻力或摩擦效应以及一些耗散机制。众所周知，带弱阻尼项的 MHD方程在 $B=0$ 的情况下就简化成了带弱阻尼项的二维Navier-Stokes方程。Xiaojing Cai，Zujin Zhang和Xinguang Yang等人研究了带弱阻尼项的二维Navier-Stokes方程解的动态行为，可参考文献 [2] [3] [4] [5] [6]。比如Xiaojing Cai [2] 在2008年研究了带阻尼项 $\alpha {\left|u\right|}^{\beta -1}u\left(\alpha >0\right)$ 的Navier-Stokes方程的Cauchy问题，证明了当 $\beta \ge 1$ 时系统有弱解；Wuming Li [4] 在2011年研究了带弱阻尼项 $\alpha {\left|u\right|}^{\beta -1}u\left(\alpha >0\right)$ 的不可压的Navier-Stokes方程分别在狄利克雷边界条件下和在非齐次边界条件下弱解的存在唯一性；Xinguang Yang [5] 在2013年证明了带弱阻尼项 $\alpha u$ 的二维Navier-Stokes方程的一致吸引子的存在性，而对于带弱阻尼项的MHD方程也得到了许多研究成果，可参考文献 [7] [8] [9] [10] [11]。本文主要参考文献 [9] 的方法研究了带弱阻尼项 $\alpha u$ 的二维MHD方程的强解和弱解的存在唯一性，为研究其全局吸引子与拉回吸引子打好基础。

2. 预备知识

2.1. 函数空间

对任意 $1\le p\le \infty$，记

$\begin{array}{l}{\mathbb{L}}^p\left(\Omega \right)={\left(L^p\left(\Omega \right)\right)}^2,{ℍ}^1\left(\Omega \right)={\left(H^1\left(\Omega \right)\right)}^2,\\ {ℍ}_0^1\left(\Omega \right)={\left(H_0^1\left(\Omega \right)\right)}^2,{ℍ}^{-1}\left(\Omega \right)={\left(H^{-1}\left(\Omega \right)\right)}^2,\end{array}$

设方程在以下空间中

$\begin{array}{l}{\mathcal{V}}_1=\left\{u\in {\left(C_c^{\infty }\left(\Omega \right)\right)}^2,\text{div}u=0\right\},\\ V_1={\mathcal{V}}_1在{ℍ}_0^1\left(\Omega \right)中的闭包=\left\{u\in {ℍ}_0^1\left(\Omega \right),\text{div}u=0\right\},\\ H_1={\mathcal{V}}_1在{\mathbb{L}}^2\left(\Omega \right)中的闭包=\left\{u\in {\mathbb{L}}^2\left(\Omega \right),divu=0和u\cdot {n|}_{\partial \Omega }=0\right\},\\ {\mathcal{V}}_2=\left\{B\in {\left(C^{\infty }\left(\bar{\Omega }\right)\right)}^2,\text{div}u=0和B\cdot {n|}_{\partial \Omega }=0\right\},\\ V_2={\mathcal{V}}_2在{ℍ}^1\left(\Omega \right)中的闭包=\left\{B\in {ℍ}^1\left(\Omega \right),\text{div}B=0和B\cdot {n|}_{\partial \Omega }=0\right\},\\ H_2={\mathcal{V}}_2在{\mathbb{L}}^2\left(\Omega \right)中的闭包=H_1,\end{array}$

定义 $V_1$ 的对偶空间为 $V_1^{\text{*}}=\left\{u\in {ℍ}^{-1}\left(\Omega \right),\text{div}u=0\right\}$，其中， $n$ 是边界 $\partial \Omega$ 上的单位法向量。

定义函数空间 $H_1=H_2,V_1,V_2$ 中的内积为

$\begin{array}{l}\left(u,v\right):={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{2}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^i}}\left(x\right)v^i\left(x\right)\text{d}x,\forall u,v\in H_1\left(或H_2\right),\\ \left(\nabla u,\nabla v\right):={\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{2}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{\partial u^i}{\partial x^j}}}\left(x\right)\frac{\partial v^i}{\partial x^j}\left(x\right)\text{d}x,\forall u,v\in V_1,\\ \left(\text{curl}B,\text{curl}\tilde{B}\right):={\displaystyle \underset{i,j=1,i\ne j}{\overset{2}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }\frac{\partial B^i}{\partial x^j}\left(x\right)\left(\frac{\partial \widetilde{B^i}}{\partial x^j}\left(x\right)-\frac{\partial \widetilde{B^j}}{\partial x^i}\left(x\right)\right)\text{d}x,\forall B,\tilde{B}\in V_2}}.\end{array}$

记 $V=V_1\times V_2,H=H_1\times H_2$， $V^{\text{*}}$ 是V的对偶空间。则 $V\subset H=H^{*}\subset V^{*}$，且每一个空间都在后一个空间中稠密。

定义H和V上的内积为

$\begin{array}{l}\left(\xi ,\psi \right)=\left(u,\phi \right)+\left(B,\rho \right),\forall \xi =\left(u,B\right),\psi =\left(\phi ,\rho \right)\in H,\\ \left(\xi ,\psi \right)+\frac{1}{\mathrm{Re}}\left(\nabla u,\nabla \phi \right)+\frac{1}{\text{Rm}}\left(\text{curl}B,\text{curl}\rho \right),\forall \xi =\left(u,B\right),\psi =\left(\phi ,\rho \right)\in V.\end{array}$

记空间H的范数为 $\Vert \cdot \Vert ={\left(\cdot ，\cdot \right)}^{\frac{1}{2}}$，空间V的范数 ${\Vert \cdot \Vert }_{\text{*}}={\left(\cdot ，\cdot \right)}^{\frac{1}{2}}$。则

$\begin{array}{l}\left(-\Delta u,\phi \right)=\left(\nabla u,\nabla \phi \right),\forall u,\phi \in V_1,\\ \left(\widetilde{curl}\left(\text{curl}B\right),\rho \right)=\left(\text{curl}B,\text{curl}\rho \right),\forall B,\rho \in V_2.\end{array}$

我们用 $\langle \cdot ，\cdot \rangle$ 表示X与 $X^{*}$ 的对偶内积，其中， $X=V,V_1$ 或 $V_2$。定义算子 $\mathcal{A}\in \mathcal{L}\left(V,V^{*}\right),{\mathcal{A}}_i\in \mathcal{L}\left(V_i,V_i{}^{*}\right),$ $i=1,2$ 为

$\begin{array}{l}\langle {\mathcal{A}}_{1}u,\phi \rangle =\left(\nabla u,\nabla \phi \right),\forall u,\phi \in V_1,\langle {\mathcal{A}}_{2}B,\rho \rangle =\left(\text{curl}B,\text{curl}\rho \right),\forall B,\rho \in V_2,\\ \langle \mathcal{A}\xi ,\psi \rangle =\frac{1}{\mathrm{Re}}\left(\nabla u,\nabla B\right)+\frac{1}{\text{Rm}}\left(\text{curl}B,\text{curl}\rho \right),\forall \xi =\left(u,B\right),\psi =\left(\phi ,\rho \right)\in V.\end{array}$

分别定义 ${\mathcal{A}}_1,{\mathcal{A}}_2,\mathcal{A}$ 为 $H_1,H_2,H$ 上的无界算子，其中 $D\left({\mathcal{A}}_1\right)=\left\{u\in V_1,{\mathcal{A}}_{1}u\in H_1\right\}$，

$D\left({\mathcal{A}}_2\right)=\left\{B\in V_2,{\mathcal{A}}_{2}B\in H_2\right\}$， $D\left(\mathcal{A}\right)=D\left({\mathcal{A}}_1\right)\times D\left({\mathcal{A}}_2\right)$。

从文献 [12] 可知

$D\left({\mathcal{A}}_1\right)={ℍ}^2\left(\Omega \right)\cap V_1,D\left({\mathcal{A}}_2\right)={ℍ}^2\left(\Omega \right)\cap V_2,D\left(\mathcal{A}\right)={\left({ℍ}^2\left(\Omega \right)\right)}^2\cap V.$

2.2. 一些有用的结论

引理1设X为自反Banach空间， $\left\{x_n\right\}$ 是X中的有界点列，则 $\left\{x_n\right\}$ 有弱收敛子列。

引理2 (Alaoglu弱*紧定理) 设X是可分的Banach空间， ${\left\{f_n\right\}}_{n=1}^{\infty }$ 是 $X^{\text{*}}$ 中的有界序列，则 $\left\{f_n\right\}$ 有弱*收敛的子列。

引理3 设 $\Omega$ 是 ${ℝ}^N$ 中的有界开集，且边界 $\partial \Omega$ 是光滑的，如果 $h\in L^2\left(\tau ,T;H^{m+2}\left(\Omega \right)\right)$ 和 $\frac{\partial h}{\partial t}\in L^2\left(\tau ,T;H^m\left(\Omega \right)\right)$，则 $h\in C^0\left(\left[\tau ,T\right];H^{m+1}\left(\Omega \right)\right)$ (可能在一些零测集上重新定义)，这里对任意的 $m=0,1,2,\cdots$， $H^m\left(\Omega \right)=W^{m,2}\left(\Omega \right)$ 是Sobolev空间。

引理4设 $\Omega$ 是 ${ℝ}^N$ 中的有界开集， $g_u$ 和g是 $L^p\left(\Omega \right)\left(1<p<\infty \right)$ 中的函数，且有 ${\Vert g_u\Vert }_{L^p\left(\Omega \right)}\left(1<p<\infty \right)$， $g_u$ 在 $\Omega$ 中几乎处处收敛于g，则 $g_u$ 在 $L^p\left(\Omega \right)$ 中弱收敛于g。

3. 强解

定理1设 ${\xi }_{\tau }=\left(u_{\tau },B_{\tau }\right)\in V$， $f\in L^2\left(\tau ,T;H_1\right)$，如果 $\xi =\left(u,B\right)$ 满足

$\xi \in L^2\left(\tau ,T;D\left(A\right)\right)\cap L^{\infty }\left(\tau ,T;V\right)\cap L^2\left(\tau ,T;V\right)\cap C\left(\left[\tau ,T\right];V\right),$

$\frac{\partial \xi }{\partial t}\in L^2\left(\tau ,T;H\right),$

并且它在相应区域上几乎处处满足方程(1)~(2)，则我们称 $\xi =\left(u,B\right)$ 是方程(1)~(2)的强解。另外，对任意 $t\in \left[\tau ,T\right]$， $\xi =\left(u,B\right)$ 满足下面的能量等式：

$\begin{array}{l}{\Vert u\left(t\right)\Vert }^2+S{\Vert B\left(t\right)\Vert }^2+\frac{2}{\mathrm{Re}}{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert \nabla u\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}+\frac{2S}{\text{Rm}}{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert \text{curl}B\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}+2\alpha {\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert u\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}\\ ={\Vert u_{\tau }\Vert }^2+S{\Vert B_{\tau }\Vert }^2+2\epsilon {\displaystyle {\int }_{\tau }^t\langle f\left(s\right),u\left(s\right)\rangle \text{d}s}\end{array}$ (3)

和能量不等式：

$\begin{array}{l}{\Vert u\left(t\right)\Vert }^2+S{\Vert B\left(t\right)\Vert }^2+\frac{1}{\mathrm{Re}}{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert \nabla u\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}+\frac{2S}{\text{Rm}}{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert \text{curl}B\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}+2\alpha {\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert u\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}\\ \le {\Vert u_{\tau }\Vert }^2+S{\Vert B_{\tau }\Vert }^2+\mathrm{Re}{\epsilon }^2{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert f\left(s\right)\Vert }_{V_1^{*}}^2}\text{d}s.\end{array}$ (4)

证明：a. 存在性

第一步 构造近似解

设 $w_j\left(x\right)=\left({\sigma }_j\left(x\right),{\varsigma }_j\left(x\right)\right)\in \left(H^2\left(\Omega \right)\cap H^1\left(\Omega \right)\right)\left(j=1,2,\cdots \right)$ 是算子 $\mathcal{A}={\mathcal{A}}_1\times {\mathcal{A}}_2$ 在V上满足边界条件(2)的特征函数， ${\iota }_1<{\iota }_2\le {\iota }_3\le \cdots$ 和 $0<{\kappa }_1<{\kappa }_2\le {\kappa }_3\le \cdots$ 分别是相应的特征值，并且

当 $n\to \infty$ 时， ${\iota }_n\to \infty$， ${\kappa }_n\to \infty$。

${\left\{w_j\right\}}_{j=1}^{\infty }$ 是V中的一组正交基，H中的一组标准正交基。

由于 $w_j\left(x\right)\in V\left(j=1,2,\cdots \right)$，根据V的定义可知：

$\text{div}{w}_j\left(x\right)=0$，即 $\text{div}{\sigma }_j\left(x\right)=0$ 和 $\text{div}{\varsigma }_j\left(x\right)=0$。

对任意固定的正整数m，记

$u_m\left(x,t\right):={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{d}_{jm}\left(t\right){\sigma }_j},B_m\left(x,t\right):={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{e}_{jm}\left(t\right){\varsigma }_j}.$ (5)

并考虑以下有限维近似系统

$\{\begin{array}{l}\left(\frac{\partial u_m}{\partial t},{\sigma }_j\right)+b\left(u_m,u_m,{\sigma }_j\right)-\frac{1}{\mathrm{Re}}\left(\Delta u_m,{\sigma }_j\right)-Sb\left(B_m,B_m,{\sigma }_j\right)+\alpha \left(u_m,{\sigma }_j\right)=\epsilon \left(f,{\sigma }_j\right),\left(x,t\right)\in \Omega \times R_{\tau },\\ \left(\frac{\partial B_m}{\partial t},{\varsigma }_j\right)+b\left(u_m,B_m,{\varsigma }_j\right)-b\left(B_m,u_m,{\varsigma }_j\right)+\frac{1}{\text{Rm}}\left(\widetilde{\text{curl}}\left(\text{curl}{B}_m\right),{\varsigma }_j\right)=0,\left(x,t\right)\in \Omega \times R_{\tau },\\ \text{div}{u}_m\left(x,t\right)=0,\text{div}{B}_m\left(x,t\right)=0,\left(x,t\right)\in \Omega \times R_{\tau },\\ d_{jm}\left(\tau \right)=\left(u_{\tau },{\sigma }_j\right),e_{jm}\left(\tau \right)=\left(B_{\tau },{\varsigma }_j\right),x\in \Omega ,\\ u_m\left(\tau \right)=P_m{u}_{\tau },B_m\left(\tau \right)=Q_m{B}_{\tau },x\in \Omega \end{array}$ (6)

其中 $P_m{u}_{\tau }={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\left(u_{\tau },{\sigma }_j\right){\sigma }_j},Q_m{B}_{\tau }={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\left(B_{\tau },{\varsigma }_j\right){\varsigma }_j},j=1,2,\cdots$。并且，方程(6)满足以下边界条件

$\{\begin{array}{l}{u}_m=0,x\in \partial \Omega ,\\ B_m\cdot n=0和\text{curl}{B}_m=0,x\in \partial \Omega \end{array}$ (7)

因为 ${\left\{w_j\right\}}_{j=1}^{\infty }$ 是V中的一组正交基，H中的一组标准正交基。则对任意 ${\xi }_{\tau }\in V\left({\xi }_{\tau }\in H\right)$，当 $m\to \infty$ 时，有

$\begin{array}{l}{u}_m\left(x,\tau \right)=u_{m\tau }={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\left(u_{\tau },{\sigma }_j\right)}\stackrel{强}{\to }{u}_{\tau }在V_1\left(H_1\right)中,\\ B_m\left(x,\tau \right)=B_{m\tau }={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\left(B_{\tau },{\varsigma }_j\right){\varsigma }_j}\stackrel{强}{\to }{B}_{\tau }在V_2\left(H_2\right)中,\end{array}$ (8)

根据ODEs解的存在唯一性定理可知，对任意正整数 $m=1,2,\cdots$，方程(6)~(7)存在唯一的局部解 ${\xi }_m\left(x,t\right)=\left(u_m\left(x,t\right),B_m\left(x,t\right)\right)$，其中 ${\xi }_m\left(x,t\right)$ 由(5)式给出， $t\in \left[\tau ,t_m\right],\tau <t_m\le T$。

第二步 先验估计

① (6)₁式和(6)₂式分别乘以 $d_{jm}\left(t\right)$ 和 $e_{jm}\left(t\right)$，并对 $j=1,\cdots ,m$ 求和，对任意 $t\in \left[\tau ,t_m\right]$，得

$\{\begin{array}{l}\langle \frac{\partial u_m}{\partial t},u_m\rangle +b\left(u_m,u_m,u_m\right)-\frac{1}{\mathrm{Re}}\langle \Delta u_m,u_m\rangle -Sb\left(B_m,B_m,u_m\right)+\alpha \left(u_m,u_m\right)=\epsilon \langle f,u_m\rangle ,\\ \langle \frac{\partial B_m}{\partial t},B_m\rangle +b\left(u_m,B_m,B_m\right)-b\left(B_m,u_m,B_m\right)+\frac{1}{\text{Rm}}\langle \widetilde{\text{curl}}\left(\text{curl}{B}_m\right),B_m\rangle =0,\end{array}$ (9)

由于 $b\left(u_m,u_m,u_m\right)=0$ 和 $b\left(u_m,B_m,B_m\right)=0$，所以有

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u_m\Vert }^2+\frac{1}{\mathrm{Re}}{\Vert \nabla u_m\Vert }^2-Sb\left(B_m,B_m,u_m\right)+\alpha {\Vert u_m\Vert }^2=\epsilon \langle f,u_m\rangle ,\\ \frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert B_m\Vert }^2-b\left(B_m,u_m,B_m\right)+\frac{1}{\text{Rm}}{\Vert \text{curl}{B}_m\Vert }^2=0,\end{array}$ (10)

应用 $b\left(B_m,B_m,u_m\right)=-b\left(B_m,u_m,B_m\right)$，Hölder不等式和Young’s不等式，对任意 $t\in \left[\tau ,t_m\right]$，可得

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u_m\Vert }^2+S\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert B_m\Vert }^2+\frac{2}{\mathrm{Re}}{\Vert \nabla u_m\Vert }^2+\frac{2S}{\text{Rm}}{\Vert \text{curl}{B}_m\Vert }^2+2\alpha {\Vert u_m\Vert }^2\\ =2\epsilon \langle f,u_m\rangle \le 2\epsilon {\Vert f\Vert }_{V_1^{*}}\Vert \nabla u_m\Vert \le \frac{1}{\mathrm{Re}}{\Vert \nabla u_m\Vert }^2+\mathrm{Re}{\epsilon }^2{\Vert f\Vert }_{V_1^{*}}^2,\end{array}$ (11)

则有

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u_m\Vert }^2+S\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert B_m\Vert }^2+\frac{1}{\mathrm{Re}}{\Vert \nabla u_m\Vert }^2+\frac{2S}{\text{Rm}}{\Vert \text{curl}{B}_m\Vert }^2+2\alpha {\Vert u_m\Vert }^2\le \mathrm{Re}{\epsilon }^2{\Vert f\Vert }_{V_1^{*}}^2.$ (12)

对(12)式两边在 $\left(\tau ,t\right)$ 上积分，可得

$\begin{array}{l}{\Vert u_m\left(t\right)\Vert }^2+S{\Vert B_m\left(t\right)\Vert }^2+\frac{1}{\mathrm{Re}}{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert \nabla u_m\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}+\frac{2S}{\text{Rm}}{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert \text{curl}{B}_m\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}+2\alpha {\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert u_m\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}\\ \le {\Vert u_{m\tau }\Vert }^2+S{\Vert B_{m\tau }\Vert }^2+\mathrm{Re}{\epsilon }^2{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert f\left(s\right)\Vert }_{V_1^{*}}^2\text{d}s},\end{array}$ (13)

结合 $f\in L^2\left(\tau ,T;H_1\right)\subset L^2\left(\tau ,T;V_1^{*}\right)$，可得

${\Vert u_m\left(t\right)\Vert }^2+S{\Vert B_m\left(t\right)\Vert }^2\le K_1,$ (14)

$\frac{1}{\mathrm{Re}}{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert \nabla u_m\Vert }^2\text{d}s}+\frac{S}{\text{Rm}}{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert \text{curl}{B}_m\left(s\right)\Vert }^2}\text{d}s\le K_1,$ (15)

其中 $K_1>0$ 与 $S,\mathrm{Re},\epsilon ,\tau ,T$ 和 ${\xi }_{\tau },f$ 的范数有关。

则我们可得

对任意 $m=1,2,\cdots ,t_m=T.$ 和

$\begin{array}{l}\left\{u_m\right\}在L^2\left(\tau ,T;V_1\right)\cap L^{\infty }\left(\tau ,T;H_1\right)中有界,\\ \left\{B_m\right\}在L^2\left(\tau ,T;V_2\right)\cap L^{\infty }\left(\tau ,T;H_2\right)中有界,\end{array}$ (16)

即

$\left\{{\xi }_m\right\}在L^2\left(\tau ,T;V\right)\cap L^{\infty }\left(\tau ,T;H\right)中有界.$ (17)

② 定义投影 $P_m=\left(P_m^1,P_m^2\right):H\to span\left\{w_1,w_2,\cdots ,w_m\right\}$ 为

$\{\begin{array}{l}{P}_m^1:H_1\to span\left\{{\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_m\right\},\\ P_m^2:H_2\to span\left\{{\varsigma }_1,{\varsigma }_2,\cdots ,{\varsigma }_m\right\},\end{array}$

并且满足

$\{\begin{array}{l}{P}_m^1{h}_1={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\left(h_1,{\sigma }_j\right){\sigma }_j,}\\ P_m^2{h}_2={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\left(h_2,{\varsigma }_j\right){\varsigma }_j,}\end{array}$ (18)

其中 $w_j=\left({\sigma }_j,{\varsigma }_j\right)$， ${\Vert P_m^1\Vert }_{\mathcal{L}\left(V_1,V_1\right)}\le 1$， ${\Vert P_m^1\Vert }_{\mathcal{L}\left(V_2,V_2\right)}\le 1$， ${\left(P_m^i\right)}^{*}=P_m^i,i=1,2$。

将(6)₁式和(6)₂式分别乘以 ${\sigma }_j\left(t\right)$ 和 ${\varsigma }_j\left(t\right)$，并且对 $j=1,\cdots ,m$ 求和，则对任意 $t\in \left[\tau ,T\right]$，可得

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u_m}{\partial t}=-P_m^1\left(\left(u_m\cdot \nabla \right)u_m\right)+\frac{1}{\mathrm{Re}}{P}_m^1\left(\Delta u_m\right)+S{P}_m^1\left(\left(B_m\cdot \nabla \right)B_m\right)-\alpha P_m^1{u}_m+\epsilon P_m^{1}f,\\ \frac{\partial B_m}{\partial t}=-P_m^2\left(\left(u_m\cdot \nabla \right)B_m\right)+P_m^2\left(\left(B_m\cdot \nabla \right)u_m\right)-\frac{1}{Rm}{P}_m^2\left(\widetilde{\text{curl}}\left(\text{curl}{B}_m\right)\right),\end{array}$ (19)

由(16)可知， $\left\{u_m\right\}$ 在 $L^2\left(\tau ,T;V_1\right)$ 中有界，因此 $P_m^1\left(u_m\right)$， $P_m^1\left(\Delta u_m\right)$ 在 $L^2\left(\tau ,T;V_1^{*}\right)$ 中有界。又因 $f\in L^2\left(\tau ,T;H_1\right)\subset L^2\left(\tau ,T;V_1^{*}\right)$ 可知， $P_m^{1}f$ 在 $L^2\left(\tau ,T;V_1^{*}\right)$ 中有界。由(16)式可证得 $\left(u_m\cdot \nabla \right)u_m$， $\left(B_m\cdot \nabla \right)B_m$ 在 $L^2\left(\tau ,T;V_1^{*}\right)$ 中有界， $\left(u_m\cdot \nabla \right)B_m$， $\left(B_m\cdot \nabla \right)u_m$ 和 $\widetilde{\text{curl}}\left(\text{curl}{B}_m\right)$ 在 $L^2\left(\tau ,T;V_2^{*}\right)$ 有界(详细证明可见文献 [9] )。因此有 $P_m^1\left(\left(B_m\cdot \nabla \right)B_m\right)$， $P_m^1\left(\left(u_m\cdot \nabla \right)u_m\right)$ 在 $L^2\left(\tau ,T;V_1^{*}\right)$ 中有界， $P_m^2\left(\left(u_m\cdot \nabla \right)B_m\right)$， $P_m^2\left(\left(B_m\cdot \nabla \right)u_m\right)$，和 $P_m^2\left(\widetilde{\text{curl}}\left(\text{curl}{B}_m\right)\right)$ 在 $L^2\left(\tau ,T;V_2^{*}\right)$ 中有界。

结合(19)式可得

$\left\{\frac{\partial u_m}{\partial t}\right\}在L^2\left(\tau ,T;V_1^{*}\right)中是有界的,$ (20)

$\left\{\frac{\partial B_m}{\partial t}\right\}在L^2\left(\tau ,T;V_2^{*}\right)中是有界的,$ (21)

因此有

$\left\{\frac{\partial {\xi }_m}{\partial t}\right\}在L^2\left(\tau ,T;V^{*}\right)中是有界的,$ (22)

③ 将(6)₁式和(6)₂式分别乘以 ${\iota }_j{d}_{jm}\left(t\right)$ 和 ${\kappa }_j{e}_{jm}\left(t\right)$，并对 $j=1,\cdots ,m$ 求和。由于 ${\mathcal{A}}_1{u}_m={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{\iota }_j{d}_{jm}\left(t\right){\sigma }_j}$， ${\mathcal{A}}_1{B}_m={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{\kappa }_j{e}_{jm}\left(t\right){\varsigma }_j}$，则对任意的 $t\in \left[\tau ,T\right]$，有

$\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla u_m\Vert }^2+b\left(u_m,u_m,-\Delta u_m\right)+\frac{1}{\mathrm{Re}}{\Vert \Delta u_m\Vert }^2-Sb\left(B_m,B_m,-\Delta u_m\right)+\alpha \left(u_m,-\Delta u_m\right)=\epsilon \left(f,-\Delta u_m\right),\\ \frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \text{curl}{B}_m\Vert }^2+b\left(u_m,B_m,-\Delta B_m\right)-b\left(B_m,u_m,-\Delta B_m\right)+\frac{1}{\text{Rm}}{\Vert \Delta B_m\Vert }^2=0,\end{array}$ (23)

由双线性算子 $\mathcal{B}$ 的性质，Hölder不等式及Young’s不等式，可得

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla u_m\Vert }^2+\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \text{curl}{B}_m\Vert }^2+\frac{2}{\mathrm{Re}}{\Vert \Delta u_m\Vert }^2+\frac{2}{\text{Rm}}{\Vert \Delta B_m\Vert }^2+2\alpha {\Vert \nabla u_m\Vert }^2\\ =2\epsilon \left(f,-\Delta u_m\right)-2{\mathcal{B}}_0\left({\xi }_m,{\xi }_m,\mathcal{A}{\xi }_m\right)\\ \le 2\epsilon \Vert f\Vert \Vert \Delta u_m\Vert +2C{\Vert {\xi }_m\Vert }^{\frac{1}{2}}{\Vert {\xi }_m\Vert }_{*}{\Vert \mathcal{A}{\xi }_m\Vert }^{\frac{3}{2}}\\ \le \frac{1}{\mathrm{Re}}{\Vert \Delta u_m\Vert }^2+\mathrm{Re}{\epsilon }^2{\Vert f\Vert }^2+\frac{3}{4}{\Vert \mathcal{A}{\xi }_m\Vert }^2+4C^4{\Vert {\xi }_m\Vert }^2{\Vert {\xi }_m\Vert }_{*}^4\\ \le \frac{7}{4\mathrm{Re}}{\Vert \Delta u_m\Vert }^2+\frac{3}{4\mathrm{Rm}}{\Vert \Delta B_m\Vert }^2+\mathrm{Re}{\epsilon }^2{\Vert f\Vert }^2+C{\Vert {\xi }_m\Vert }_{*}^4,\end{array}$

即

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla u_m\Vert }^2+\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \text{curl}{B}_m\Vert }^2+\frac{1}{4\mathrm{Re}}{\Vert \Delta u_m\Vert }^2+\frac{5}{4\text{Rm}}{\Vert \Delta B_m\Vert }^2+2\alpha {\Vert \nabla u_m\Vert }^2\\ \le \mathrm{Re}{\epsilon }^2{\Vert f\Vert }^2+C{\Vert {\xi }_m\Vert }_{*}^4,\forall t\in \left[\tau ,T\right],\end{array}$ (24)

其中， $C>0$ 依赖于 $\Omega$ 的测度， ${\xi }_{\tau },f$ 的范数和正参数 $S,\mathrm{Re},\text{Rm}$。

对(24)式应用Gronwall不等式，可得

$\begin{array}{l}{\Vert \nabla u_m\left(t\right)\Vert }^2+{\Vert \text{curl}{B}_m\Vert }^2\\ \le {\text{e}}^{{\displaystyle {\int }_{\tau }^{t}C{\Vert {\xi }_m\Vert }_{*}^2\text{d}s}}\left({\Vert \nabla u_{m\tau }\Vert }^2+{\Vert \text{curl}{B}_{m\tau }\Vert }^2+\mathrm{Re}{\epsilon }^2{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert f\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}\right)\\ \le {\text{e}}^{C{K}_1}\left({\Vert \nabla u_{\tau }\Vert }^2+{\Vert \text{curl}{B}_{\tau }\Vert }^2+\mathrm{Re}{\epsilon }^2{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert f\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}\right).\end{array}$ (25)

由 ${\xi }_{\tau }=\left(u_{\tau },B_{\tau }\right)\in V$， $f\in L^2\left(\tau ,T;H_1\right)$ 和(17)式可知，存在正常数 $K_2$ (依赖于 $\Omega$ 的测度， ${\xi }_{\tau },f$ 的范数和参数 $S,\mathrm{Re},\text{Rm},\tau ,T,\epsilon$ )，使得

${\Vert \nabla u_m\left(t\right)\Vert }^2+{\Vert \text{curl}{B}_m\left(t\right)\Vert }^2\le K_2,\forall t\in \left[\tau ,T\right].$ (26)

在 $\left[\tau ,T\right]$ 上关于时间对(24)式积分，可得

$\begin{array}{l}{\Vert \nabla u_m\left(t\right)\Vert }^2+{\Vert \text{curl}{B}_m\Vert }^2+\frac{1}{4\mathrm{Re}}{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert \Delta u_m\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}+\frac{5}{4\text{Rm}}{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert \Delta B_m\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}+2\alpha {\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert \nabla u_m\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}\\ \le {\Vert \Delta u_{m\tau }\Vert }^2+{\Vert \text{curl}{B}_{m\tau }\Vert }^2+\mathrm{Re}{\epsilon }^2{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert f\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}+C{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert {\xi }_m\left(s\right)\Vert }_{*}^4\text{d}s}.\end{array}$ (27)

根据 ${\xi }_{\tau }=\left(u_{\tau },B_{\tau }\right)\in V$， $f\in L^2\left(\tau ,T;H_1\right)$，(8)式，(16)式和(26)式可知，存在正常数 $K_3$ (依赖于 $\Omega$ 的测度， ${\xi }_{\tau },f$ 的范数和参数 $S,\mathrm{Re},\text{Rm},\tau ,T,\epsilon$ )，使得

${\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert \Delta u_m\left(s\right)\Vert }^2}\text{d}s\le K_3,{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert \Delta B_m\left(s\right)\Vert }^2}\text{d}s\le K_3.$ (28)

由(26)式和(28)式可知

$\begin{array}{l}\left\{u_m\right\}在L^2\left(\tau ,T;D\left({\mathcal{A}}_1\right)\right)\cap L^{\infty }\left(\tau ,T;V_1\right)中有界,\\ \left\{B_m\right\}在L^2\left(\tau ,T;D\left({\mathcal{A}}_2\right)\right)\cap L^{\infty }\left(\tau ,T;V_2\right)中有界,\end{array}$ (29)

即

$\left\{{\xi }_m\right\}在L^2\left(\tau ,T;D\left(\mathcal{A}\right)\right)\cap L^{\infty }\left(\tau ,T;V\right)中有界.$ (30)

④ 将(6)₁式和(6)₂式分别乘以 $\frac{\partial d_{jm}}{\partial t}\left(t\right)$ 和 $\frac{\partial e_{jm}}{\partial t}\left(t\right)$，并对 $j=1,\cdots ,m$ 求和。对任意 $t\in \left[\tau ,T\right]$，得

$\{\begin{array}{l}{\Vert \frac{\partial u_m}{\partial t}\Vert }^2+b\left(u_m,u_m,\frac{\partial u_m}{\partial t}\right)+\frac{1}{2\mathrm{Re}}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla u_m\Vert }^2-Sb\left(B_m,B_m,\frac{\partial u_m}{\partial t}\right)+\frac{\alpha }{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u_m\Vert }^2=\epsilon \left(f,\frac{\partial u_m}{\partial t}\right),\\ {\Vert \frac{\partial B_m}{\partial t}\Vert }^2+b\left(u_m,B_m,\frac{\partial B_m}{\partial t}\right)-b\left(B_m,u_m,\frac{\partial B_m}{\partial t}\right)+\frac{1}{2\mathrm{Rm}}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \text{curl}{B}_m\Vert }^2=0,\end{array}$ (31)

由双线性算子 $\mathcal{B}$ 的性质，(30)式，Hölder不等式及Young’s不等式可得，对任意 $t\in \left[\tau ,T\right]$，有

$\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla u_m\Vert }^2+\frac{1}{\text{Rm}}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \text{curl}{B}_m\Vert }^2+2{\Vert \frac{\partial u_m}{\partial t}\Vert }^2+2{\Vert \frac{\partial B_m}{\partial t}\Vert }^2+\alpha \frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u_m\Vert }^2\\ =2\epsilon \left(f,\frac{\partial u_m}{\partial t}\right)-2{\mathcal{B}}_0\left({\xi }_m,{\xi }_m,\frac{\partial {\xi }_m}{\partial t}\right)\\ \le 2\epsilon \Vert f\Vert \Vert \frac{\partial u_m}{\partial t}\Vert +C{\Vert {\xi }_m\Vert }^{\frac{1}{2}}{\Vert {\xi }_m\Vert }_{*}{\Vert \mathcal{A}{\xi }_m\Vert }^{\frac{1}{2}}\Vert \frac{\partial {\xi }_m}{\partial t}\Vert \\ \le {\Vert \frac{\partial u_m}{\partial t}\Vert }^2+2{\epsilon }^2{\Vert f\Vert }^2+K_4\Vert \mathcal{A}{\xi }_m\Vert +\frac{1}{2}{\Vert \frac{\partial B_m}{\partial t}\Vert }^2,\end{array}$

因此

$\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \nabla u_m\Vert }^2+\frac{1}{\mathrm{Rm}}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \text{curl}{B}_m\Vert }^2+{\Vert \frac{\partial u_m}{\partial t}\Vert }^2+\frac{3}{2}{\Vert \frac{\partial B_m}{\partial t}\Vert }^2+\alpha \frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u_m\Vert }^2\\ \le 2{\epsilon }^2{\Vert f\Vert }^2+K_4\Vert \mathcal{A}{\xi }_m\Vert ,\end{array}$ (32)

其中， $K_4>0$ 依赖于 $\Omega$ 的测度， ${\xi }_{\tau },f$ 的范数和正参数 $S,\mathrm{Re},\text{Rm},\tau ,T,\epsilon$。

在 $\left(\tau ,t\right)$ 上关于时间对(32)式积分，并根据(6)式和Hölder不等式。对任意 $t\in \left[\tau ,T\right]$，有

$\begin{array}{l}\frac{1}{\mathrm{Re}}{\Vert \nabla u_m\left(t\right)\Vert }^2+\frac{1}{\mathrm{Rm}}{\Vert \text{curl}{B}_m\left(t\right)\Vert }^2+{{\displaystyle {\int }_{\tau }^t\Vert \frac{\partial u_m}{\partial t}\left(s\right)\Vert }}^2\text{d}s+\frac{3}{2}{{\displaystyle {\int }_{\tau }^t\Vert \frac{\partial B_m}{\partial t}\left(s\right)\Vert }}^2\text{d}s+\alpha {\Vert u_m\left(t\right)\Vert }^2\\ \le \frac{1}{\mathrm{Re}}{\Vert \nabla u_{m\tau }\Vert }^2\text{+}\frac{1}{\mathrm{Rm}}{\Vert \text{curl}{B}_{m\tau }\Vert }^2\text{+}2{\epsilon }^2{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert f\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}+K_4{\left(t-\tau \right)}^{\frac{1}{2}}{\left({\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert \mathcal{A}{\xi }_m\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}\right)}^{\frac{1}{2}}+\alpha {\Vert u_{m\tau }\Vert }^2,\end{array}$ (33)

由 ${\xi }_{\tau }=\left(u_{\tau },B_{\tau }\right)\in V\subset H,f\in L^2\left(\tau ,T;H_1\right)$，(16)式和(30)式可知，存在正常数 $K_5$ (依赖于 $\Omega$ 的测度， ${\xi }_{\tau },f$ 的范数和参数 $S,\mathrm{Re},\text{Rm},\tau ,T,\epsilon$ )，使得

${\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert \frac{\partial u_m}{\partial t}\left(s\right)\Vert }^2}\text{d}s\le K_5,{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert \frac{\partial B_m}{\partial t}\left(s\right)\Vert }^2}\text{d}s\le K_5.$ (34)

由(34)式可知

$\begin{array}{l}\left\{\frac{\partial u_m}{\partial t}\right\}在L^2\left(\tau ,T;H_1\right)中有界,\\ \left\{\frac{\partial B_m}{\partial t}\right\}在L^2\left(\tau ,T;H_2\right)中有界,\end{array}$ (35)

即

$\left\{\frac{\partial {\xi }_m}{\partial t}\right\}在L^2\left(\tau ,T;H\right)中有界.$ (36)

⑤ 由(30)式和(36)式可知， $\left\{{\xi }_m\right\}$ 在 $L^2\left(\tau ,T;D\left(\mathcal{A}\right)\right)$ 中有界， $\left\{\frac{\partial {\xi }_m}{\partial t}\right\}$ 在 $L^2\left(\tau ,T;H\right)$ 中有界，应用引理3可推出

${\xi }_m\in C^0\left(\left[\tau ,T\right];V\right).$ (37)

第三步 取极限

由(17)式可知

$\frac{\partial {\xi }_m}{\partial t}=\left(\frac{\partial u_m}{\partial t},\frac{\partial B_m}{\partial t}\right)\stackrel{强}{\to }\frac{\partial \xi }{\partial t}=\left(\frac{\partial u}{\partial t},\frac{\partial B}{\partial t}\right)在{\mathcal{D}}^{\prime }\left(\tau ,T;H\right)中,$

因此序列 $\left\{\frac{\partial {\xi }_m}{\partial t}\right\}$ 的弱极限就等于 $\frac{\partial \xi }{\partial t}$。

根据(22)式和(36)式可得

$\frac{\partial {\xi }_m}{\partial t}\stackrel{弱}{\to }\frac{\partial \xi }{\partial t}在L^2\left(\tau ,T;V^{*}\right)中,$ (38)

$\frac{\partial {\xi }_m}{\partial t}\stackrel{弱}{\to }\frac{\partial \xi }{\partial t}在L^2\left(\tau ,T;H\right)中,$ (39)

由引理1和引理2可得，存在 $\left\{{\xi }_m\right\}$ 的子序列 $\left\{{\xi }_{mk}\right\}$，使得

$\left\{{\xi }_{mk}\right\}\stackrel{弱}{\to }\xi 在L^2\left(\tau ,T;D\left(\mathcal{A}\right)\right)中,$ (40)

$\left\{{\xi }_{mk}\right\}\stackrel{弱*}{\to }\xi 在L^{\infty }\left(\tau ,T;V\right)中,$ (41)

由(39)式，(40)式和致密性定理可得

$\left\{{\xi }_{mk}\right\}\stackrel{强}{\to }\xi 在L^2\left(\tau ,T;V\right)中.$ (42)

因此， $\xi$ 是方程(1)~(2)的强解。

b. 唯一性

设 $\xi ,\tilde{\xi }$ 分别是不同初值 ${\xi }_{\tau },\widetilde{{\xi }_{\tau }}\in V$ 和不同的外力 $f,\tilde{f}$ 的方程(1)~(2)的强解。

记 $\bar{\xi }=\xi -\tilde{\xi }=\left(\bar{u},\bar{B}\right)$，则 $\bar{\xi }\left(x,t\right)$ 是以下方程的强解。

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial \bar{u}}{\partial t}-\frac{1}{\mathrm{Re}}\Delta \bar{u}+\left(u\cdot \nabla \right)u-\left(\tilde{u}\cdot \nabla \right)\tilde{u}+S\nabla \frac{{\left|B\right|}^2}{2}-S\nabla \frac{{\left|\tilde{B}\right|}^2}{2}-S\left(B\cdot \nabla \right)B\\ +S\left(\tilde{B}\cdot \nabla \right)\tilde{B}+\alpha u-\alpha \tilde{u}=\epsilon \left(f-\tilde{f}\right),\left(x,t\right)\in \Omega \times \left(\tau ,T\right),\\ \frac{\partial \bar{B}}{\partial t}+\frac{1}{\mathrm{Rm}}\widetilde{\text{curl}}\left(\text{curl}\bar{B}\right)+\left(u\cdot \nabla \right)B-\left(\tilde{u}\cdot \nabla \right)\tilde{B}-\left(B\cdot \nabla \right)u+\left(\tilde{B}\cdot \nabla \right)\tilde{u}=0,\left(x,t\right)\in \Omega \times \left(\tau ,T\right),\\ \text{div}\bar{u}\left(x,t\right)=0,\text{div}\bar{B}\left(x,t\right)=0,\left(x,t\right)\in \Omega \times \left(\tau ,T\right),\\ \overline{{\xi }_{\tau }}={\xi }_{\tau }-\widetilde{{\xi }_{\tau }},x\in \Omega ,\end{array}$ (43)

方程(43)满足以下边界条件

$\{\begin{array}{l}\bar{u}=0,x\in \partial \Omega ,\\ \bar{B}\cdot n=0和\text{curl}\bar{B}=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$ (44)

其中， $n$ 是边界 $\partial \Omega$ 上的单位外法向量。

将(43)₁式乘以 $\phi \left(t\right)$，(43)₂式乘以 $\rho \left(t\right)$，可得

$\left(\frac{\partial \bar{\xi }}{\partial t},\psi \right)+\left(\left(\bar{\xi },\psi \right)\right)+{\mathcal{B}}_0\left(\xi ,\xi ,\psi \right)-{\mathcal{B}}_0\left(\tilde{\xi },\tilde{\xi },\psi \right)+\alpha \left(u,\phi \right)-\alpha \left(\tilde{u},\phi \right)=\epsilon \left(\left(f-\tilde{f}\right),\phi \right),$ (45)

其中，

$\begin{array}{l}\left(\frac{\partial \bar{\xi }}{\partial t},\psi \right)=\left(\frac{\partial \bar{u}}{\partial t},\phi \right)+\left(\frac{\partial \bar{B}}{\partial t},\rho \right),\\ \left(\left(\bar{\xi },\psi \right)\right)=\frac{1}{\mathrm{Re}}\left(\nabla \bar{u},\nabla \phi \right)+\frac{1}{Rm}\left(\text{curl}\bar{B},\text{curl}\rho \right)\text{,}\\ {\mathcal{B}}_0\left(\xi ,\xi ,\psi \right)=b\left(u,u,\phi \right)-Sb\left(B,B,\phi \right)-b\left(u,B,\rho \right)-b\left(B,u,\rho \right),\\ {\mathcal{B}}_0\left(\tilde{\xi },\tilde{\xi },\psi \right)=b\left(\tilde{u},\tilde{u},\phi \right)-Sb\left(\tilde{B},\tilde{B},\phi \right)-b\left(\tilde{u},\tilde{B},\rho \right)-b\left(\tilde{B},\tilde{u},\rho \right),\end{array}$

在(45)式中令 $\psi \left(x,t\right)=\bar{\xi }\left(x,t\right)$，并利用Hölder不等式，Young’s不等式和Poincaré不等式，可得

$\begin{array}{l}\text{}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \bar{\xi }\left(t\right)\Vert }^2+{\Vert \bar{\xi }\left(t\right)\Vert }_{\star }^2\\ ={\mathcal{B}}_0\left(\tilde{\xi },\tilde{\xi },\bar{\xi }\right)-{\mathcal{B}}_0\left(\xi ,\xi ,\bar{\xi }\right)+\alpha \left(\tilde{u},\bar{u}\right)-\alpha \left(u,\bar{u}\right)+\epsilon \left(\left(f-\tilde{f}\right),\bar{u}\right)\\ =-b\left(\bar{u},u,\bar{u}\right)-Sb\left(\bar{B},\bar{u},\tilde{B}\right)+Sb\left(B,\bar{B},\bar{u}\right)+b\left(\bar{u},\bar{B},\tilde{B}\right)+b\left(\bar{B},\tilde{u},\bar{B}\right)\\ +b\left(B,\bar{u},\bar{B}\right)+\alpha \left(\tilde{u}-u,\bar{u}\right)+\epsilon \left(\left(f-\tilde{f}\right),\bar{u}\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\le M_1\Vert \bar{u}\Vert \Vert \nabla \bar{u}\Vert \Vert \nabla u\Vert +M_2{\Vert \bar{B}\Vert }^{\frac{1}{2}}{\Vert \text{curl}\bar{B}\Vert }^{\frac{1}{2}}\Vert \nabla \bar{u}\Vert {\Vert \tilde{B}\Vert }^{\frac{1}{2}}{\Vert \text{curl}\tilde{B}\Vert }^{\frac{1}{2}}\\ +M_3{\Vert B\Vert }^{\frac{1}{2}}{\Vert \text{curl}B\Vert }^{\frac{1}{2}}\Vert \text{curl}\bar{B}\Vert {\Vert \bar{u}\Vert }^{\frac{1}{2}}{\Vert \nabla \bar{u}\Vert }^{\frac{1}{2}}+M_4{\Vert \bar{u}\Vert }^{\frac{1}{2}}{\Vert \nabla \bar{u}\Vert }^{\frac{1}{2}}\Vert \text{curl}\bar{B}\Vert {\Vert \tilde{B}\Vert }^{\frac{1}{2}}{\Vert \text{curl}\tilde{B}\Vert }^{\frac{1}{2}}\\ +M_5\Vert \bar{B}\Vert \Vert \text{curl}\bar{B}\Vert \Vert \nabla \tilde{u}\Vert +M_6{\Vert B\Vert }^{\frac{1}{2}}{\Vert \text{curl}B\Vert }^{\frac{1}{2}}\Vert \nabla \bar{u}\Vert {\Vert \bar{B}\Vert }^{\frac{1}{2}}{\Vert \text{curl}\bar{B}\Vert }^{\frac{1}{2}}\\ -\alpha {\Vert \bar{u}\Vert }^2+\epsilon {\Vert f-\tilde{f}\Vert }_{V_1^{*}}\Vert \nabla \bar{u}\Vert \end{array}$

$\begin{array}{l}\le \frac{1}{2\mathrm{Re}}{\Vert \nabla \bar{u}\Vert }^2+\frac{3}{8Rm}{\Vert \text{curl}\bar{B}\Vert }^2+{M^{\prime }}_1{\Vert \bar{u}\Vert }^2{\Vert \nabla u\Vert }^2+{M^{\prime }}_2\Vert \bar{B}\Vert \Vert \text{curl}\bar{B}\Vert \Vert \tilde{B}\Vert \Vert \text{curl}\tilde{B}\Vert \\ +{M^{\prime }}_3\Vert B\Vert \Vert \text{curl}B\Vert \Vert \bar{u}\Vert \Vert \nabla \bar{u}\Vert +{M^{\prime }}_4\Vert \bar{u}\Vert \Vert \nabla \bar{u}\Vert \Vert \tilde{B}\Vert \Vert \text{curl}\tilde{B}\Vert +{M^{\prime }}_5{\Vert \bar{B}\Vert }^2{\Vert \nabla \tilde{u}\Vert }^2\\ +{M^{\prime }}_6\Vert B\Vert \Vert \text{curl}B\Vert \Vert \bar{B}\Vert \Vert \text{curl}\bar{B}\Vert +2\mathrm{Re}{\epsilon }^2{\Vert f-\tilde{f}\Vert }_{V_1^{*}}^2\end{array}$

$\begin{array}{l}\le \frac{3}{4\mathrm{Re}}{\Vert \nabla \bar{u}\Vert }^2+\frac{5}{8Rm}{\Vert \text{curl}\bar{B}\Vert }^2+M^{\prime }{\Vert \bar{u}\Vert }^2{\Vert \nabla u\Vert }^2+M_2^{*}{\Vert \bar{B}\Vert }^2{\Vert \text{curl}\tilde{B}\Vert }^2\\ +M_3^{*}{\Vert \text{curl}B\Vert }^2{\Vert \bar{u}\Vert }^2+M_4^{*}{\Vert \bar{u}\Vert }^2{\Vert \text{curl}\tilde{B}\Vert }^2+{M^{\prime }}_5{\Vert \bar{B}\Vert }^2{\Vert \nabla \tilde{u}\Vert }^2\\ +M_6^{*}{\Vert \text{curl}B\Vert }^2{\Vert \bar{B}\Vert }^2+2\mathrm{Re}{\epsilon }^2{\Vert f-\tilde{f}\Vert }_{V_1^{*}}^2,\end{array}$

因此有

$\begin{array}{l}\frac{1}{2}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert \bar{\xi }\left(t\right)\Vert }^2+{\Vert \bar{\xi }\left(t\right)\Vert }_{\star }^2\\ \le 2K_6\left({\Vert \bar{u}\Vert }^2+{\Vert \bar{B}\Vert }^2\right)\left({\Vert \nabla u\Vert }^2+{\Vert \text{curl}B\Vert }^2+{\Vert \nabla \tilde{u}\Vert }^2+{\Vert \text{curl}\tilde{B}\Vert }^2\right)+2\mathrm{Re}{\epsilon }^2{\Vert f-\tilde{f}\Vert }_{V_1^{*}}^2\\ \le K_7{\Vert \bar{\xi }\left(t\right)\Vert }^2\left({\Vert \xi \left(t\right)\Vert }_{\star }^2+{\Vert \tilde{\xi }\left(t\right)\Vert }_{\star }^2\right)+2\mathrm{Re}{\epsilon }^2{\Vert f-\tilde{f}\Vert }_{V_1^{*}}^2,\end{array}$ (46)

其中 $K_6=\max \left\{{M^{\prime }}_1,M_2^{*},M_3^{*},M_4^{*},{M^{\prime }}_5,M_6^{*}\right\}$，且 $M_i,{M^{\prime }}_i\left(i=1,2,\cdots ,6\right)$ 是依赖于 $\Omega$ 的测度和正参数 $S,\mathrm{Re},\text{Rm}$ 的正常数， $M_j^{*}\left(j=2,3,4,6\right)$ 和 $K_7$ 是依赖于 $\Omega$ 的测度， ${\xi }_{\tau },f$ 的范数和参数 $S,\mathrm{Re},\text{Rm},\tau ,T,\epsilon$ 的正常数。

对(46)式应用Gronwall不等式可得

${\Vert \bar{\xi }\left(t\right)\Vert }^2\le {\text{e}}^{{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{K}_7\left({\Vert \xi \left(s\right)\Vert }_{\star }^2+{\Vert \tilde{\xi }\left(s\right)\Vert }_{\star }^2\right)\text{d}s}}\left({\Vert \overline{{\xi }_{\tau }}\Vert }^2+2\mathrm{Re}{\epsilon }^2{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert f\left(s\right)-\tilde{f}\left(s\right)\Vert }_{V_1^{*}}^2}\text{d}s\right),$ (47)

由于 $\overline{{\xi }_{\tau }}={\xi }_{\tau }-\widetilde{{\xi }_{\tau }}=0$， $f\left(t\right)-\tilde{f}\left(t\right)=0$，所以有 ${\Vert \bar{\xi }\left(t\right)\Vert }^2\le 0$。由此可证得强解的唯一性。

c. 能量等式(3)和不等式(4)

由方程(1)可得，对任意的 $\tau \le s\le t\le T$，有

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}s}{\Vert u\left(s\right)\Vert }^2+S\frac{\text{d}}{\text{d}s}{\Vert B\left(s\right)\Vert }^2+\frac{2}{\mathrm{Re}}{\Vert \nabla u\left(s\right)\Vert }^2+\frac{2S}{\text{Rm}}{\Vert \text{curl}B\left(s\right)\Vert }^2+2\alpha {\Vert u\left(s\right)\Vert }^2\\ =2\epsilon \langle f\left(s\right),u\left(s\right)\rangle ,\end{array}$ (48)

在 $\left(\tau ,t\right)$ 上对上式积分，可得能量等式(3)

$\begin{array}{l}{\Vert u\left(t\right)\Vert }^2+S{\Vert B\left(t\right)\Vert }^2+\frac{2}{\mathrm{Re}}{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert \nabla u\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}+\frac{2S}{\text{Rm}}{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert \text{curl}B\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}+2\alpha {\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert u\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}\\ ={\Vert u_{\tau }\Vert }^2+S{\Vert B_{\tau }\Vert }^2+2\epsilon {\displaystyle {\int }_{\tau }^t\langle f\left(s\right),u\left(s\right)\rangle \text{d}s},\end{array}$

利用(48)式，Hölder不等式及Young’s不等式，对任意的 $\tau \le s\le t\le T$，可得

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert u\left(s\right)\Vert }^2+S\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Vert B\left(s\right)\Vert }^2+\frac{1}{\mathrm{Re}}{\Vert \nabla u\left(s\right)\Vert }^2+\frac{2S}{\text{Rm}}{\Vert \text{curl}B\left(s\right)\Vert }^2+2\alpha {\Vert u\left(s\right)\Vert }^2\le \mathrm{Re}{\epsilon }^2{\Vert f\left(s\right)\Vert }_{V_1^{*}}^2.$

在 $\left(\tau ,t\right)$ 上对上式积分，可得能量不等式(4)

$\begin{array}{l}{\Vert u\left(t\right)\Vert }^2+S{\Vert B\left(t\right)\Vert }^2+\frac{1}{\mathrm{Re}}{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert \nabla u\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}+\frac{2S}{\text{Rm}}{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert \text{curl}B\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}+2\alpha {\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert u\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}\\ \le {\Vert u_{\tau }\Vert }^2+S{\Vert B_{\tau }\Vert }^2+\mathrm{Re}{\epsilon }^2{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert f\left(s\right)\Vert }_{V_1^{*}}^2}\text{d}s.\end{array}$

4. 弱解

记 ${\mathbb{U}}_{\tau ,T}=\left\{\psi \in L^2\left(\tau ,T;V\right):\frac{\partial \psi }{\partial t}\in L^2\left(\tau ,T;H\right),\psi \left(T\right)=0\right\}$，其中 $\psi \left(\phi ,\rho \right)$。

定义1 设 ${\xi }_{\tau }=\left(u_{\tau },B_{\tau }\right)\in H$， $f\in L^2\left(\tau ,T;V_1^{*}\right)\left(-\infty <\tau \le T<\infty \right)$，如果 $\xi =\left(u,B\right)$ 满足以下条件，

(1) $\xi \in L^{\infty }\left(\tau ,T;H\right)\cap L^2\left(\tau ,T;V\right)\cap C^0\left(\left[\tau ,T\right];H\right),\frac{\partial \xi }{\partial t}\in L^2\left(\tau ,T;V^{*}\right)$，

(2) 存在序列 ${\xi }_{m\tau }\in V$ 和 $f_m\in L^2\left(\tau ,T;H_1\right),m=1,2,\cdots$，满足

${\xi }_{m\tau }\stackrel{强}{\to }{\xi }_{\tau }\in H,f_m\stackrel{强}{\to }f\in L^2\left(\tau ,T;V_1^{*}\right),$

并且

${\xi }_m\stackrel{强}{\to }\xi \in C^0\left(\left[\tau ,T\right];H\right),$

其中， ${\xi }_m$ 是方程(1)~(2)对应于 $\left({\xi }_{m\tau },f_m\right)$ 的唯一的强解。

(3) 对任意的 $\psi \in {\mathbb{U}}_{\tau ,T}$，有

$-{\displaystyle {\int }_{\tau }^T\left(\xi ,\frac{\partial \psi }{\partial t}\right)\text{d}t+}{\displaystyle {\int }_{\tau }^T\left(\left(\xi ,\psi \right)\right)\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_{\tau }^T{\mathcal{B}}_0\left(\xi ,\xi ,\psi \right)\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_{\tau }^T\alpha \left(u,\phi \right)\text{d}t}=\left({\xi }_{\tau },\psi \left(\tau \right)\right)+\epsilon {\displaystyle {\int }_{\tau }^T\left(f,\phi \right)\text{d}t},$

其中

$\begin{array}{l}\left(\xi ,\psi \right)=\left(u,\phi \right)+\left(B,\rho \right),\\ \left(\xi ,\frac{\partial \psi }{\partial t}\right)=\left(u,\frac{\partial \phi }{\partial t}\right)+\left(B,\frac{\partial \rho }{\partial t}\right),\\ \left(\left(\xi ,\psi \right)\right)=\frac{1}{\mathrm{Re}}\left(\nabla u,\nabla \phi \right)+\frac{1}{\text{Rm}}\left(\text{curl}B,\text{curl}\rho \right)\text{,}\\ {\mathcal{B}}_0\left(\xi ,\xi ,\psi \right)=b\left(u,u,\phi \right)-Sb\left(B,B,\phi \right)-b\left(u,B,\rho \right)-b\left(B,u,\rho \right),\end{array}$

则称 $\xi =\left(u,B\right)$ 是方程(1)~(2)的弱解。

根据上述弱解的定义可知，方程(1)~(2)的强解必是弱解。

定理2 设 $-\infty <\tau \le T<\text{+}\infty$， $f\in L^2\left(\tau ,T;V_1^{*}\right)$，则对任意的 ${\xi }_{\tau }=\left(u_{\tau },B_{\tau }\right)\in H$，方程(1)~(2)存在唯一的弱解 $\xi =\left(u,B\right)$。另外，对任意的 $\tau \le s\le t\le T$， $\xi =\left(u,B\right)$ 满足

$\frac{\text{d}}{\text{d}s}{\Vert u\left(s\right)\Vert }^2+S\frac{\text{d}}{\text{d}s}{\Vert B\left(s\right)\Vert }^2+\frac{2}{\mathrm{Re}}{\Vert \nabla u\left(s\right)\Vert }^2+\frac{2S}{\text{Rm}}{\Vert \text{curl}B\left(s\right)\Vert }^2+2\alpha {\Vert u\left(s\right)\Vert }^2=2\epsilon \langle f\left(s\right),u\left(s\right)\rangle ,$ (49)

和

$\begin{array}{l}{\Vert u\left(t\right)\Vert }^2+S{\Vert B\left(t\right)\Vert }^2+\frac{1}{\mathrm{Re}}{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert \nabla u\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}+\frac{2S}{\text{Rm}}{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert \text{curl}B\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}+2\alpha {\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert u\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}\\ \le {\Vert u_{\tau }\Vert }^2+S{\Vert B_{\tau }\Vert }^2+\mathrm{Re}{\epsilon }^2{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert f\left(s\right)\Vert }_{V_1^{*}}^2}\text{d}s.\end{array}$ (50)

证明：a. 存在性

设 ${\xi }_{m\tau }\in V$， $f_m\in L^2\left(\tau ,T;H_1\right)$，并当 $m\to \infty$ 时，有

${\xi }_{m\tau }\stackrel{强}{\to }{\xi }_{\tau }\in H,f_m\stackrel{强}{\to }f\in L^2\left(\tau ,T;V_1^{*}\right).$ (51)

对任意的 $\left({\xi }_{m\tau },f_m\right),m=1,2,\cdots$，则存在唯一的强解 ${\xi }_m=\left(u_m,B_m\right)$ 满足

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u_m}{\partial t}+\left(u_m\cdot \nabla \right)u_m-\frac{1}{\mathrm{Re}}\Delta u_m+\nabla p+S\nabla \frac{{\left|B_m\right|}^2}{2}-S\left(B_m\cdot \nabla \right)B_m+\alpha u_m=\epsilon f_m,\left(x,t\right)\in \Omega \times {ℝ}_{\tau },\\ \frac{\partial B_m}{\partial t}+\left(u_m\cdot \nabla \right)B_m-\left(B_m\cdot \nabla \right)u_m+\frac{1}{\text{Rm}}\widetilde{\text{curl}}\left(\text{curl}{B}_m\right)=0,\left(x,t\right)\in \Omega \times {ℝ}_{\tau },\\ \text{div}{u}_m=0,\text{div}{B}_m=0,\left(x,t\right)\in \Omega \times {ℝ}_{\tau },\\ u_m\left(\tau \right)=u_{m\tau },B_m\left(\tau \right)=B_{m\tau },x\in \Omega ,\end{array}$ (52)

和以下边界条件

$\{\begin{array}{l}{u}_m=0,x\in \partial \Omega ,\\ B_m\cdot n=0和\text{curl}{B}_m=0,x\in \partial \Omega ,\end{array}$ (53)

其中， $n$ 是边界 $\partial \Omega$ 上的单位外法向量。

① 由(17)式可知， $\left\{{\xi }_m\right\}$ 在 $L^2\left(\tau ,T;V\right)\cap L^{\infty }\left(\tau ,T;H\right)$ 中有界。由引理1和引理2可知，我们可以选取子序列，仍记为 $\left\{{\xi }_m\right\}=\left\{\left(u_m,B_m\right)\right\}$，满足

${\xi }_m=\left(u_m,B_m\right)\stackrel{弱}{\to }\xi =\left(u,B\right)在L^2\left(\tau ,T;V\right)中,$ (54)

${\xi }_m=\left(u_m,B_m\right)\stackrel{弱*}{\to }\xi =\left(u,B\right)在L^2\left(\tau ,T;H\right)中,$ (55)

② (22)式可知

$\left\{\frac{\partial {\xi }_m}{\partial t}\right\}在L^2\left(\tau ,T;V^{*}\right)中是有界的,$

同样，我们也可以选取子序列，仍记为 $\left\{\frac{\partial {\xi }_m}{\partial t}\right\}=\left\{\left(\frac{\partial u_m}{\partial t},\frac{\partial B_m}{\partial t}\right)\right\}$，满足

$\frac{\partial {\xi }_m}{\partial t}=\left(\frac{\partial u_m}{\partial t},\frac{\partial B_m}{\partial t}\right)\stackrel{弱}{\to }\frac{\partial \xi }{\partial t}=\left(\frac{\partial u}{\partial t},\frac{\partial B}{\partial t}\right)在L^2\left(\tau ,T;V^{*}\right)中,$ (56)

且由致密性定理可得

${\xi }_m=\left(u_m,B_m\right)\stackrel{强}{\to }\xi =\left(u\text{,}B\right)在L^2\left(\tau ,T;H\right)中且几乎处处在\Omega \times \left(\tau ,T\right)中强收敛.$ (57)

③ (47)式可知，对任意的 $t\in \left[\tau ,T\right]$，有

$\begin{array}{c}{\Vert {\xi }_m\left(t\right)-{\xi }_n\left(t\right)\Vert }^2\le {\text{e}}^{{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{K}_7\left({\Vert {\xi }_m\left(s\right)\Vert }_{\star }^2+{\Vert {\xi }_n\left(s\right)\Vert }_{\star }^2\right)\text{d}s}}\left({\Vert {\xi }_{m\tau }-{\xi }_{n\tau }\Vert }^2+2\mathrm{Re}{\epsilon }^2{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert f_m\left(s\right)-f_n\left(s\right)\Vert }_{V_1^{*}}^2\text{d}s}\right)\\ \le {\text{e}}^{K_8}\left({\Vert {\xi }_{m\tau }-{\xi }_{n\tau }\Vert }^2+2\mathrm{Re}{\epsilon }^2{\displaystyle {\int }_{\tau }^t{\Vert f_m\left(s\right)-f_n\left(s\right)\Vert }_{V_1^{*}}^2\text{d}s}\right),\end{array}$ (58)

则 $\left\{{\xi }_m\right\}$ 在 $C^0\left(\left[\tau ,T\right];H\right)$ 中是一柯西列。

因此，根据极限的唯一性和(54)式可推出

${\xi }_m=\left(u_m,B_m\right)\stackrel{强}{\to }\xi =\left(u,B\right)在C^0\left(\left[\tau ,T\right];H\right)中$ (59)

④ 对任意的函数 $\psi =\left(\phi ,\rho \right)\in {\mathbb{U}}_{\tau ,T}$， ${\xi }_m$ 满足

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\tau }^T\left(\frac{\partial {\xi }_m}{\partial t},\psi \right)\text{d}t}+\frac{1}{\mathrm{Re}}{\displaystyle {\int }_{\tau }^T\left(\nabla u_m,\nabla \phi \right)\text{d}t}+\frac{1}{\text{Rm}}{\displaystyle {\int }_{\tau }^T\left(\text{curl}{B}_m,\text{curl}\rho \right)\text{d}t}\\ +{\displaystyle {\int }_{\tau }^T{\mathcal{B}}_0\left({\xi }_m,{\xi }_m,\psi \right)\text{d}t}+\alpha {\displaystyle {\int }_{\tau }^T\left(u_m,\phi \right)\text{d}t}=\epsilon {\displaystyle {\int }_{\tau }^T\left(f,\phi \right)\text{d}t},\end{array}$ (60)

由于 $\psi \in L^2\left(\tau ,T;V\right)$，所以有

${\displaystyle {\int }_{\tau }^T{\mathcal{B}}_0\left({\xi }_m,{\xi }_m,\psi \right)\text{d}t}=-{\displaystyle {\int }_{\tau }^T{\mathcal{B}}_0\left({\xi }_m,\psi ,{\xi }_m\right)\text{d}t},$

由(17)式可知

${\xi }_m\in L^4\left(\tau ,T;L^4\left(\Omega \right)\times L^4\left(\Omega \right)\right),$

则 $u_m^i{u}_m^j,B_m^i{B}_m^j,u_m^i{B}_m^j$ 和 $B_m^i{u}_m^j$ 在 $L^2\left(\tau .T;L^2\left(\Omega \right)\right)$ 中有界，所以，存在子序列，仍记为 $\left\{u_m^i{u}_m^j\right\},\left\{B_m^i{B}_m^j\right\},\left\{u_m^i{B}_m^j\right\}$ 和 $\left\{B_m^i{u}_m^j\right\}$，当 $m\to \infty$ 时，有

$u_m^i{u}_m^j\stackrel{弱}{\to }{\mathcal{X}}_{i,j}在L^2\left(\tau ,T;L^2\left(\Omega \right)\right)中,$

根据(57)式，当 $m\to \infty$ 时，可得

$u_m^i{u}_m^j\stackrel{强}{\to }{u}^i{u}^j几乎处处在\Omega \times \left[\tau ,T\right]中,$

根据引理4，可得

${\mathcal{X}}_{i,j}=u^i{u}^j,$

类似地，当 $m\to \infty$ 时，有 $B_m^i{B}_m^j\stackrel{弱}{\to }{B}^i{B}^j$， $u_m^i{B}_m^j\stackrel{弱}{\to }{u}^i{B}^j$， $B_m^i{u}_m^j\stackrel{弱}{\to }{B}^i{u}^j$ 在 $L^2\left(\tau ,T;L^2\left(\Omega \right)\right)$ 中。

对任意的 $\bar{w}\in \mathcal{D}\left(\Omega \times \left[\tau ,T\right]\right)$，当 $m\to \infty$ 时，可得

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{\tau }^{T}b\left(u_m,u_m,\phi \right)\bar{w}\text{d}t}=-{\displaystyle {\int }_{\tau }^T\bar{w}\left({\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{2}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}_m^i}\frac{\partial {\phi }^j}{\partial x^i}{u}_m^j\text{d}x}\right)\text{d}t}\\ \stackrel{强}{\to }-{\displaystyle {\int }_{\tau }^T\bar{w}\left({\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{2}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{\Omega }{u}^i{u}^j\frac{\partial {\phi }^j}{\partial x^i}\text{d}x}}\right)\text{d}t}={\displaystyle {\int }_{\tau }^{T}b\left(u,u,\phi \right)\bar{w}\text{d}t},\end{array}$

因此当 $m\to \infty$ 时，有

${\displaystyle {\int }_{\tau }^T{\mathcal{B}}_0\left({\xi }_m,{\xi }_m,\psi \right)\bar{w}\text{d}t}={\displaystyle {\int }_{\tau }^T{\mathcal{B}}_0\left(\xi ,\xi ,\psi \right)\bar{w}\text{d}t},$

由弱收敛的定义可知，当 $m\to \infty$ 时，有

${\mathcal{B}}_0\left({\xi }_m,{\xi }_m,\psi \right)\stackrel{弱}{\to }{\mathcal{B}}_0\left(\xi ,\xi ,\psi \right)在L^2\left(\tau ,T\right)中.$ (61)

⑤利用(54)式，(56)式，(59)式和(61)式，对(60)式取极限，可得对任意的 $\psi \in {\mathbb{U}}_{\tau ,T}$， $\xi$ 满足

$\begin{array}{l}-{\displaystyle {\int }_{\tau }^T\left(\xi ,\frac{\partial \psi }{\partial t}\right)\text{d}t}+\frac{1}{\mathrm{Re}}{\displaystyle {\int }_{\tau }^T\left(\nabla u,\nabla \phi \right)\text{d}t}+\frac{1}{\text{Rm}}{\displaystyle {\int }_{\tau }^T\left(\text{curl}B,\text{curl}\rho \right)\text{d}t}\\ +{\displaystyle {\int }_{\tau }^T{\mathcal{B}}_0\left(\xi ,\xi ,\psi \right)\text{d}t}+\alpha {\displaystyle {\int }_{\tau }^T\left(u,\phi \right)\text{d}t}=\left({\xi }_{\tau },\psi \left(\tau \right)\right)+\epsilon {\displaystyle {\int }_{\tau }^T\left(f,\phi \right)\text{d}t,}\end{array}$

因此 $\xi$ 满足弱解的定义。

b. 唯一性

利用(58)式可证得弱解的唯一性。

另外，根据(4)式，(48)式，(51)式和(59)式，可推得(49)式和(50)式。