一类半线性椭圆方程的内部梯度估计

The Interior Gradient Estimate of a Class of Semi-Linear Elliptic Equations

摘要: 本文通过选取一个合适的辅助函数，利用极值原理与截断函数的性质，得到了一类半线性椭圆方程的内部梯度估计。

Abstract: In this paper, by selecting an appropriate auxiliary function, using the extreme value principle and the properties of truncated function, the internal gradient estimation of a class of semi-linear elliptic equations is obtained.

1. 引言

半线性椭圆方程是二阶椭圆方程 [1] 中较基础且重要的一类方程。关于半线性椭圆方程中的梯度估计已经有大量的研究。其中梯度估计分为内部梯度估计 [2] 和全局梯度估计 [3]。与全局梯度估计相比，内部梯度估计研究相对较少。1983年，Gilbarg D.等人利用伯恩斯坦方法 [4] 研究了半线性椭圆方程得到了方程的内部梯度估计；1987年，Korevaar N.J.利用极大值原理推导了椭圆Weingarten方程的内部梯度估计 [5]；2011年，汪雯利用椭圆辅助函数与线性化算子研究了一类Hessian方程的解和先验估计 [6]，得到了抛物型K-Hessian方程的梯度内估计；2019年，王聪涵研究了平均曲率方程的内部梯度估计 [7]，并利用内部梯度估计证明了奇异极小曲面方程达到了预期Liouville型效果。

本文在前人研究的基础上，进一步研究一类半线性椭圆方程

$a_{ij}\left(x\right)D_{ij}u+b_i\left(x\right)D_{i}u=f\left(x,u,\nabla u\right)$

的内部梯度估计。其中 $\Omega$ 是 $R^n$ 中的连通有界区域， $u\in C^2\left(\Omega \right)\cap C\left(\bar{\Omega }\right)$， $f\in C\left(\Omega \times R\times R^n\right)$。

若方程对任意 $x\in \Omega ,\xi \in R^n$，满足 $a_{ij}\left(x\right){\xi }_i{\xi }_j\ge \lambda {\left|\xi \right|}^2$，则称方程是一致椭圆的 [8]，其中 $\lambda$ 是一个正常数。

下面将构造一个辅助函数使其满足极值原理 [9]，进而推出一类半线性椭圆方程的内部梯度估计。

2. 预备知识

引理1 [10] 设 ${\Omega }^{\prime }\subset \subset \Omega$， $\Omega$ 是开集，则存在函数 $\gamma \in C_0^{\infty }\left(\Omega \right)$，满足

$\{\begin{array}{l}0\le \gamma \left(x\right)\le 1,x\in \Omega \\ \gamma \left(x\right)=1,x\in {\Omega }^{\prime }\\ \left|D^{\alpha }\gamma \right|\le \frac{C}{{\left(dist\left({\Omega }^{\prime },\partial \Omega \right)\right)}^{\left|\alpha \right|}},x\in \Omega \end{array}$

其中，C只依赖于 $\Omega$ 的体积，不依赖于 $\gamma$ 和 $dist\left({\Omega }^{\prime },\partial \Omega \right)$。

引理2 [4] 设 $u\in C^3\left(\Omega \right)$ 是方程

$a_{ij}\left(x\right)D_{ij}\left(x\right)+b_i\left(x\right)D_{i}u=f\left(x,u\right)$

的解，对于 $a_{ij}\left(x\right),b_i\left(x\right)\in C^1\left(\bar{\Omega }\right)$， $f\in C^1\left(\bar{\Omega }\times R\right)$。则对于任何紧子集 ${\Omega }^{\prime }\subset \subset \Omega$，有

$\underset{{\Omega }^{\prime }}{\sup }\left|Du\right|\le C$

其中C是只依赖于 $\lambda ,diam\left(\Omega \right),dist\left({\Omega }^{\prime },\partial \Omega \right),{\left|a_{ij},b_i\right|}_{C^1\left(\bar{\Omega }\right)},M={\left|u\right|}_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}$ 和 ${\left|f\right|}_{C^1\left(\bar{\Omega }\times \left[-M,M\right]\right)}$ 的正常数。

3. 主要结果

本文主要研究方程关于 $\nabla u$ 是非线性的情况。

定理1 设 $u\in C^3\left(\Omega \right)$ 是方程

$a_{ij}\left(x\right)D_{ij}u+b_i\left(x\right)D_{i}u=f\left(x,u,\nabla u\right)$ (1)

的解， $a_{ij}\left(x\right),b_i\left(x\right)\in C^1\left(\bar{\Omega }\right)$， $f\in C^1\left(\bar{\Omega }\times R\times R^n\right)$ 则对于任何紧子集 ${\Omega }^{\prime }\subset \subset \Omega$，有

$\underset{{\Omega }^{\prime }}{\sup }\left|Du\right|\le C$

其中C是只依赖于 $\lambda ,diam\left(\Omega \right),dist\left({\Omega }^{\prime },\partial \Omega \right),{\left|a_{ij},b_i\right|}_{C^1\left(\bar{\Omega }\right)},M={\left|u\right|}_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}$ 和 ${\left|f\right|}_{C^1\left(\bar{\Omega }\times \left[-M,M\right]\right)}$ 的正常数。

证明：取截断函数 $\gamma \in C_0^{\infty }$ 且 $\gamma \ge 0$，考虑如下辅助函数 $\omega =\gamma {\left|Du\right|}^2+{\left|\alpha u\right|}^2+{\text{e}}^{\beta x_1}$，其中 $\alpha ,\beta$ 待定

令 $L=a_{ij}{D}_{ij}+b_i{D}_i$， $v=\gamma {\left|Du\right|}^2$，先计算 $L\left(v\right)$，则

$L\omega =L\left(\gamma {\left|Du\right|}^2+\alpha {\left|u\right|}^2+{\text{e}}^{\beta x_1}\right)=L\left(\gamma {\left|Du\right|}^2\right)+L\left(\alpha {\left|u\right|}^2\right)+L\left({\text{e}}^{\beta x_1}\right)$

$Lv=\left(L\gamma \right){\left|Du\right|}^2+\gamma L\left({\left|Du\right|}^2\right)+4a_{ij}{D}_{k}u{D}_i\gamma D_{kj}u$

$D_i\left({\left|Du\right|}^2\right)=2{\displaystyle \underset{k=1}{\sum }{D}_{k}u{D}_{ki}u}$

$D_{ij}\left({\left|Du\right|}^2\right)={\left(2{\displaystyle \underset{k=1}{\sum }{D}_{k}u{D}_{ki}u}\right)}_j=2{\displaystyle \underset{k=1}{\sum }{D}_{ki}u{D}_{kj}u}+2{\displaystyle \underset{k=1}{\sum }{D}_{k}u{D}_{kij}u}$

和

$\begin{array}{c}L\left({\left|Du\right|}^2\right)=a_{ij}\left(x\right)D_{kj}\left({\left|Du\right|}^2\right)+b_i{D}_i\left({\left|Du\right|}^2\right)\\ =2{\displaystyle \underset{k,i,j=1}{\sum }{a}_{ij}\left(x\right)D_{ki}u{D}_{kj}u}+2{\displaystyle \underset{k,i,j=1}{\sum }{a}_{ij}\left(x\right)D_{k}u{D}_{kij}u}+2{\displaystyle \underset{k,i=1}{\sum }{b}_i{D}_{k}u{D}_{ki}u}\end{array}$ (2)

其中式(2)出现三阶项 $2{\displaystyle \underset{k,i,j=1}{\sum }{D}_{k}u{D}_{kij}u}$，为消掉三阶项，做如下处理：

首先，对(1)两边关于 $x_k$ 求导，则有

$\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{i,j=1}{\sum }{D}_k{a}_{ij}\left(x\right)D_{ij}u}+{\displaystyle \underset{i,j=1}{\sum }{a}_{ij}\left(x\right)D_{kij}u}+{\displaystyle \underset{i=1}{\sum }{D}_k{b}_i{D}_{i}u}+{\displaystyle \underset{i=1}{\sum }{b}_i{D}_{ki}u}\\ =D_{k}f\left(x,u,\nabla u\right)+D_{u}f\left(x,u,\nabla u\right)D_{k}u+{\displaystyle \underset{l=1}{\sum }{D}_{u_l}f\left(x,u,\nabla u\right)D_{kl}u}\end{array}$ (3)

其次，将(3)乘以 $2D_{k}u$，再对k求和，同时结合(2)，则有

$\begin{array}{c}L\left({\left|Du\right|}^2\right)=2{\displaystyle \underset{k,i,j=1}{\sum }{a}_{ij}\left(x\right)D_{ki}u{D}_{kj}u}-2{\displaystyle \underset{k,i,j=1}{\sum }{D}_k{a}_{ij}\left(x\right)D_{k}u{D}_{ij}u}-2{\displaystyle \underset{k,i=1}{\sum }{D}_k{b}_i\left(x\right)D_{k}u{D}_{i}u}\\ +2{\displaystyle \underset{k=1}{\sum }{D}_{k}u}{D}_{k}f+2{\displaystyle \underset{k=1}{\sum }{\left|Du\right|}^2{D}_{u}f}+2{\displaystyle \underset{k,l=1}{\sum }{D}_{k}u{D}_{kl}u{D}_{u_l}f}\end{array}$ (4)

最后，处理二阶项

由 $D_k{b}_i\left(x\right)\le \underset{{}^{{}^{\Omega }}}{\sup }\left|D{b}_i\right|\le {\left|b_i\right|}_{C^1}$， $D_k{a}_{ij}\left(x\right)\le \underset{{}^{{}^{\Omega }}}{\sup }\left|D{a}_{ij}\right|\le {\left|a_{ij}\right|}_{C^1}$ 以及

$D_{u_l}f,D_{u}f,D_{k}f\le \underset{{}^{{}^{\Omega }}}{\sup }\left|Df\right|\le {\left|f\right|}_{C^1}$， $a_{ij}\left(x\right){\xi }_i{\xi }_j\ge \lambda {\left|\xi \right|}^2$

可得

${\displaystyle \underset{k,i,j=1}{\sum }{a}_{ij}\left(x\right)D_{ki}u{D}_{kj}u}\ge \lambda {\left|D^{2}u\right|}^2$， $-2{\displaystyle \underset{k,i=1}{\sum }{D}_k{b}_i\left(x\right)D_{k}u{D}_{i}u}\ge C{\left|Du\right|}^2$

$2{\displaystyle \underset{k,l=1}{\sum }{D}_{k}u{D}_{kl}u{D}_{u_l}f}\ge -\frac{1}{\epsilon }{\displaystyle \underset{k,l=1}{\sum }{\left({\left|f\right|}_{C^1}^2{D}_{k}u\right)}^2}-\epsilon {\displaystyle \underset{k,l=1}{\sum }{\left(D_{lk}u\right)}^2}\ge -\frac{n}{\epsilon }{\left|f\right|}_{C^1}^2{\left|Du\right|}^2-\epsilon {\left|D^{2}u\right|}^2$

同理估计式(4)的其余项后，整理可得

$L\left({\left|Du\right|}^2\right)\ge \frac{\lambda }{2}{\left|D^{2}u\right|}^2-C{\left|Du\right|}^2-C_1$

因此

$L\left(v\right)\ge \frac{\lambda }{2}\gamma {\left|D^{2}u\right|}^2+4a_{ij}{D}_{k}u{D}_{\gamma }u{D}_{kj}u-C{\left|Du\right|}^2+\left(L\gamma \right){\left|Du\right|}^2-C_1$

其中 $C_1$ 是只依赖于 $\lambda ,{\left|a_{ij},b_i\right|}_{C^1\left(\Omega \right)},{\left|f\right|}_{C^1\left(\bar{\Omega }\times \left[-M,M\right]\right)}$ 的正常数。

又由截断函数的性质和柯西不等式，可得

$\left|4a_{ij}{D}_{k}u{D}_{\gamma }u{D}_{kj}u\right|\le \epsilon {\left|D\gamma \right|}^2{\left|D^{2}u\right|}^2+C\left(\epsilon \right){\left|Du\right|}^2$

${\left|D\gamma \right|}^2\le C\gamma \text{in}\Omega$

综上可得

$Lv\ge \frac{\lambda }{2}\gamma {\left|D^{2}u\right|}^2\left(1-\epsilon \frac{{\left|D\gamma \right|}^2}{\gamma }\right)-C{\left|Du\right|}^2-C_2$

取 $\epsilon$ 足够小，使得 $\left(1-\epsilon \frac{{\left|D\gamma \right|}^2}{\gamma }\right)\ge \frac{1}{2}$，则有

$Lv\ge \frac{1}{4}\lambda \gamma {\left|D^{2}u\right|}^2-C{\left|Du\right|}^2-C_2$

其中 $C_2$ 是只依赖于 $\lambda ,{\left|a_{ij},b_i\right|}_{C^1\left(\Omega \right)},dist\left({\Omega }^{\prime },\partial \Omega \right),{\left|f\right|}_{C^1\left(\bar{\Omega }\times \left[-M,M\right]\right)}$ 的正常数。

其次，计算 $L\left(\alpha {\left|u\right|}^2\right)$

$L\left(u^2\right)=a_{ij}\left(x\right)D_{ij}{u}^2+b_i\left(x\right)D_i{u}^2=2{\displaystyle \underset{i,j=1}{\sum }{a}_{ij}\left(x\right)D_{i}u{D}_{j}u+2u{\displaystyle \underset{i,j=1}{\sum }{a}_{ij}\left(x\right)D_{ij}u}}+2u{\displaystyle \underset{i=1}{\sum }{b}_i\left(x\right)D_{i}u}$，因为 $a_{ij}\left(x\right)D_{ij}u+b_i\left(x\right)D_{i}u=f\left(x,u,\nabla u\right)$，则

$\begin{array}{c}L\left(u^2\right)=2{\displaystyle \underset{i,j=1}{\sum }{a}_{ij}\left(x\right)D_{i}u{D}_{j}u}+2uf\left(x,u,\nabla u\right)\ge 2\lambda {\left|Du\right|}^2+2uf\\ \ge 2\lambda {\left|Du\right|}^2-2\left|u\right|{\left|f\right|}_{C^1}\ge 2\lambda {\left|Du\right|}^2-2M{\left|f\right|}_{C^1}\end{array}$

因此

$L\left(\gamma {\left|Du\right|}^2+\alpha {\left|u\right|}^2\right)\ge \frac{1}{4}\lambda \gamma {\left|D^{2}u\right|}^2+\left(2\lambda \alpha -C\right){\left|Du\right|}^2-C_3$

取 $\alpha$ 足够大时，使得 $\left(2\lambda \alpha -C_3\right)\ge 1$，则有

$L\left(\gamma {\left|Du\right|}^2+\alpha {\left|u\right|}^2\right)\ge \frac{1}{4}\lambda \gamma {\left|D^{2}u\right|}^2+{\left|Du\right|}^2-C_3$

其中 $C_3$ 是只依赖于 $\lambda ,{\left|a_{ij},b_i\right|}_{C^1\left(\Omega \right)},dist\left({\Omega }^{\prime },\partial \Omega \right),{\left|f\right|}_{C^1\left(\bar{\Omega }\times \left[-M,M\right]\right)},M={\left|u\right|}_{L^{\infty }\left(\Omega \right)}$ 的正常数。

最后，计算 $L\left({\text{e}}^{\beta x_1}\right)$

$L\left({\text{e}}^{\beta x_1}\right)={\displaystyle \underset{i,j=1}{\sum }{a}_{ij}\left(x\right){\text{e}}^{\beta x_1}}={\beta }^2{a}_{11}{\text{e}}^{\beta x_1}$

则

$L\omega =L\left(\gamma {\left|Du\right|}^2+\alpha {\left|u\right|}^2+{\text{e}}^{\beta x_1}\right)\ge \frac{1}{4}\lambda \gamma {\left|D^{2}u\right|}^2+{\left|Du\right|}^2+\left({\beta }^2{a}_{11}{\text{e}}^{\beta x_1}-C_4\right)$

取 $\beta$ 足够大时， $\left({\beta }^2{a}_{11}{\text{e}}^{\beta x_1}-C_3\right)\ge 0$，所以 $L\omega \ge 0$。

因为 $L\omega \ge 0$，故满足弱极值原理，则 $\underset{\Omega }{\sup }w\le \underset{\partial \Omega }{\sup }w$，有

$\begin{array}{c}\underset{{\Omega }^{\prime }}{\sup }{\left|Du\right|}^2=\underset{{\Omega }^{\prime }}{\sup }{\left|\gamma Du\right|}^2\le \underset{\Omega }{\sup }{\left|\gamma Du\right|}^2\le \underset{\Omega }{\sup }\left(\gamma {\left|Du\right|}^2+\alpha {\left|u\right|}^2+{\text{e}}^{\beta x_1}\right)\\ \underset{\partial \Omega }{\le \sup }\left(\gamma {\left|Du\right|}^2\right)+\underset{\partial \Omega }{\sup }\left(\alpha {\left|u\right|}^2\right)+\underset{\partial \Omega }{\sup }{\text{e}}^{\beta x_1}\end{array}$

由定理可得 $\underset{\partial \Omega }{\sup }\left(\alpha {\left|u\right|}^2\right)\le C\left(\Omega \right)$， $\underset{\partial \Omega }{\sup }{\text{e}}^{\beta x_1}\le C\left(diam\left(\Omega \right)\right)$ 和截断函数的性质可知 $x\in \partial \Omega$， $\gamma =0$， $x\in {\Omega }^{\prime }$， $\gamma =1$。

因此对于任何紧子集 ${\Omega }^{\prime }\subset \subset \Omega$，有

$\underset{{\Omega }^{\prime }}{\sup }\left|Du\right|\le C$

综上所述，定理得证。

基金项目

国家自然科学基金项目(12061078)。

NOTES

^*通讯作者。