奇数阶的4度2-弧传递图

Tetravalent 2-Arc-Transitive Graphs of Odd Order

摘要: 设Γ是一个连通图，G≤Aut(Γ)，如果G作用在图的2-弧集上是传递的，则称Γ为(G,2)-弧传递图。在本文中，我们通过研究G作用在VΓ上拟本原来刻画奇数阶4度(G,2)-弧传递图，并且利用陪集图来描述这些图。

Abstract: LetΓ be a connected graph, G≤Aut(Γ). Γ is said to be (G,2)-arc-transitive if G acts transitively on its 2-arcs. In this paper, we characterize tetravalent (G,2)-arc-transitive graphs of odd order by studying the quasiprimitive case of G acting on vertex set of Γ, and a description of these graphs as coset graphs is given.

1. 引言

本文中，考虑的图都是无向的、连通的、无自环和无重边的。

设 $\Gamma$ 是一个图，我们用 $V\Gamma$ 、 $E\Gamma$ 和 $A\Gamma$ 分别表示图 $\Gamma$ 的顶点集、边集和弧集。用 $Aut\left(\Gamma \right)$ 表示 $\Gamma$ 的全自同构群。设 $G\le Aut\left(\Gamma \right)$，若G在 $V\Gamma$ 、 $E\Gamma$ 和 $A\Gamma$ 上的作用传递，则分别称 $\Gamma$ 为G-点传递图、G-边传递图和G-弧传递图。对于一个正整数s和 $\Gamma$ 的一个顶点序列 $\left({\alpha }_0,{\alpha }_1,\cdots ,{\alpha }_s\right)$，如果 $\left\{{\alpha }_{i-1},{\alpha }_i\right\}\in E\Gamma$ 和 ${\alpha }_{i-1}\ne {\alpha }_{i+1}\left(1\le i\le s-1\right)$，则称该序列为图 $\Gamma$ 的一条s-弧。如果 $G\le Aut\left(\Gamma \right)$ 在s-弧集上是传递的，则称 $\Gamma$ 是 $\left(G,s\right)$ -弧传递的。进一步，如果 $G\le Aut\left(\Gamma \right)$ 在s-弧集上传递，在(s + 1)-弧集上不传递，则称 $\Gamma$ 为 $\left(G,s\right)$ -传递的。特别地，若 $G=Aut\left(\Gamma \right)$，则简称 $\Gamma$ 为s-弧传递图。

群与图是组合数学的一个重要分支，主要是利用二者之间的相互作用来刻画群或者图，其中用群来刻画对称图是代数图论的主要内容。设群G是集合 $\Omega$ 上的传递置换群，如果G的任意非平凡正规子群都在 $\Omega$ 上传递，称G是 $\Omega$ 上的拟本原置换群；如果G的任意非平凡正规子群在 $\Omega$ 上至多有两个轨道且存在一个正规子群在 $\Omega$ 上恰有两个轨道，则称G是 $\Omega$ 上的二部拟本原置换群。

刻画小度数的弧传递图是代数图论中的热门话题，引起了众多学者的关注。例如，Gardiner和Praeger [1] [2] 对4度弧传递图进行了广泛的研究。对2-弧传递图的研究可以追溯到Tutte [3] 对3度 $s$ -弧传递图的研究。其后大量的研究随之展开，一个显著的结果是Weiss [4] 于1981年证明了不存在除圈外的8-弧传递图。而对一般的2-弧传递图进行分类是很困难的，Praeger [5] 提供了一种一般性的策略：

1) 决定所有的顶点拟本原和二部拟本原2-弧传递图；

2) 决定1)中图的正规覆盖。

在此方案的指导下，大量的2-弧传递图类被刻画，例如方新贵和Praeger [6] [7] 研究了容许一个Ree群和Suzuki群作用上的2-弧传递图；Hassiani和Praeger [8] 分类了容许二维线性群 $PSL\left(2,q\right)$ 作用上的2-弧传递图；潘江敏教授等人分类了容许交换群作用上的2-弧传递Cayley图 [9] 等。

Table 1. Tetravalent 2-arc-transitive graphs of odd order

表1. 奇数阶的4度2弧传递图

而本文的主要目的是刻画阶为n的4度2-弧传递图，其中n为奇数。本文中所使用的有限群论和图论中的相关符号都是标准的，可参考文献 [10] [11] [12] [13]。设n是正整数，我们用 ${\mathbb{Z}}_n$ 、 $D_{2n}$ 和 $S{D}_{16}$ 分别表示n阶循环群，2n阶二面体群和 $16$ 阶半二面体群。对于两个群N和H，用 $N\times H$ 、 $N.H$ 和 $N:H$ 分别表示N与H的直积，N被H的扩张和N被H的可裂扩张。用 $K_n$ 、 $O_3$ 分别表示n阶完全图和35阶的奇图。本文的主要结论如下：

定理1.1 设 $\Gamma$ 是连通的n阶4度 $\left(G,2\right)$ -弧传递图，其中 $G\le Aut\left(\Gamma \right)$，n为奇数，则G在 $V\Gamma$ 上拟本原，且表1之一成立，其中 $G_v$ 是G中稳定v的点稳定子群，s代表 $\Gamma$ 是 $\left(G,s\right)$ -传递的。

2. 预备知识

本节主要是给出一些重要的引理和图例。首先给出关于4度s-传递图的点稳定子群的结构，它是后续研究的基础。

引理2.1 ( [14]，命题2.3)设 $\Gamma$ 是一个连通的4度 $\left(G,s\right)$ -传递图， $v\in V\Gamma$， $G_v$ 是G中稳定v的点稳定子群，则s = 1，2，3，4或7。进一步地，

1) 若 $s=1$，则 $G_v$ 是2-群；

2) 若 $s=2$，则 $G_v\cong A_4$ 或 $S_4$ ；

3) 若 $s=3$，则 $G_v\cong A_4\times {\mathbb{Z}}_3$， ${\mathbb{Z}}_3:S_4$ 或 $S_3\times S_4$ ；

4) 若 $s=4$，则 $G_v\cong {\mathbb{Z}}_3^2:GL\left(2,3\right)$ ；

5) 若 $s=7$，则 $G_v\cong \left[3^5\right]:GL\left(2,3\right)$。

由于 $A_4$， $S_3$， $S_4$， $GL\left(2,3\right)$ 的Sylow 2-子群的结构分别为 ${\mathbb{Z}}_2^2$， ${\mathbb{Z}}_2$， $D_8$ 和 $S{D}_{16}$，其中 $S{D}_{16}$ 为16阶的半二面体群。我们立即可得下面的推论。

推论2.2设 $\Gamma$ 是一个连通的4度 $\left(G,s\right)$ -传递图，其中 $G\le Aut\left(\Gamma \right)$，且 $s\ge 2$。令 $v\in V\Gamma$，并设S是 $G_v$ 的一个Sylow 2-子群，则下面的结论成立：

1) 若 $s=2$，则 $S\cong {\mathbb{Z}}_2^2$ 或 $D_8$ ；

2) 若 $s=3$，则 $S\cong {\mathbb{Z}}_2^2,D_8$ 或 $D_8\times {\mathbb{Z}}_2$ ；

3) 若 $s=4$ 或7，则 $S\cong S{D}_{16}$。

定义2.3 [12] 设G是有限群，H是G的子群。令D是若干个形如 $HxH$ ( $x\notin H$ )的双陪集之并。我们定义群G上关于H和D的陪集图 $\Gamma =\mathrm{Cos}\left(G,H,D\right)$ ：顶点集 $V\Gamma =\left[G:H\right]$，即H在G中的所有右陪集之并，边集 $E\Gamma =\left\{\left\{Hx,Hyx\right\}|x\in G,y\in D\right\}$。

下面介绍陪集图的一些性质。

引理2.4 [12] 设 $\Gamma =\mathrm{Cos}\left(G,H,D\right)$ 是群G关于H和D的陪集图，则

1) $\Gamma$ 是连通图当且仅当 $\langle D\rangle =G$ ；

2) $\Gamma$ 是无向图当且仅当 $D=D^{-1}$ ；

3) $\Gamma$ 是G-弧传递的当且仅当 $D=H{x}_{i}H$ ( $x\notin H$ )是一个单个的双陪集。

陪集图通常可以用来构造一些图例。下面例子是根据4度图的点稳定子群的结构及陪集图的性质构造而成，可参看文献 [6] 和 [8]。

例2.5：1) 设 $G=R\left(3^{2m+1}\right)$，则G有一个子群 $H\cong A_4$，且存在一个对合g使得陪集图 $\mathrm{Cos}\left(G,H,HgH\right)$ 是奇数阶的4度 $\left(G,2\right)$ -弧传递图，记为 ${\xi }_1$。

2) 设 $T=PSL\left(2,q\right)$， $G=T.o$，其中 $q=p^f\equiv \pm 3\left(\mathrm{mod}8\right)$，f是奇数， $o\cong 1$ 或 $Z_3\le Out\left(T\right)$，则G有一个子群 $H\cong A_4$，且存在一个对合g使得陪集图 $\mathrm{Cos}\left(G,H,HgH\right)$ 是奇数阶的4度 $\left(G,2\right)$ -弧传递图，记为 ${\xi }_2$。

例2.6 1) 设 $G=A_5$，则G有一个子群 $H\cong A_4$，由Magma [15] 可知，存在一个阶为5的4度2-弧传递图，并且是完全图，记为 $K_5$， $Aut\left(K_5\right)=S_5$。

2) 设 $G=S_5$，则G有一个子群 $H\cong S_4$，由Magma [15] 可知，存在一个阶为5的4度2-弧传递图，并且是完全图，记为 $K_5$， $Aut\left(K_5\right)=S_5$。

例2.7 1) 设 $G=A_7$，则G有一个子群 $H\cong {\mathbb{Z}}_3:S_4$，由Magma [15] 可知，存在一个阶为35的4度2-弧传递图，记为 $O_3$，且 $Aut\left(O_3\right)=S_7$。

2) 设 $G=S_7$，则G有一个子群 $H\cong S_3\times S_4$，由Magma [15] 可知，存在一个阶为35的4度2-弧传递图，记为 $O_3$，且 $Aut\left(O_3\right)=S_7$。

引理2.8 ( [16]，定理3.2)设 $\Gamma$ 是连通的 $\left(G,2\right)$ -弧传递图，其中G在 $V\Gamma$ 上拟本原。则G是下列四种情形之一：

1) HA (仿射型)： $soc\left(G\right)$ 是初等交换2-群，且在 $V\Gamma$ 上正则；

2) AS (几乎单型)： $soc\left(G\right)$ 是非交换单群；

3) PA (乘积作用型)： $soc\left(G\right)=T^k$，其中T是非交换单群， $k\ge 2$，且 $soc\left(G\right)$ 中没有在 $V\Gamma$ 上正则的正规子群；

4) TW (扭圈积型)： $soc\left(G\right)=T^k$，其中T是非交换单群， $k\ge 2$，且 $soc\left(G\right)$ 在 $V\Gamma$ 上正则。

引理2.9 ( [16]，命题3.3)设 $\Gamma$ 是连通的奇数阶 $\left(G,s\right)$ -弧传递图，其中 $G\le Aut\left(\Gamma \right)$ 在 $V\Gamma$ 上拟本原。则 $s\le 3$，且当 $s=2$ 或3时，G是几乎单群。

3. 定理1.1的证明

设 $\Gamma$ 是 $\left(G,s\right)$ -弧传递图， $v\in V\Gamma$， $\left|V\Gamma \right|=n$，其中 $G\le Aut\left(\Gamma \right)$， $s\ge 2$，n是奇数。设r为正整数，我们用 $r_2$ 表示r的2-幂部分，例如 ${\left|G\right|}_2$ 即为G的Sylow 2-子群的阶。

引理2.10设T是有限非交换单群，S是T的一个Sylow 2-子群。如果 $\left|S\right|\le 16$，则见表2。

Table 2. On Sylow 2-subgroups of finite simple groups of order up to 24

表2. Sylow 2-子群阶不超过2⁴的有限单群

证明：根据有限单群分类定理，如果 $T=A_n$，则 $\left|T\right|=\frac{n!}{2}$。由 $\left|S\right|\le 16$ 可得 $5\le n\le 7$，即 $T=A_5$， $A_6$ 或 $A_7$。如果T是26个零散单群中的一个，由零散单群的阶 [12] 可知，满足条件的T只可能为 $M_{11}$ 或 $J_1$，且 ${\left|M_{11}\right|}_2=16$， ${\left|J_1\right|}_2=8$。接下来考虑Lie型单群系列。由 [12] 比较阶可知，除 $PSL\left(d,q\right)$， $PSU\left(d,q\right)$ 和 $R\left(3^{2m+1}\right)$ 外，其余的几种Lie型单群系列的Sylow 2-子群的阶均大于16。如果 $T=PSL\left(d,q\right)$，则

$\left|T\right|=\frac{1}{\left(d,q-1\right)}{q}^{\frac{d\left(d-1\right)}{2}}\left(q^d-1\right)\left(q^{d-1}-1\right)\cdots \left(q^2-1\right)$.

若 $q=2^e$ 是偶数，则 $2\le \frac{ed\left(d-1\right)}{2}\le 4$，即 $ed\left(d-1\right)=4$，6或8，于是 $d=2,e=1,2,3$ 或 $d=3,e=1$。若q是奇数，设 $d\ge 3$ 是奇数，则 $\left|\left(q^d-1\right)\left(q^{d-1}-1\right)\cdots \left(q^2-1\right)\right|\ge 2^4$，当且仅当 $d=3$ 时等号成立，即此时 $T=PSL\left(3,q\right)$ ；设d是偶数，当 $d\ge 4$ 时， ${\left|\frac{\left(q^d-1\right)\left(q^{d-1}-1\right)\cdots \left(q^2-1\right)}{\left(d,q-1\right)}\right|}_2\ge 2^6$，不满足条件，则 $d=2$，即 $T=PSL\left(2,q\right)$。如果 $T\cong PSU\left(d,q\right)$，则

$\left|T\right|=\frac{1}{\left(d,q+1\right)}{q}^{\frac{d\left(d-1\right)}{2}}\left(q^d-{\left(-1\right)}^d\right)\left(q^{d-1}-{\left(-1\right)}^{d-1}\right)\cdots \left(q^2-1\right)$,

类似的， $d=3$，即 $T=PSU\left(3,q\right)$。如果 $T=R\left(3^{2m+1}\right)$，则 $\left|T\right|=q^3\left(q^3+1\right)\left(q-1\right)$。由于 $3^{4m+2}\equiv 1\left(\mathrm{mod}8\right)$，则 ${\left|T\right|}_2=2^3$。

定理1.1的证明：

因为 $\left|V\Gamma \right|=n$，n是奇数，故G在 $V\Gamma$ 上只能是拟本原的。由引理2.9知， $s=2$ 或3，且G是几乎单群。设 $soc\left(G\right)=T$，其中T是非交换单群，则 $\Gamma$ 是T-弧传递的，且 $G=T.o$， $o\le Out\left(T\right)$。由推论2.2和 $\left|G:G_v\right|=n$ 可得 ${\left|G\right|}_2=4$，8或16，则 ${\left|T\right|}_2=4$，8或16。由引理2.10，T见表2。

如果 $T=A_7$， $Out\left(T\right)={\mathbb{Z}}_2$，则 $G\cong T.o\cong A_7$ 或者 $S_7$， $o\le Out\left(T\right)$。由于 $\left|G:G_v\right|=n$，则 $\left(G,G_v\right)$ 有下列3种情形： $\left(A_7,S_4\right)$， $\left(A_7,{\mathbb{Z}}_3:S_4\right)$ 或 $\left(S_7,S_3\times S_4\right)$。由例2.7， $\Gamma =O_3$。

如果 $T=J_1$， $Out\left(T\right)=1$，则 $G\cong J_1$，且G的Sylow 2-子群同构于 ${\mathbb{Z}}_2^3$。由引理2.1，此时 $G_v\cong S_4$ 或 ${\mathbb{Z}}_3:S_4$，而 $G_v$ 的Sylow 2-子群同构于 $D_8$，矛盾。

如果 $T=M_{11}$， $Out\left(T\right)=1$，则 $G\cong M_{11}$，且G的Sylow 2-子群同构于 $S{D}_{16}$。由引理2.1，此时 $G_v\cong S_3\times S_4$，且 $G_v$ 的Sylow 2-子群同构于 $D_8\times {\mathbb{Z}}_2$，矛盾。

如果 $T=PSL\left(2,8\right)$， $Out\left(T\right)={\mathbb{Z}}_3$，则 $G\cong T.o\cong PSL\left(2,8\right)$ 或 $P\Gamma L\left(2,8\right)$， $o\le Out\left(T\right)$。并且G的Sylow 2-子群同构于 ${\mathbb{Z}}_2^3$。由引理2.1，此时 $G_v\cong S_4$ 或 ${\mathbb{Z}}_3:S_4$，而 $G_v$ 的Sylow 2-子群同构于 $D_8$，矛盾。

如果 $T=PSL\left(2,16\right)$， $Out\left(T\right)={\mathbb{Z}}_4$，则 $G\cong T.o$，其中 $o\le Out\left(T\right)$。若 $G\cong T.{\mathbb{Z}}_2$ 或 $T.{\mathbb{Z}}_4$， ${\left|G\right|}_2\ge 2^5$，矛盾，故 $G\cong PSL\left(2,16\right)$，且G的Sylow 2-子群同构于 ${\mathbb{Z}}_2^4$。由引理2.1，此时 $G_v\cong S_3\times S_4$，且 $G_v$ 的Sylow 2-子群同构于 $D_8\times {\mathbb{Z}}_2$，矛盾。

如果 $T=R\left(3^{2m+1}\right)$ 或 $PSL\left(2,q\right)$，其中 $m\ge 1$，q是奇数，此时 $\Gamma$ 见例2.5。特别地，当 $q=5$ 时， $T\cong A_5$， $Out\left(T\right)={\mathbb{Z}}_2$，则 $G\cong T.o\cong A_5$ 或 $S_5$， $o\le Out\left(T\right)$。由 $\left|G:G_v\right|=n$，可知 $\left(G,G_v\right)=\left(A_5,A_4\right)$ 或 $\left(S_5,S_4\right)$。由例2.6， $\Gamma =K_5$。

如果 $T=PSL\left(3,q\right)$， $q=p^f$ 是奇数， $Out\left(T\right)\cong {\mathbb{Z}}_{\left(3,q-1\right)}.{\mathbb{Z}}_f.{\mathbb{Z}}_2$，则 $G\cong T.o$， $o\le Out\left(T\right)$。但因为 ${\left|G\right|}_2\le 2^4$，故 $o\le {\mathbb{Z}}_{\left(3,q-1\right)}.{\mathbb{Z}}_f$，且f为奇数，于是G的Sylow 2-子群同构于 $S{D}_{16}$。而由引理2.1知此时 $G_v\cong S_3\times S_4$，且 $G_v$ 的Sylow 2-子群同构于 $D_8\times {\mathbb{Z}}_2$，矛盾。类似地，如果 $T=PSU\left(3,q\right)$，也是不可能的。

基金项目

云南省科技厅应用基础研究项目(2019FD16)资助。