模糊线性系统中关联矩阵的DMP逆和BT逆的分块表示

A Block Representation Involving the DMP Inverse and BT Inverse of the Associated Matrix in Fuzzy Linear System

摘要: 模糊线性系统(FLS)是指系数矩阵A是一个实矩阵，右端向量_Y^~是一个给定的模糊数向量的线性系统A_X^~=_Y^~。为了便于求解模糊线性系统，可以利用嵌入方法将A_X^~=_Y^~转换为2n×2n清晰线性系统SX=Y。基于已有的模糊线性系统理论，研究了模糊线性系统中关联矩阵S的DMP逆与BT逆的分块表示。

Abstract: A linear system A_X^~=_Y^~, where the coefficient matrix A is a real matrix, the right-hand side vector _Y^~ given fuzzy number vector is called a fuzzy linear system (FLS). In order to solve fuzzy linear system, n × n fuzzy linear system can be transformed into the 2n × 2n crisp linear system by the embedded method. Based on the existing theories about the fuzzy linear system, a block representation involving the DMP inverse and BT inverse of the associated matrix S was investigated and studied.

1. 引言

模糊线性系统最早由Friedman [1] 等人在1998年提出，后来模糊线性系统的求解问题备受关注，很多学者加入到模糊线性系统的求解问题中。随着广义逆的发展，继而出现了利用Moore-Penrose逆、Group逆、Drazin逆、core逆等广义逆求解模糊线性系统的方案。

2015年Nikuie M和Ahmad M Z在 [2] 中提出了利用加权Drazin逆求解奇异模糊线性系统的方法。在2018年，Mihailovic B等人在 [3] 中首次将广义逆矩阵的分块表示和模糊线性系统相结合，运用了Moore-Penrose逆的分块表示对模糊线性系统进行求解，继而在 [4] 中给出了利用Group逆的分块表示求解模糊线性系统的算法，这为模糊线性系统的求解问题提供了一个全新的思路。2020年，Jiang H等人在 [5] 中将模糊线性系统的求解进一步推广到利用core逆的分块表示进行求解。是否可以研究关联矩阵的其他广义逆，这值得我们思考。

2010年Baksalary O M和Trenkler G在 [6] 中给出core逆的概念。而core逆只存在指标为1的方阵中，针对于这一局限性，2014年Baksalary O M和Trenkler G在 [7] 中提出了广义core逆(简记为BT逆)，同年Malik S B和Thome N在 [8] 中给出了DMP逆的定义。作为core逆的一种拓展，DMP逆和BT逆存在于任意指标k的方阵中。因此受 [5] 的启发，是否可以利用DMP逆和BT逆的分块表示求解模糊线性系统，这一问题十分值得思考和探究。

2. 已有结论及相关准备

2.1. 模糊线性系统

定义1.1 [1] 对于一个有序数对： $\tilde{z}=\left(\underset{\_}{z}\left(r\right),\bar{z}\left(r\right)\right)$， $r\in \left[0,1\right]$，若满足下面三个条件：

1) $\underset{\_}{z}\left(r\right)$ 在 $\left[0,1\right]$ 上是一个有界左连续不降，

2) $\bar{z}\left(r\right)$ 在 $\left[0,1\right]$ 上是一个有界左连续不增，

3) $\underset{\_}{z}\left(r\right)<\bar{z}\left(r\right)$， $r\in \left[0,1\right]$，

则称 $\tilde{z}$ 为一模糊数。

定义1.2 [1] 对于 $n\times n$ 的模糊矩阵方程 $A\tilde{X}\left(r\right)=\tilde{Y}\left(r\right)$ ：

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}& \begin{array}{cc}\cdots & a_{1n}\\ \cdots & a_{2n}\end{array}\\ \begin{array}{cc}⋮& ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}\end{array}& \begin{array}{cc}\ddots & ⋮\\ \cdots & a_{nn}\end{array}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\tilde{x}}_1\left(r\right)\\ {\tilde{x}}_2\left(r\right)\\ ⋮\end{array}\\ {\tilde{x}}_n\left(r\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\begin{array}{c}{\tilde{y}}_1\left(r\right)\\ {\tilde{y}}_2\left(r\right)\\ ⋮\end{array}\\ {\tilde{y}}_n\left(r\right)\end{array}\right]$，

此处 $A=\left(a_{ij}\right)$ 为一实数矩阵， ${\tilde{x}}_i\left(r\right)$ 和 ${\tilde{y}}_i\left(r\right)$ 均为模糊数， $i,j\in \left[0,1\right]$，称为模糊线性系统(FLS)。

定义1.3 [1] 若模糊数向量 $\tilde{X}\left(r\right)={\left[{\tilde{x}}_1\left(r\right),{\tilde{x}}_2\left(r\right),\cdots ,{\tilde{x}}_i\left(r\right)\right]}^{\text{T}}$，其中

${\tilde{x}}_i\left(r\right)=\left({\underset{\_}{x}}_i\left(r\right),{\bar{x}}_j\left(r\right)\right)$， $i=1,\cdots ,n$， $r\in \left[0,1\right]$，

满足

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{\bar{x}}_j\left(r\right)}={\bar{y}}_j\left(r\right)\\ {\displaystyle {\sum }_{j=1}^n{a}_{ij}{\underset{\_}{x}}_j\left(r\right)}={\underset{\_}{y}}_i\left(r\right)\end{array}$， $i=1,\cdots ,n$

则称该模糊数向量 $\tilde{X}\left(r\right)$ 为FLS的一个解。

根据 [1] 可知，模糊线性系统 $A\tilde{X}\left(r\right)=\tilde{Y}\left(r\right)$ 的解可以通过求解下面的清晰线性系统：

$SX\left(r\right)=Y\left(r\right)$， $r\in \left[0,1\right]$，

即

$\left[\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}{s}_{11}& s_{12}\\ s_{21}& s_{22}\end{array}& \begin{array}{cc}\cdots & s_{1n}\\ \cdots & s_{2n}\end{array}\\ \begin{array}{cc}⋮& ⋮\\ s_{n1}& s_{n2}\end{array}& \begin{array}{cc}\ddots & ⋮\\ \cdots & s_{nn}\end{array}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\underset{\_}{x}}_1\left(r\right)\\ ⋮\\ {\underset{\_}{x}}_n\left(r\right)\\ -{\bar{x}}_1\left(r\right)\\ ⋮\\ -{\bar{x}}_n\left(r\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\underset{\_}{y}}_1\left(r\right)\\ ⋮\\ {\underset{\_}{y}}_n\left(r\right)\\ -{\bar{y}}_1\left(r\right)\\ ⋮\\ -{\bar{y}}_n\left(r\right)\end{array}\right]$，

此处 $s_{ij}$ 定义如下：

当 $a_{ij}\ge 0$ 时， $s_{ij}=a_{ij}$， $s_{i+n,j+n}=a_{ij}$ ；

当 $a_{ij}<0$ 时， $s_{i,j+n}=-a_{ij}$， $s_{i+n,j}=-a_{ij}$ ；

其他未注明元素均为0。

由上述可知，矩阵 的分块表示为：

$S=\left[\begin{array}{cc}D& E\\ E& D\end{array}\right]$， (1)

其中，D与E均为 $n\times n$ 阶方阵， $D=\left[a_{ij}^{+}\right]$， $E=\left[a_{ij}^{-}\right]$， $a_{ij}^{+}=a_{ij}\vee 0$， $a_{ij}^{-}=-a_{ij}\vee 0$。

此时，我们称矩阵S为矩阵A的关联矩阵。

2.2. DMP逆和BT逆

这一节中，我们的主要目的是介绍一下DMP逆和BT逆的定义。首先，先介绍一些常见的广义逆的定义以及相关的概念。我们用 $S^{\diamond }$ 表示所有 $m\times n$ 复矩阵的集合， $A^{*}$ 表示矩阵A的共轭转置。 $Ind\left(A\right)=k$ 表示矩阵A的指标为k，即对于矩阵 $A\in {ℂ}_n^n$，满足 $rank\left(A^k\right)=rank\left(A^{k+1}\right)$ 的最小正整数为k。

定义2.1 给定矩阵 $A\in {ℂ}_n^n$， $Ind\left(A\right)=k$。

(I) [9] 矩阵X为A的Moore-Penrose逆，记为 $X=A^{+}$，当且仅当X满足下列方程：

(1) $AXA=A$，(2) $XAX=X$，(3) ${\left(AX\right)}^{*}=AX$，(4) ${\left(XA\right)}^{*}=XA$。

(II) [10] 矩阵X为A的Drazin逆，记为 $X=A^D$，当且仅当X满足下列方程：

(1^k) $X{A}^{k+1}=A^k$，(2) $XAX=X$，(5) $AX=XA$。

(III) [8] 矩阵X为A的DMP逆，记为 $X=A^{D,+}$，当且仅当X满足下列方程：

$XAX=X$， $XA=A^{D}A$ 以及 $A^{k}X=A^k{A}^{+}$。

另外，我们可以知道 $A^{D,+}=A^{D}A{A}^{+}$。

(IV) [7] 矩阵 $A^{\diamond }$ 为A的广义核逆(简记为BT逆)，当且仅当

$A^{\diamond }={\left(A{P}_A\right)}^{+}$，

其中 $P_A=A{A}^{+}$ 表示矩阵A的投影矩阵。

3. 关联矩阵S的DMP逆和BT逆的分块表示

在这一节，我们将给出本文的主要结果即模糊线性系统中关联矩阵S的DMP逆 $S^{D,+}$ 以及BT逆 $S^{\diamond }$ 的分块表示，这对模糊线性系统的求解问题有一定的意义。假设关联矩阵S的分块表示为 $S=\left[\begin{array}{cc}D& E\\ E& D\end{array}\right]$，其中 $D,E\in {ℝ}^{n\times n}$。

引理2.1 [3] 关联矩阵S的Moore-Penrose逆 $S^{+}$ 的分块表示如下：

$S^{+}=\left[\begin{array}{cc}H& Z\\ Z& H\end{array}\right]$，

当且仅当 $H=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{+}+{\left(D-E\right)}^{+}\right]$， $Z=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{+}-{\left(D-E\right)}^{+}\right]$。

引理2.2 [4] 关联矩阵S的Drazin逆 $S^D$ 的分块表示如下：

$S^D=\left[\begin{array}{cc}H& Z\\ Z& H\end{array}\right]$，

当且仅当 $H=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^D+{\left(D-E\right)}^D\right]$， $Z=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^D-{\left(D-E\right)}^D\right]$。

受上述引理的启发我们研究关联矩阵S的DMP逆的分块表示，结果在定理2.3中给出。

定理2.3关联矩阵S的DMP逆 $S^{D,+}$ 的分块表示如下：

$S^{D,+}=\left[\begin{array}{cc}H& Z\\ Z& H\end{array}\right]$，

当且仅当 $H=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{D,+}+{\left(D-E\right)}^{D,+}\right]$， $Z=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{D,+}-{\left(D-E\right)}^{D,+}\right]$。

证明：由公式(1)、引理2.1和引理2.2可知，我们可以知道矩阵S、 $S^D$ 、 $S^{+}$ 分块表示为

$S=\left[\begin{array}{cc}D& E\\ E& D\end{array}\right]$， $S^D=\left[\begin{array}{cc}H& Z\\ Z& H\end{array}\right]$， $S^{+}=\left[\begin{array}{cc}M& N\\ N& M\end{array}\right]$，

当且仅当

$H=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^D+{\left(D-E\right)}^D\right]$， $Z=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^D-{\left(D-E\right)}^D\right]$。

$M=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{+}+{\left(D-E\right)}^{+}\right]$， $N=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{+}-{\left(D-E\right)}^{+}\right]$。

所以，我们可以得到

$S^{D,+}=S^{D}S{S}^{+}=\left[\begin{array}{cc}H& Z\\ Z& H\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}D& E\\ E& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}M& N\\ N& M\end{array}\right]$。

计算得，

$S^{D,+}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{D,+}+{\left(D-E\right)}^{D,+}\right]& \frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{D,+}-{\left(D-E\right)}^{D,+}\right]\\ \frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{D,+}-{\left(D-E\right)}^{D,+}\right]& \frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{D,+}+{\left(D-E\right)}^{D,+}\right]\end{array}\right]$，

定理得证。

类似的，我们也可以得到关联矩阵S的BT逆的分块表示，如定理3.4所示。

定理2.4 关联矩阵S的BT逆 $S^{\diamond }$ 的分块表示如下：

$S^{\diamond }=\left[\begin{array}{cc}H& Z\\ Z& H\end{array}\right]$，

当且仅当 $H=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{\diamond }+{\left(D-E\right)}^{\diamond }\right]$， $Z=\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{\diamond }-{\left(D-E\right)}^{\diamond }\right]$。

证明：由矩阵的BT逆的定义可知， $S^{\diamond }={\left(S{P}_S\right)}^{+}={\left(SS{S}^{+}\right)}^{+}$。

因为 $S=\left[\begin{array}{cc}D& E\\ E& D\end{array}\right]$，可得

$S^{\diamond }=\left[\begin{array}{cc}H& Z\\ Z& H\end{array}\right]={\left[\left[\begin{array}{cc}D& E\\ E& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}D& E\\ E& D\end{array}\right]{\left[\begin{array}{cc}D& E\\ E& D\end{array}\right]}^{+}\right]}^{+}:={\left[\begin{array}{cc}B& C\\ C& B\end{array}\right]}^{+}$，

其中，

$B=\frac{1}{2}\left(D+E\right)\left(D+E\right){\left(D+E\right)}^{+}+\frac{1}{2}\left(D-E\right)\left(D-E\right){\left(D-E\right)}^{+}$，

$C=\frac{1}{2}\left(D+E\right)\left(D+E\right){\left(D+E\right)}^{+}-\frac{1}{2}\left(D-E\right)\left(D-E\right){\left(D-E\right)}^{+}$。

因此， $B+C=\left(D+E\right)\left(D+E\right){\left(D+E\right)}^{+}$， $B-C=\left(D-E\right)\left(D-E\right){\left(D-E\right)}^{+}$。

根据引理2.1可知，

$\left[\begin{array}{cc}H& Z\\ Z& H\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}B& C\\ C& B\end{array}\right]}^{+}=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\left[{\left(B+C\right)}^{+}+{\left(B-C\right)}^{+}\right]& \frac{1}{2}\left[{\left(B+C\right)}^{+}-{\left(B-C\right)}^{+}\right]\\ \frac{1}{2}\left[{\left(B+C\right)}^{+}-{\left(B-C\right)}^{+}\right]& \frac{1}{2}\left[{\left(B+C\right)}^{+}+{\left(B-C\right)}^{+}\right]\end{array}\right]$。

所以，

$\left[\begin{array}{cc}H& Z\\ Z& H\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{\diamond }+{\left(D-E\right)}^{\diamond }\right]& \frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{\diamond }-{\left(D-E\right)}^{\diamond }\right]\\ \frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{\diamond }-{\left(D-E\right)}^{\diamond }\right]& \frac{1}{2}\left[{\left(D+E\right)}^{\diamond }+{\left(D-E\right)}^{\diamond }\right]\end{array}\right]$，

定理得证。

4. 结语

已经得到了模糊线性系统 $A\tilde{X}=\tilde{Y}$ 中系数矩阵A的关联矩阵S的DMP逆 $S^{D,+}$ 与BT逆 $S^{\diamond }$ 的分块表示，我们希望这个结果能为求解模糊线性系统提供一个新的思路。如何分别用 $S^{D,+}$ 和 $S^{\diamond }$ 的分块表示来求解模糊线性系统，这是下一步要研究的课题。