广义Riccati方程统一的带多参量的有理指数函数解

A Uniform Rational-Exponent Function Solution with Multi-Parameters for the Generalized Riccati Equation

摘要: 一个广义Riccati方程的带有多参数的万能有理指数函数解被获得，这个解不仅包含Riccati方程已知的各种类型的双曲函数解、三角函数解和q变形函数解，而且还包含大量有理指数函数解。我们用一个统一的有理指数函数解将Riccati方程所有类型的解统一起来。

Abstract: We derive a universal rational-exponent function solution with multi parameters, which contains not only well-known hyperbolic function solutions, trigonometric function solutions and q-deformation function solutions, but also new rational-exponent function solutions for the generalized Riccati equation. Based on this uniform rational-exponent solution, we unite all kinds of solutions for Riccati equation.

1. 引言

许多数学、物理、化学和工程技术上的问题是用非线性偏微分方程来描述的。而它们的解能解释各种非线性现象。各种求解非线性偏微分方程的方法被提岀，如Hirota法 [1] [2]、Darboux变换法 [3] [4] 等。有一类方法，如扩展的tanh-函数法 [5]、改良的扩展tanh-函数法 [6]、Riccati方程有理数展开法 [7]、改进的tanh-函数法 [8] [9]、Riccati映射法 [10] [11] [12]、进一步扩展的tanh-函数法 [13]、多Riccati方程有理数展开法 [14] [15]、进一步扩展的Riccati方程有理数展开法 [16]、有理函数法 [17] [18] 和多Riccati方程有理指数函数法 [19] [20] 等都是基于Riccati方程及其解来构造非线性偏微分方程的解，如果Riccati方程的解丰富，得到的非线性偏微分方程的解也越丰富。

Riccati方程被写成

$\frac{\text{d}\varphi \left(\eta \right)}{\text{d}\eta }-q-p{\varphi }^2\left(\eta \right)=0.$ (1)

文献 [5] - [16] 中，根据方程(1)中的p、q值的不同，给出了17种不同的双曲函数、三角函数和q变形函数解。文献 [17] [18] [19] [20] 中，给出了方程(1)的一个有理指数函数解，发现从这个有理指数函数解出发，通过一定的变换法则，可以导出文献 [5] - [16] 给出的17种不同的双曲函数、三角函数和q变形函数解，揭示出方程(1)的各种双曲函数、三角函数和q变形函数解有可能用有理指数函数解的形式统一起来。由于其中有些双曲函数解、三角函数解和q变形函数解，无法从文献 [17] [18] [19] [20] 给出有理指数函数解中直接得出，需要遵循一定的变换规则才能得到，因而，文献 [17] [18] [19] [20] 给出有理指数函数解还不完善。

本论文对文献 [17] [18] [19] [20] 给出的方程(1)的有理指数函数解进行推广，得到一个带多参数的更加一般的有理指数函数解，通过设定不同的参数值，直接能导出17种不同的双曲函数、三角函数和q变形函数解，而且还包含了不能用双曲函数、三角函数和q变形函数表示，无限多个有理指数函数解。将方程(1)的各种形式解用统一的有理指数函数解表达出来。

2. Riccati方程统一的有理指数函数解

文献 [17] 给出了方程(1)的有理指数函数解：

当 $p=-\frac{b_1}{2a_1},q=\frac{a_1}{2b_1}$，

$\varphi \left(\eta \right)=\frac{a_1\left(a_1{\text{e}}^{\eta }+a_{-1}\right)}{b_1\left(a_1{\text{e}}^{\eta }-a_{-1}\right)},$ (2)

其中 $a_1,a_{-1},b_1$ 为任意常数。

方程(2)中的仅限于 ${\text{e}}^{\eta }$ 的指数函数，若对方程(2)中 ${\text{e}}^{\eta }$ 的作 ${\text{e}}^{k\eta },k\ne 1$ 变换，得到的有理指数函数表达式并非方程(1)的解。为了能得到方程(1)的关于 ${\text{e}}^{k\eta },k\ne 0$ 的有理指数函数解。令 $\varphi \left(\eta \right)=\varphi \left(k\eta \right),k\ne 0$，方程(1)变成：

$k\frac{\text{d}\varphi \left(k\eta \right)}{\text{d}\left(k\eta \right)}-q-p{\varphi }^2\left(k\eta \right)=0,$ (3)

其中 $\frac{\text{d}\varphi \left(k\eta \right)}{\text{d}\eta }=k\frac{\text{d}\varphi \left(k\eta \right)}{\text{d}\left(k\eta \right)}$。

化简方程(3)可得

$\frac{\text{d}\varphi \left(k\eta \right)}{\text{d}\left(k\eta \right)}-\frac{q}{k}-\frac{p}{k}{\varphi }^2\left(k\eta \right)=0.$ (4)

比较方程(1)和方程(4)可知，方程(4)是对方程(1)作 $\eta =k\eta ,q=\frac{q}{k},p=\frac{p}{k}$ 变换得到。显然，对方程(1)的解方程(2)作 $\eta =k\eta ,q=\frac{q}{k},p=\frac{p}{k}$ 变换可得方程(4)的解，它是

$\varphi \left(k\eta \right)=\frac{a_1\left(a_1{\text{e}}^{k\eta }+a_{-1}\right)}{b_1\left(a_1{\text{e}}^{k\eta }-a_{-1}\right)},$ (5)

其中 $\frac{p}{k}=-\frac{b_1}{2a_1},\frac{q}{k}=\frac{a_1}{2b_1}$， $a_1,a_{-1},b_1,k$ 是不为零的任意常数。

化简方程(5)，得

$\varphi \left(k\eta \right)=\frac{2q}{k}\frac{{\text{e}}^{k\eta }+c_1}{{\text{e}}^{k\eta }-c_1},$ (6)

其中 $pq=-\frac{k^2}{4},c_1=\frac{a_{-1}}{a_1}$ 为任意常数。

方程(6)是方程(4)的有理指数函数解，而方程(4)能改成

$k\frac{\text{d}\varphi \left(k\eta \right)}{\text{d}\left(k\eta \right)}-q-p{\varphi }^2\left(k\eta \right)=\frac{\text{d}\varphi \left(k\eta \right)}{\text{d}\eta }-q-p{\varphi }^2\left(k\eta \right)=0.$ (7)

方程(7)正是对方程(1)作 $\varphi \left(\eta \right)=\varphi \left(k\eta \right)$ 变换得到的方程。所以方程(6)正是方程(1)的关于 ${\text{e}}^{k\eta },k\ne 0$ 的有理指数函数解。

3. Riccati方程有理指数函数解与已知的双曲函数、三角函数解之间的关系

由于方程(6)中参数 $c_1,q,p,k$ 可以是任意常数，取不同数值可以得到不同有理指数函数解，即Riccati方程(1)有无穷多的有理指数函数解。对 $c_1,q,p,k$ 取一些特殊的数值，可以得到文献 [5] - [20] 给出的各类双曲函数、三角函数、q变形函数解和有理指数函数解。

1) 令 $k=2,c_1=\mp q,qp=-1$，方程(6)变成

$\varphi \left(\eta \right)=q\frac{{\text{e}}^{2\eta }-q}{{\text{e}}^{2\eta }+q}=q\frac{{\text{e}}^{\eta }-q{\text{e}}^{-\eta }}{{\text{e}}^{\eta }+q{\text{e}}^{-\eta }}=q{\tanh }_q\left(\eta \right),$ (8)

$\varphi \left(\eta \right)=q\frac{{\text{e}}^{2\eta }+q}{{\text{e}}^{2\eta }-q}=q\frac{{\text{e}}^{\eta }+q{\text{e}}^{-\eta }}{{\text{e}}^{\eta }-q{\text{e}}^{-\eta }}=q{\coth }_q\left(\eta \right).$ (9)

2) 令 $k=2\text{i},c_1=\mp q,qp=1,{\text{i}}^2=1$，方程(6)变成

$\varphi \left(\eta \right)=\frac{{\text{e}}^{2\text{i}\eta }-q}{\text{i}\left({\text{e}}^{2\text{i}\eta }+q\right)}=\frac{{\text{e}}^{\text{i}\eta }-q{\text{e}}^{-\text{i}\eta }}{\text{i}\left({\text{e}}^{\text{i}\eta }+q{\text{e}}^{-\text{i}\eta }\right)}=q{\tan }_q\left(\eta \right),$ (10)

$\varphi \left(\eta \right)=\frac{\text{i}\left({\text{e}}^{2\text{i}\eta }+q\right)}{{\text{e}}^{2\text{i}\eta }-q}=\frac{\text{i}\left({\text{e}}^{\text{i}\eta }+q{\text{e}}^{-\text{i}\eta }\right)}{{\text{e}}^{\text{i}\eta }-q{\text{e}}^{-\text{i}\eta }}=q{\cot }_q\left(\eta \right).$ (11)

3) 令 $k=1,c_1=\text{i}\sqrt{q},qp=-\frac{1}{4}$，方程(6)变成

$\varphi \left(\eta \right)=2q\frac{{\text{e}}^{\eta }+\text{i}\sqrt{q}}{{\text{e}}^{\eta }-\text{i}\sqrt{q}}=2q\left({\tanh }_q\left(\eta \right)+\text{i}\sqrt{q}{\text{sech}}_q\left(\eta \right)\right).$ (12)

方程(6)~(12)正是文献 [13] 给出的Riccati方程(1)的q变形三角函数和q变形双曲函数解。

4) 令 $k=1,c_1=\pm \text{i},q=\frac{1}{2},p=-\frac{1}{2}$，方程(6)变成

$\varphi \left(\eta \right)=\frac{{\text{e}}^{\eta }\pm \text{i}}{{\text{e}}^{\eta }\mp \text{i}}=\text{tanh}\left(\eta \right)\pm \text{i}\text{sech}\left(\eta \right),$ (13)

$\varphi \left(\eta \right)=\frac{{\text{e}}^{\eta }\pm \text{i}}{{\text{e}}^{\eta }\mp \text{i}}=\text{coth}\left(\eta \right)\pm \text{csch}\left(\eta \right).$ (14)

方程(13)与方程(14)是等价的。

5) 令 $k=\text{i},c_1=\mp \text{i},q=p=\pm \frac{1}{2}$，方程(6)变成

$\varphi \left(\eta \right)=\mp \text{i}\frac{{\text{e}}^{\text{i}\eta }\mp \text{i}}{{\text{e}}^{\text{i}\eta }\pm \text{i}}=\mp \left(\text{sec}\left(\eta \right)\pm \text{tan}\left(\eta \right)\right).$ (15)

6) 令 $k=\text{i},c_1=\pm 1,q=p=\pm \frac{1}{2}$，方程(6)变成

$\varphi \left(\eta \right)=\pm \text{i}\frac{{\text{e}}^{\text{i}\eta }\pm 1}{{\text{e}}^{\text{i}\eta }\mp 1}=\pm \left(\text{csc}\left(\eta \right)\pm \text{cot}\left(\eta \right)\right).$ (16)

7) 令 $k=2,c_1=\mp 1,q=1,p=-1$，方程(6)变成

$\varphi \left(\eta \right)=\frac{{\text{e}}^{2\eta }-1}{{\text{e}}^{2\eta }+1}=\text{tanh}\left(\eta \right),$ (17)

$\varphi \left(\eta \right)=\frac{{\text{e}}^{2\eta }+1}{{\text{e}}^{2\eta }-1}=\text{coth}\left(\eta \right).$ (18)

8) 令 $k=2,c_1=\mp 1,q=1,p=-1$，方程(6)变成

$\varphi \left(\eta \right)=-\text{i}\frac{{\text{e}}^{2\text{i}\eta }-1}{{\text{e}}^{2\text{i}\eta }+1}=\text{tan}\left(\eta \right).$ (19)

9) 令 $k=2\text{i},c_1=1,q=p=-1$，方程(6)变成

$\varphi \left(\eta \right)=\text{i}\frac{{\text{e}}^{2\text{i}\eta }+1}{{\text{e}}^{2\text{i}\eta }-1}=\text{cot}\left(\eta \right).$ (20)

方程(13)~(20)正是文献 [7] 给出的Riccati方程(6)各类双曲函数和三角函数解。

10) 令 $q<0,k=2\sqrt{-q},c_1=\mp 1,p=1$，方程(6)变成

$\varphi \left(\eta \right)=\frac{-\sqrt{-q}\left({\text{e}}^{2\sqrt{-q}\eta }-1\right)}{{\text{e}}^{2\sqrt{-q}\eta }+1}=-\sqrt{-q}\tanh \left(\sqrt{-q}\eta \right),$ (21)

$\varphi \left(\eta \right)=\frac{-\sqrt{-q}\left({\text{e}}^{2\sqrt{-q}\eta }+1\right)}{{\text{e}}^{2\sqrt{-q}\eta }-1}=-\sqrt{-q}\coth \left(\sqrt{-q}\eta \right).$ (22)

11) 令 $q>0,k=2\text{i}\sqrt{q},c_1=\mp 1,p=1$，方程(6)变成

$\varphi \left(\eta \right)=\frac{-\text{i}\sqrt{q}\left({\text{e}}^{2\text{i}\sqrt{q}\eta }-1\right)}{{\text{e}}^{2\text{i}\sqrt{q}\eta }+1}=\sqrt{q}\tan \left(\sqrt{q}\eta \right),$ (23)

$\varphi \left(\eta \right)=\frac{-\text{i}\sqrt{q}\left({\text{e}}^{2\text{i}\sqrt{q}\eta }+1\right)}{{\text{e}}^{2\text{i}\sqrt{q}\eta }-1}=-\sqrt{q}\cot \left(\sqrt{q}\eta \right).$ (24)

方程(21)~(24)正是文献 [5] 给出的Riccati方程(1)的各类双曲函数、三角函数解。

12) 令 $k=1,c_1=\frac{a_{-1}}{a_1},p=-\frac{b_1}{2a_1},q=\frac{a_1}{2b_1}$，方程(6)变成方程(2)，正是文献 [17] 的结果。

4. 结论

从上述分析可得，文献 [5] - [20] 各类双曲函数解、三角函数解、q变形三角函数解和q变形双曲函数解都是方程(6)的特解，同时方程(6)中参数 $k,c_1,q,p$ 还可取其它的任意值，得到Riccati方程(1)无限多的不同有理指数函数解。所以方程(6)是Riccati方程(1)统一的广义解析解。

借助Riccati方程(1)统一的广义解析解方程(6)，结合文献 [5] - [20] 的方法，可以非常容易获得非线性系统大量有理指数函数解，通过对这些新的解析解的研究，有助我们解决工程中碰到的一些技术问题，帮助我们解决科学上的一些新问题。

致谢

这项工作获得丽水市重点研发计划项目(项目号：2019ZDYF5)资助。