θ-型Calderón-Zygmund算子与Lipschitz函数生成的交换子的有界性

Boundedness of Commutators with θ-Type Calderón-Zygmund Operators and Lipschitz Function

摘要: 本文研究了θ-型Calderón-Zygmund算子与Lipschitz函数b∈_Λγ^·(Rⁿ)生成的交换子，当θ满足一类Dini条件时，证明了交换子在γ=β+n/p时是从Lebesgue空间L^p(Rⁿ)到Campanato空间C^p,β(Rⁿ)有界的。

Abstract: In this paper, we consider the boundedness of commutators with θ-type Calderón-Zygmund Operators and Lipschitz Function b∈_Λγ^·(Rⁿ). When θ satisfies a class of Dini type conditions, it is proved that commutators are bounded from Lebesgue spaces L^p(Rⁿ) to Campanato spaces C^p,β(Rⁿ) when γ=β+n/p.

1. 引言与结果

设T为经典Calderón-Zygmund算子，b为局部可积函数，把T与b生成的交换子定义为

$T_b\left(f\right)=bT\left(f\right)-T\left(bf\right)$. (1)

1976年，Coifman，Rochberg和Weiss [1] 证明了当 $b\in \text{BMO}\left({ℝ}^n\right)$ 时，交换子 $T_b$ 的 $L^p$ 有界性 $\left(1<p<\infty \right)$，并利用交换子的有界性给出了BMO空间的一种等价刻画。1995年，Pérez [2] 建立了交换子 $T_b$ 当 $p=1$ 时的 $L\log L$ 型的弱型估计。

1978年，Janson [3] 证明了当 $b\in {\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)$ 时交换子 $T_b$ 的 $\left(L^p,L^q\right)$ 有界性，其中 $1<p<\infty$， $0<\gamma <1$， $1/q=1/p-\gamma /n$。1995年，Paluszyński [4] 在 $b\in {\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)$ 时建立了交换子 $T_b$ 从Lebesgue空间到Triebel-Lizorkin空间的有界性，由此可以给出Lipschitz空间的等价刻画。2015年，Zhang，Shi，Huang [5] 证明了T与Lipschitz函数生成的交换子是从Lebesgue空间到Campanato空间的有界性。

另一方面，自20世纪50年代Calderón和Zygmund引入高维奇异积分算子以来， ${ℝ}^n$ 上的Calderón-Zygmund算子及其各种推广得到了广泛研究。1985年，Yabuta [6] 在研究Coifman和Meyer [7] 提出的一些伪微分算子时，引入了如下定义的 $\theta$ -型Calderón-Zygmund算子，并研究了这类算子在各种函数空间的加权有界性。

定义1.1 [6] 设 $\theta$ 是 $\left(0,\infty \right)$ 上的非负非减函数且 ${\displaystyle {\int }_0^1\theta \left(t\right)t^{-1}\text{d}t}<\infty$，称定义在 ${ℝ}^n\times {ℝ}^n\backslash \left\{\left(x,x\right):x\in {ℝ}^n\right\}$ 上的可测函数 $K\left(x,y\right)$ 是一个 $\theta$ -型核，如果

(i) $\left|K\left(x,y\right)\right|\le C{\left|x-y\right|}^{-n}$，当 $x\ne y$ 时；

(ii) 当 $2\left|x-z\right|<\left|x-y\right|$ 时

$\left|K\left(x,y\right)-K\left(z,y\right)\right|+\left|K\left(y,x\right)-K\left(y,z\right)\right|\le C{\left|x-y\right|}^{-n}\theta (\frac{\left|x-z\right|}{\left|x-y\right|})$.

称线性算子 $T:S\left({ℝ}^n\right)\to S^{\prime }\left({ℝ}^n\right)$ 是 $\theta$ -型Calderón-Zygmund算子，如果

(iii) T能扩张成从 $L^2\left({ℝ}^n\right)$ 到其自身的有界线性算子；

(iv) 存在一个 $\theta$ -型核 $K\left(x,y\right)$，使得对所有的 $f\in C_c^{\infty }\left({ℝ}^n\right)$，成立

$Tf\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}K\left(x,y\right)f\left(y\right)\text{d}y},\forall x\in {ℝ}^n\backslash \text{supp}f$，

其中 $C_c^{\infty }\left({ℝ}^n\right)$ 为 ${ℝ}^n$ 上具有紧支集的无穷次可微函数空间。

显然， $\theta$ -型Calderón-Zygmund算子是经典Calderón-Zygmund算子的推广，当 $\theta \left(t\right)=t^{\epsilon }\left(\epsilon >0\right)$ 时， $\theta$ -型Calderón-Zygmund算子就是经典Calderón-Zygmund算子。

以下总是用T表示 $\theta$ -型Calderón-Zygmund算子。设b是 ${ℝ}^n$ 上的局部可积函数，把T和b生成的交换子定义为

$T_b\left(f\right)=bT\left(f\right)-T\left(bf\right)$.

近二十几年来， $\theta$ -型Calderón-Zygmund算子的交换子也得到了深入研究。2002年，Liu和Lu [8] 建立了 $\theta$ -型Calderón-Zygmund算子与BMO函数生成的交换子的 $L\log L$ 型的弱型估计。2005年，张和徐 [9] 建立了 $\theta$ -型Calderón-Zygmund算子与BMO函数生成的高阶交换子的加权尖锐估计。

2006年，程和束 [10] 证明了当b为Lipschitz函数时交换子 $T_b$ 的 $\left(L^p,L^q\right)$ 有界性以及从Lebesgue空间到Triebel-Lizorkin空间的有界性。

受Zhang，Shi，Huang [5] 的启发，本文将研究 $\theta$ -型Calderón-Zygmund算子与Lipschitz函数生成的交换子从Lebesgue空间到Campanato空间的有界性。为叙述我们的定理，首先回忆几个定义。

以下我们约定，用B表示 ${ℝ}^n$ 中的球体， $B\left(x_0,r\right)$ 表示以 $x_0$ 为中心，以r为半径的球体。用 $\left|B\right|$ 表示球B的Lebesgue测度，对 ${ℝ}^n$ 上的局部可积函数f，记 $f_B=\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_{B}f\left(x\right)\text{d}x}$。

定义1.2 令 $0<\gamma <1$，如果存在一个常数 $C<\infty$，使得对于任意的 $x,y\in {ℝ}^n$，有

$\left|b\left(x\right)-b\left(y\right)\right|\le C{\left|x-y\right|}^{\gamma }$，(2)

称函数b属于Lipschitz空间 ${\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)$。将满足(2)式的最小常数C定义为b的模，并记为 ${\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}$。

定义1.3 设 $1\le p<\infty$， $-n/p\le \beta <1$，Campanato空间 $C^{p,\beta }\left({ℝ}^n\right)$ 定义为

$C^{p,\beta }\left({ℝ}^n\right)=\left\{f\in L_{loc}^p\left({ℝ}^n\right),{\Vert f\Vert }_{C^{p,\beta }\left({ℝ}^n\right)}<\infty \right\}$，

其中

${\Vert f\Vert }_{C^{p,\beta }\left({ℝ}^n\right)}:=\underset{B}{\sup }\frac{1}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|f\left(x\right)-f_B\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}$，

这里的上确界遍取 ${ℝ}^n$ 中的所有球体B。

本文的定理如下。

定理1.1 设T是 $\theta$ -型Calderón-Zygmund算子且 $\theta$ 满足 ${\displaystyle {\int }_0^1\theta \left(t\right)t^{-1}\text{d}t}<\infty$。设 $1<p<\infty$， $-n/p\le \beta <0$， $0<\gamma =\beta +n/p<\min \left\{1,n/p\right\}$。如果 $b\in {\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)$，则 $T_b$ 是从 $L^p\left({ℝ}^n\right)$ 到 $C^{p,\beta }\left({ℝ}^n\right)$ 有界的。即存在常数 $C>0$，使对任意的 $f\in L^p\left({ℝ}^n\right)$，有

${\Vert T_b\left(f\right)\Vert }_{C^{p,\beta }\left({ℝ}^n\right)}\le C{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}{\Vert f\Vert }_{L^p\left({ℝ}^n\right)}$.

2. 引理

为证明定理，我们需要下面的引理。

引理2.1 [4] 令 $1\le p\le \infty$， $0<\gamma <1$。那么有

${\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}\approx \underset{B}{\sup }\frac{1}{{\left|B\right|}^{1+\gamma /n}}{\displaystyle {\int }_B\left|f\left(x\right)-f_B\right|\text{d}x}\approx \underset{B}{\sup }{\left(\frac{1}{{\left|B\right|}^{1+p\gamma /n}}{\displaystyle {\int }_B{\left|f\left(x\right)-f_B\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}$.

对于 $p=\infty$，

${\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}\approx \underset{B}{\sup }\frac{1}{{\left|B\right|}^{\gamma /n}}\underset{x\in B}{\sup }\left|f\left(x\right)-f_B\right|$.

引理2.2 [6] 设T是定义1.1中所述的 $\theta$ -型Calderón-Zygmund算子。如果 $1<p<\infty$ 且 $\omega \in A_p$，那么存在常数 $C\left(p,\omega \right)>0$，使对任意的 $f\in L^p\left({ℝ}^n\right)$，有

${\Vert Tf\Vert }_{L^p\left(\omega \right)}\le C\left(p,\omega \right){\Vert f\Vert }_{L^p\left(\omega \right)}$.

引理2.3 [11] 假设 $\tilde{B}$ 和B为 ${�}^n$ 上的两个球且 $\tilde{B}\subset B$。设 $0<\gamma <1$，则对 $f\in {\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)$，有

$\left|f_{\tilde{B}}-f_B\right|\le C{\Vert f\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}{\left|B\right|}^{\gamma /n}$.

3. 定理的证明

对于任意的球B，假设球B的球心为 $x_0$，半径为r。对任意的 $f\in L^p\left({ℝ}^n\right)$，需要估计

$\frac{1}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{b}f(y)-{\left(T_{b}f\right)}_B\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}$.

用 $B^{*}=8B$ 表示球B的8倍同心扩张，令 $f_1=f{\chi }_{B^{*}}$， $f_2=f-f_1$。则对任何实数c，由Minkowski和Hölder不等式，得

$\begin{array}{l}\frac{1}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{b}f\left(y\right)-{\left(T_{b}f\right)}_B\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}\\ =\frac{1}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{b}f\left(y\right)-c+c-{\left(T_{b}f\right)}_B\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}\\ =\frac{1}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{b}f\left(y\right)-c-\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B\left(T_{b}f\left(z\right)-c\right)\text{d}z}\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}\\ \le \frac{1}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{b}f\left(y\right)-c\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}+\frac{1}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{{\displaystyle {\int }_B\left|\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B\left(T_{b}f\left(z\right)-c\right)\text{d}z}\right|}}^p\text{d}y\right)}^{1/p}\end{array}$

$\begin{array}{l}\le \frac{1}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{b}f\left(y\right)-c\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}+\frac{1}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B\left|T_{b}f\left(z\right)-c\right|\text{d}z}\\ \le \frac{1}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{b}f\left(y\right)-c\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}+\frac{1}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{b}f\left(z\right)-c\right|}^p\text{d}z}\right)}^{1/p}\\ \le \frac{2}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{b}f\left(y\right)-c\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}\end{array}$

取 $c=-{\left(T\left(\left(b-b_B\right)f_2\right)\right)}_B$ 并注意到 $T_{b}f=T_{b-b_B}f$，得

$\begin{array}{l}\frac{1}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{b}f\left(y\right)-{\left(T_{b}f\right)}_B\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}\\ \le \frac{2}{{\left|B\right|}^{\beta /n+1/p}}{\left({\displaystyle {\int }_B{\left|T_{b-b_B}f\left(y\right)+{\left(T\left(\left(b-b_B\right)f_2\right)\right)}_B\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}\\ \le \frac{2}{{\left|B\right|}^{\beta /n+1/p}}{\left({\displaystyle {\int }_B{\left|\left(b\left(y\right)-b_B\right)Tf\left(y\right)\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}+\frac{2}{{\left|B\right|}^{\beta /n+1/p}}{\left({\displaystyle {\int }_B{\left|T\left(\left(b-b_B\right)f_1\right)\left(y\right)\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}\\ +\frac{2}{{\left|B\right|}^{\beta /n+1/p}}{\left({\displaystyle {\int }_B{\left|T\left(\left(b-b_B\right)f_2\right)\left(y\right)-{\left(T\left(\left(b-b_B\right)f_2\right)\right)}_B\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}\\ :=I_1+I_2+I_3\end{array}$

对 $I_1$，注意到 $1<p<\infty$ 和 $0<\gamma <1$，根据引理2.1和引理2.2，得

$\begin{array}{c}{I}_1=\frac{2}{{\left|B\right|}^{\gamma /n}}{\left({\displaystyle {\int }_B{\left|\left(b\left(y\right)-b_B\right)Tf\left(y\right)\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}\\ \le \frac{2}{{\left|B\right|}^{\gamma /n}}{\Vert b-b_B\Vert }_{L^{\infty }}{\left({\displaystyle {\int }_B{\left|Tf\left(y\right)\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}\\ \le \frac{2}{{\left|B\right|}^{\gamma /n}}{\Vert b-b_B\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert Tf\Vert }_{L^p\left({ℝ}^n\right)}\\ \le C{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}{\Vert Tf\Vert }_{L^p\left({ℝ}^n\right)}\\ \le C{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}{\Vert f\Vert }_{L^p(\; ℝ\; n\; )}\end{array}$

下面估计 $I_2$。根据引理2.1，引理2.2，引理2.3有

$\begin{array}{c}{I}_2=\frac{2}{{\left|B\right|}^{\gamma /n}}{\left({\displaystyle {\int }_B{\left|T\left(\left(b-b_B\right)f_1\right)\left(y\right)\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}\\ \le \frac{2}{{\left|B\right|}^{\gamma /n}}{\Vert T\left(\left(b-b_B\right)f_1\right)\Vert }_{L^p\left({ℝ}^n\right)}\\ \le \frac{C}{{\left|B\right|}^{\gamma /n}}{\Vert \left(b-b_B\right)f_1\Vert }_{L^p\left({ℝ}^n\right)}\\ \le \frac{C}{{\left|B\right|}^{\gamma /n}}{\Vert \left(b-b_B\right)f{\chi }_{B^{*}}\Vert }_{L^p\left({ℝ}^n\right)}+\frac{C}{{\left|B\right|}^{\gamma /n}}{\Vert \left(b-b_B\right)f{\chi }_{B^{*}}\Vert }_{L^p\left({ℝ}^n\right)}\\ \le \frac{C}{{\left|B\right|}^{\gamma /n}}{\Vert b-b_{B^{*}}\Vert }_{L^{\infty }}{\Vert f\Vert }_{L^p\left(B^{*}\right)}+\frac{C}{{\left|B\right|}^{\gamma /n}}{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}{\left|B^{*}\right|}^{\gamma /n}{\Vert f\Vert }_{L^p\left(B^{*}\right)}\\ \le C{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}{\Vert f\Vert }_{L^p(\; ℝ\; n\; )}\end{array}$

接下来估计 $I_3$。对于任意的 $\omega ,y\in B=B\left(x_0,r\right)$，当 $z\in 2^k{B}^{*}\backslash 2^{k-1}{B}^{*}\left(k=1,2,\cdots \right)$ 时，有

$2\left|y-\omega \right|<\left|y-z\right|$ 和 $\frac{\left|y-\omega \right|}{\left|y-z\right|}<2^{-k}$.

因为 $\theta$ 为非减函数，所以有 $\theta \left(\frac{\left|y-\omega \right|}{\left|y-z\right|}\right)<\theta \left(2^{-k}\right)$。于是

$\begin{array}{l}\left|T\left(\left(b-b_B\right)f_2\right)\left(y\right)-T\left(\left(b-b_B\right)f_2\right)\left(\omega \right)\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}\left|K\left(y,z\right)-K\left(\omega ,z\right)\right|\left|\left(b\left(z\right)-b_B\right)f_2\left(z\right)\right|\text{d}z}\\ \le {\displaystyle {\int }_{{\left(B^{*}\right)}^c}\left|K\left(y,z\right)-K\left(\omega ,z\right)\right|\left|b\left(z\right)-b_B\right|\left|f\left(z\right)\right|\text{d}z}\\ \le C{\displaystyle {\int }_{{\left(B^{*}\right)}^c}\theta \left(\frac{\left|y-\omega \right|}{\left|y-z\right|}\right)\frac{1}{{\left|y-z\right|}^n}\left|b\left(z\right)-b_B\right|\left|f\left(z\right)\right|\text{d}z}\\ \le C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle {\int }_{2^k{B}^{*}\backslash 2^{k-1}{B}^{*}}\theta \left(\frac{\left|y-\omega \right|}{\left|y-z\right|}\right)\frac{1}{{\left|y-z\right|}^n}\left|b\left(z\right)-b_B\right|\left|f\left(z\right)\right|\text{d}z}}\\ \le C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle {\int }_{2^k{B}^{*}}\frac{\theta \left(2^{-k}\right)}{\left|2^k{B}^{*}\right|}\left|b\left(z\right)-b_B\right|\left|f\left(z\right)\right|\text{d}z}}\end{array}$

从而

$\begin{array}{c}{I}_3=\frac{2}{{\left|B\right|}^{\gamma /n}}{\left({\displaystyle {\int }_B{\left|T\left(\left(b-b_B\right)f_2\right)\left(y\right)-{\left(T\left(\left(b-b_B\right)f_2\right)\right)}_B\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}\\ =\frac{2}{{\left|B\right|}^{\gamma /n}}{\left({\displaystyle {\int }_B{\left|\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_{B}T}\left(\left(b-b_B\right)f_2\right)\left(y\right)-T\left(\left(b-b_B\right)f_2\right)\left(\omega \right)\text{d}\omega \right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}\\ \le \frac{2}{{\left|B\right|}^{\gamma /n}}{\left({\displaystyle {\int }_B{\left|\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_{B}C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle {\int }_{2^k{B}^{*}}\frac{\theta \left(2^{-k}\right)}{\left|2^k{B}^{*}\right|}\left|b\left(z\right)-b_B\right|\left|f\left(z\right)\right|\text{d}z}}\text{d}\omega }\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}\\ \le \frac{C}{{\left|B\right|}^{\gamma /n}}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle {\int }_{2^k{B}^{*}}\frac{\theta \left(2^{-k}\right)}{\left|2^k{B}^{*}\right|}\left|b\left(z\right)-b_B\right|\left|f\left(z\right)\right|\text{d}z}}{\left({\displaystyle {\int }_B{\left|\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B\text{d}\omega }\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}\end{array}$

$\begin{array}{l}\le \frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\theta \left(2^{-k}\right)}{\left|2^k{B}^{*}\right|}{\displaystyle {\int }_{2^k{B}^{*}}\left|b\left(z\right)-b_B\right|\left|f\left(z\right)\right|\text{d}z}}\\ \le \frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\theta \left(2^{-k}\right)}{\left|2^k{B}^{*}\right|}{\displaystyle {\int }_{2^k{B}^{*}}\left|b\left(z\right)-b_{2^k{B}^{*}}\right|\left|f\left(z\right)\right|\text{d}z}}\\ +\frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\theta \left(2^{-k}\right)}{\left|2^k{B}^{*}\right|}{\displaystyle {\int }_{2^k{B}^{*}}\left|b_{2^k{B}^{*}}-b_B\right|\left|f\left(z\right)\right|\text{d}z}}\\ :=I_{3,1}+I_{3,2}\end{array}$

下面的估计会用到以下不等式

${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\theta \left(2^{-k}\right)}\le C{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\theta \left(t\right)}{t}\text{d}t}<\infty$. (3)

对于 $I_{3,1}$，使用Hölder不等式，引理2.1和(3)式，有

$\begin{array}{c}{I}_{3,1}=\frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\theta \left(2^{-k}\right)}{\left|2^k{B}^{*}\right|}{\displaystyle {\int }_{2^k{B}^{*}}\left|b\left(z\right)-b_{2^k{B}^{*}}\right|\left|f\left(z\right)\right|\text{d}z}}\\ \le \frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\theta \left(2^{-k}\right)}{\left|2^k{B}^{*}\right|}{\Vert b-b_{2^k{B}^{*}}\Vert }_{L^{\infty }}{\displaystyle {\int }_{2^k{B}^{*}}\left|f\left(z\right)\right|\text{d}z}}\\ \le \frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\theta \left(2^{-k}\right)}{\left|2^k{B}^{*}\right|}{\left|2^k{B}^{*}\right|}^{\gamma /n}{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}{\left({\displaystyle {\int }_{2^k{B}^{*}}{\left|f\left(z\right)\right|}^p\text{d}z}\right)}^{1/p}}{\left({\displaystyle {\int }_{2^k{B}^{*}}\text{d}z}\right)}^{1/p^{\prime }}\\ \le \frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\theta \left(2^{-k}\right){\left|2^k{B}^{*}\right|}^{\beta /n}{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}{\left({\displaystyle {\int }_{2^k{B}^{*}}{\left|f\left(z\right)\right|}^p\text{d}z}\right)}^{1/p}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\le C{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}{\Vert f\Vert }_{L^p\left(2^k{B}^{*}\right)}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{\left(k+3\right)\beta }\theta \left(2^{-k}\right)}\\ \le C{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}{\Vert f\Vert }_{L^p\left({ℝ}^n\right)}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\theta \left(2^{-k}\right)}\\ \le C{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}{\Vert f\Vert }_{L^p(\; ℝ\; n\; )}\end{array}$

对于 $I_{3,2}$，使用Hölder不等式，引理2.3和(3)式，有

$\begin{array}{c}{I}_{3,2}=\frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\theta \left(2^{-k}\right)}{\left|2^k{B}^{*}\right|}{\displaystyle {\int }_{2^k{B}^{*}}\left|b_{2^k{B}^{*}}-b_B\right|\left|f\left(z\right)\right|\text{d}z}}\\ \le \frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\theta \left(2^{-k}\right)}{\left|2^k{B}^{*}\right|}{\left|2^k{B}^{*}\right|}^{\gamma /n}{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}{\displaystyle {\int }_{2^k{B}^{*}}\left|f\left(z\right)\right|\text{d}z}}\\ \le \frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\theta \left(2^{-k}\right)}{\left|2^k{B}^{*}\right|}{\left|2^k{B}^{*}\right|}^{\gamma /n}{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}{\left({\displaystyle {\int }_{2^k{B}^{*}}{\left|f\left(z\right)\right|}^p\text{d}z}\right)}^{1/p}}{\left({\displaystyle {\int }_{2^k{B}^{*}}\text{d}z}\right)}^{1/p^{\prime }}\\ \le \frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\theta \left(2^{-k}\right){\left|2^k{B}^{*}\right|}^{\beta /n}{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}{\Vert f\Vert }_{L^p\left(2^k{B}^{*}\right)}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\le C{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}{\Vert f\Vert }_{L^p\left({ℝ}^n\right)}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{2}^{\left(k+3\right)\beta }\theta \left(2^{-k}\right)}\\ \le C{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}{\Vert f\Vert }_{L^p\left({ℝ}^n\right)}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\theta \left(2^{-k}\right)}\\ \le C{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}{\Vert f\Vert }_{L^p(\; ℝ\; n\; )}\end{array}$

综合以上讨论，便可得到 ${\Vert T_b\left(f\right)\Vert }_{C^{p,\beta }\left({ℝ}^n\right)}\le C{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left({ℝ}^n\right)}{\Vert f\Vert }_{L^p\left({ℝ}^n\right)}$。

定理证毕。

基金项目

黑龙江省省属本科高校中央支持地方高校改革发展资金(优秀青年人才)项目(No. 2020YQ07)；牡丹江师范学院科研团队项目(D211220637)。