集值广义强向量拟均衡问题系统解的本质连通区

Essential Connected Components of System Solutions for Set-Valued Generalized Strong Vector Quasi-Equilibrium Problems

摘要: 本文在集值广义强向量拟均衡问题(SVGSVQEP)系统解为通有稳定性的前提下，当约束映射为连续时，目标映射为锥凸的条件下，得到了在构成空间M中集值广义强向量拟均衡问题(SVGSVQEP)系统解至少存在一个本质连通区的结论。由于集值广义强向量拟均衡问题以及变分不等式问题一系列非线性优化问题解的本质连通区都是在单值映射的条件下研究，论文基于这些结论主要修改相关假设条件，将单值映射推广到集值映射，问题解推广到系统解，更进一步得到了集值广义强向量拟均衡问题系统解本质连通区的存在性定理。

Abstract: In this paper, under the premise that the system solution of the set-valued generalized strong vector quasi-equilibrium problem (SVGSVQEP) is universally stable, when the constraint mapping is continuous and the target mapping is cone-convex, we obtain the set-valued generalized strong vector quasi-equilibrium problem in the composition space. There is at least one essential con-nected area in the system solution of the equilibrium problem (SVGSVQEP). Since the existence, stability, and essential connected parts of the solutions to a series of nonlinear optimization problems of set-valued generalized strong vector quasi-equilibrium problems and variational inequalities problems are essentially studied under the condition of single-valued mapping, the paper mainly modifies the relevant assumptions based on these conclusions, and the single-valued mapping is extended to set-valued mapping, the problem solution is extended to the system solution, and the existence theorem of the essential connected region of the system solution of the set-valued generalized strong vector quasi-equilibrium problem is further obtained.

1. 引言

众所周知，本质连通区是研究向量拟均衡问题稳定性的重要课题。自1952年Kinoshita [1] 引入不动点集的本质连通区概念以来，有许多学者对本质连通区进行了相关研究。舒振武 [2] 研究了在集值映射空间M上，当支付和策略集同时扰动，Nash平衡点集关于最优反应映射的混合 $\delta$ -扰动时，得到了每个有限博弈Nash点集本质连通区的存在性。李盛强 [3] 研究当目标映射为上半连续的紧凸映射时，得到了每个拟变分不等式解集至少存在一个本质连通区的结论。陈剑尘和王进朵 [4] 研究当目标函数S、T扰动时，得到锥凸对称拟均衡问题本质连通区的存在性定理。孟旭东和张传美 [5] 在实局部凸的Hausdorff拓扑向量空间中，当给定的空间M中的集值映射为连续非空紧凸值时，得到了广义强向量拟均衡问题解集的本质连通区的存在性。

自2004年俞建，杨辉 [6] 得出了一个统一的本质连通区的存在性定理以来，Cotrina John [7]、曾静 [8] 赵亚莉和孙媛媛 [9]、向淑文和周永辉 [10] 分别研究了向量优化问题，集值广义强向量拟均衡问题以及变分不等式问题一系列非线性优化问题解的存在性、稳定性和本质连通区。但大部分数学研究本质连通区都是在单值映射的条件下研究拟均衡问题解的本质连通区，本文主要修改了 [5] - [10] 的相关条件，将单值映射推广至集值映射，问题解推广为系统解，更进一步地得到了集值广义强向量拟均衡问题系统解本质连通区的存在性定理。

2. 预备知识

设I为非空指标集，对 $\forall i\in I$， $X_i,Y_i,Z_i$ 是实局部凸的Hausdorff拓扑空间， $D_i\subset X_i$， $K_i\subset Y_i$ 为非空紧凸子集，令 $Y={\displaystyle \underset{i\in I}{\prod }{Y}_i}$， $Z={\displaystyle \underset{i\in I}{\prod }{Z}_i}$， $D={\displaystyle \underset{i\in I}{\prod }{D}_i}$， $K={\displaystyle \underset{i\in I}{\prod }{K}_i}$， $C_i:D\to 2^{Z_i}$，并且对 $\forall x\in D$， $C_i\left(x\right)$ 为闭凸点锥。

对 $\forall i\in I$，定义集值映射：

$T_i:D\to 2^{K_i}$， $S_i:D\to 2^{D_i}$， $F_i:D_i\times K_i\times D_i\to 2^{Z_i}$。

本文考虑集值广义强向量拟均衡问题(简称SVGSVQEP)：

存在 $\bar{x}\in D$，满足 $\forall i\in I$， $\overline{x_i}\in S_i\left(\bar{x}\right)$，且存在 $\overline{y_i}\in T_i\left(\bar{x}\right)$ 使得

$F\left(\overline{x_i},\overline{y_i},u_i\right)\subset C_i\left(\bar{x}\right)$， $\forall u_i\in S_i\left(\bar{x}\right)$，

系统的本质连通区的存在性。

SVGSVQEP的几类特殊情况：

1) 当 $F_i:D_i\times K_i\times D_i\to 2^{Z_i}$ 退化为单值映射 $F:A\times B\times A\to Z$ 时，SVGSVQEP退化为单值的广义向量拟均衡问题解，即 $\left(x_0,y_0\right)\in A\times B$，使得

$x_0\in S\left(x_0\right)$， $y_0\in T\left(x_0\right)$， $F(x_0,y_0,u)\ge 0$， $\forall u\in S\left(x_0\right)$。

该问题在文献 [8] 中研究过。

2) 当指标集 $I=1$，集值映射 $F_i:D_i\times K_i\times D_i\to 2^{Z_i}$ 退化为单值映射 $f:E\times D\times E\to 2^Z$ 时，则SVGSVQEP退化为具有控制结构的广义强向量拟均衡问题解，即 $\left(\bar{x},\bar{y}\right)\in E\times D$，使得

$\bar{x}\in S\left(\bar{x}\right)$， $\bar{y}\in T\left(\bar{x}\right)$， $f\left(\bar{x},\bar{y},x\right)\subset C$， $\forall x\in S\left(\bar{x}\right)$。

该问题在文献 [5] 中研究过。

3) 当锥C的对偶锥 $C^{*}$ 不具有弱紧基的条件下，则SVGSVQEP退化为集值广义强向量拟均衡问题解，即找 $\left(x_0,y_0\right)\in A\times B$，使得

$x_0\in S\left(x_0\right)$， $y_0\in T\left(x_0\right)$， $F\left(x_0,y_0,u\right)\subset C$， $\forall u\in S\left(x_0\right)$。

该问题在文献 [9] 中研究过。

定义1.1 [11] 设X是Hausdorff拓扑向量空间，Y是拓扑空间， $F:X\to 2^Y$ 是集值映射。

i) 称F在点 $x_0\in X$ 处为上半连续当且仅当对 $F\left(x_0\right)$ 的任何邻域V，存在点 $x_0$ 的邻域 $U\left(x_0\right)$，使得

$F\left(x\right)\subset V$， $\forall x\in U\left(x_0\right)$。

称F在X上上半连续当且仅当F在X上的每一点都上半连续。

ii) 称F在点 $x_0\in X$ 处为下半连续当且仅当对 $\forall y_0\in F\left(x_0\right)$ 及点 $y_0$ 的任何邻域V，存在点 $x_0$ 的邻域 $U\left(x_0\right)$，使得

$F\left(x\right)\cap V\ne \varphi$， $\forall x\in U\left(x_0\right)$。

称F在X上下半连续当且仅当F在X上每一点都下半连续。

iii) 称F在X上连续当且仅当F在X上既上半连续也是下半连续。

iv) 称F为usco映射当且仅当F上半连续同时具有非空紧值。

定义1.2 [12] 设 $\left(X,d\right)$ 为度量空间，A为X的一个子集， $x\in X$，定义 $d\left(x,A\right)=\underset{y\in A}{\inf }d\left(x,y\right)$。 $\forall \lambda \in R^{+}$，记 $\lambda +A=\left\{x\in X:d\left(x,A\right)<\lambda \right\}$，则X的两个子集A，B之间的Hausdorff距离定义为

$H\left(A,B\right)=\inf \{\lambda :A\subset \lambda +B$ 且 $B\subset \lambda +A\}$。

注1.1 根据定义可知 $H\left(A,B\right)=\max \left\{\underset{x\in A}{\sup }d\left(x,B\right),\underset{y\in B}{\sup }d\left(x,A\right)\right\}$。

引理1.1 [13] 设 $E_1$ 和 $E_2$ 均为赋范线性空间， $A\subset E_1$， $B\subset E_2$ 均为非空紧凸集， $T_1:A\to 2^B$， $T_2:A\to 2^B$ 均为A上有非空紧凸值且上(下)半连续的映射， $\lambda \left(x\right)$ 和 $\mu \left(x\right)$ 均为A上的连续函数，且 $\lambda \left(x\right)\ge 0$， $\mu \left(x\right)\ge 0$， $\lambda \left(x\right)+\mu \left(x\right)=1$， $\forall x\in A$，则

$T\left(x\right)=\lambda \left(x\right)T_1\left(x\right)+\mu \left(x\right)T_2\left(x\right)$.

是A上具有非空紧凸值且上(下)半连续的映射。

引理1.2 [14] 设A，B，C为E中非空有界集，则

$h\left(A,\lambda B+\mu C\right)\le \lambda h\left(A,B\right)+\mu h\left(A,C\right)$，

其中h为Hausdorff度量， $\lambda \ge 0$， $\mu \ge 0$ 并且 $\lambda +\mu =1$。

引理1.3 [15] (Zorn)如果半序集X的任一全序子集都有上界(下界)，则X中必含极大元(极小元)。

3. SVGSVQEP系统解的本质连通区

以下恒假设

$\begin{array}{l}M=\{\left(T_i,S_i\right)|T_i:D\to 2^{K_i}上半连续且具有非空凸集,\\ S_i:D\to 2^{D_i}连续且具有非空闭凸\}\end{array}$。

引理2.1 $\psi :M\to 2^{D_i}$ 是一个usco映射。

证明：可使用文献 [5] 中定理3.1的方法进行证明，故证明省略。

设 $u=\left(T_i,S_i\right)$ 且 $x_i\in \psi \left(u\right)$， $x_i\in \psi \left(u\right)$ 的连通分支是 $\psi \left(u\right)$ 中包含x的所有连通子集的并集 [16]。由于D是紧集以及连通分支是 $\psi \left(u\right)$ 的连通闭子集，可知连通分支是连通紧集，假设 $\Lambda$ 为指标集，有 $\psi \left(u\right)={\displaystyle \underset{\alpha \in \Lambda }{\cup }{\psi }_{\alpha }\left(u\right)}$，对 $\forall \alpha \in \Lambda$， ${\psi }_{\alpha }\left(u\right)$ 是 $\psi \left(u\right)$ 中的非空连通子集，并且对任意 $\alpha ,\beta \in \Lambda$ $\left(\alpha \ne \beta \right)$， ${\psi }_{\alpha }\left(u\right)\cap {\psi }_{\beta }\left(u\right)=\varnothing$。

定义2.1 [17] 对任意 $y\in \psi \left(u\right)$，所有 $\psi \left(u\right)$ 中包含y中的连通子集的和集(必是连通的)称为 $\psi \left(u\right)$ 的一个连通区(分支)。

定义2.2 [13] i) 设 $u\in M$，G为 $\psi \left(u\right)$ 的非空闭子集，G称为 $\psi \left(u\right)$ 的本质集，若对包含G的开邻域O，存在 $\delta >0$，使得对 $\forall u^{\prime }\in M$，并且当 $\rho \left(u,u^{\prime }\right)<\delta$，有

$\psi \left(u^{\prime }\right)\cap O\ne \varnothing$ ；

ii) 若 $\psi \left(u\right)$ 中的连通分支 ${\psi }_{\alpha }\left(u\right)$ 是本质的，则 ${\psi }_{\alpha }\left(u\right)$ 称为 $\psi \left(u\right)$ 的本质连通区；

iii) $\psi \left(u\right)$ 中的本质集G称为极小本质集，若G在 $\psi \left(u\right)$ 中所有本质集的族中按集合包含关系所定的序关系是极小元。

注2.1 如果 $\psi \left(u\right)$ 的极小本质集存在，那么极小本质集不一定是唯一的。

注2.2 如果 $\psi \left(u\right)$ 的闭子集G包含 $\psi \left(u\right)$ 的某一本质点y，则G为 $\psi \left(u\right)$ 的本质集，且 $\left\{y\right\}$ 为 $\psi \left(u\right)$ 的极小本质集。

为了讨论SVGSVQEP系统解的本质连通区，下面介绍三个相关定理。

定理2.1 对每个 $u\in M$， $\psi \left(u\right)$ 中至少存在一个极小本质集。

证明：由引理2.1可知， $\psi :M\to 2^{D_i}$ 是上半连续的，根据上半连续的定义与定义2.2可知， $\psi \left(u\right)$ 本身就是一个本质集。

记 $\Phi$ 为所有本质集的全体(按包含关系进行定序)，因此 $\Phi$ 为非空。对 $\Phi$ 的任一非空全序子集 $\phi$，由 $\Phi$ 中的每个成员都是紧的，因此 $\Phi$ 中所有成员之交仍然为紧的，故 $\phi$ 有下界。由Zorn引理可知， $\phi$ 有极小元，该极小元即为 $\psi \left(u\right)$ 的极小本质集。

定理2.2 对每个 $u=\left(T_i,S_i\right)\in M$， $\psi \left(u\right)$ 的每个极小本质集均是连通的。

证明：设 $m\left(u\right)$ 是 $\psi \left(u\right)$ 的极小本质集，因此 $m\left(u\right)$ 是 $\psi \left(u\right)$ 的闭子集。若 $m\left(u\right)$ 是不连通的，则存在 $\psi \left(u\right)$ 中的两个非空闭子集 $c_1\left(u\right)$ 与 $c_2\left(u\right)$，使得 $m\left(u\right)=c_1\left(u\right)\cup c_2\left(u\right)$，同时 $c_1\left(u\right)\cap c_2\left(u\right)=\varnothing$。 $c_1\left(u\right)$， $c_2\left(u\right)$ 均为紧集，因此存在X中的开集 $V_1$， $V_2$ 使得 $c_1\left(u\right)\subset V_1$， $c_2\left(u\right)\subset V_2$，同时 $V_1\cap V_2=\varnothing$。

由于 $m\left(u\right)$ 是 $\psi \left(u\right)$ 的极小本质集可知， $c_1\left(u\right)$， $c_2\left(u\right)$ 均不是本质的。因此存在X中的开集 $O_1\supset c_1\left(u\right)$， $O_2\supset c_2\left(u\right)$，对 $\forall \delta >0$，存在 $u_1,u_2\in M$，使得 $\rho \left(u_1,u\right)<\delta$， $\rho \left(u_2,u\right)<\delta$，但

$\psi \left(u_1\right)\cap O_1=\varnothing$， $\psi \left(u_2\right)\cap O_2=\varnothing$。 (2.1)

令 $W_1=V_1\cap O_1$， $W_2=V_2\cap O_2$，则 $W_1$ 与 $W_2$ 都是开子集，并且 $c_1\left(u\right)\subset W_1$， $c_2\left(u\right)\subset W_2$。因 $c_1\left(u\right)$， $c_2\left(u\right)$ 都是紧子集，故存在两个开子集 $U_1$， $U_2$ 使得

$c_1\left(u\right)\subset U_1\subset \overline{U_1}\subset W_1$， $c_2\left(u\right)\subset U_2\subset \overline{U_2}\subset W_2$， $W_1\cap W_2=\varnothing$。

因 $m\left(u\right)$ 是本质的以及 $m\left(u\right)\subset U_1\cup U_2$，故存在 ${\delta }^{\prime }>0$ 使得对任意满足 $\rho \left(u,u^{\prime }\right)<{\delta }^{\prime }$ 的 $u^{\prime }$，有

$\psi \left(u^{\prime }\right)\cap \left(U_1\cup U_2\right)\ne \varnothing$。 (2.2)

因 $U_1\subset O_1$， $U_2\subset O_2$，对上述的 $\frac{{\delta }^{\prime }}{2}>0$，由(2.1)可知，存在 $u_1,u_2\in M$，使得

$\rho \left(u,u_1\right)<\frac{{\delta }^{\prime }}{2}$， $\rho \left(u,u_2\right)<\frac{{\delta }^{\prime }}{2}$， $\psi \left(u_1\right)\cap U_1=\varnothing$， $\psi \left(u_2\right)\cap U_2=\varnothing$。 (2.3)

因 $u_1,u_2\in M$，有 $u_1=\left(T_i^1,S_i^1\right)$， $u_2=\left(T_i^2,S_i^2\right)$。定义 $T^{\prime }:D\to 2^{K_i}$， $S^{\prime }:D\to 2^{D_i}$ 如下：

$T^{\prime }\left(x_i\right)=\lambda \left(x\right)T_i^1\left(x\right)+\mu \left(x\right)T_i^2\left(x\right)$， $\forall x\in D$。

$S^{\prime }\left(x_i\right)=\lambda \left(x\right)S_i^1\left(x\right)+\mu \left(x\right)S_i^2\left(x\right)$， $\forall x\in D$。

其中 $\lambda \left(x\right)=\frac{d\left(x,\overline{U_1}\right)}{d\left(x,\overline{U_1}\right)+d\left(x,\overline{U_2}\right)}$， $\mu \left(x\right)=\frac{d\left(x,\overline{U_2}\right)}{d\left(x,\overline{U_1}\right)+d\left(x,\overline{U_2}\right)}$， $\forall x\in D$。

易见， $\lambda \left(x\right)$ 与 $\mu \left(x\right)$ 都是D上的连续函数，对任意的 $x\in D$，有 $\lambda \left(x\right)\ge 0$， $\mu \left(x\right)\ge 0$， $\lambda \left(x\right)+\mu \left(x\right)=1$。注意到 $T_i^1\left(x\right)$， $T_i^2\left(x\right)$， $S_i^1\left(x\right)$ 与 $S_i^2\left(x\right)$ 均为连续的集值映射，由 [13] 中的引理3.3以及引理3.4可知， $u^{\prime }=\left(T_i{}^{\prime },S_i{}^{\prime }\right)\in M$。

据引理1.2可知，

$\begin{array}{c}{h}_1\left(T_i\left(x\right),T_i{}^{\prime }\left(x\right)\right)\le \lambda \left(x\right)h_1\left(T_i\left(x\right),T_i^1\left(x\right)\right)+\mu \left(x\right)h_1\left(T_i\left(x\right),T_i^2\left(x\right)\right)\\ \le h_1\left(T_i\left(x\right),T_i^1\left(x\right)\right)+h_1\left(T_i\left(x\right),T_i^2\left(x\right)\right),\forall x\in D\end{array}$

$\begin{array}{c}{h}_1\left(S_i\left(x\right),S_i{}^{\prime }\left(x\right)\right)\le \lambda \left(x\right)h_1\left(S_i\left(x\right),S_i^1\left(x\right)\right)+\mu \left(x\right)h_1\left(S_i\left(x\right),S_i^2\left(x\right)\right)\\ \le h_1\left(S_i\left(x\right),S_i^1\left(x\right)\right)+h_1\left(S_i\left(x\right),S_i^2\left(x\right)\right),\forall x\in D\end{array}$

由(2.3)可知，

$\begin{array}{c}\rho \left(u,u^{\prime }\right)=\underset{x\in D}{\sup }{h}_1\left(T_i\left(x\right),T_i{}^{\prime }\left(x\right)\right)+\underset{x\in D}{\sup }{h}_2\left(S_i\left(x\right),S_i{}^{\prime }\left(x\right)\right)\\ =\underset{x\in D}{\sup }{h}_1\left(T_i\left(x\right),\lambda \left(x\right)T_i^1\left(x\right)+\mu \left(x\right)T_i^2\left(x\right)\right)+\underset{x\in D}{\sup }{h}_2\left(S_i\left(x\right),\lambda \left(x\right)S_i^1\left(x\right)+\mu \left(x\right)S_i^2\left(x\right)\right)\\ \le \underset{x\in D}{\sup }{h}_1\left(T_i\left(x\right),T_i^1\left(x\right)\right)+\underset{x\in D}{\sup }{h}_1\left(T_i\left(x\right),T_i^2\left(x\right)\right)+\underset{x\in D}{\sup }{h}_2\left(S_i\left(x\right),S_i^1\left(x\right)\right)+\underset{x\in D}{\sup }{h}_2\left(S_i\left(x\right),S_i^2\left(x\right)\right)\\ =\rho \left(u,u_1\right)+\rho \left(u,u_2\right)\le \frac{{\delta }^{\prime }}{2}+\frac{{\delta }^{\prime }}{2}={\delta }^{\prime }\end{array}$

由(2.2)可知，

$\psi \left(u^{\prime }\right)\cap U_1\ne \varnothing$ 或 $\psi \left(u^{\prime }\right)\cap U_2\ne \varnothing$。 (2.4)

设 $\psi \left(u^{\prime }\right)\cap U_1\ne \varnothing$，则 $\exists x\in \psi \left(u^{\prime }\right)\cap U_1$。

由 $x\in U_1$，得 $\lambda \left(x\right)=1$， $\mu \left(x\right)=0$， $T_i\left(x\right)=T_i^1\left(x\right)$， $S_i\left(x\right)=S_i^1\left(x\right)$。

由 $x\in \psi \left(u^{\prime }\right)$，得 $x\in {S^{\prime }}_i\left(x\right)$ 且存在 $y\in {T^{\prime }}_i\left(x\right)$，使得

$F_i\left(x_i,y_i,{x^{\prime }}_i\right)\subset C_i\left(x\right)$， $\forall {x^{\prime }}_i\in {S^{\prime }}_i\left(x\right)=S_i^1\left(x\right)$，

可知 $x\in \psi \left(u_1\right)$，这与(2.3)矛盾，从而 $\psi \left(u^{\prime }\right)\cap U_1=\varnothing$，同理可证 $\psi \left(u^{\prime }\right)\cap U_2=\varnothing$。则

$\psi \left(u^{\prime }\right)\cap \left(U_1\cup U_2\right)=\varnothing$。

这又与(2.4)式矛盾。因此， $m\left(u\right)$ 必是连通的。

定理2.3 对每个 $u\in M$， $\psi \left(u\right)$ 中至少存在一个本质连通区。

证明：由定理2.1、定理2.2可知， $\psi \left(u\right)$ 中至少存在一个连通的极小本质集G，然而，G中必包含于 $\psi \left(u\right)$ 的某个连通区 ${\psi }_{\alpha }\left(u\right)$，因G为本质的，根据定义可知， ${\psi }_{\alpha }\left(u\right)$ 是 $\psi \left(u\right)$ 的本质连通区。

4. 结论

本文得到了在实局部凸的Hausdorff空间中，将人们经常研究的单值映射改为了集值映射，问题解改为系统解时，当映射满足上连续以及序锥为闭凸的情况下，在构成的空间M中，证明了SVGSVQEP系统解至少存在一个本质连通区。

基金项目

国家科学自然基金(11061203)；江西省自然科学基金(2010GZS0176)。

NOTES

^*第一作者。