1. 引言
近年来许多学者讨论了参数不确定的数学规划问题,区间值优化问题就是其中一种。Wu [1] 研究了一类区间值优化问题,提出了一种新的凸性概念(LU-凸),并给出一些区间值优化问题的最优性条件。Sun和Wang [2] 研究了带有不等式约束的不可微区间值规划问题,给出了该问题的FJ和KKT型必要和充分最优性条件。Tung [3] 研究了带有不等式约束的凸半无限区间值规划问题,在凸性假设下给出了KKT型必要和充分最优性条件。Ahmad [4] 等研究了带有消失约束的连续可微区间值优化问题(IVVC),并在一定的约束条件下给出了IVVC的充分和必要最优性条件。
凸性是最优化问题中的重要性质,许多学者引入了较弱的凸性的条件。Youness [5] 首先提出了E-凸集、E-凸函数等定义,并给出这些定义在E-凸规划问题中的一些应用。蔡章华和范晓冬 [6] 给出了E-凸区间值函数及其在优化问题中的应用。Luu和Mai [7] 在广义凸性假设下,研究了一类带有不等式约束和等式约束的不可微区间值优化问题,给出了该问题的FJ和KKT型必要最优性条件。Abdulaleem [8] 研究了E-可微的多目标规划问题,在广义E-凸性假设下,给出该问题的E-KKT必要和充分最优性条件。Antczak和Abdulaleem [9] 研究了E-可微的多目标区间值优化问题,在广义E-凸性假设下,给出该问题的E-KKT必要和充分最优性条件。邓春艳等 [10] 研究了E-可微的LU-E-不变凸区间值优化问题和LU-E-预不变凸区间值优化问题。
受上述文献的启发,本文引入广义E-
凸性概念,讨论了广义E-凸区间值优化问题(IOPE)的必要和充分最优性条件。
2. 预备知识
设
是一个n维欧氏空间,
表示
上的内积。任给
,
表示在点
处的邻域。设
,
,
分别表示C的闭包和凸包,C在点
处的切锥定义为:
C的严格负极锥表示为:
设f是
上的局部Lipschitz函数,则f在点
处关于方向v的Clarke方向导数为
f在点
处的Clarke次微分定义为
众所周知,
在
上是一个非空凸紧集,集值映射
是上半连续的。
性质2.1 [11] 设
在点
处是局部Lipschitz的,则
设D是R上所有闭区间的集合。对任意的
,
,规定
,
,
,以及下面的LU序关系(见文献 [12] )。
定义2.1 [9] 称集合
是E-凸的,如果存在映射
使得对每个
,
满足
。
定义2.2 [9] 称函数
在
上是E-凸的,当且仅当存在映射
使得M是非空E-凸集且
下面我们给出广义E-
凸性定义。
定义2.3设
,函数
在点
处是局部Lipschitz的,且存在映射
使得M是非空E-凸集,称f在点
处是E-
凸的,如果对
,有
定义2.4设
,函数
在点
处是局部Lipschitz的,且存在映射
使得M是非空E-凸集,
1) 称f在点
处是E-
伪凸的,如果对
,有
2) 称f在点
处是严格E-
伪凸的,如果对
,
,有
3) 称f在点
处是E-
拟凸的,如果对
,有
注2.1可以看出,当函数f是E-
凸时,它也是E-
伪凸或E-
拟凸的;当f是E-可微时,定义2.4即为 [9] 中定义2.8~2.11;当
,
时,定义2.3,2.4又为 [11] 中定义的广义凸性概念。
3. 广义E-凸区间值优化问题
我们讨论如下的区间值优化问题(见文献 [9] )。
其中
,
,
在
上是局部Lipschitz的,
是一对一映射使得M是非空E-凸集。
设
为(IOPE)的可行集,
是可行点x处的积极指标集。
定义3.1 [9] 称可行点
是(IOPE)的局部LU最优解,如果不存在
使得
成立。
定义3.2 [9] 称可行点
是(IOPE)的局部弱LU最优解,如果不存在
使得
成立。
定义3.3 [8] 称(IOPE)在点
处满足E-Abadie约束条件(ACQE),如果
其中
表示(IOPE)在点
处的E-线性锥。
定理3.1 [13] (Motzkin择一定理)设
为给定的矩阵,
是非空的。则下面两个结论有且仅有一个成立。
1) 方程
,
,
有解x。
2) 方程
,
,
有解
,
,
。
定理3.2 (E-KKT必要最优性条件)设
是(IOPE)的局部弱LU最优解。如果(ACQE)在点
处成立,则存在拉格朗日乘子
(
),
(
),
使得
(3.1)
(3.2)
证明:首先证
(3.3)
假设存在
,可得
且
因为
,
在点
处是局部Lipschitz的,由性质2.1可知,存在
使得
同理有
又由
可得
或
产生矛盾,所以(3.3)成立。又因为(ACQE)在点
处成立,故
即下式
不成立。再由定理3.1可知存在
,
,
,
使得
成立。再取
,即得(3.1)和(3.2)式。证毕。
注3.1 满足定理3.2中(3.1)和(3.2)式的点
,称为(IOPE)的KKT点。
定理3.3 设
是(IOPE)的一个KKT点,
,
。如果下面的条件成立:
1) 函数
,
在点
处是E-
凸的,
2) 函数
,
在点
处是E-
凸的,
3) 函数
,
在点
处是E-
凸的。
则
是(IOPE)的局部弱LU最优解。
证明:反证法。假设
不是(IOPE)的局部弱LU最优解,则存在
,满足
。由条件1)~3),可得
(3.4)
(3.5)
(3.6)
(3.7)
(3.8)
结合(3.4)~(3.8)和它们相应的乘子,可得
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
结合(3.9)~(3.13)可得
(3.14)
与(3.1)矛盾,假设不成立。故
是(IOPE)的局部弱LU最优解。证毕。
注3.2设定理3.3中函数
在点
处是E-
伪凸的,其结论依然成立。
定理3.4设
是(IOPE)的一个KKT点,
,
。如果下面的条件成立:
1) 函数
,
在点
处是E-
伪凸的,
2) 函数
,
在点
处是E-
拟凸的,
3) 函数
,
在点
处是E-
拟凸的。
则
是(IOPE)的局部弱LU最优解。
证明:反证法。假设
不是(IOPE)的局部弱LU最优解,则存在
,满足
。因为
所以由条件1)~3),可得
(3.15)
(3.16)
(3.17)
(3.18)
(3.19)
由(3.15)~(3.19)和它们相应的乘子可得(3.14)成立,与(3.1)矛盾,假设不成立,证毕。
定理3.5设
是(IOPE)的一个KKT点,
,
。如果下面的条件成立:
1) 函数
,
在点
处是严格E-
伪凸的,
2) 函数
,
在点
处是E-
拟凸的,
3) 函数
,
在点
处是E-
拟凸的。
则
是(IOPE)的局部LU最优解。
证明:定理3.5的证明过程与3.4类似,故省略。
4. 总结
本文研究了广义E-凸区间值优化问题(IOPE),引入E-
凸,E-
伪凸,严格E-
伪凸,E-
拟凸等广义E-凸性条件,在目标函数和约束函数均E-不可微的条件下,给出(IOPE)的局部(弱) LU最优解存在的必要性和充分性条件。
致谢
作者对审稿人表示衷心的感谢!
基金项目
山西省高等学校科技创新项目(NO. 2019L0784);山西省基础研究计划(自由探索类)青年项目(20210302124688);太原师范学院研究生教育改革项目(SYYJSJG-2122);太原师范学院大学生创新创业训练项目(CXCY2018)。