ARMA模型在股票预测中的应用

Application of ARMA Model in Stock Forecasting

摘要: 通过R软件研究ARMA模型在平稳时间序列数据预测方面的优势，对太平洋股份和云铝股份的股票日收盘价进行实证分析，并作出试探性的预测分析。

Abstract: This paper studies the advantages of ARMA model in the prediction of stationary time series data by R software, makes an empirical analysis on the daily closing prices of Pacific Securities stock and Yunnan Aluminum stock, and makes a tentative prediction analysis.

1. 引言

中国证券市场规模不断扩大，规范化程度不断提高，市场功能和作用逐步显现，在国民经济运行中发挥着越来越重要的作用。影响股票市场涨跌的因素多种多样，例如宏观经济的发展趋势、行业政策、资金供求格局、利率的走势、政治因素、突发事件，证监会的重大政策信息等因素的影响。对于投资者来说，进行股票投资时，应了解宏观大环境，正确解读其中的异动，把握涨跌的趋势，寻找合适的买卖点。中国的股票市场是在社会主义市场经济条件下的资本流动市场，起步较晚，且不够完善，国内有很多学者对我国股票市场做了大量研究，结果表明我国的股市是可以进行预测研究的。

2. 文献综述

在对股票收盘价分析过程中如果使用时间序列分析方法对其收盘价进行分析，那么得到的结果不是很理想，然而对于具有很大波动性和聚集性的股票市场而言，使用较为一般的方法去描述是不够准确的。许多人在研究过程中采用自回归移动平均模型(ARMA)，通过利用这个模型较为集中的体现方差的性质以及对于股票价格的短期预测效果良好。目前有很多学者对于不平稳的时间序列数据中得到了很多启发。例如：高远利用对乐视网股票收盘价格建立ARMA模型，得出ARMA模型对投资者具有一定的指导作用 [1]；谢海宁、尚园利用ARMA模型对中信银行开盘价进行预测，得出ARMA模型能够对短期内的股票价格进行很好的预测 [2]；彭紫君以上证指数为例建立ARMA-GARCH模型，该模型可以推广到金融风险管理中 [3]。

3. 建立ARMA(p, q)模型方法

3.1. ARMA模型简介

时间序列计量经济学中一个基本的模型是ARMA模型 [4]。该模型遵循博克斯—詹金斯(Box-Jenkins)方法，该方法的目的找到数据生成过程的最简约模型，首先通过确定数据生成过程，其次估计这一过程的参数，最后判断估计模型的残差，这是一套完整的方法。通过诸多方法的对比，后来人们在时间序列的预测中也开始普遍使用ARMA模型。例如在当今激烈的股票市场中，投资者可以根据之前的股票价格数据，估计出未来时间里的股票价格趋势，由此更方便投资者根据预测数据做出合理的投资决策。

ARMA模型的全称是自回归移动平均模型，它是目前最常用的拟合平稳序列的模型。它又可以细分为AR模、MA模型和ARMA模型三大类，是研究平稳随机过程有理有谱的典型方法。模型中具有(p, q)阶自回归移动平均模型通常记为ARMA(p, q)，其数学表达公式(1)如下，其中：p为AR模型的阶数；q为MA模型的阶数； ${\varphi }_i\left(i=1,2,\cdots ,p\right)$ ； ${\theta }_j\left(j=1,2,\cdots ,q\right)$ 为模型的待定系数； ${\epsilon }_t$ 为残差； $x_i$ 为观测值。

$\{\begin{array}{l}{x}_t={\varphi }_0+{\varphi }_1{x}_{t-1}+\cdots +{\varphi }_p{x}_{t-p}+{\epsilon }_t-{\theta }_1{\epsilon }_{t-1}-\cdots -{\theta }_q{\epsilon }_{t-q}\hfill \\ {\varphi }_p\ne 0,{\theta }_q\ne 0\hfill \\ E\left({\epsilon }_t\right)=0,Var\left({\epsilon }_t\right)={\sigma }_{\epsilon }^2,E\left({\epsilon }_t{\epsilon }_s\right)=0,s\ne t\hfill \\ E\left(x_s{\epsilon }_t\right)=0,\forall s<t\hfill \end{array}$ (1)

3.2. 建模流程

第一、进行模型的参数估计，确定模型阶数。

第二、模型的拟合检验。

第三、使用建立的ARMA模型对研究的股票序列进行预测。

4. 实证分析

4.1. 数据来源

本文的数据来源于大智慧软件中选取云铝股份(本文称作股份A)、太平洋股份(本文称作股份B)两只股票在2010年1月至2019年12月之间每天的收盘价作为样本数据，样本个数分别n1 = 2076，n2 = 2445。在数据收集以及整理的过程中，要保证两支股票收盘价时间的统一性，首先是以规定好的时间为对照，这样对照后，则可以对多出来的数据进行删减。表1为A股份部分样本数据。

Table 1. A share part data

表1. A股份部分数据

4.2. 建模与分析

4.2.1. 对股票开盘价时间序列研究

首先假如时序图始终围绕一个常数值较小幅度的上下波动时，则序列是平稳序列；其次假如时间序列有明显的大幅度波动趋势或周期性特征时，则序列是不平稳的时间序列。截取A股份从2010年1月4日至2019年12月31日2076个交易日和B股份的2445个交易日的开盘价作为样本数据，借助R软件，分别对样本数据分析，绘制出时序图1、图2，从图中可判断出，这两组序列是不平衡的。

Figure 1. A share timing chart

图1. A股份时序图

Figure 2. B share timing chart

图2. B股份时序图

由时序图可知，两组序列不平衡，进而采用ADF单位根检验方法。可知存在异方差，为消除异方差，主要对A股份的每日收盘价进行平稳性检验。见表2：

Table 2. ADF test

表2. ADF检验

P ≤ 0.01。

通过R软件得出检验结果，由表2可以发现有多种模型的统计量的P值大于显著水平0.01，根据ADF检验方法可知该序列不平稳。为了可以充分提取确定性信息，下一步做一阶差分。如图3：

Figure 3. Differential sequence

图3. 差分序列

从图3上看出对数据进行一阶差分处理后实现趋势平稳，进一步做ADF检验。见表3：

Table 3. ADF test

表3. ADF检验

通过上面的检验结果可以知道：因为有多种模型统计量的P值小于且等于显著水平，所以可以认为该序列是平稳的，接下来进一步做纯随机检验。

4.2.2. 纯随机检验结果(表4)

Table 4. Pure random test

表4. 纯随机检验

因为纯随机检验统计量的P值是非常明显的小于显著性水平α的，所以该序列应该拒绝LB的原假设。换句话说，我们可以判断该序列是平稳非白噪声序列，认为该序列的波动是有统计规律可循的。

4.2.3. 模型定阶

利用序列的acf和pacf条形图来判断模型阶数。pacf是用最小二乘法估计出来的偏自相关函数。根据拖尾指条形图以指数形式或周期形式衰减，截尾指图形在若干期之后变得很小而且没有什么模式。如果偏自相关函数是截尾的，而自相关函数是拖尾的，则我们可以使用AR模型；如果偏自相关函数是拖尾的，而自相关函数是截尾的，则我们可以使用MA模型；如果偏自相关函数和自相关函数都是拖尾的，则我们可以使用ARMA模型。通过利用R可以得到一阶差分后的相关图。观察自相关图(图4)、偏自相关系数图(图5)可以得出它们是拖尾，因此初步判定认为模型ARMA模型。

Figure 4. A-share autocorrelation diagram

图4. A股自相关图

Figure 5. A-share partial autocorrelation diagram

图 5. A股偏自相关图

以A股份为研究对象，尝试使用ARMA(2, 2)、ARMA(2, 3)、ARMA(3, 2)、ARMA(3, 3)等模型通过对时间序列进行了模拟，根据不同组合的试验以及AIC准则并且综合各方面的参数可以得到参数估计值、模型的系数均为显著的，当p = 2，q = 3时，对应的AIC值相对比较小，为593.7118；BIC信息量的值同样较小，为633.1758。最终确定模型的阶数为p = 2，q = 3，即ARMA(2, 3)见表5。

Figure 6. B-share autocorrelation diagram

图6. B股自相关图

Figure 7. B-share partial autocorrelation diagram

图7. B股偏自相关图

以B股份为研究对象，自相关图和偏自相关图见图6和图7，尝试使用ARMA(1, 22)、ARMA(1, 23)、ARMA(2, 25)、ARMA(2, 26)等模型通过对时间序列进行了模拟，根据不同组合的试验以及AIC准则并且综合各方面的参数可以得到参数估计值、模型的系数均为显著的，当p = 2，q = 25时，对应的AIC值相对比较小，为31.80462；BIC信息量的值同样较小，为200.045。运用同样的定阶原理可得B股份最终确定模型的阶数为p = 2，q = 25，即ARMA(2, 25)。

Table 5. AIC and BIC values

表5. A股AIC、BIC值

4.2.4. 模型口径

根据R软件编写程序输出结果，可以看出A股份ARMA模型的口径为 [5]：

$X_t=-0.00476121+0.1647X_{t-1}+{\epsilon }_t-0.1428{\epsilon }_{t-1}$

$Var\left({\epsilon }_t\right)=0.07741$

根据以上的建模过程同理可得B的模型口径为：

$X_t=0.2893X_{t-1}-0.9442X_{t-2}-0.00678509+{\epsilon }_t-0.2281{\epsilon }_{t-1}+0.9159{\epsilon }_{t-2}+0.092{\epsilon }_{t-3}$

$Var\left({\epsilon }_t\right)=0.07741$

从图8、图9可以看得出各阶延迟下的白噪声检验统计量的p值都显著大于0.05，我们可以认为这个拟合模型的残差序列是属于白噪声序列，即该拟合模型是显著成立的。结合模型的诊断图，说明拟合的ARMA(2, 3)模型和ARMA(2, 25)的显著性检验通过。

Figure 8. A shares

图8. A股份

Figure 9. A shares

图9. A股份

4.2.5. 拟合效果与预测

为了检验模型优度，采取数据最后十个数据进行模型拟合以及相应检验，根据预测判断模型优度。不带漂移项的预测可以看出后期的预测变化大小趋于常数，比较接近实际值的。带漂移项模型的预测前期接近实际值，后期波动也大，有变低的趋势，不符合实际情况。总体而言，不带漂移项的预测效果较优于带漂移项模型的预测效果。见表6、表7：

Table 6. ARMA (2, 3) model fitting without drift term

表6. 不带漂移项的ARMA(2, 3)模型拟合

Table 7. ARMA(2, 3) model fitting with drift term

表7. 带漂移项的ARMA(2, 3)模型拟合

图9中：虚线为序列观察值，实线为模型拟合值与预测值，深色阴影部分为预测值的80%置信区间和浅色阴影部分为预测值的95%置信区间。输出结果见表8，预测效果图见图10：

Table 8. Model prediction results of A share without drift term

表8. A股份不带漂移项的模型预结果

Figure 10. Effect diagram of model prediction without drift term

图10. 不带漂移项的模型预测效果图

根据这个方法可得太平洋不带漂移项的预测效果较优于带漂移项模型的预测效果。预测结果见表9：

Table 9. Model prediction results of B share without drift term

表9. B股份不带漂移项的模型预结果

5. 模型优缺点

5.1. 优点

收集A股份、B股份两只股票的交易日收盘价数据，并进行整理分析，建立了拟合效果最优的ARMA(p, q)模型。从不带漂移项模型预测未来10日的股票价格走势，预测结果总体较好。因此从这些数据中可以得出这种方法对股票的预测具有较好的效果。股票市场变化多端，其趋势一般是不稳定的，通过ARMA模型预测短期内的股票价格具有一定的实践意义，投资者可以根据模型预测结果判断某只股票短期内的盈亏变化，有助于投资者理性理财。

5.2. 缺点

ARMA模型主要用于平稳序列，首先在数据方面的处理，可能会产生较小的误差，因此在股票每日收盘价的时候，就会存在有一定的缺失值，与此同时也会导致模型拟合的时候存在有基本的误差；股票市场是一个不稳定且特别容易受到外界诸多因素影响，其中最容易发现的则是价格的变化，它会受到开盘价、成交量，乃至于大盘的影响；除此之外，国家的各种政策、国际经济贸易所产生的变化在一定因素上都会对股票市场产生一定影响，而以上说到的这些因素都是不可预测。在现实中也会有很多客观的因素可能会导致股票价格变化，然而ARMA模型针对短期预测具有较好的效果，而对股票长期走势进行的预测可能就不会那么理想。

6. 研究结论

本文根据平稳序列得到的样本自相关图和样本偏自相关图判断模型为ARMA(p, q)模型；其次利用条件最小二乘估计方法，建立出ARMA拟合模型口径；最后通过比较模型的相关检验结果，选出了效果最好的ARIMA(p, d, q)模型，云铝股份模型是ARIMA(2, 1, 3)、太平洋股份模型是ARIMA(2, 1, 25)；从不带漂移项的预测结果来看，可以知道ARMA模型对股票价格进行短期预测的效果较好。

基金项目

红河学院大学生科技创新基金项目(SZ2019)。

NOTES

^*通讯作者。