弱Gorenstein X-投(内)射模

Weak Gorenstein X-Projective (Injective) Modules

摘要: 引入弱Gorenstein X-投(内)射模，讨论其基本同调性质，证明在任意环R上，若lD(R) ≤ 1，则Gorenstein X-投(内)射模类、弱Gorenstein X-投(内)射模类、Gorenstein投(内)射模类和弱Gorenstein投(内)射模类是同一个类。

Abstract: Weak Gorenstein X-projective (injective) modules are introduced. The homological properties of the two types of modules are investigated. It is proved that on the ring R, if lD(R) ≤ 1, then the class of Gorenstein X-projective (injective) modules, the class of weak Gorenstein X-projective (injective) modules, the class of Gorenstein projective (injective) modules and the class of weak Gorenstein projective (injective) modules are the same class.

1. 引言

1994年，Fay等人引入X-投(内)射模的概念，研究了其同调性质 [1]。1995年，Enochs等人在一般环上引入Gorenstein投(内)射模的概念 [2]。随后，以Gorenstein投(内)射模为对象的Gorenstein相对同调代数得到了广大学者的青睐。2007年，Bennis等人引入强Gorenstein 投(内)射模的概念 [3]。2013年，高增辉引入弱Gorenstein投(内)射模 [4]。2014年，Umamaheswaran等人引入Gorenstein X-投(内)射模的概念 [5]。同年，陈文静等人引入弱Gorenstein FP-内射模的概念，讨论了凝聚环上FP-内射模类、Gorenstein FP-内射模类和弱Gorenstein FP-内射模类三者之间的联系 [6] [7]。2021年，袁倩等人引入弱Gorenstein FC-投射模的概念，讨论了任意环上FC-投射模类、Gorenstein FC-投射模类、强Gorenstein FC-投射模类、弱Gorenstein FC-投射模类和强泛Gorenstein FC-投射模类五者之间的联系，并利用弱Gorenstein FC-投射模对右Gorenstein FC-半单环进行了刻画 [8]。

受以上文献的启发，我们利用X-投(内)射模，引入弱Gorenstein X-投(内)射模的概念，讨论其同调性质，并证明当lD(R) ≤ 1时，模类Gorenstein投(内)射模类、Gorenstein X-投(内)射模类、弱Gorenstein投(内)射模类和弱Gorenstein X-投(内)射模类是同一个类。

本文中所提到的环均指有单位元的结合环。模均指酉模，除非特别说明，R-模指左R-模。本文中，我们用R-Mod表示左R-模范畴；用P (I, GP, GI, SGP, SGI, wGP, wGI, GXP, GXI)表示投射R-模类(内射R-模类，Gorenstein投射R-模类，Gorenstein内射R-模类，强Gorenstein投射R-模类，强Gorenstein内射R-模类，弱Gorenstein投射R-模类，弱Gorenstein 内射R-模类，Gorenstein X-投射R-模类，Gorenstein X-内射R-模类)；用pd(M)和id(M)表示R-模M的投射维数和内射维数；用lD(R)表示环R的左整体维数。 $\mathbb{N}$ 表示自然数集。未交待的概念和符号，参考文献 [5] [8] [9] [10]。

全文共分为四部分：第一节引言；第二节罗列本文所需概念和基本事实；第三节引入弱Gorenstein X-投(内)射模，讨论其基本同调性质；第四节利用模的X-投(内)射维数，证明当lD(R) ≤ 1时，模类Gorenstein 投(内)射模类、Gorenstein X-投(内)射模类、弱Gorenstein投(内)射模类和弱Gorenstein X-投(内)射模类是同一个类。

2. 预备知识

定义2.1 [1] 设X是R-模类，称R-模M是X-投射模，如果对任意 $N\in X$， ${\text{Ext}}_R^1\left(M,N\right)=0$。我们将X-投射模记作XP。对偶地，可定义XI。

定义2.2 [2] 称投射R-模的正合列 $P=\cdots \to P_1\to P_0\to P_{-1}\to P_{-2}\to \cdots$ 是完全投射分解，如果对任意投射R-模Q，序列 ${\mathrm{Hom}}_R\left(P,Q\right)$ 正合。称R-模M是Gorenstein投射模，如果存在一个完全投射分解 $P$ 使得 $M\cong \text{Ker}\left(P_{-1}\to P_{-2}\right)$。我们将Gorenstein投射模记作GP。对偶地，可定义GI。

定义2.3 [3] 称R-模M是强Gorenstein投射模，如果存在投射R-模的正合列 $\Theta =\cdots \to P\to P\to P\to P\to \cdots$，使得 $M\cong \text{Ker}\left(P\to P\right)$，并且对任意投射R-模Q，序列 ${\mathrm{Hom}}_R\left(\Theta ,Q\right)$ 正合。我们将强Gorenstein投射模记作SGP。对偶地，可定义SGI。

定义2.4 [4] 称R-模M是弱Gorenstein投射模，如果存在投射R-模的正合列 $\Theta =\cdots \to P_1\to P_0\to P^0\to P^1\to \cdots$，使得 $M\cong \text{Ker}\left(P^0\to P^1\right)$。此时，称序列 $\Theta$ 是M的弱完全投射分解。我们将弱Gorenstein投射模记作wGP。对偶地，可定义wGI。

定义2.5 [5] 设X是R-模类，称R-模M是Gorenstein X-投射模，如果存在投射模R-模的正合列 $\Phi =\cdots \to P_1\to P_0\to P^0\to P^1\to \cdots$，使得 $M\cong \text{Ker}\left(P^0\to P^1\right)$，并且对任意 $Q\in X$，序列 ${\mathrm{Hom}}_R\left(\Phi ,Q\right)$ 正合。我们将Gorenstein X-投射模记作GXP。对偶地，可定义GXI。

定义2.6 [9] 称R-模类X是投射可解类，如果 $P\subseteq X$，且对任意X中的正合列 $0\to X^{\prime }\to X\to X^{″}\to 0$，其中 $X^{″}\in X$，则 $X^{\prime }\in X\iff X\in X$。对偶地，可定义内射可解类。

3. 弱Gorenstein X-投射模

本部分我们引入弱Gorenstein X-投(内)射模，讨论其基本同调性质。

定义3.1 设X是R-模类，称R-模M是是弱Gorenstein X-投射模，如果存在正合列

$\Psi =\cdots \to P_1\to P_0\to P^0\to P^1\to \cdots$，

其中 $P_i,P^i\in XP\left(i\in \mathbb{N}\right)$，使得 $M\cong \text{Ker}\left(P^0\to P^1\right)$。此时，称正合列 $\Psi$ 是M的弱完全X-投射分解。

对偶地，称R-模M是是弱Gorenstein X-内射模，如果存在正合列

$\Omega =\cdots \to E_1\to E_0\to E^0\to E^1\to \cdots$，

其中 $E_i,E^i\in XI\left(i\in \mathbb{N}\right)$，使得 $M\cong \text{Ker}\left(P^0\to P^1\right)$。此时，称正合列 $\Omega$ 是M的弱完全X-内射分解。

我们将弱Gorenstein X-投(内)射R-模类记为wGXP(wGXI)。

关于定义，我们注意到

注记3.2 1) $P\subseteq XP\subseteq wGXP$ ； $I\subseteq XI\subseteq wGXI$ ；

2) $P\subseteq GXP\subseteq wGXP$ ； $I\subseteq GXI\subseteq wGXI$ ；

3) 由对称性可知，定义3.1中的正合列 $\Psi$ ( $\Omega$ )中所有同态的像、核和余核都是弱Gorenstein X-投(内)射模；

4) wGXP(wGXI)关于直和(直积)封闭。

例3.3 1) 当X = R-Mod时，wGXP = wGP，wGXI = wGI；

2) 当X是有限表示R-模类时，弱Gorenstein X-内射模就是文献 [6] 中的弱Gorenstein FP-内射模；

3) 当X是有限余表示R-模类时，弱Gorenstein X-投射模就是文献 [8] 中的弱Gorenstein FC-投射模。

下面首先给出弱Gorenstein X-投射模的一些等价刻画，关于弱Gorenstein X-内射模，均有对偶结论。

命题3.4 设M是一R-模，则以下等价：

1) $M\in wGXP$ ；

2) 存在正合列 $0\to M\to P^0\to P^1\to \cdots$，其中 $P^i\in XP\left(i\in \mathbb{N}\right)$ ；

3) 存在正合列 $0\to M\to P\to N\to 0$，其中 $P\in XP$， $N\in wGXP$。

证明 (1) $\Rightarrow$ (2)，(1) $\Rightarrow$ (3)由定义3.1易得。

(3) $\Rightarrow$ (2)因为 $N\in wGXP$，所以存在N的弱完全X-投射分解

$\Psi =\cdots \to P_1\to P_0\to P^0\to P^1\to \cdots$，

其中 $P_i,P^i\in XP\left(i\in \mathbb{N}\right)$，使得 $N\cong \text{Ker}\left(P^0\to P^1\right)$，故存在正合列 $0\to M\to P\to P^0\to P^1\to \cdots$，其中P和 $P^i\in XP\left(i\in \mathbb{N}\right)$。

(2) $\Rightarrow$ (1)任取M的一个投射分解 $\cdots \to P_1\to P_0\to M\to 0$，与条件中序列首尾相接就得到M的弱完全X-投射分解

$\Psi =\cdots \to P_1\to P_0\to P^0\to P^1\to \cdots$，

使得 $M\cong \text{Ker}\left(P^0\to P^1\right)$，故 $M\in wGXP$。

下面我们证明wGXP是投射可解类，并且关于直和项封闭。

命题3.5 设R是环，则wGXP关于扩张封闭当且仅当wGXP是投射可解类。

证明( $\Leftarrow$ )显然。

( $\Rightarrow$ )设 $0\to A\to B\to C\to 0$ 是R-模的正合列，只需证当 $B,C\in wGXP$ 时, $A\in wGXP$ 即可。因为 $B\in wGXP$，所以由命题3.4可知存在正合列 $0\to B\to P\to N\to 0$，其中 $P\in XP$， $N\in wGXP$。考虑推出图

因为 $C,N\in wGXP$，所以 $Q\in wGXP$。对中间行用命题3.4可得 $A\in wGXP$。

定义3.6 称环R是左wGXP封闭环，如果wGXP关于扩张封闭。

推论3.7 设R是左wGXP封闭环，则wGXP关于直和项封闭。

证明 由文献( [9]，命题1.4)易得。

命题3.8 设R是左wGXP封闭环， $0\to N\to M\to P\to 0$ 是R-模的正合列，其中 $P\in P$，则 $M\in wGXP$ $\iff$ $N\in wGXP$。

证明 由注记3.2和推论3.7易得。

引理3.9 XP关于扩张与直和项封闭。

证明 设X是R-模类， $0\to A\to B\to C\to 0$ 是R-模的正合列，其中 $A,C\in XP$。下证 $B\in XP$。任取 $N\in X$，存在长正合列 $\cdots \to {\text{Ext}}_R^1\left(C,N\right)\to {\text{Ext}}_R^1\left(B,N\right)\to {\text{Ext}}_R^1\left(A,N\right)\to \cdots$。因为 $A,C\in XP$，所以 ${\text{Ext}}_R^1\left(A,N\right)=0$， ${\text{Ext}}_R^1\left(C,N\right)=0$。于是 ${\text{Ext}}_R^1\left(B,N\right)=0$，故 $B\in XP$，即XP关于扩张。

设 ${\left\{M_i\right\}}_{i\in I}$ 是一簇X-投射模，任意R-模 $N\in X$，由同构式 ${\text{Ext}}_R^1\left({\oplus }_{i\in I}{M}_i,N\right)\cong {\prod }_{i\in I}{\text{Ext}}_R^1\left(M_i,N\right)$ 可得XP关于直和项封闭。

于是，结合引理3.9，下面我们弱化命题3.8。

命题3.10 设R是左wGXP封闭环， $0\to N\to M\to X\to 0$ 是R-模的正合列，其中 $X\in XP$，则 $M\in wGXP$ $\iff$ $N\in wGXP$。

证明 ( $\Rightarrow$ )设 $M\in wGXP$，则由命题3.4可知存在正合列 $0\to M\to P\to K\to 0$，其中 $P\in XP$， $K\in wGXP$。考虑推出图

因为 $X\in XP\subseteq wGXP$， $K\in wGXP$，所以 $Q\in wGXP$，则对中间行用命题3.4可得 $N\in wGXP$。

( $\Leftarrow$ )设 $N\in wGXP$，则由命题3.4可知存在正合列 $0\to N\to P^{\prime }\to K^{\prime }\to 0$，其中 $P^{\prime }\in XP$， $K^{\prime }\in wGXP$。考虑推出图

因为 $P^{\prime },X\in XP$，所以由引理3.9可知 $Q^{\prime }\in XP$，则对中间列用命题3.4可得 $M\in wGXP$。

命题3.11 设R是环，M是一R-模，则以下等价：

1) 若 $M\in R\text{-}Mod$，则 $M\in wGXP$ ；

2) 若 $M\in wGI$，则 $M\in wGXP$ ；

3) 若 $M\in GI$，则 $M\in wGXP$ ；

4) 若 $M\in SGI$，则 $M\in wGXP$ ；

5) 若 $M\in I$，则 $M\in wGXP$ ；

6) 若 $M\in I$，则 $M\in XP$。

证明 (1) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (4) $\Rightarrow$ (5)，(6) $\Rightarrow$ (5)显然。

(5) $\Rightarrow$ (6)设 $M\in I$，则由条件可知 $M\in wGXP$。于是由命题3.4可知存在正合列 $0\to M\to P\to N\to 0$，其中 $P\in XP$, $N\in wGXP$。因为 $M\in I$，所以正合列 $0\to M\to P\to N\to 0$ 可裂，因此由引理3.9可知 $M\in XP$。

(6) $\Rightarrow$ (1) $M\in R\text{-}Mod$，取M的投射分解和内射分解相连接，则存在正合列

$\cdots \to P_1\to P_0\to E_0\to E_1\to \cdots$

其中 $P_i\in P\subseteq XP$， $E_i\in I\subseteq XP\left(i\in \mathbb{N}\right)$，故 $M\in wGXP$。

推论3.12 设R是环，M是一R-模，考虑下面R-模的正合列

$0\to G_n\to G_{n-1}\to \cdots \to G_0\to M\to 0$

和

$0\to H_n\to H_{n-1}\to \cdots \to H_0\to M\to 0$,

其中 $G_0,\cdots ,G_{n-1},H_0,\cdots ,H_{n-1}\in wGXP$。若wGXP关于扩张封闭，则 $G_n\in wGXP$ 当且仅当 $H_n\in wGXP$。

证明 类似于文献( [10]，引理2.1)的证明。

4. X-投(内)射维数

本部分我们引入模M的X-投(内)射维数，讨论在任意环上GXP(GXI)、wGXP(wGXI)、GP(GI)和wGP(wGI)四者之间的联系。

定义4.1 设R是环，M是一R-模，我们如下定义模M的X-投射维数：

$X\text{-}pd\left(M\right)=inf\{n\in \mathbb{N}|$ 存在正合列 $0\to X_n\to X_{n-1}\to \cdots \to X_0\to M\to 0$，其中 $X_i\in XP$， $i=0,\text{1},\cdots ,n\}$。

若上述集合为空集，则规定 $X\text{-}pd\left(M\right)=\infty$。

如下定义模M的X-内射维数：

$X\text{-}id\left(M\right)=inf\{n\in \mathbb{N}|$ 存在正合列 $0\to M\to X_0\to \cdots \to X_{n-1}\to X_n\to 0$，其中 $X_i\in XI$， $i=0,\text{1},\cdots ,n\}$。

若上述集合为空集，则规定 $X\text{-}id\left(M\right)=\infty$。

下面我们讨论模M的X-投射维数的相关结论，关于模M的X-内射维数，均有对偶结论。

命题4.2 设R是环， $lD\left(R\right)<\infty$，M是一R-模，若 $X\text{-}pd\left(M\right)\le \text{1}$，则以下等价：

1) $M\in wGP$ ；

2) $M\in wGXP$ ；

3) $M\in GP$ ；

4) $M\in GXP$ ；

证明 由文献( [5]，命题2.1.1)可知(1) $\iff$ (2)，(3) $\iff$ (4)。

(3) $\Rightarrow$ (1)显然。

(1) $\Rightarrow$ (3)设 $M\in wGP$，则存在投射模的正合列 $\Psi =\cdots \to P_1\to P_0\to P^0\to P^1\to \cdots$，使得 $M\cong \text{Ker}\left(P^0\to P^1\right)$。只需证对任意投射模Q，序列 $Ho{m}_R\left(\Psi ,Q\right)$ 正合即可。设 $id\left(Q\right)=n<\infty$，我们对n进行数学归纳。当 $n=0$ 时，序列 $Ho{m}_R\left(\Psi ,Q\right)$ 显然正合。设 $n\ge \text{1}$，则对模Q存在正合列 $0\to Q\to E\to L\to 0$，其中 $E\in I$, $id\left(L\right)=n-\text{1}$。因此存在正合列 $0\to Ho{m}_R\left(\Psi ,Q\right)\to Ho{m}_R\left(\Psi ,E\right)\to Ho{m}_R\left(\Psi ,L\right)\to 0$。由归纳假设可得，序列 $Ho{m}_R\left(\Psi ,L\right)$ 正合。显然序列 $Ho{m}_R\left(\Psi ,E\right)$ 也正合，故序列 $Ho{m}_R\left(\Psi ,Q\right)$ 正合。

推论4.3 设R是环，若 $lD\left(R\right)\le \text{1}$，则模类GP、GXP、wGP和wGXP是同一个类。

参考文献