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Mathematical Model of Map Symbol Correction Based on Boolean Algebra
DOI: 10.12677/GST.2022.102004, PDF, HTML, XML, 下载: 105  浏览: 145  国家自然科学基金支持

Abstract: Map symbols are homeomorphic images of mapping objects from mapping regions to the earth ellipsoid, from the earth ellipsoid to the cognitive structure of mapping subjects, and then to the map plane. The relationship between map symbols and their referent objects is a principle to be followed in topological transformation. Due to the universality, regularity and continuity of the evolution of ground objects in time and space and the lack of collection of data, there is always a problem of broken correspondence between map symbols and referring ground objects in some places in the process of map compilation, which is the mistake of maps. The mathematical definition of false symbol, omission and dislocation is given. According to the principle that the power set of the map with inclusion relation belongs to the Boolean algebra system, an operation definition for modifying error symbols based on Boolean operation is proposed. An example is given to calculate the trans-formation process of map from qghf(A)A which contains the wrong symbol set to qghf(A)B which eliminates the error.

1. 引言

2. 地图符号生成的拓扑学原理和待审图的符号集合

$qgf{\left(A\right)}_{A}=qgf{\left(A\right)}^{*}\cup qgf{\left(A\right)}^{*c}$ (1)

$qgf{\left(A\right)}_{A}=qgf{\left(A\right)}_{A}{}^{*}$ (2)

3. 地图符号错误的定义

3.1. 定义1遗漏

$\exists x\in A⇒qgf\left(x\right)=\varnothing \in qgf{\left(A\right)}_{A}|x\ne \varnothing$ (3)

3.2. 定义2符号表示错误

$\begin{array}{l}1\right)\text{\hspace{0.17em}}\exists qgf\left(x\right)\in qgf{\left(A\right)}_{A}⇒{\left(qgf\right)}^{-1}\left(x\right)=x=\varnothing \in A|qgf\left(x\right)\ne \varnothing \\ 2\right)\text{\hspace{0.17em}}\exists qgf\left(x\right)\in qgf{\left(A\right)}_{A}⇒{x}^{\prime }\ne \varnothing \in A|x\ne {x}^{\prime }\end{array}$ (4)

3.3. 定义3符号定位超限

${p}_{0}\left({x}_{0},{y}_{0}\right)\in qgf\left(x\right)$ 为地图符号 $qgf\left(x\right)$ 的正确定位点，如果实际定位点 ${p}_{1}\left({x}_{1},{y}_{1}\right)\in qgf\left(x\right)$，若 ${p}_{1}\left({x}_{1},{y}_{1}\right)$${p}_{0}\left({x}_{0},{y}_{0}\right)$ 之间的距离d满足：

$d\left({p}_{0},{p}_{1}\right)>0.2\text{\hspace{0.17em}}\text{mm}$ (5)

3.4. 定义4符号与地物定位不符

${p}_{1}\left({x}_{1},{y}_{1}\right)\in qgf\left(x\right)\in qgf\left(A\right)⇒{p}_{1}\left({x}_{1},{y}_{1}\right)\notin x\in A$ (6)

${l}_{1}\in qgf\left(x\right)\in qgf\left(A\right)⇒{l}_{1}\notin x\in A$ (7)

4. 地图符号的布尔代数结构及修改地图符号的操作

$\begin{array}{l}qgf{\left(x\right)}^{*}\subset qgf{\left(A\right)}^{*}\subset qgf{\left(A\right)}_{A}\\ qgf{\left(x\right)}^{*c}\subset qgf{\left(A\right)}^{*c}\subset qgf{\left(A\right)}_{A}\end{array}$ (8)

$qgf{\left(A\right)}_{A}$ 是基本集合， $T\left(qgf{\left(A\right)}_{A}\right)$$qgf{\left(A\right)}_{A}$ 的幂集，则 $T\left(qgf{\left(A\right)}_{A}\right)$ 是布尔代数 [14]。对于具有包含关系的布尔代数，可以应用布尔代数算子 $\cup$$\cap$ 运算和构造相关操作的定义。

5. 修改地图符号的操作定义

5.1. 定义5地图修改

$\forall qgf{\left(x\right)}^{*c}\in qgf{\left(A\right)}_{A}⇒h\left(qgf{\left(x\right)}^{*c}\right)=qgf{\left(x\right)}^{*}\in qgf{\left(A\right)}_{B}$ (9)

5.2. 定义6删除符号

$h\left(qgf{\left(x\right)}^{*c}\right)\in qgf{\left(x\right)}^{*c}\cap \varnothing =\varnothing \in qgf{\left(A\right)}_{B}$ (10)

5.3. 定义7变换性质符号

$h\left(qgf{\left(x\right)}^{*c}\right)=\left(qgf{\left(x\right)}^{*c}\cap \varnothing \right)\cup qgf{\left({x}^{\prime }\right)}^{*}=qgf{\left({x}^{\prime }\right)}^{*}\in qgf{\left(A\right)}_{B}$ (11)

5.4. 定义8增补符号

$h\left(qgf{\left(x\right)}^{*c}\right)=\varnothing \cup qgf{\left(x\right)}^{*}=qgf{\left({x}^{\prime }\right)}^{*}\in qgf{\left(A\right)}_{B}$ (12)

5.5. 定义9 修正超限符号的定位

$\forall d\left({p}_{0},{p}_{1}\right)>0.2\text{\hspace{0.17em}}\text{mm}⇒{p}_{2}\left({x}_{2},{y}_{2}\right)\in qgf\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}}s.t.\text{\hspace{0.17em}}d\left({p}_{0},{p}_{2}\right)\le 0.2\text{\hspace{0.17em}}\text{mm}$ (13)

5.6. 定义10符号移位

${p}_{0}\left({x}_{0},{y}_{0}\right)\in qgf\left(x\right)$ 为地图符号 $qgf\left(x\right)$ 的正确定位点，而地图符号的实际定位点为 ${p}_{1}\left({x}_{1},{y}_{1}\right)\in qgf\left(x\right)⇒$ 定位错误。这时需要对 $qgf\left(x\right)$ 作移位处理，即实现 ${p}_{1}\left({x}_{1},{y}_{1}\right)\in qgf\left(x\right)$${p}_{0}\left({x}_{0},{y}_{0}\right)\in qgf\left(x\right)$ 的位置变换：

$h\left({p}_{1}\left({x}_{1},{y}_{1}\right)\right)=\left({p}_{1}\left({x}_{1},{y}_{1}\right)\cap \varnothing \cup {p}_{0}\left({x}_{0},{y}_{0}\right)\right)={p}_{0}\left({x}_{0},{y}_{0}\right)\in qgf\left(x\right)\in qgf{\left(A\right)}_{B}$ (14)

$h\left({l}_{1}\right)=\left({l}_{1}\cap \varnothing \cup {l}_{0}\right)={l}_{0}\in qgf\left(x\right)\in qgf{\left(A\right)}_{B}$ (15)

6. 地图符号错误的修改算例

$qgf{\left(x\right)}^{*c}=\varnothing ⇒qgf\left(A\right)=qgf{\left(A\right)}^{*}$ (16)

1) ${a}_{1}\to {a}_{2}$，三角点的定位超过误差规定，采用定义9解决，即把定位点由 ${p}_{1}\left({x}_{1},{y}_{1}\right)$ 移至 ${p}_{2}\left({x}_{2},{y}_{2}\right)$，使其满足 $d\left({p}_{0},{p}_{2}\right)\le 0.2\text{\hspace{0.17em}}\text{mm}$ 的规范要求。

2) ${b}_{1}\to {b}_{2}$，从居民地到池塘的变换，地物性质不同，大小有差异，可按定义7的式(10)变换，于是得 $qgf{\left({x}^{\prime }\right)}^{*}=qgf{\left(A\right)}_{B}$ 的结果，图示表明，

$x\ne {x}^{\prime }\wedge {x}^{\prime }>x$，即 ${b}_{2}>{b}_{1}$

3) ${c}_{1}\to {c}_{2}$，在空地上开一条连结池塘和河流的沟渠，这是无中生有，是从空集到非空集沟渠的变换，用定义8的式(11)操作完成。

4) ${d}_{1}\to {d}_{2}$，这是某种性质的地类( ${d}_{1}$ 可以是草地、荒地等与 ${d}_{2}$ 性质相异的地类)到居民地( ${d}_{2}$ 也可是其他异于 ${d}_{1}$ 的地类)的变换，用定义7的式(10)操作完成。这里 $x\ne {x}^{\prime }\wedge {x}^{\prime }，即 ${d}_{2}<{d}_{1}$

5) ${f}_{1}\to {f}_{2}$，这是类似3)的变换，是无中生有，是在空地上修一段公路与已有的公路连接。是从空集到非空集公路的变换，用定义8的式(11)操作完成。

6) ${e}_{1}\to {e}_{2}$，原来的一段公路 ${e}_{1}$ 移位到了 ${e}_{2}$。用定义10的线状地物移位的式(11)操作完成。

$qgf{\left(A\right)}_{A}\to qgf{\left(A\right)}_{B}$

Figure 1. The transformation from a graph awaiting modification to a graph completed with modification

7. 结论

NOTES

*第一作者。

#通讯作者。

 [1] 钟业勋, 胡宝清, 栾俊, 叶彤. 基于地物消长零和律的地物演化机制[J]. 广西大学学报(自然科学版), 2021, 46(2): 509-516. https://doi.org/10.13624/j.cnki.issn.1001-7445.2021.0509 [2] 焦晨晨, 钟业勋, 胡宝清, 叶彤. 地物演化机制及演化过程的数学运算[J]. 南宁师范大学学报(自然科学版), 2021, 38(2): 116-121. https://doi.org/10.16601/j.cnki.issn2096-7330.2021.02.017 [3] 钟业勋, 王家耀, 胡宝清. 基于恒定空间的地物演化规律[J]. 黑龙江工程学院学报, 2015, 29(6): 1-4+14. https://doi.org/10.19352/j.cnki.issn1671-4679.2015.06.001 [4] 钟业勋, 黄鹄, 郑红波. 事物的演化机理与地图现势性的度量[J]. 测绘科学, 2006(2): 125-127+9. [5] 周昌忠. 科学思维学[M]. 上海: 上海人民出版社, 1988. [6] 吕晓华, 李少梅. 地图投影原理与方法[M]. 北京: 测绘出版社, 2016. [7] 钟业勋, 朱重光, 魏文展. 地图空间认知的数学原理[J]. 测绘科学, 2005(5): 11-12+3. [8] 钟业勋, 胡宝清, 童新华. 地图学概念的数学表述研究[M]. 北京: 科学出版社, 2015. [9] 钟业勋, 胡宝清, 边少锋, 李厚朴. 地图审校与错误修改的数学定义及地图质量控制模型[J]. 桂林理工大学学报, 2015, 35(2): 343-347. [10] 钟业勋, 胡宝清, 边少锋, 李厚朴. 地图审校和错误修改的定义及其应用[J]. 海洋测绘, 2015, 35(2): 26-28+32. [11] 钟业勋, 魏文展, 彭月英, 郑红波. 地图符号数学定义的研究[J]. 武汉大学学报(信息科学版), 2001(5): 465-468. [12] 魏文展, 钟业勋, 彭月英, 郑红波. 点状、线状和面状地图符号数学定义的研究[J]. 武汉大学学报(信息科学版), 2002(4): 424-426. [13] 钟业勋, 胡宝清. 地图符号蕴涵的几种拓扑变换类型[J]. 玉林师范学院学报, 2014, 35(5): 150-153. https://doi.org/10.13792/j.cnki.cn45-1300/z.2014.05.031 [14] 张文修, 王国俊, 刘旺金, 等. 模糊数学引论[M]. 西安: 西安交通大学出版社, 1991.