Beukers型多重积分的概率表示及应用

Probabilistic Representations and Applications of Multiple Integrals of Beukers’s Type

摘要: 本文提出一种简单的变换公式将Beukers型多重积分转化为定积分。利用(0, 1)区间上均匀分布的乘积的函数的数学期望，提出了Beukers型多重积分的概率表示。基于这种概率表示，给出一些Beukers型多重积分的结论。

Abstract: In this paper, a simple transformation formula is derived, allowing multiple integrals of Beukers’s type to be reduced. The probabilistic representation of multiple integrals of Beukers’s type is in-troduced by the expectation of product of uniform random variables on (0, 1). Based on the proba-bilistic representation, some conclusions are given for multiple integrals of Beukers’s type.

1. 引言

F. Beukers [1] 在1979年研究Apery常数 $\zeta \left(3\right)$ 的无理性时提出了二重积分

$\zeta \left(2\right)={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{1-xy}\text{d}x\text{d}}y},$ (1)

其中 $\zeta \left(2\right)={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{n^2}}$。由于Riemann-Zeta函数 $\zeta \left(s\right)$ 与特殊的组合数Stirling数，Bernoulli数，Euler数等有

密切联系，(1)式中的积分引起了许多学者的研究兴趣。Sondow利用级数展开与积分变换研究了类似Beukers型积分的欧拉常数的二重积分表示，并讨论了如何从 $\zeta \left(2\right)$ 的积分表示推广到 $\zeta \left(3\right)$ 的积分表示 [2]。Glasser利用积分区域的对称性结合积分变换的方法，把(1)式中的二重积分化为定积分，并讨论了Hadjicostas’s猜想的证明 [3]。Abel和Kushnirevych推广了Glasser的结果，利用积分变换的方法把Beukers型多重积分转化为定积分，并给出了Euler数的积分表示 [4]。孙平利用组合概率的方法研究了Riemann-Zeta函数与第一类无符号Stirling数之间的一种关系，给出了Riemann-Zeta函数的五阶和与六阶和计算 [5] [6]。这些关于Beukers型积分的研究都是利用分析的方法，借助于复杂的积分换元公式，把多重积分转化为二重积分或定积分。复杂的积分换元公式难于寻找，且不同的积分将要构造不同的换元公式，结论具有局限性，不易推广。

本文提出一种不借助复杂的换元公式且具有一般性的方法，把Beukers型多重积分转化为定积分。本文主要利用概率论中随机变量的函数的数学期望，把Beukers型多重积分看作是多维随机变量的函数的数学期望，再利用随机变量的期望的定义中对应的积分，即可把Beukers型多重积分转化为定积分。文章先给出了Abel和Kushnirevych提出的推广的多重Beukers型积分转化定积分的简单变换，同时结合组合数学的方法，又给出了涉及多重Beukers型积分的一些组合表示。本文所提出的方法具有一般性，不需要对具体的Beukers型多重积分寻找具体的换元公式，并且比其他方法简单易于理解，将为研究Beukers型多重积分提供新的途径与思路。

2. 预备知识

记 $u_1,u_2,\cdots ,u_k$ 是一组相互独立、并且同分布于区间 $\left(0,1\right)$ 上均匀分布的随机变量，它们有相同的概率密度函数

$f\left(x\right)=1,0<x<1.$

及n阶原点矩

$E\left(u_1^n\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{x}^{n}f\left(x\right)\text{d}x}=\frac{1}{n+1},n\ge 0.$

区间 $\left(0,1\right)$ 上均匀分布的随机变量的乘积 $V_k$ 定义为

$V_k=u_1{u}_2\cdots u_k,k\ge 1,$

易见 $0<V_k<1$，且随机变量 $V_k$ 的概率密度函数在Feller的专著 [7] 中给出

$f_k\left(x\right)=\frac{{\left(-\ln x\right)}^{k-1}}{\left(k-1\right)!},0<x<1.$

设随机变量X的概率密度函数为 $f\left(x\right),g\left(x\right)$ 是一元博雷尔函数，定义随机变量 $Y=g\left(X\right)$，则

$E\left(g\left(X\right)\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }g\left(x\right)f\left(x\right)\text{d}x}.$

上述随机变量函数的期望公式可以推广到多维随机变量的情形 [8]，设随机向量 $\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)$ 的联合概率密度函数为 $f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$，而 $g\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ 是n元博雷尔函数，则

$E\left(g\left(X_1,X_2,\cdots ,X_n\right)\right)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\cdots {\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }g}\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)f\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)\text{d}{x}_1\text{d}{x}_2\cdots \text{d}{x}_n}.$

3. 主要结果

定理1 设 $h\left(x\right)$ 是区间 $\left(0,1\right)$ 上的一元博雷尔函数，则

${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle {\int }_0^1\cdots {\displaystyle {\int }_0^{1}h\left(x_1{x}_2\cdots x_k\right)\text{d}{x}_1\text{d}{x}_2\cdots \text{d}{x}_k}}}=\frac{{\left(-1\right)}^{k-1}}{\left(k-1\right)!}{\displaystyle {\int }_0^{1}h\left(x\right)}{\left(\ln x\right)}^{k-1}\text{d}x,$ (2)

这里k为大于等于1的自然数。

证明 设 $u_1,u_2,\cdots ,u_k$ 是一组相互独立、并且同分布于区间 $\left(0,1\right)$ 上均匀分布的随机变量，则

$E\left[h\left(u_1{u}_2\cdots u_k\right)\right]={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle {\int }_0^1\cdots {\displaystyle {\int }_0^{1}h\left(x_1{x}_2\cdots x_k\right)\text{d}{x}_1\text{d}{x}_2\cdots \text{d}{x}_k}}}$

又因随机变量 $V_k=u_1{u}_2\cdots u_k$ 的密度函数为

$p\left(x\right)=\frac{{\left(-\ln x\right)}^{k-1}}{\left(k-1\right)!},0<x<1.$

所以

$E\left[h\left(u_1{u}_2\cdots u_k\right)\right]=E\left[h\left(V_k\right)\right]={\displaystyle {\int }_0^{1}h\left(x\right)}\frac{{\left(-\ln x\right)}^{k-1}}{\left(k-1\right)!}\text{d}x.$

定理1得证。

注：定理1给出多重Beukers型积分化为定积分的证明相比于积分换元法更简洁，更容易理解。

推论2 在定理1中，令 $h\left(x_1{x}_2\cdots x_k\right)=\frac{1}{1-x_1{x}_2\cdots x_k}$，即得

$\zeta \left(k\right)={\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle {\int }_0^1\cdots {\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{1-x_1{x}_2\cdots x_k}\text{d}{x}_1\text{d}{x}_2\cdots \text{d}{x}_k}}}=\frac{{\left(-1\right)}^{k-1}}{\left(k-1\right)!}{\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{1-x}}{\left(\ln x\right)}^{k-1}\text{d}x,$ (3)

证明 因为

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle {\int }_0^1\cdots {\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{1-x_1{x}_2\cdots x_k}\text{d}{x}_1\text{d}{x}_2\cdots \text{d}{x}_k}}}\\ =E\left(\frac{1}{1-V_k}\right)=E\left({\displaystyle \underset{m=0}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(V_k\right)}^m}\right)={\displaystyle \underset{m=0}{\overset{\infty }{\sum }}E\left[{\left(V_k\right)}^m\right]}={\displaystyle \underset{m=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{{\left(m+1\right)}^k}=\zeta (\; k\; )}\end{array}$

另外， $E\left(\frac{1}{1-V_k}\right)=\frac{{\left(-1\right)}^{k-1}}{\left(k-1\right)!}{\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{1-x}}{\left(\ln x\right)}^{k-1}\text{d}x$。

推论3 在定理1中，令 $h\left(x_1{x}_2\cdots x_k\right)=\frac{{\text{e}}^{x_1{x}_2\cdots x_{k}z}}{{\ln }^{k-1}\left(x_1{x}_2\cdots x_k\right)}$，这里 $z\ne 0$，则有

${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle {\int }_0^1\cdots {\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\text{e}}^{x_1{x}_2\cdots x_{k}z}}{{\ln }^{k-1}\left(x_1{x}_2\cdots x_k\right)}\text{d}{x}_1\text{d}{x}_2\cdots \text{d}{x}_k}}}={\left(-1\right)}^k\frac{{\text{e}}^z-1}{z\cdot \left(k-1\right)!}.$ (4)

证明 因为

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle {\int }_0^1\cdots {\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\text{e}}^{x_1{x}_2\cdots x_{k}z}}{{\ln }^{k-1}\left(x_1{x}_2\cdots x_k\right)}\text{d}{x}_1\text{d}{x}_2\cdots \text{d}{x}_k}}}\\ =E\left[\frac{{\text{e}}^{V_{k}z}}{{\ln }^{k-1}\left(V_k\right)}\right]=\frac{{\left(-1\right)}^{k-1}}{\left(k-1\right)!}{\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\text{e}}^{xz}}{{\left(\ln x\right)}^{k-1}}}{\left(\ln x\right)}^{k-1}\text{d}x={\left(-1\right)}^k\frac{{\text{e}}^z-1}{z\cdot \left(k-1\right)!}.\end{array}$

推论4 在定理1中，令 $h\left(x_1{x}_2\cdots x_k\right)=\frac{{\left(x_1{x}_2\cdots x_k\right)}^m}{1-x_1{x}_2\cdots x_k}$，则有

${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle {\int }_0^1\cdots {\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\left(x_1{x}_2\cdots x_k\right)}^m}{1-x_1{x}_2\cdots x_k}\text{d}{x}_1\text{d}{x}_2\cdots \text{d}{x}_k}}}=\zeta \left(k\right)-{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{m}{\sum }}\frac{1}{l^k}}.$ (5)

证明 因为

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle {\int }_0^1\cdots {\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\left(x_1{x}_2\cdots x_k\right)}^m}{1-x_1{x}_2\cdots x_k}\text{d}{x}_1\text{d}{x}_2\cdots \text{d}{x}_k}}}\\ =E\left[\frac{V_k^m}{1-V_k}\right]=E{\displaystyle \underset{l=0}{\overset{\infty }{\sum }}{V}_k^{m+l}}={\displaystyle \underset{l=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{1}{{\left(m+l+1\right)}^k}}=\zeta \left(k\right)-{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{m}{\sum }}\frac{1}{l^k}}.\end{array}$

特别地

${\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle {\int }_0^1{\displaystyle {\int }_0^1\frac{{\left(xyz\right)}^2}{1-xyz}\text{d}x\text{d}y\text{d}z}}}=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_0^1\frac{x^2}{1-x}{\left(-\ln x\right)}^2\text{d}x}=\zeta \left(3\right)-{\displaystyle \underset{l=1}{\overset{2}{\sum }}\frac{1}{l^3}}=\zeta \left(3\right)-\frac{9}{8}.$

4. 结论

由以上的结论可以看到，利用Beukers型积分的概率表示，可以给出一类多重Beukers型积分转化定积分的简单证明。另外，借助于概率论的技巧，得到一些多重积分化为定积分的计算公式。这些结论说明，利用概率工具可以研究一些多重积分的计算。对于一些多重积分的计算，可以通过其对应的被积函数，先转化为随机变量特殊函数的期望，再利用随机变量的数学期望的结论与性质，得到多重积分的定积分表示，这种方法为多重积分的研究与计算提供了一个新的研究视角和途径。