非自治动力系统的多重传递集

Multi-Transitivity Set for Nonautonomous Dynamical Systems

摘要: 基于非自治离散动力系统之间的相互作用，本文主要研究了两个共轭的非自治动力系统(X,f_1,∞)和(Y,g_1,∞)之间的关系。本文首先介绍了非自治动力系统的一些基本概念，主要包括弱混合集、传递集和多重传递集。然后，我们证明了如果A是(X,f_1,∞)的多重传递集，则h(A)是(Y,g_1,∞)的多重传递集。我们把非自治动力系统(X,f_1,∞)的传递集推广到系统(X,f_1,∞)的多重传递集。

Abstract: Based on the interaction between nonautonomous discrete dynamical systems, this paper mainly studies the relationship between two conjugated nonautonomous dynamical systems (X,f_1,∞) and (Y,g_1,∞). We firstly introduced some basic concepts of nonautonomous dynamical systems, mainly including weakly mixed sets, transitive sets, and multi-transitive sets. Then, we proved that if A is a multi-transitive set of (X,f_1,∞), then h(A) is a multi-transitive set of (Y,g_1,∞). We generalized the transitive set of nonautonomous dynamical system   to the fact that system (X,f_1,∞) is a multi-transitive set.

1. 引言

设 $\left(X,d\right)$ 是一个度量空间，连续自映射 $f_i:X\to X,i\in \mathbb{N}$，记序列 ${\left\{f_i\right\}}_{i=1}^{\infty }=f_{1,\infty }$，对于任意的 $x\in X$，点x的轨迹由序列 $x,f_1\left(x\right),f_1^2\left(x\right),\cdots ,f_1^n\left(x\right),\cdots$ 表示，记作tra(x)，其中：

$f_1^n=f_n\circ f_{n-1}\circ \cdots \circ f_2\circ f_1$

并且对任意的 $f_i\in f_{1,\infty }$，当 $n=0$ 时， $f_i^0=id$，这是 $f_{1,\infty }$ 为X上的一个非自治系统，记作 $\left(X,f_{1,\infty }\right)$。记tra(x)构成的集合为 $orb\left(x\right)$，称为 $\left(X,f_{1,\infty }\right)$ 的轨道。对任意的 $f_i\in f_{1,\infty }$，任意的正整数n，记

$f_i^n=f_{i+n-1}\circ f_{i+n-2}\circ \cdots \circ f_{i+1}\circ f_i.$

对于一个动力系统 $\left(X,f\right)$，如果 $U,V\subset X$，定义回复时间集为 [1]

$N_f\left(U,V\right):=\left\{n\in \mathbb{N}:U\cap f^{-n}\left(V\right)\ne \varnothing \right\}.$

我们称系统 $\left(X,f\right)$ 或f是传递的，如果对X的任意两个非空开子集 $U,V$，回复时间集 $N_f\left(U,V\right)$ 非空；我们称系统 $\left(X,f\right)$ 是弱混合的，如果乘积系统 $\left(X\times X,f\times f\right)$ 是传递的；我们称系统 $\left(X,f\right)$ 是强混合的，如果对X的任意两个非空开子集 $U,V$，存在 $N\in \mathbb{N}$，使得 $\left\{N,N+1,\cdots \right\}\subset N_f\left(U,V\right)$。Furstenberg [2] 证明了对每个正整数n，系统 $\left(X,f\right)$ 是弱混合的意味着n次乘积系统 $\left(X^n,f^{\left(n\right)}\right)$ 是传递的。即：设 $\left(X,f\right)$ 是一个拓扑动力系统，若 $\left(X\times X,f\times f\right)$ 是传递的当且仅当对每个 $n\in \mathbb{N}$，乘积系统 $\left(X^n,f^{\left(n\right)}\right)$ (n次)也是传递的，其中 $X^n:=X\times \cdots \times X$ (n次)， $f^{\left(n\right)}:=f\times \cdots \times f$ (n次)。

Liu和Sun [3] 研究了非自治动力系统的弱混合集和传递集的基本性质，并证明如果A是 $\left(X,f_{1,\infty }\right)$ 的传递集，则 $h\left(A\right)$ 是 $\left(Y,g_{1,\infty }\right)$ 的传递集；如果A是 $\left(X,f_{1,\infty }\right)$ 的弱混合集，则 $h\left(A\right)$ 是 $\left(Y,g_{1,\infty }\right)$ 的弱混合集。其中A是X的非空闭子集， $h\left(A\right)$ 是Y的非空闭子集。Mohammad Salman和Ruchi Das [4] 研究了非自治动力系统的多重传递性得到如下结论：如果 $\left(X,f_{1,\infty }\right)$ 是多重传递的，则 $\left(Y,g_{1,\infty }\right)$ 也是多重传递的。通过刘磊等人研究非自治动力系统的传递集的方法研究系统的多重传递集的性质，这值得我们思考。我们根据非自治动力系统的多重传递性，我们可以得到如果A是 $\left(X,f_{1,\infty }\right)$ 的多重传递集，则 $h\left(A\right)$ 是 $\left(Y,g_{1,\infty }\right)$ 的多重传递集。

目前，动力系统的研究非常活跃。Chen等 [5] 研究关于向量的动力系统多重传递性。Francisco Balibrea和Piotr Oprochay等 [6] 研究了非自治动力系统中的弱混合和混沌。Huang等 [7] 给出动力系统局部Δ-弱混合集的概念以及有关重要结论。

本文主要分为以下几个部分。第一部分介绍了国内外研究现状和本文的研究动机。第二部分介绍一些基本概念和主要结果。第三部分是主要定理的证明。

2. 预备知识

设 $\left(X,f\right)$ 和 $\left(Y,g\right)$ 为两个共轭系统，二者的乘积系统 $\left(X\times Y,f\times g\right)$ 定义如下：

$f\times g\left(x,y\right)=\left(f\left(x\right),g\left(y\right)\right),\forall x\in X,y\in Y.$

类似地，我们可以定义任何多重系统的乘积系统。对于有限的乘积系统，我们把n重的乘积系统 $\left(X\times \cdots \times X,f\times \cdots \times f\right)$ 记作 $\left(X^n,f^{\left(n\right)}\right)$。设 $\left(X,f\right)$ 和 $\left(Y,g\right)$ 为两个系统，连续映射 $\pi :X\to Y$ 称为同态或者因子映射，是指其为满射并且 $\pi \circ f=g\circ \pi$。此时我们称 $\left(X,f\right)$ 为 $\left(Y,g\right)$ 的扩充，而称 $\left(Y,g\right)$ 为 $\left(X,f\right)$ 的因子。

定义2.1设 $\left(X,f_{1,\infty }\right)$ 是非自治离散动力系统，A是X的非空闭子集。我们称A是 $\left(X,f_{1,\infty }\right)$ 的传递集，是指对任意的A的非空开子集 $V^A$，以及X的非空开集U，且 $A\cap U\ne \varnothing$，存在 $l\in \mathbb{N}$ 使得

$f_1^l\left(V^A\right)\cap U\ne \varnothing .$

定义2.2设 $\left(X,f_{1,\infty }\right)$ 是非自治离散动力系统，A是X的非空闭子集。我们称A是 $\left(X,f_{1,\infty }\right)$ 的弱混合集，是指对任意的A非空开集 $V_1^A,\cdots ,V_m^A$，以及X的非空开集 $U_1,\cdots ,U_m$ 且 $A\cap U_j\ne \varnothing$，存在 $l\in \mathbb{N}$ 使得对任意的 $m\in \mathbb{N}$，以及每个 $j\in \left\{1,\cdots ,m\right\}$，有

$f_1^l\left(V_j^A\right)\cap U_j\ne \varnothing .$

定义2.3对于一个动力系统 $\left(X,f_{1,\infty }\right)$。我们称 $\left(X,f_{1,\infty }\right)$ 是多重传递的，是指对任意的 $m\in \mathbb{N}$， $f_{1,\infty }\times f_{1,\infty }^{\left[2\right]}\times \cdots \times f_{1,\infty }^{\left[m\right]}:X^m\to X^m$ 是拓扑传递的。也就是说，对于X的非空开集 $U_1,\cdots ,U_m,V_1,\cdots ,V_m$ 的集合，存在 $l\in \mathbb{N}$ 使得对任意的 $m\in \mathbb{N}$，以及每个 $j\in \left\{1,\cdots ,m\right\}$，有

$f_1^{jl}\left(U_j\right)\cap V_j\ne \varnothing .$

定义2.4设 $\left(X,f_{1,\infty }\right)$ 是非自治离散动力系统，A是X的非空闭子集。我们称A是 $\left(X,f_{1,\infty }\right)$ 的多重传递集，是指对任意的A非空开集 $V_1^A,\cdots ,V_m^A$，以及X的非空开集 $U_1,\cdots ,U_m$ 且 $A\cap U_j\ne \varnothing$，存在 $l\in \mathbb{N}$ 使得对任意的 $m\in \mathbb{N}$，以及每个 $j\in \left\{1,\cdots ,m\right\}$，有

$f_1^{jl}\left(V_j^A\right)\cap U_j\ne \varnothing .$

我们由非自治离散动力系统的混合性和传递性的定义容易得到下述蕴含关系：

拓扑混合 $\Rightarrow$ 多重传递的 $\Rightarrow$ 完全传递的。

3. 主要定理的证明

定理3.1设 $\left(X,f_{1,\infty }\right)$ 和 $\left(Y,g_{1,\infty }\right)$ 是两个非自治离散动力系统。设 $h:X\to Y$ 是半共轭映射，A是X的非空闭子集和 $h\left(A\right)$ 是Y的非空闭子集。如果A是 $\left(X,f_{1,\infty }\right)$ 的多重传递集，则 $h\left(A\right)$ 是 $\left(Y,g_{1,\infty }\right)$ 的多重传递集。

证明定理3.1：设 $V_1^{h\left(A\right)},\cdots ,V_m^{h\left(A\right)}$ 是 $h\left(A\right)$ 的非空闭子集， $U_1,\cdots ,U_m$ 是Y的非空闭子集且 $h\left(A\right)\cap U_j\ne \varnothing ,1\le j\le m$。由于 $h\left(A\right)$ 是Y的子空间，存在Y的开集 $V_1,\cdots ,V_m$，使得 $V_j^{h\left(A\right)}=V_j\cap h\left(A\right),1\le j\le m$。而且对于 $1\le j\le m$，有

$A\cap h^{-1}\left(V_j^{h\left(A\right)}\right)=A\cap h^{-1}\left(V_j\cap h\left(A\right)\right)=A\cap h^{-1}\left(V_j\right).$

因此 $A\cap h^{-1}\left(V_j^{h\left(A\right)}\right)$ 是A的开子集。

对 $1\le j\le m$，由于 $h\left(A\cap h^{-1}\left(V_j^{h\left(A\right)}\right)\right)=h\left(A\right)\cap V_j^{h\left(A\right)}\ne \varnothing$，于是对 $1\le j\le m$，我们有

$A\cap h^{-1}\left(V_j^{h\left(A\right)}\right)\ne \varnothing .$

因此，对 $1\le j\le m$，有 $U_j\cap h\left(A\right)\ne \varnothing$，这表明对于 $1\le j\le m$， $h\left(U_j\right)\cap A\ne \varnothing$。

由于h是半共轭映射，即对每个 $n\in \mathbb{N}$，有 $h\circ f_n=g_n\circ h$。对于任意的 $n\in \mathbb{N}$，我们有 $f_n\circ h^{-1}=h^{-1}\circ g_n$，我们可以得到

$f_1^{jl}\left(h^{-1}\right)=f_{jl}\circ f_{jl-1}\circ f_1\circ h^{-1}=f_{jl}\circ f_{jl-1}\circ f_2\circ h^{-1}\circ g_1=\cdots =h^{-1}\circ g_{jl}\circ g_{jl-1}\circ g_1=h^{-1}\left(g_1^{jl}\right),$

即 $h^{-1}{\left(g_1^{jl}\right)}^{-1}={\left(f_1^{jl}\right)}^{-1}\left(h^{-1}\right)$。因此，对 $1\le j\le m$，我们有

$h^{-1}\left({\left(g_1^{jl}\right)}^{-1}\left(U_j\right)\right)\cap h^{-1}\left(V_j^{h\left(A\right)}\right)\ne \varnothing ,$

这表明 $h^{-1}\left(V_j^{h\left(A\right)}\cap {\left(g_1^{jl}\right)}^{-1}\left(U_j\right)\right)\ne \varnothing$ 当且仅当对 $1\le j\le m$， $V_j^{h\left(A\right)}\cap {\left(g_1^{jl}\right)}^{-1}\left(U_j\right)\ne \varnothing$。

这就证明了 $h\left(A\right)$ 是 $\left(Y,g_{1,\infty }\right)$ 的多重传递集。