一类修正的Szász型算子的逼近性质

Approximation Properties of a Modified Szász Type Operators

摘要: 为了提高对函数的逼近程度，人们采取各种方法，构造King型算子就是其中的一种。本文构造了保持函数1和e^−μx(μ>0)的King-Szász型算子，对各阶矩的展开式应用Mathematica软件计算，得到了此类算子在[0,∞)区间上的一致逼近定理以及逼近误差的正定理。借助Taylor展式及连续模，得到其Voronovskaja型渐近估计。本文证明了该类算子统计逼近的Korovkin型定理，在此基础上，进一步研究了该类算子的统计逼近性质。

Abstract: There are many ways to improve the approximation degree of function, and the construction of King type operators is one of them. In this paper, we construct King-Szász type operators which preserve the functions 1 and e^−μx(μ>0). The expansions of the moments are calculated by Mathematica software. The uniform approximation theorem on the interval [0,∞) and the positive theorem of approximation error of this kind of operator are obtained. By means of Taylor expansion and continuous modulus, the Voronovskaja type asymptotic estimation is obtained. The Korovkin type theorem of statistical approximation of this kind of operator is also proved. Finally, the statistical approximation properties are further studied.

1. 引言

1950年Szász将经典的Bernstein算子推广到了无穷区间上，提出了Szász算子 [1] [11]：

$S_n\left(f;x\right)={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}f\left(\frac{k}{n}\right){\text{e}}^{-nx}\frac{{\left(nx\right)}^k}{k!}},x\in \left[0,+\infty \right)$。

2003年，韩国数学家King [2] 构造了保持函数 $x^2$ 的正线性Bernstein型算子，提高了逼近的精度。2007年，Duman [3] 使用King的方法构造了保持常函数和 $x^2$ 的Szász型算子。2016年，Acar [4] 将King的方法进行了推广，提出了保持函数 ${\text{e}}^{2ax}\left(a>0\right)$ 的Szász型算子。有关King型算子逼近性质的研究参见文献 [2] - [8]。在此基础上，我们构造了保持函数1和 ${\text{e}}^{-\mu x}\left(\mu >0\right)$ 的Szász型算子，研究其一致逼近和统计逼近性质。

新构造的Szász型算子的定义如下：

$S_{n,\mu }\left(f;x\right)={\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}f\left(\frac{k}{n}\right)\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^k}{k!}},x\in \left[0,+\infty \right)$，

其中 ${\alpha }_n=\frac{\mu x}{n\left(1-{\text{e}}^{-\frac{\mu }{n}}\right)}$。

注1.

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\alpha }_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\mu x}{n\left(1-{\text{e}}^{-\frac{\mu }{n}}\right)}=x$。

注2. 本文中 $C_B\left[0,\infty \right)$ 表示 $\left[0,\infty \right)$ 区间上的连续有界函数空间； $C\left[0,\infty \right)$ 表示 $\left[0,\infty \right)$ 区间上的连续函数空间；

$C^{*}\left[0,\infty \right):=\left\{f\in C\left[0,\infty \right):\underset{n\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)存在且有限\right\}$， ${\Vert f\Vert }_{\infty }:=\underset{x\in \left[0,\infty \right)}{\sup }\left|f\left(x\right)\right|$。

本文结构如下：首先在第二节中，我们介绍了研究一致逼近和统计逼近所需的矩的估计，即：引理2.1~2.3。其次，介绍研究逼近误差估计正定理所需的Korovkin型定理，即：引理2.4。第三节给出了一致收敛意义下的逼近误差估计的正定理以及Voronovskaja型渐近关系。第四节证明了统计逼近意义下该类算子的Korovkin型定理，并在此基础上，进一步研究了该类算子的统计逼近性质。

2. 所需引理

为了证明本文所构造算子的一致收敛性，需要下面有关算子矩的估计。

引理2.1. 设 $x\in \left[0,\infty \right)$， $\mu >0$，有

1) $S_{n,\mu }\left(1;x\right)=1$ ；

2) $S_{n,\mu }\left({\text{e}}^{-\mu t};x\right)={\text{e}}^{-\mu x}$ ；

3) $S_{n,\mu }\left({\text{e}}^{-2\mu t};x\right)={\text{e}}^{-\mu x\left({\text{e}}^{-\frac{\mu }{n}}+1\right)}$。

证明：令 $S\left({\alpha }_n\right)={\displaystyle {\sum }_{k=0}^{\infty }\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^k}{k!}}$，那么

$S^{\prime }\left({\alpha }_n\right)=\frac{\text{d}S\left({\alpha }_n\right)}{\text{d}{\alpha }_n}={\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{n^k{\alpha }_n^{k-1}}{\left(k-1\right)!}={\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{n^{k+1}{\alpha }_n^k}{k!}=n}}S\left({\alpha }_n\right)$，

解得 $S\left({\alpha }_n\right)={\text{e}}^{n{\alpha }_n}$。

使用类似的方法，通过计算我们得到：

1) $S_{n,\mu }\left(1;x\right)={\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^k}{k!}}={\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\text{e}}^{n{\alpha }_n}=1$ ；

2) $S_{n,\mu }\left({\text{e}}^{-\mu t};x\right)={\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^k}{k!}{\text{e}}^{-\frac{\mu k}{n}}}={\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\text{e}}^{n{\alpha }_n{\text{e}}^{\frac{-\mu }{n}}}={\text{e}}^{n{\alpha }_n\left(-1+{\text{e}}^{\frac{-\mu }{n}}\right)}={\text{e}}^{-\mu x}$ ；

3) $S_{n,\mu }\left({\text{e}}^{-2\mu t};x\right)={\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^k}{k!}{\text{e}}^{-\frac{2\mu k}{n}}}={\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\text{e}}^{n{\alpha }_n{\text{e}}^{\frac{-2\mu }{n}}}={\text{e}}^{n{\alpha }_n\left(-1+{\text{e}}^{\frac{-2\mu }{n}}\right)}={\text{e}}^{-\mu x\left({\text{e}}^{-\frac{\mu }{n}}+1\right)}$。

注3.

$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_{n,\mu }\left({\text{e}}^{-2\mu t};x\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{\text{e}}^{-\mu x\left({\text{e}}^{-\frac{\mu }{n}}+1\right)}={\text{e}}^{-2\mu x}$。

引理2.2. 设 $x\in \left[0,\infty \right)$， $\mu >0$，有

1) $S_{n,\mu }\left(t;x\right)={\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^k}{k!}\frac{k}{n}}={\alpha }_n$ ；

2) $S_{n,\mu }\left(t^2;x\right)={\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^k}{k!}\frac{k^2}{n^2}}={\alpha }_n^2+\frac{{\alpha }_n}{n}$ ；

3) $S_{n,\mu }\left(t^3;x\right)={\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^k}{k!}\frac{k^3}{n^3}}={\alpha }_n^3+\frac{3{\alpha }_n^2}{n}+\frac{{\alpha }_n}{n^2}$ ；

4) $S_{n,\mu }\left(t^4;x\right)={\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^k}{k!}\frac{k^4}{n^4}}={\alpha }_n^{\text{4}}+\frac{\text{6}{\alpha }_n^{\text{3}}}{n}+\frac{\text{7}{\alpha }_n^{\text{2}}}{n^2}+\frac{{\alpha }_n}{n^3}$。

证明：

1) $\begin{array}{c}{S}_{n,\mu }\left(t;x\right)={\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^k}{k!}\frac{k}{n}}={\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\alpha }_n{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^{k-1}}{\left(k-1\right)!}}\\ ={\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\alpha }_n{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^k}{k!}}={\alpha }_n{\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\text{e}}^{n{\alpha }_n}={\alpha }_n;\end{array}$

2) $\begin{array}{c}{S}_{n,\mu }\left(t^2;x\right)={\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^k}{k!}\frac{k^2}{n^2}}\\ ={\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\alpha }_n^2{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^{k-2}}{\left(k-2\right)!}}+{\text{e}}^{-n{\alpha }_n}\frac{{\alpha }_n}{n}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^{k-1}}{\left(k-1\right)!}}\\ =\left({\alpha }_n^2+\frac{{\alpha }_n}{n}\right){\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^k}{k!}}\\ ={\alpha }_n^2+\frac{{\alpha }_n}{n};\end{array}$

3) $\begin{array}{c}{S}_{n,\mu }\left(t^3;x\right)={\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^k}{k!}\frac{k^3}{n^3}}\\ ={\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\alpha }_n^3{\displaystyle \underset{k=3}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^{k-3}}{\left(k-3\right)!}}+{\text{e}}^{-n{\alpha }_n}\frac{3{\alpha }_n^2}{n}{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^{k-2}}{\left(k-2\right)!}}+{\text{e}}^{-n{\alpha }_n}\frac{{\alpha }_n}{n^2}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^{k-1}}{\left(k-1\right)!}}\\ =\left({\alpha }_n^3+\frac{3{\alpha }_n^2}{n}+\frac{{\alpha }_n}{n^2}\right){\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^k}{k!}}\\ ={\alpha }_n^3+\frac{3{\alpha }_n^2}{n}+\frac{{\alpha }_n}{n^2};\end{array}$

4) $\begin{array}{c}{S}_{n,\mu }\left(t^4;x\right)={\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^k}{k!}\frac{k^4}{n^4}}\\ ={\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\alpha }_n^4{\displaystyle \underset{k=4}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^{k-4}}{\left(k-4\right)!}}+{\text{e}}^{-n{\alpha }_n}\frac{6{\alpha }_n^3}{n}{\displaystyle \underset{k=3}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^{k-3}}{\left(k-3\right)!}}\\ +{\text{e}}^{-n{\alpha }_n}\frac{7{\alpha }_n^2}{n^2}{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^{k-2}}{\left(k-2\right)!}}+{\text{e}}^{-n{\alpha }_n}\frac{{\alpha }_n}{n^3}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^{k-1}}{(k-1)!}}\\ =\left({\alpha }_n^{\text{4}}+\frac{\text{6}{\alpha }_n^{\text{3}}}{n}+\frac{\text{7}{\alpha }_n^{\text{2}}}{n^2}\text{+}\frac{{\alpha }_n}{n^3}\right){\text{e}}^{-n{\alpha }_n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(n{\alpha }_n\right)}^k}{k!}}\\ ={\alpha }_n^4+\frac{6{\alpha }_n^3}{n}+\frac{7{\alpha }_n^2}{n^2}+\frac{{\alpha }_n}{n^3}.\end{array}$

引理2.3. 设 $M_n^k\left(x\right)=S_{n,\mu }\left({\left(t-x\right)}^k;x\right)$， $k=1,2,4$，有

1) $\underset{n\to \infty }{\lim }n{M}_n^1\left(x\right)=\frac{\mu x}{2}$ ；

2) $\underset{n\to \infty }{\lim }n{M}_n^2\left(x\right)=x$ ；

3) $\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{M}_n^4\left(x\right)=3x^2$。

证明：

1) $\begin{array}{c}\underset{n\to \infty }{\lim }n{M}_n^1\left(x\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }n{S}_{n,\mu }\left(\left(t-x\right);x\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }n\left({\alpha }_n-x\right)\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }nx\left[\frac{\mu }{n\left(1-{\text{e}}^{-\frac{\mu }{n}}\right)}-1\right]=\frac{\mu x}{2};\end{array}$

2) $\begin{array}{c}\underset{n\to \infty }{\lim }n{M}_n^2\left(x\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }n{S}_{n,\mu }\left({\left(t-x\right)}^2;x\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }n\left({\alpha }_n^2+\frac{{\alpha }_n}{n}-2x{\alpha }_n+x^2\right)\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\left[\frac{{\left(\mu x\right)}^2}{n{\left(1-{\text{e}}^{-\frac{\mu }{n}}\right)}^2}+\frac{\mu x}{n\left(1-{\text{e}}^{-\frac{\mu }{n}}\right)}-\frac{2\mu x^2}{1-{\text{e}}^{-\frac{\mu }{n}}}+n{x}^2\right]=x;\end{array}$

3) $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }{n}^2{M}_n^4\left(x\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }n{S}_{n,\mu }\left({\left(t-x\right)}^4;x\right)\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }[n^2{x}^4\left(\frac{{\mu }^4}{n^4{\left(1-{\text{e}}^{-\frac{\mu }{n}}\right)}^4}-\frac{4{\mu }^3}{n^3{\left(1-{\text{e}}^{-\frac{\mu }{n}}\right)}^3}+\frac{6{\mu }^2}{n^2{\left(1-{\text{e}}^{-\frac{\mu }{n}}\right)}^2}-\frac{4\mu }{n\left(1-{\text{e}}^{-\frac{\mu }{n}}\right)}+1\right)\\ +n^2{x}^3\left(\frac{6{\mu }^3}{n^4{\left(1-{\text{e}}^{-\frac{\mu }{n}}\right)}^3}-\frac{12{\mu }^2}{n^3{\left(1-{\text{e}}^{-\frac{\mu }{n}}\right)}^2}+\frac{6\mu }{n^2\left(1-{\text{e}}^{-\frac{\mu }{n}}\right)}\right)\\ +n^2{x}^2\left(\frac{7{\mu }^2}{n^4{\left(1-{\text{e}}^{-\frac{\mu }{n}}\right)}^2}-\frac{4\mu }{n^3\left(1-{\text{e}}^{-\frac{\mu }{n}}\right)}\right)+n^{2}x\frac{\mu }{n^4\left(1-{\text{e}}^{-\frac{\mu }{n}}\right)}]=3x^2.\end{array}$

引理2.4. [9] 设 $f\in C^{*}\left[0,+\infty \right)$， $A_n$ 是 $C^{*}\left[0,+\infty \right)$ 到 $C^{*}\left[0,+\infty \right)$ 的正线性算子，满足

$\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n\left({\text{e}}^{-kt};x\right)={\text{e}}^{-kx},k=0,1,2$，

且上述收敛是一致的，当且仅当 ${\lim }_{n\to \infty }{A}_n\left(f;x\right)=f\left(x\right)$ 于 $\left[0,+\infty \right)$ 上是一致的。

3. 逼近的正逆定理

定理3.1. 令 $\mu >0$，对于任意的函数 $f\in C^{*}\left[0,+\infty \right)$，当 $n\to \infty$ 时，算子列 $\left\{S_{n,\mu }\left(f;x\right)\right\}$ 在区间 $\left[0,\infty \right)$ 上一致收敛于 $f\left(x\right)$。

证明：定义函数 $f_k={\text{e}}^{-kx},\left(k=0,1,2\right)$，首先，结合引理2.1，我们有

${\Vert S_{n,\mu }\left(1;x\right)-1\Vert }_{\infty }=\underset{x\in \left[0,\infty \right)}{\sup }\left|S_{n,\mu }\left(1;x\right)-1\right|=0$。

其次，使用Mathematica计算软件，有

$\begin{array}{l}{\Vert S_{n,\mu }\left({\text{e}}^{-t};x\right)-{\text{e}}^{-x}\Vert }_{\infty }={\Vert {\text{e}}^{-n{\alpha }_n\left[1-{\text{e}}^{\frac{-1}{n}}\right]}-{\text{e}}^{-x}\Vert }_{\infty }={\Vert {\text{e}}^{-n{\alpha }_n\left[\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{6n^3}+O\left(n^{-3}\right)\right]}-{\text{e}}^{-x}\Vert }_{\infty }\\ ={\Vert {\text{e}}^{-x\left[\frac{\mu }{n\left(1-{\text{e}}^{\frac{-\mu }{n}}\right)}+\frac{-\mu }{2n^2\left(1-{\text{e}}^{\frac{-\mu }{n}}\right)}+\frac{\mu }{6n^3\left(1-{\text{e}}^{\frac{-\mu }{n}}\right)}+O\left(n^{-3}\right)\right]}-{\text{e}}^{-x}\Vert }_{\infty }\le {\Vert {\text{e}}^{-x}\left[{\text{e}}^{\frac{-\left(\mu -1\right)x}{2n}+O\left(n^{-2}\right)}-1\right]\Vert }_{\infty }\\ \le {\Vert {\text{e}}^{-x}\left[\frac{-\left(\mu -1\right)x}{2n}+\frac{{\left(\mu -1\right)}^2{x}^2}{8n^2}+O\left(n^{-2}\right)\right]\Vert }_{\infty }\le \frac{\left|\mu -1\right|}{2n}\cdot \frac{1}{\text{e}}+\frac{{\left(\mu -1\right)}^2}{n^2}\cdot \frac{1}{2{\text{e}}^2}+O\left(n^{-2}\right):=\beta \end{array}$

使用同样的方法，可以得到

$\begin{array}{l}{\Vert S_{n,\mu }\left({\text{e}}^{-2t};x\right)-{\text{e}}^{-2x}\Vert }_{\infty }={\Vert {\text{e}}^{-n{\alpha }_n\left[1-{\text{e}}^{\frac{-2}{n}}\right]}-{\text{e}}^{-2x}\Vert }_{\infty }={\Vert {\text{e}}^{-n{\alpha }_n\left[\frac{2}{n}-\frac{4}{2n^2}+\frac{8}{6n^3}+O\left(n^{-3}\right)\right]}-{\text{e}}^{-2x}\Vert }_{\infty }\\ ={\Vert {\text{e}}^{-2x\left[\frac{\mu }{n\left(1-{\text{e}}^{\frac{-\mu }{n}}\right)}-\frac{\mu }{n^2\left(1-{\text{e}}^{\frac{-\mu }{n}}\right)}+\frac{4\mu }{6n^3\left(1-{\text{e}}^{\frac{-\mu }{n}}\right)}+O\left(n^{-3}\right)\right]}-{\text{e}}^{-2x}\Vert }_{\infty }\le {\Vert {\text{e}}^{-2x}\left[{\text{e}}^{\frac{-\left(\mu -2\right)x}{n}+O\left(n^{-2}\right)}-1\right]\Vert }_{\infty }\\ \le {\Vert {\text{e}}^{-2x}\left[\frac{-\left(\mu -2\right)x}{n}+\frac{{\left(\mu -2\right)}^2{x}^2}{2n^2}+O\left(n^{-2}\right)\right]\Vert }_{\infty }\le \frac{\left|\mu -2\right|}{n}\cdot \frac{1}{2\text{e}}+\frac{{\left(\mu -2\right)}^2}{n^2}\cdot \frac{1}{2{\text{e}}^2}+O\left(n^{-2}\right):=\gamma \end{array}$

当 $n\to \infty$ 时， $\beta$ 和 $\gamma$ 都趋近于0，结合引理2.4 Korovkin型定理，可以完成定理3.1的证明。

Holhos [10] 提出了连续模 ${\omega }^{*}\left(f;\delta \right)$ 的概念：对于 $\delta >0$ 和 $f\in C^{*}\left[0,+\infty \right)$，定义

${\omega }^{*}\left(f;\delta \right)=\underset{x,t\ge 0,\left|{\text{e}}^{-x}-{\text{e}}^{-t}\right|\le \delta }{\sup }\left|f\left(x\right)-f\left(t\right)\right|$。

传统连续模的定义如下 [11]：

$\omega \left(f;\delta \right)=\underset{x,t\ge 0,\left|t-x\right|\le \delta }{\sup }\left|f\left(x\right)-f\left(t\right)\right|$。

以上两个模之间的关系为： ${\omega }^{*}\left(f;\delta \right)=\omega \left(f^{\text{*}};\delta \right)$，

其中

$f^{*}\left(x\right)=\{\begin{array}{l}f\left(-\ln x\right);x\ne 0,\\ \underset{t\to \infty }{\lim }f\left(t\right);x=0.\end{array}$

根据Holhos [10 theorem 3]，结合引理2.2，我们可以得到正定理：

定理3.2. 设 $f\in C^{*}\left[0,+\infty \right)$，可以得到

${\Vert S_{n,\mu }\left(f;x\right)-f\left(x\right)\Vert }_{\infty }\le 2{\omega }^{*}\left(f;\sqrt{2{\beta }_n+{\gamma }_n}\right)$，

其中

${\Vert S_{n,\mu }\left({\text{e}}^{-t};x\right)-{\text{e}}^{-x}\Vert }_{\infty }={\beta }_n$，

${\Vert S_{n,\mu }\left({\text{e}}^{-2t};x\right)-{\text{e}}^{-2x}\Vert }_{\infty }={\gamma }_n$。

下面，我们将讨论Voronovskaja型弱逆定理。

定理3.3. 设 $f^{″}\in C_B\left[0,\infty \right)$，有

$\underset{n\to \infty }{\lim }n\left[S_{n,\mu }\left(f;x\right)-f\right]=\frac{\mu x}{2}{f}^{\prime }\left(x\right)+\frac{x}{2}{f}^{″}\left(x\right)$。

证明：根据Taylor公式，将 $f\left(t\right)$ 在x点处展开

$f\left(t\right)=f\left(x\right)+f^{\prime }\left(x\right)\left(t-x\right)+\frac{1}{2}{f}^{″}\left(x\right){\left(t-x\right)}^2+h\left(t,x\right){\left(t-x\right)}^2$，

其中 $h\left(t,x\right)=\frac{1}{2}\left[f^{″}\left(\xi \right)-f^{″}\left(x\right)\right]$， $\xi$ 在x和t之间。将算子 $S_{n,\mu }$ 作用于上式两边，

$S_{n,\mu }\left(f;x\right)-f\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)S_{n,\mu }\left(t-x;x\right)+\frac{f^{″}\left(x\right)}{2}{S}_{n,\mu }\left({\left(t-x\right)}^2;x\right)+S_{n,\mu }\left(h\left(t,x\right){\left(t-x\right)}^2;x\right)$。

令 $\delta >0$，对于上述定义的 $\omega \left(f;\delta \right)$，我们有

$\left|f\left(t\right)-f\left(x\right)\right|\le \left(1+\frac{\left|t-x\right|}{\delta }\right)\omega \left(f;\delta \right)$。

因此，我们得到

$\left|h\left(t,x\right)\right|\le \frac{1}{2}\left(1+\frac{\left|t-x\right|}{\delta }\right)\omega \left(f^{″};\delta \right)$。

由算子 $S_{n,\mu }$ 的定义，有

$S_{n,\mu }\left(\left|h\left(t,x\right)\right|{\left(t-x\right)}^2;x\right)\le \omega \left(f^{″};\delta \right)S_{n,\mu }\left({\left(t-x\right)}^2;x\right)+\frac{1}{\delta }\omega \left(f^{″};\delta \right)S_{n,\mu }\left({\left|t-x\right|}^3;x\right)$。

取 $\delta =\frac{1}{n}$，有 $\underset{n\to \infty }{\lim }n{S}_{n,\mu }\left(h\left(t,x\right){\left(t-x\right)}^2;x\right)=0$，即可证。

定理3.4. 令 $f^{″}\in C_B\left[0,\infty \right)$，如果存在 $n_0\in N$ 满足：对于 $n\ge n_0$，有

$f\left(x\right)\le S_{n,\mu }\left(f;x\right)\le S_n\left(f;x\right)$。 (1)

那么

$f^{″}\left(x\right)\ge -\mu f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$。 (2)

另一方面，对于给定的 $x\in \left[0,\infty \right)$，如果不等式(2)成立，那么存在 $n_0\in N$，使得对于任意的 $n\ge n_0$，有

$f\left(x\right)\le S_{n,\mu }\left(f;x\right)\le S_n\left(f;x\right)$。

证明：假设不等式(1)成立，我们有： $0\le n\left(S_{n,\mu }\left(f;x\right)-f\left(x\right)\right)\le n\left(S_n\left(f;x\right)-f\left(x\right)\right)$。

根据定理3.3，可以得到不等式(2)。另一方面，假设不等式(2)成立，我们有 $0\le -2\mu f^{\prime }\left(x\right)+f^{″}\left(x\right)\le f^{″}\left(x\right)$，移项后可以得到不等式(1)。

4. 统计逼近

1951年，Fast [12] 提出了统计收敛的定义，1993年，Kolk [13] 提出了A-统计收敛的概念，2002年，Gadjiev和Orhan [14] 将统计收敛应用到逼近理论当中，得到了关于统计收敛的Korovkin型定理。统计收敛概念的提出促进了逼近论的发展，弥补了各类线性算子逼近性质的不足 [12] [13] [14] [15] [16]。

定义4.1. [15] 设 $E\subseteq N$， $E_n=\left\{k\le n:k\in E\right\}$。集合E的自然密度记为： $\delta \left(E\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left|E_n\right|}{n}$，其中 $\left|E_n\right|$ 代表闭集 $E_n$ 的基数。

定义4.2. [15] 如果对于任意的 $\epsilon >0$，都有 $\delta \left(\left\{k\in N:\left|x_k-L\right|\ge \epsilon \right\}\right)=0$，则称序列 $x=\left(x_k\right)$ 为统计收敛到L，我们记作 $S\text{-}\lim x=L$ 或 $S\text{-}{\lim }_{n\to \infty }{x}_n=L$。

定义4.3. [16] 设 $A=\left(a_{n,k}\right)$ 是非负正规可加矩阵，如果对于任意的 $\epsilon >0$，都有 ${\lim }_{n\to \infty }{\displaystyle {\sum }_{k:\left|x_k-L\right|\ge \epsilon }{a}_{n,k}}=0$，则称序列 $x=\left(x_k\right)$ 为A-统计收敛到L，记作 $S_A\text{-}\lim x=L$ 或 $S_A\text{-}{\lim }_{n\to \infty }{x}_n=L$。

定义4.4. [16] 设 $A=\left(a_{n,k}\right)$ 是非负正规可加矩阵， $p=\left(p_k\right)$ 是一非负数列满足 $p_0>0$ 且当 $n\to \infty$ 时， $P_n={\displaystyle {\sum }_{k=0}^n{p}_k}\to \infty$。如果对于任意的 $\epsilon >0$，满足

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{P_n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{p}_k}{\displaystyle \underset{m:p_m\left|x_m-L\right|\ge \epsilon }{\sum }{a}_{k,m}}=0$，

则称序列 $x=\left(x_k\right)$ 为加权A-统计收敛到L，记作 $S_A^{\bar{N}}\text{-}{\lim }_n{x}_n=L$ 或 $S_A^{\bar{N}}\text{-}\lim x=L$。

定义4.5. [16] 设 $A=\left(a_{n,k}\right)$ 是非负正规可加矩阵， $p=\left(p_k\right)$ 是一非负数列满足 $p_0>0$ 且当 $n\to \infty$ 时， $P_n={\displaystyle {\sum }_{k=0}^n{p}_k}\to \infty$。令 $\left(u_k\right)$ 是一正非增序列，如果

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{u_n{P}_n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{p}_k}{\displaystyle \underset{m:p_m|x_m-L|\ge \epsilon }{\sum }{a}_{k,m}}=0$，

则称序列 $x=\left(x_k\right)$ 为与 $o\left(u_n\right)$ 同阶加权A-统计收敛到L，记作 $S_A^{\bar{N}}\text{-}o\left(u_n\right)\text{-}{\lim }_n{x}_n=L$。

下面我们首先得到算子 $S_{n,\mu }$ 统计逼近的Korovkin型定理。

定理4.1. 设 $A=\left(a_{n,k}\right)$ 是非负正规可加矩阵， $p=\left(p_k\right)$ 是一非负数列满足 $p_0>0$ 且当 $n\to \infty$ 时， $P_n={\displaystyle {\sum }_{k=0}^n{p}_k}\to \infty$。对于任意的函数 $f\in C^{*}\left[0,\infty \right)$，有

$S_A^{\bar{N}}\text{-}\underset{n\to \infty }{\lim }{\Vert S_{n,\mu }\left(f;x\right)-f\left(x\right)\Vert }_{\infty }=0$

当且仅当

$S_A^{\bar{N}}\text{-}\underset{n\to \infty }{\lim }{\Vert S_{n,\mu }\left(1;x\right)-1\Vert }_{\infty }=0$ ；

$S_A^{\bar{N}}\text{-}\underset{n\to \infty }{\lim }{\Vert S_{n,\mu }\left({\text{e}}^{-t};x\right)-{\text{e}}^{-x}\Vert }_{\infty }=0$ ；

$S_A^{\bar{N}}\text{-}\underset{n\to \infty }{\lim }{\Vert S_{n,\mu }\left({\text{e}}^{-2t};x\right)-{\text{e}}^{-2x}\Vert }_{\infty }=0$。

证明：由于函数 $f\in C^{*}\left[0,\infty \right)$，因此存在常数 $K>0$ 满足 $\left|f\left(x\right)\right|\le K$。对于任意的 $t,x\in \left[0,\infty \right)$，有 $\left|f\left(t\right)-f\left(x\right)\right|\le \left|f\left(t\right)\right|+\left|f\left(x\right)\right|\le 2K$。

对于任意的 $\epsilon >0$，存在 $\delta \left(\epsilon \right)>0$，使得当 $\left|{\text{e}}^{-t}-{\text{e}}^{-x}\right|<\delta$ 时， $\left|f\left(t\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon$。

定义集合 $D\left(\delta \right)=\left\{\left(x,t\right)\in \left[0,\infty \right):\left|{\text{e}}^{-t}-{\text{e}}^{-x}\right|<\delta \right\}$，我们得到

$\left|f\left(t\right)-f\left(x\right)\right|\le {\left|f\left(t\right)-f\left(x\right)\right|}_{D\left(\delta \right)}\text{+}{\left|f\left(t\right)-f\left(x\right)\right|}_{\left[0,\infty \right)-D\left(\delta \right)}\le \epsilon +\frac{2K}{{\delta }^2}\Omega$，

其中 $\Omega ={\left({\text{e}}^{-t}-{\text{e}}^{-x}\right)}^2$。对于 $m\in N$，有

$S_{m,\mu }\left(\Omega ;x\right)=\left[S_{m,\mu }\left({\text{e}}^{-2t};x\right)-{\text{e}}^{-2x}\right]-2{\text{e}}^{-x}\left[S_{m,\mu }\left({\text{e}}^{-t};x\right)-{\text{e}}^{-x}\right]+{\text{e}}^{-2x}\left[S_{m,\mu }\left(1;x\right)-1\right]$。

因此，对于式子 $S_{m,\mu }\left(f;x\right)-f\left(x\right)$，我们有

$\begin{array}{c}\left|S_{m,\mu }\left(f;x\right)-f\left(x\right)\right|\le \epsilon S_{m,\mu }\left(1;x\right)+\frac{2K}{{\delta }^2}{S}_{m,\mu }\left(\Omega ;x\right)+\left|f\left(x\right)\left(S_{m,\mu }\left(1;x\right)-1\right)\right|\\ \le \epsilon +\frac{2K}{{\delta }^2}{\Vert S_{m,\mu }\left({\text{e}}^{-2t};x\right)-{\text{e}}^{-2x}\Vert }_{\infty }+\frac{4K}{{\delta }^2}{\Vert S_{m,\mu }\left({\text{e}}^{-t};x\right)-{\text{e}}^{-x}\Vert }_{\infty }\\ \le \frac{4K}{{\delta }^2}\left({\Vert S_{m,\mu }\left({\text{e}}^{-2t};x\right)-{\text{e}}^{-2x}\Vert }_{\infty }+{\Vert S_{m,\mu }\left({\text{e}}^{-t};x\right)-{\text{e}}^{-x}\Vert }_{\infty }\right)\end{array}$

对于一个给定的 ${\epsilon }^{\prime }>0$，使得 $0<\epsilon <{\epsilon }^{\prime }$。我们定义下面的集合：

$E=\left\{m\in N:p_m\left|S_{m,\mu }\left(f;x\right)-f\left(x\right)\right|\ge {\epsilon }^{\prime }\right\}$ ；

$E_1=\left\{m\in N:p_m\left|S_{m,\mu }\left({\text{e}}^{-t};x\right)-{\text{e}}^{-x}\right|\ge \frac{{\epsilon }^{\prime }-\epsilon }{8K}{\delta }^2\right\}$ ；

$E_2=\left\{m\in N:p_m\left|S_{m,\mu }\left({\text{e}}^{-2t};x\right)-{\text{e}}^{-2x}\right|\ge \frac{{\epsilon }^{\prime }-\epsilon }{8K}{\delta }^2\right\}$。

显然 $E\subset E_1\cup E_2$， $\frac{\text{1}}{P_n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{p}_k{\displaystyle \underset{m\in E}{\sum }{a}_{k,m}}}\le \frac{\text{1}}{P_n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{p}_k{\displaystyle \underset{m\in E_1\cup E_2}{\sum }{a}_{k,m}}}$。

当 $n\to \infty$ 时，可以得到 $S_A^{\bar{N}}\text{-}\underset{n\to \infty }{\lim }{\Vert S_{n,\mu }\left(f;x\right)-f\left(x\right)\Vert }_{\infty }=0$。

注4. 这里我们使用了 $\left\{1,{\text{e}}^{-x},{\text{e}}^{-2x}\right\}$ 作为检验函数，也可以使用 $\left\{1,x,x^2\right\}$。

定理4.2. 设 $A=\left(a_{n,k}\right)$ 是非负正规可加矩阵，如果

$S_A^{\bar{N}}\text{-}o\left(u_n\right)\text{-}\underset{n}{\lim }\omega \left(f;h_n\right)=0,x\in \left[0,\infty \right)$，

其中 $\omega \left(f;\delta \right)$ 是经典的连续模 [11]，定义如前。

令 $h_n={\Vert S_{n,\mu }\left({\left(t-x\right)}^2;x\right)\Vert }_{\infty }^{\frac{1}{2}}$，那么对于 $f\in C_B\left[0,\infty \right)$，我们有

$S_A^{\bar{N}}\text{-}o\left(u_n\right)\text{-}\underset{n}{\lim }{\Vert S_{n,\mu }\left(f;x\right)-f\left(x\right)\Vert }_{\infty }=0$。

证明：对于 $f\in C_B\left[0,\infty \right)$， $m\in N$，有

$\begin{array}{c}\left|S_{m,\mu }\left(f;x\right)-f\left(x\right)\right|\le \left|S_{m,\mu }\left(\left|f\left(t\right)-f\left(x\right)\right|;x\right)\right|\\ \le \omega \left(f;\xi \right)\left|S_{m,\mu }\left(\frac{\left|t-x\right|}{\xi }+1;x\right)\right|\\ \le \omega \left(f;\xi \right)+\omega \left(f;\xi \right)\frac{1}{\xi }{\left|S_{m,\mu }\left({\left(t-x\right)}^2;x\right)\right|}^{\frac{1}{2}}.\end{array}$

令 $\xi =h_m$，在上式两边对x取上确界，我们可以得到

$\begin{array}{c}{\Vert S_{m,\mu }\left(f;x\right)-f\left(x\right)\Vert }_{\infty }\le \omega \left(f;h_m\right)+\omega \left(f;h_m\right)\frac{1}{h_m}{\Vert S_{m,\mu }\left({\left(t-x\right)}^2;x\right)\Vert }_{\infty }^{\frac{1}{2}}\\ =2\omega \left(f;h_m\right).\end{array}$

对于一个给定的 $\epsilon >0$，我们定义下面的集合：

$S=\left\{m\in N:p_m\left|S_{n,\mu }\left(f;x\right)-f\left(x\right)\right|\ge \epsilon \right\}$，

$S_1=\left\{m\in N:p_m\omega \left(f;h_m\right)\ge \frac{\epsilon }{2}\right\}$。

显然 $S\subset S_1$，且

$\frac{1}{u_n{P}_n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{p}_k}{\displaystyle \underset{m\in S}{\sum }{a}_{k,m}}\le \frac{1}{u_n{P}_n}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n}{\sum }}{p}_k}{\displaystyle \underset{m\in S_1}{\sum }{a}_{k,m}}$。

因此，

$S_A^{\bar{N}}\text{-}o\left(u_n\right)\text{-}\underset{n}{\lim }{\Vert S_{n,\mu }\left(f;x\right)-f\left(x\right)\Vert }_{\infty }=0$。

基金项目

河北省教育厅重点基金(ZD2019053)；河北师范大学重点基金(L2020Z03)。