1. 引言及主要结论
本文中的亚纯函数均指复平面上的亚纯函数。设f是非常数亚纯函数,采用亚纯函数唯一性理论中的一些基本记号和结论 [1] [2],如
,
,
,
等。令
表示任意满足
(
,
)的量,其中E是一个有穷线性测度的集合,
每次出现时E可能不相同。若对亚纯函数a,有
,则称a为f的一个小函数。给定一个复数a,若
与
有相同的零点,并且零点的重数也相同,则称
和
分担aCM,若
与
有相同的零点,但不计零点重数,则称
和
分担aIM。此外,本文还用到下述定义。
定义1 [3] [4] 设f,g是两个非常数亚纯函数,
,k为一正整数或
。
表示
的所有零点,当零点重数
时,计m次;当
时,计
次。若
,则称f和g以权k分担a。
这里记f和g分担
表示f和g以权k分担a。显然若f和g分担
,那么对任意的
,p为正整数,都有f和g分担
。同时,当且仅当f和g分担
(或
)时,f和g分担aIM (或aCM)。
定义2 [3] [4] 设f是非常数亚纯函数,
,k,m是两个正整数,
表示
单零点的计数函数,
表示
的零点重数
的计数函数,
表示
的零点重数
的精简计数函数.
定义3 [3] [4] 设f是非常数亚纯函数,
,p是一个正整数,那么
。
定义4 [3] [4] 设f,g是两个非常数亚纯函数,且f与g分担aIM,
,
表示
零点与
零点重数不同的精简计数函数。
显然,
。
定义5 [5] 设f,g是两个非常数亚纯函数,且f与g分担aIM,
,设
是
的p重零点,
的q重零点,
表示
的
零点的精简计数函数。
近年来,随着Halburd-Korhonen [6] 和Chiang-Feng [7] 建立了有穷级条件下复域差分模拟理论及对数导数差分模拟理论。许多学者研究了亚纯函数与其平移算子的唯一性问题。其中杨连中、刘凯、祁晓光等人在这方面取得了许多优秀且丰富的成果 [8] - [13]。主要结果如下。
2018年,祁晓光等人 [8] 证明了:
定理A [8] 设f是一个非常数有穷级亚纯函数,a,c是两个非零有穷复数,
是一个正整数。若
与
CM分担a,
与
CM分担
,则
,其中
。
定理B [8] 设f是一个非常数有穷级整函数,a,c是两个非零有穷复数,
是一个正整数。若
与
CM分担a,则
,其中
。
基于上述研究,本文将进一步探讨在没有级的条件限制下,涉及分担值的亚纯函数的导数与其平移算子的唯一性问题,所得到的定理推广并改进了上述结果,我们证明了:
定理1.1 设f是一个非常数亚纯函数,a,c是两个非零有穷复数,
是一个正整数。若
与
分担
,
,
与
IM分担
,则
,其中
。
定理1.2 设f是一个非常数整函数,a,c是两个非零有穷复数,
是一个正整数。若
与
分担
,
,则
,其中
。
备注1 定理1.1与定理1.2中去掉了定理A与定理B中有穷级的条件,且将
与
CM分担
替换为IM分担
,
与
CM分担a替换为权2分担a。因此定理1.1与定理1.2推广并改进了定理A与定理B。
2. 引理
设F,G是两个非常数亚纯函数,H,V表示以下两个函数:
.
.
引理2.1 [3] 设F,G是两个非常数亚纯函数,且F,G分担
,若
,则
.
引理2.2 [14] 设F,G是两个非常数亚纯函数,且F,G分担
,
,若
,则
其中
表示
,而
的密指量,
类似。
引理2.3 [15] 设F,G是两个非常数亚纯函数,且F,G分担
,若
,则
.
参考文献 [14],易证得下述引理。
引理2.4 [14] 设f,g是两个非常数亚纯函数,
,
,且f,g分担
,F,G分担
,其中
,若
,则
引理2.5 [2] 设f是非常数亚纯函数,
,且
均为f的小函数,则
.
引理2.6 [13] 设f是亚纯函数,且满足
,其中
,a,c是两个非零有穷复数,则f为常数。
3. 定理的证明
定理1.1的证明 设
,
。
由于
与
分担
,从而F与G分担
。令
. (1)
情形1 若
,则由(1)式得
. (2)
其中C是一个非零的有穷复数。
若
,则由(2)式得
,即
,其中
。
若
,则由(2)式得
. (3)
由(3.3)式得
. (4)
与
,
. (5)
由Nevanlinna第二基本定理,引理2.5及(4),(5)式得
即
,这与已知条件
矛盾。
情形2 若
,由引理2.4得
,
.
即
, (6)
. (7)
由Nevanlinna第二基本定理及引理2.5得
(8)
其中
与
定义与引理2.2中一致。
令
.
情形2.1 若
,由引理2.1,2.2,2.3及(8)式得
(9)
进一步,由(3.6),(3.7),(3.9)式得
.
这与已知条件
矛盾。
情形2.2 若
,即
. (10)
对(10)式连续积分两次得
. (11)
其中
,
为常数且
。
由(11)式得
. (12)
. (13)
由(12)式得
,
. (14)
情形2.2.1 若
,由(13)式得
. (15)
结合Nevanlinna第二基本定理,引理2.5及(14),(15)得
即
,这与已知条件
矛盾。
情形2.2.2 若
,则
. (16)
若
,由(16)式得
. (17)
结合Nevanlinna第二基本定理,引理2.5及(14),(17)得
即
,这与已知条件
矛盾。因此
,将其带入(16)式得
,从而
.
其中
。
由引理2.6得f为常数,矛盾。
情形2.2.3 若
,则
. (18)
若
,由(18)式得
. (19)
结合Nevanlinna第二基本定理,引理2.5及(14),(19)得
即
,这与已知条件
矛盾.因此
,将其带入(18)式得
,从而
.
其中
。
至此,定理1.1证毕。
定理1.2的证明
与定理1.1的证明相同,可得到
由于f是一个非常数整函数,因此
,
,从而有
这与已知条件
矛盾。其余情形的讨论与定理1.1相同,即可证得定理1.2。
基金项目
国家自然科学基金资助项目(11801291);福建省自然科学基金资助项目(2019J05047, 2019J01672)。