1. 介绍
本文考虑三维空间中带有阻尼项的新MHD方程
(1.1)
其中
是时间,
,
,
分别表示速度场、磁势和压强函数,
代表带有标量电磁势
的时间变化率。常数
分别表示运动粘性系数、质量密度、等效电荷密度、介电常数和自由空间磁导率。在阻尼项中,是
两个常数且
,
。
不可压缩新MHD方程是一个混合模型,结合了Navier-Stokes方程和双曲型方程,Liu和Yang在 [1] 中基于牛顿第二定律和Maxwell电磁场方程的基本物理原理,提出了一种新的三维不可压缩磁流体动力学模型。该模型描述了移动导电流体流动与电磁场之间的相互作用,并利用Galerkin技术和能量估计,得到了有界边界情况下三维MHD模型初值问题的整体弱解。Chandrasekhar [2] 建立了N维(
)古典MHD模型,并且关于解的存在性已经有了大量的数学研究。之后Duvaut和Loins [3] 构造了在有界边界情况下三维古典MHD模型初值问题的整体弱解和局部强解。 [4] 中研究了在有界边界情况下二维新MHD模型初值问题的整体强解的存在性和正则性。关于更多Navier-Stokes方程和MHD方程的研究,请读者参考 [5] - [12]。
接下来我们将介绍一些函数空间的符号。当
时,
表示标量函数和向量值函数的Lebesgue空间,其范数为
。
表示
实向量值函数
的集合,在
中具有紧支集,使得div
。当
时,我们定义函数空间
是
在
上的闭包,其范数为
。
是Sobolev空间,通常范数是
,并且
是
关于
的闭包。当
时,我们用
来表示
。当
时,X是Banach空间,我们用
表示,其范数为
。
我们的主要结论为如下定理:
定理1 假设
并且
,
,
。那么对于任意的
,问题(1.1)存在弱解
,使得
(1.2)
此时
(1.3)
我们给出带有阻尼项的新MHD方程在R3中弱解的存在性,主要定义及引理如下。
2. 准备知识
本节主要介绍了带有阻尼项新MHD方程弱解的定义以及在证明中用到的重要引理。
定义2.1
1)
2) 对于任意的
,其中
,我们有
(2.1)
(2.2)
3)
,
对几乎处处的
。
引理2.2 设
是Hilbert空间并且满足
紧嵌入到X中。设
且
是一个属于
的序列,满足
此时
是
关于时间变量上的傅里叶变换。那么对于
就会存在一个序列
在
上强收敛。
引理2.3 假设
并且
,
,
。那么对于任意的
,我们有
3. 弱解存在性的证明
在本节中我们将证明定理1。
证明:我们利用Galerkin近似来证明这个定理。因为
是可分的,
在
中稠密,因此存在
的元素序列
。对于每个m我们定义近似解
如下:
和
(2.3)
(2.4)
其中
,
,并且在
中当
时
,
。
我们对近似解
有如下先验估计。
将(2.3),(2.4)的两端分别乘以
,对于
求和有
(2.5)
(2.6)
其中
将(2.5)和(2.6)相加,得
利用Hölder不等式,我们得到
(2.7)
显然地是
利用Gromwall不等式,我们得到以下估计
上式为(2.7)左半部分,所以等式成立,则引理2.3证明完毕。
利用标准方法和引理2.4,我们得到了近似解的整体存在性:
然后,我们将利用引理2.3证明
在
上强收敛且
。为此,我们用
和
来表示从R到
的函数,等于
在
上和在这个区间的补集上为零。相似地,我们定义将
和
分别延拓到R,其中在
上定义
,
。
和
,
和
关于时间变量的Fourier变换分别用
和
,
和
来表示。
近似解
满足
(2.8)
其中的
和
分别是0和T处的Dirichlet函数分布,并且
对时间变量进行Fourier变换,(2.8)给出
(2.9)
其中
表示
的Fourier变换。将(2.9)的两端同乘
,得到
(2.10)
对任意的
,我们有
其中
所以可得
因此对于任何给定的
,有
因此
此外,从引理2.3可以得出
这意味着
从引理2.2中,我们知道
(2.11)
我们从(2.6)~(2.9)可以推导出
对于任意固定的
,
,我们可以得到
,
。因此
(2.12)
由于Parseval等式和引理2.3,(2.12)右边的第一个积分一致有界于m。
通过Schwartz不等式、Parseval等式和引理2.3,我们有
(2.13)
其中
,类似地,当
时,我们有
(2.14)
从(2.12)中可以得到
(2.15)
由于引理2.2存在一个函数
,使得
(2.16)
并且存在一个可以由自己表示的序列
,使得在
上
弱*收敛于u;在
上
弱收敛于u并且在
上
收敛于u。我们选择有光滑边界的
,且满足
。对于任意固定的
,在引理2.2中我们取
,
,然而对于引理2.2,引理2.3以及(2.15),我们得到存在一个可以由自己表示的序列
,使得在
上
强收敛于u。通过对角线原则,因此在
上存在
的一个子序列
,使得在
上
强收敛于u,其中对于任意的
。由于
,我们得到如果
且
,那么在
上
强收敛于u。这些收敛保证了
是问题(1.1)1的弱解。
近似解
满足
(2.17)
其中
。
对时间变量进行Fourier变换,(2.17)给出
(2.18)
其中
表示
的Fourier变换。将(2.18)的两端同乘
,得到
(2.19)
对任意的
,我们有
其中
所以可得
。
因此对于任何给定的
,有
因此
(2.20)
从引理2.3中,我们知道
(2.21)
我们从(2.19)~(2.21)可以推导出
。
对于任意固定的
,
,我们可以得到
,
。
因此
(2.22)
由于Parseval等式和引理2.4,(2.22)右边的第一个积分一致有界于m。
通过Schwartz不等式、Parseval等式和引理2.3,我们有
(2.23)
其中
。从(2.22)中可以得到
(2.24)
由于引理2.3存在一个函数
,使得
(2.25)
由于本文过于基础,所以弱解的收敛性不予证明。
定理1证明完毕。