1. 引言
D-拉回随机吸引子最早是由 [1] [2] 提出。其中 [1] 探讨了时滞随机抛物方程的拉回吸引子的存在性及其上半连续性,并为拉回吸引子的存在性提供了充分条件。 [2] 提供了充要条件。本文则是在文献 [3] [4] [5] 的基础上,讨论了带乘法噪声的时滞非自治随机Kuramoto-Sivanshinsky方程的拉回吸引子。
考虑如下带有时滞的非自治随机Kuramoto-Sivashinsky方程(1)的初边值问题:
其中f是非线性项,g是时滞项,W是定义在概率空间
上的双边实值Wiener过程。ρ > 0是系统的时滞,常数α满足
2. 连续随机动力系统
本节讨论了由方程(1)时滞随机Kuramoto-Sivanshinsky方程所生成的连续随机动力系统。
首先做一些书写符号上的约定。用
和
分别表示
空间上的范数和内积,
表示空间
上的范数。
对外力项f与时滞项g做如下假设:
H1.
H2.
令
则
其中
由于
,这里“
”表示Strotnnovitch积分,则代入可得(2)
由Galerkin逼近法(见参考文献 [6]),通过假设H1,H2可得对任意
,方程(2)存在唯一解
。因此可以定义一连续随机动力系统 [1]。
且存在正常数
使得
定义随机变量
则由遍历定理可得
存在Ω的不变子集使得
若集合D满足
则称D为后项缓增集。
3. 一致估计
为得到随机动力系统拉回吸收集的存在性,首先在空间
上进行估计。有如下引理
引理1 若假设H1,H2成立,则存在
,使得当t > T时,有
其中
与
由如下(3)式定义
证明:将(2)与
在空间
上做内积,并注意到
,得
由Young不等式
代入并整理,得
不等式左右两端同乘
,可得
在区间
上积分,可得
其中
由
的定义,可知
上述不等式左右两端同时除以
,可得
当
时
故存在T > 0,使得当t > T时,成立
从而
又由
对不等式右端第一项进行放缩
对不等式右端第二项进行放缩
同理对不等式右端第二项进行放缩
于是
此即为所证。
下将在空间
进行估计,再由
紧嵌入
,得到随机动力系统在空间
上的渐近紧性(见参考文献 [7])。
引理2 若假设H1,H2成立,则存在T > 0,使得当t > T时,有
其中
与
由(3)定义。
证明:
由Young不等式,可得
由Agmon不等式,可得
由假设H2可得
所以
将上式在
上积分,
再在
上积分,可得
注意到上述不等式右端第二项
于是
在
上积分,可得
证毕。
引理3 若假设H1,H2成立,则有
其中
与
由(3)定义。
证明:将(2)式与
在空间
上作内积,有
由Young不等式
由Agmon不等式
由假设H2
从而
积分
证毕。
4. 随机吸引子
定理1 假设H1,H2成立,则由(1)所生成的连续非自治随机动力系统Φ在空间
上存
在拉回吸引子。
证明由引理(1),引理(2) (3)分别得出了在空间
上拉回吸收集的存在性,以及该随机动力系统的拉回渐近紧性,故该随机动力系统存在空间
上的拉回吸引子( [1],引理(2))。