稳定向量丛的模空间上的Hecke型有理曲线

Rational Curves of Hecke Type on Moduli Spaces of Stable Bundles

摘要: 设C是亏格为g≥2的光滑射影曲线，L为C上次数为d的线丛。令M:=SU_C(r,L)是C上秩为r且具有固定行列式L的稳定向量丛的模空间，本文主要研究模空间M上的Hecke型有理曲线的次数与其定义向量丛在跳跃直线上的分裂情况和跳跃直线数量之间的关系，并给出一些Hecke型有理曲线的例子。

Abstract: Let C be a smooth projective curve of genus g≥2 and L be a line bundle on C of degree d. Let M:=SU_C(r,L) be the moduli space of stable vector bundles on C of rank r and with the fixed determinant L. In this paper, we mainly study the relationship between the degree of a rational curve of Hecke type on moduli space M and the splitting of vector bundle E on jumping lines as well as that between the degree of a rational curve of Hecke type on moduli space M and the number of jumping lines, where the vector bundle E defines the rational curve of Hecke type. And we give some examples of rational curves of Hecke type.

1. 引言

设C是亏格为 $g\ge 2$ 的光滑射影曲线，令 $M:=S{U}_C\left(r,\mathcal{L}\right)$ 是C上秩为r次数为d且具有固定行列式 $\mathcal{L}$ 的稳定向量丛的模空间。已知模空间M是一个光滑的拟射影Fano簇，且有 $\text{Pic}\left(M\right)=Z\cdot \theta$， $-K_M=2\left(r,d\right)\theta$ [1]，此处 $\theta$ 是一个丰沛除子。

作为Fano簇，模空间M里的一条有理曲线是指一个非常值态射 $\phi :{\mathbb{P}}^1\to M$，若 $\mathrm{deg}{\phi }^{\ast }\left(\theta \right)=k$，则称该曲线为k次有理曲线。Narasimhan和Ramanan [2] 研究了Hecke闭链的基本性质及秩为2的向量丛模空间中的Hecke曲线。Sambaiah Kilaru [3] 研究了亏格 $g\ge 2$ 的光滑射影曲线上秩为2且具有固定行列式的模空间中的1次和2次曲线空间。Ana-Maria Castravet [4] 研究了秩为2、次数为1且具有固定行列式的

模空间中任意k次有理曲线空间。Hwang [5] 根据 [2] 指出了Hecke曲线的次数为 $\frac{r}{\left(r,d\right)}$，并提出了问题：

Hecke曲线是否是过M一般点的极小有理曲线?反之，一条过M一般点的极小有理曲线是否必为Hecke

曲线?孙在 [6] 中证明了当 $g\ge 3$ 时，模空间M中任意过一般点的有理曲线次数至少为 $\frac{r}{\left(r,d\right)}$，且除 $g=3,r=2$ 且d为偶数的情形外，次数为 $\frac{r}{\left(r,d\right)}$ 当且仅当有理曲线为Hecke曲线。当 $g=3,r=2$ 且d为偶

数时，刘敏 [7] 证明了对于M中的每一点 $\left[W\right]$，都有过 $\left[W\right]$ 点的不同于Hecke曲线的直线通过。Mok Ngaiming和孙 [8] 给出了Hecke曲线的一般的构造方式，对任意r和任意d确定了M中的全部直线。

孙在 [6] 中证明了任意一条有理曲线 $\phi :{\mathbb{P}}^1\to M$ 都可由直纹面 $X=C\times {\mathbb{P}}^1$ 上的一个向量丛E所定义，并给出了 $\phi :{\mathbb{P}}^1\to M$ 的次数与E的陈类之间的关系

$2\left(r,d\right)\cdot \mathrm{deg}{\phi }^{\ast }\left(\theta \right)=\mathrm{deg}{\phi }^{\ast }\left(-K_M\right)=2r{C}_2\left(E\right)-\left(r-1\right)C_1{\left(E\right)}^2=:\Delta \left(E\right)$。

设有理曲线 $\phi :{\mathbb{P}}^1\to M$ 由向量丛E所定义， $f:X\to C$， $\pi :X\to {\mathbb{P}}^1$ 为自然投射。如果E在一般纤维 $X_{\xi }=f^{-1}\left(\xi \right)$ 上为半稳定的，与 ${\mathbb{P}}^{\text{1}}$ 上某个合适线丛的拉回作张量，我们可假设E在一般纤维上的限制形如 ${\mathcal{O}}_{X_{\xi }}{\left(0\right)}^{\oplus r}$。对于有理曲线 $\phi :{\mathbb{P}}^1\to M$ 的定义向量丛E，必 $\exists p\in C$ 使得 ${E|}_{X_p}$ 不同构于 ${\mathcal{O}}_{X_{\xi }}{\left(0\right)}^{\oplus r}$，称 $X_p$

为跳跃直线，且只有有限多条 [6]，从而存在C的有限子集S和向量丛V满足正合列

$0\to f^{\ast }V\to E\to {\oplus }_{p\in S}{\mathcal{Q}}_p\to 0$，

其中 ${\mathcal{Q}}_p$ 是 $X_p$ 上的向量丛，这样定义的有理曲线称为Hecke型曲线( [6] [9])。特别地，当S只含一个点p且 ${\mathcal{Q}}_p={\mathcal{O}}_{X_p}\left(-1\right)$ 时，即向量丛E满足正合列

$0\to f^{\ast }V\to E\to {\mathcal{O}}_{X_p}\left(-1\right)\to 0$，

称由这样的向量丛E所定义的有理曲线为Hecke曲线。

代数簇上的有理曲线是代数几何的一个重要研究课题，稳定向量丛的模空间是一类非常重要的代数簇，研究模空间里的有理曲线不仅有助于研究模空间的性质，也可为研究一般代数簇里的有理曲线提供启发。本文第二节研究了Hecke型有理曲线的次数与其定义向量丛E在跳跃直线上的分裂情况的关系。对只有一条跳跃直线的情况证明了：

命题2.5 若直纹面X上向量丛E仅有一条跳跃直线 $X_p$，且 ${E|}_{X_p}={\oplus }_{i=1}^n{\mathcal{O}}_{X_p}{\left({\beta }_i\right)}^{r_i}$，则其定义的有理曲线的次数为 $\frac{r}{\left(r,d\right)}\left(-r_1{\beta }_1-\cdots -r_n{\beta }_n\right)$。

并对有多条跳跃直线的情况进一步得到了一般结论(推论2.6)。同时研究了Hecke型有理曲线的次数与其

跳跃直线数量之间的关系，得到了当 $\mathrm{deg}{\phi }^{\ast }\left(\theta \right)=\frac{ra}{\left(r,d\right)}$ 时，向量丛E至多有a条跳跃直线(命题2.7)。第

三部分给出了一些Hecke型有理曲线的例子。

2. Hecke型有理曲线

令 $X=C\times {\mathbb{P}}^1$， $f=X\to C$ 为投射，曲线 $\phi :{\mathbb{P}}^1\to M$ 由X上的向量丛E所定义。设E在一般纤维 $X_{\xi }=f^{-1}\left(\xi \right)$ 上的形式为

${E|}_{X_{\xi }}={\oplus }_{i=1}^n{\mathcal{O}}_{X_{\xi }}{\left({\alpha }_i\right)}^{\oplus r_i}$，

该n元数组 $\alpha =\left({\alpha }_1^{\oplus r_1},\cdots ,{\alpha }_n^{\oplus r_n}\right)$ 称为E的一般分裂型。

引理 [6] 2.1 直纹面 $f:X\to C$ 上任意具有一般分裂型 $\left(0^{\oplus r}\right)$ 的秩为r的局部自由层 $\mathcal{E}$，有 $C_2\left(\mathcal{E}\right)\ge 0$，且 $C_2\left(\mathcal{E}\right)=0$ 当且仅当 $\mathcal{E}=f^{\ast }V$，其中V为C上的局部自由层。

引理2.2 若直纹面X上向量丛E的一般分裂型为 $\left(0^{\oplus r}\right)$，则有 $C_1{\left(E\right)}^2=0$。

证明首先，E作为 $X=C\times {\mathbb{P}}^1$ 上的向量丛，有

$C_1\left(E\right)\in \text{Pic}\left(C\times {\mathbb{P}}^1\right)=\text{Pic}\left(C\right)\times \text{Pic}\left({\mathbb{P}}^1\right)$。

因为E的一般分裂型为 $\left(0^{\oplus r}\right)$，所以存在线丛 ${\mathcal{L}}_C$ 使得

$C_1\left(E\right)=f^{\ast }{\mathcal{L}}_C+{\pi }^{\ast }{\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^1}\left(0\right)$。

于是有

$C_1{\left(E\right)}^2={\left(f^{\ast }{\mathcal{L}}_C+{\pi }^{\ast }{\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^1}\left(0\right)\right)}^2={\left(f^{\ast }{\mathcal{L}}_C\right)}^2+2f^{\ast }{\mathcal{L}}_C{\pi }^{\ast }{\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^1}\left(0\right)+{\left({\pi }^{\ast }{\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^1}\left(0\right)\right)}^2=0$。□

设 $X_p\left(p\in C\right)$ 为E的一条跳跃直线， ${E|}_{X_p}={\oplus }_{i=1}^n{\mathcal{O}}_{X_p}{\left({\beta }_i\right)}^{\oplus r_i}$，则有 $\left({\beta }_1^{\oplus r_1},\cdots ,{\beta }_n^{\oplus r_i}\right)$ 不同于 $\left(0^{\oplus r}\right)$。对向量丛E沿其跳跃直线 $X_p$ 作初等变换，取F为态射 $\varphi :E\to {E|}_{X_p}\to {\mathcal{O}}_{X_p}{\left({\beta }_n\right)}^{\oplus r_n}$ 的核，则有正合列

$0\to F\to E\to {\mathcal{O}}_{X_p}{\left({\beta }_n\right)}^{\oplus r_n}\to 0$。 (1)

注2.3 若 ${\beta }_n=0$ 时，有 $F\cong E$。

引理 [6] 2.4 $C_1\left(F\right)=C_1\left(E\right)-r_n{X}_p$， $C_2\left(F\right)=C_2\left(E\right)+r_n{\beta }_n$。

证明对(1)式，由正合列上陈类多项式的计算有

$C_1\left(E\right)=C_1\left(F\right)+C_1\left({\mathcal{O}}_{X_p}{\left({\beta }_n\right)}^{\oplus r_n}\right)=C_1\left(F\right)+r_n{X}_p$，

$C_2\left(E\right)=C_2\left(F\right)+C_2\left({\mathcal{O}}_{X_p}{\left({\beta }_n\right)}^{\oplus r_n}\right)+C_1\left(F\right)C_1\left({\mathcal{O}}_{X_p}{\left({\beta }_n\right)}^{\oplus r_n}\right)=C_2\left(F\right)-r_n{\beta }_n$。□

若向量丛E仅有一条跳跃直线 $X_p$，且 ${E|}_{X_p}={\oplus }_{i=1}^n{\mathcal{O}}_{X_p}{\left({\beta }_i\right)}^{\oplus r_i}$，对向量丛E沿其跳跃直线 $X_p$ 作初等变换，取 $F_1$ 为自同态 $\sigma :E\to {E|}_{X_p}\to {\mathcal{O}}_{X_p}{\left({\beta }_n\right)}^{\oplus r_n}$ 的核，则有下正合列

$0\to F_1\to E\to {\mathcal{O}}_{X_p}{\left({\beta }_n\right)}^{\oplus r_n}\to 0$，

此时 ${F_1|}_{X_p}={\oplus }_{i=1}^{n-1}{\mathcal{O}}_{X_p}{\left({\beta }_i\right)}^{\oplus r_i}\oplus {\mathcal{O}}_{X_p}{\left(0\right)}^{\oplus r_n}$。继续对向量丛 $F_1$ 沿 $X_p$ 作初等变换，有

$0\to F_2\to F_1\to {\mathcal{O}}_{X_p}{\left({\beta }_{n-1}\right)}^{\oplus r_{n-1}}\to 0$，

此时 ${F_2|}_{X_p}={\oplus }_{i=1}^{n-2}{\mathcal{O}}_{X_p}{\left({\beta }_i\right)}^{\oplus r_i}\oplus {\mathcal{O}}_{X_p}{\left(0\right)}^{\oplus \left(r_n+r_{n-1}\right)}$。不断对其沿 $X_p$ 进行初等变换直至 ${F_n|}_{X_p}={\mathcal{O}}_{X_p}{\left(0\right)}^{\oplus r}$，

则有一系列正合列

$\begin{array}{l}0\to F_1\to E\to {\mathcal{O}}_{X_p}{\left({\beta }_n\right)}^{\oplus r_n}\to 0\\ ⋮\\ 0\to F_n=f^{\ast }V\to F_{n-1}\to {\mathcal{O}}_{X_p}{\left({\beta }_1\right)}^{\oplus r_1}\to 0\end{array}$ (2)

其中V为C上的局部自由层。

命题2.5 若直纹面X上向量丛E仅有一条跳跃直线 $X_p$，且 ${E|}_{X_p}={\oplus }_{i=1}^n{\mathcal{O}}_{X_p}{\left({\beta }_i\right)}^{r_i}$，则其定义的有理曲线的次数为 $\frac{r}{\left(r,d\right)}\left(-r_1{\beta }_1-\cdots -r_n{\beta }_n\right)$。

证明 通过对向量丛E沿 $X_p$ 进行初等变换可得一系列正合列，即(2)式，由引理2.4，有

$C_2\left(E\right)=C_2\left(F_n\right)-r_1{\beta }_1-\cdots -r_n{\beta }_n=-r_1{\beta }_1-\cdots -r_n{\beta }_n$。

再由引理2.2，有

$\Delta \left(E\right)=2r{C}_2\left(E\right)-\left(r-1\right)C_1{\left(E\right)}^2=2r\left(-r_1{\beta }_1-\cdots -r_n{\beta }_n\right)$，

$\mathrm{deg}\left({\phi }^{\ast }\theta \right)=\frac{\Delta \left(E\right)}{2\left(r,d\right)}=\frac{r}{\left(r,d\right)}\left(-r_1{\beta }_1-\cdots -r_n{\beta }_n\right)$。□

推论2.6 设 $X_{p_1},\cdots ,X_{p_q}\left(q\ge 1\right)$ 为E的所有跳跃直线，且 ${E|}_{X_{p_i}}={\oplus }_{j=1}^{n_i}{\mathcal{O}}_{X_{p_i}}{\left({\beta }_{p_{i}j}\right)}^{r_{p_{i}j}}$，则由E定义的有

理曲线的次数为

$\mathrm{deg}\left({\phi }^{\ast }\theta \right)=\frac{r}{\left(r,d\right)}\left(-\left(r_{p_{1}1}{\beta }_{p_{1}1}+\cdots +r_{p_1{n}_1}{\beta }_{p_1{n}_1}\right)-\cdots -\left(r_{p_{q}1}{\beta }_{p_{q}1}+\cdots +r_{p_q{n}_q}{\beta }_{p_q{n}_q}\right)\right)$。 (3)

特别地，对 $\frac{r}{\left(r,d\right)}$ 次Hecke型有理曲线，此时有 $C_2\left(E\right)=1$，仅有一条跳跃直线 $X_p$，若 ${E|}_{X_p}={\oplus }_{i=1}^n{\mathcal{O}}_{X_p}{\left({\beta }_i\right)}^{\oplus r_i}$，此时不妨取 ${\beta }_1>\cdots >{\beta }_n$，对向量丛E沿其跳跃直线 $X_p$ 作初等变换至 ${F_n|}_{X_p}={\mathcal{O}}_{X_p}{\left(0\right)}^{\oplus r}$，该过程向量丛E的二阶陈类减小，必有 ${\beta }_{\text{n}}<0$，因为 $C_2\left(F_1\right)=C_2\left(E\right)+r_n{\beta }_n$，必有 $r_n=1,{\beta }_n=-1$，即向量丛E满足正合列

$0\to f^{\ast }V\to E\to {\mathcal{O}}_{X_p}\left(-1\right)\to 0$，

其定义的曲线 $\phi :{\mathbb{P}}^1\to M$ 为Hecke曲线，与 [6] 中Hecke曲线的次数一致。

命题2.7 设E为 $X=C\times {\mathbb{P}}^1$ 上的向量丛且一般分裂型为 $\left(0^{\oplus r}\right)$，若 $C_2\left(E\right)=a$， $a>0$，则向量丛E至多有a条跳跃直线，且若E恰有a条跳跃直线 $X_{p_1},\cdots ,X_{p_a}$，则 ${E|}_{X_{P_i}}\cong {\mathcal{O}}_{X_{p_i}}{\left(0\right)}^{\oplus r-1}\oplus {\mathcal{O}}_{X_{p_i}}\left(-1\right),0\le i\le a$。

证明 因为 $a>0$，所以可设 $X_{p_1},\cdots ,X_{p_q}$ 为向量丛E的所有跳跃直线，且设 ${E|}_{X_{p_i}}={\oplus }_{j=1}^{n_i}{\mathcal{O}}_{X_{p_i}}{\left({\beta }_{p_{i}j}\right)}^{r_{p_{i}j}}$。由推论2.6，可得

$C_2\left(E\right)=-\left(r_{p_{1}1}{\beta }_{p_{1}1}+\cdots +r_{p_1{n}_1}{\beta }_{p_1{n}_1}\right)-\cdots -\left(r_{p_{q}1}{\beta }_{p_{q}1}+\cdots +r_{p_q{n}_q}{\beta }_{p_q{n}_q}\right)$。

由引理2.1，必有 $-\left(r_{p_{i}1}{\beta }_{p_{i}1}+\cdots +r_{p_i{n}_i}{\beta }_{p_i{n}_i}\right)>0$， $1\le i\le q$ (否则，若存在 $i_0$ 使 $-\left(r_{p_{i0}1}{\beta }_{p_{i0}1}+\cdots +r_{p_{i0}{n}_{i0}}{\beta }_{p_{i0}{n}_{i0}}\right)\le 0$，不妨取 $i_0=q$，沿着 $X_{p_1},\cdots ,X_{p_{q-1}}$ 作初等变换直至得到向量丛 $F^{\prime }$，使得对 $\forall m\ne q$， ${F^{\prime }|}_{X_{p_m}}={\mathcal{O}}_{X_{p_m}}{\left(0\right)}^{\oplus r}$，则有 $C_2\left(F^{\prime }\right)=-\left(r_{p_{q}1}{\beta }_{p_{q}1}+\cdots +r_{p_q{n}_q}{\beta }_{p_q{n}_q}\right)\le 0$，与引理2.1矛盾)。当 $C_2\left(E\right)=a$ 时，有

$-\left(r_{p_{1}1}{\beta }_{p_{1}1}+\cdots +r_{p_1{n}_1}{\beta }_{p_1{n}_1}\right)-\cdots -\left(r_{p_{q}1}{\beta }_{p_{q}1}+\cdots +r_{p_q{n}_q}{\beta }_{p_q{n}_q}\right)=a$，

因此 $q\le a$，即至多有a条跳跃直线。且若有a条跳跃直线，即 $q=a$ 时， $-\left(r_{p_{i}1}{\beta }_{p_{i}1}+\cdots +r_{p_i{n}_i}{\beta }_{p_i{n}_i}\right)=1,$ $i=1,\cdots ,q$，即 $\forall i,{E|}_{X_{P_i}}\cong {\mathcal{O}}_{X_{p_i}}{\left(0\right)}^{\oplus r-1}\oplus {\mathcal{O}}_{X_{p_i}}\left(-1\right)$。□

命题2.7’ 设 $\phi :{\mathbb{P}}^1\to M$ 是一条Hecke型有理曲线，若其定义向量丛E有a条跳跃直线，则该曲线的次数至少为 $\frac{ra}{\left(r,d\right)}$。

3. Hecke型有理曲线的例子

由推论2.6可知模空间M上Hecke型有理曲线的次数k满足

$k\left(\mathrm{mod}\frac{r}{\left(r,d\right)}\right)\equiv 0$。 (4)

例3.1 对 $r=3,k=2r,\left(r,d\right)=1$ 的情况，下述其仅有一条跳跃直线 $X_p$ 时在其跳跃直线上的分裂情况。由推论2.6，向量丛有下列分裂形式：

A. $r_1=2,r_2=1$，

B. $r_1=1,r_2=2$，

C. $r_1=1,r_2=1,r_3=1$。

对情形A， ${E|}_{X_p}={\mathcal{O}}_{X_p}{\left({\beta }_1\right)}^{\oplus 2}\oplus {\mathcal{O}}_{X_p}\left({\beta }_2\right)$，其中 $2{\beta }_1+{\beta }_2=-2$， ${\beta }_1>{\beta }_2$， ${\beta }_1,{\beta }_2\in Z$。

对情形B， ${E|}_{X_p}={\mathcal{O}}_{X_p}\left({\beta }_1\right)\oplus {\mathcal{O}}_{X_p}{\left({\beta }_2\right)}^{\oplus 2}$，其中 ${\beta }_1+2{\beta }_2=-2$， ${\beta }_1>{\beta }_2$， ${\beta }_1,{\beta }_2\in Z$。

对情形C， ${E|}_{X_p}={\mathcal{O}}_{X_p}\left({\beta }_1\right)\oplus {\mathcal{O}}_{X_p}\left({\beta }_2\right)\oplus {\mathcal{O}}_{X_p}\left({\beta }_3\right)$，其中 ${\beta }_1+{\beta }_2+{\beta }_3=-2$， ${\beta }_1>{\beta }_2>{\beta }_3$， ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3\in Z$。

定义3.2 C上的向量丛V称为 $\left(k,l\right)$ 半稳定的( $\left(k,l\right)$ 稳定的)，若对任意的真子丛 $W\subset V$，有

$\frac{\mathrm{deg}\left(W\right)+k}{rk\left(W\right)}\le (<)\frac{\mathrm{deg}\left(V\right)+k-l}{rk\left(V\right)}$。

回忆Hecke型曲线的构造，对任意 $\left(1,1\right)$ 稳定的向量丛 $\left[W\right]\in M$，令 $\mathbb{P}\left(W\right)$ 为包含过每个纤维原点的直线的射影丛，对 $\forall p\in C$， $\zeta \in \mathbb{P}\left(W_p^{\vee }\right)$，有正合列

$0\to \zeta \to W_p^{\vee }\to W_p^{\vee }/\zeta \to 0$，

其中 $\zeta$ 为 $W_p^{\vee }$ 的一维子空间。通过下列正合列定义向量丛 $W^{\zeta }$

$0\to W^{\zeta }\to W\to \left(W_p/{\zeta }^{\perp }\right)\otimes {\mathcal{O}}_p\to 0$， (5)

其中 ${\zeta }^{\perp }$ 表示 $W_p$ 中被 $\zeta$ 零化的 $n-1$ 维子空间，且 $\det \left(W^{\zeta }\right)\otimes {\mathcal{O}}_p=\mathcal{L}$。令 $\iota :W_p^{\zeta }\to W_p$ 为内射 $W^{\zeta }\to W$ 在p处的纤维所诱导， $\iota$ 的核 $\ker \left(\iota \right)$ 为 $W_p^{\zeta }$ 的一维子空间。对 $\forall l\in \mathbb{P}\left(W_p^{\zeta }\right)$，通过下列正合列定义向量丛 ${\tilde{W}}^l$

$0\to {\tilde{W}}^l\to {\left(W^{\zeta }\right)}^{\vee }\to \left({\left(W^{\zeta }\right)}_p^{\vee }/l^{\perp }\right)\otimes {\mathcal{O}}_p\to 0$， (6)

这里 $l^{\perp }$ 表示零化l的超平面。由 $\left[W\right]\in M$ 且 $\left(1,1\right)$ 稳定及(5) (6)式， ${\tilde{W}}^l$ 为秩为r次数为 $-d$ 的稳定向量丛，即 ${\left({\tilde{W}}^l\right)}^{\vee }$ 为秩为r次数为d的稳定向量丛。因为 $\det \left(W^{\zeta }\right)\otimes {\mathcal{O}}_p=\mathcal{L}$ 及(5)式有 $\det {\left({\tilde{W}}^l\right)}^{\vee }={\left(\det \left({\tilde{W}}^l\right)\right)}^{-1}=\mathcal{L}$，即

$\left\{{\left({\tilde{W}}^l\right)}^{\vee };l\in \mathbb{P}\left(W_p^{\zeta }\right)\right\}$

为一族被 $\mathbb{P}\left(W_p^{\zeta }\right)$ 参数化的秩为r次数为d且具有固定行列式 $\mathcal{L}$ 的稳定向量丛，给出了态射

$\psi :\mathbb{P}\left(W_p^{\zeta }\right)\to M$。 (7)

由 [2] 知 $\psi$ 为闭浸入且 ${-K_M|}_{\mathbb{P}\left(W_p^{\zeta }\right)}\cong {\mathcal{O}}_{\mathbb{P}\left(W_p^{\zeta }\right)}\left(2r\right)$。当 $l=\ker \left(\iota \right)$ 时， ${\left({\tilde{W}}^{\ker \left(\iota \right)}\right)}^{\vee }\cong W$，若有理曲线 $\alpha :{\mathbb{P}}^1\to \mathbb{P}\left(W_p^{\zeta }\right)$ 过点 $\left[\ker \left(\iota \right)\right]$，则 $\alpha :{\mathbb{P}}^1\to \mathbb{P}\left(W_p^{\zeta }\right)$ 在 $\psi$ 下的像为M中过点 $\left[W\right]$ 的有理曲线。

命题3.3 如果 $\alpha :{\mathbb{P}}^1\to \mathbb{P}\left(W_p^{\zeta }\right)=P$ 为一条k次有理曲线，则 $\psi \circ \alpha :{\mathbb{P}}^1\to M$ 为M中的一条 $\frac{rk}{\left(r,d\right)}$ 次有

理曲线。

证明 因为 $\alpha :{\mathbb{P}}^1\to P$ 为k次有理曲线，所以 ${\alpha }^{\ast }{\mathcal{O}}_P\left(1\right)\cong {\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^1}\left(k\right)$，记 $\phi =\psi \circ \alpha$，则

$\mathrm{deg}\left({\phi }^{\ast }\left(\theta \right)\right)=\mathrm{deg}\left({\alpha }^{\ast }\left({\theta |}_P\right)\right)=\mathrm{deg}\left({\alpha }^{\ast }\left({\mathcal{O}}_P\left(\frac{r}{\left(r,d\right)}\right)\right)\right)=\frac{rk}{\left(r,d\right)}$，

即 $\psi \circ \alpha :{\mathbb{P}}^1\to M$ 为M中 $\frac{rk}{\left(r,d\right)}$ 次有理曲线。□

引理3.4 令 $\alpha :{\mathbb{P}}^1\to \mathbb{P}\left(W_p^{\zeta }\right)=P$ 为P中 $a_2$ 次有理曲线的 $a_1$ 次覆盖，则 $\alpha :{\mathbb{P}}^1\to P$ 满足 ${\alpha }^{\ast }{\mathcal{O}}_P\left(1\right)\cong {\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^1}\left(a\right)$，其中 $a=a_1{a}_2$。

证明 令 $Y:=\alpha \left({\mathbb{P}}^1\right)$ 为P的具有诱导概型结构的子簇， $\rho :\tilde{Y}\to Y$ 为其正规化， $\rho :\tilde{Y}\to Y$ 为 $a_2$ 次有理曲线， ${\alpha }^{\prime }:{\mathbb{P}}^1\to \tilde{Y}$ 为 $a_1$ 次态射满足 $\alpha =\rho \circ {\alpha }^{\prime }$。因此

$\mathrm{deg}\left({\alpha }^{\ast }{\mathcal{O}}_P\left(1\right)\right)=\mathrm{deg}\left({\alpha }^{\prime }\right)\cdot \mathrm{deg}\left({\rho }^{\ast }\left({{\mathcal{O}}_P\left(1\right)|}_Y\right)\right)=a$，

即有 ${\alpha }^{\ast }{\mathcal{O}}_P\left(1\right)\cong {\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^1}\left(a\right)$。□

由引理我们得到下边更一般的结论。

命题3.5 若 ${\mathbb{P}}^1\subset \mathbb{P}\left(W_p^{\zeta }\right)=P$ 为一条 $k_2$ 次有理曲线的 $k_1$ 次覆盖，则 $\psi \left({\mathbb{P}}^1\right)$ 为M中的一条 $\frac{rk}{\left(r,d\right)}$ 次有理曲线，其中 $k=k_1{k}_2$。