基于回归模型的伊犁州直第一产业生产总值实证分析与预测

Empirical Analysis and Forecast on the GDP of Primary Industry in Yili State Based on the Theory of Linear Regression

摘要: 为促进伊犁州直第一产业的又好又快发展，本文基于线性回归的相关理论，将伊犁州直2009~2019年第一产业生产总值作为数据基础，利用统计软件进行分析并建立回归模型，对伊犁州直未来三年的第一产业生产总值进行预测。结果看出伊犁州直第一产业生产总值近年呈现增长趋势，但对第一产业方面的发展需求迫在眉睫，进而对其进一步发展提出相关意见和建议。

Abstract: In order to promote the sound and rapid development of the primary industry of Yili prefecture, based on the theory of linear regression; this paper uses the statistical software to analyze and establish the regression model, as the base data in the GDP of primary industry in Yili state from 2009 to 2019, to predict the future three years of the first industry in GDP. The results show that the GDP of the primary industry of Yili Prefecture has shown an increasing trend in recent years, but the demand for the development of the primary industry is imminent, and put forward relevant opinions and suggestions for its further development.

1. 引言

伊犁哈萨克自治州位于祖国西北边陲，有着“三山两盆两谷”的地貌特征，土地水利矿产等资源丰富。近年来，国家出台各项惠民政策大力扶持新疆，为新疆的经济跨越式发展提供支撑，在“一带一路”背景下，伊犁州依托当地农业资源优势大力发展特色产业，在中央、自治区和自治州强有力的强农惠农政策支持下，州直农业也迎来了春天，为助力于农民增收并使边塞粮仓和河谷特色农业的优势日渐显现，对伊犁州直第一产业发展的分析研究是很有必要的。

第一产业是指农林牧渔业，其生产总值反映了第一产业经济发展的特征和趋势。本文以一元线性回归模型作为理论基础，对伊犁州直第一产业生产总值进行实证分析，将伊犁州直2009~2016年第一生产总值作为预测模型，利用统计软件进行分析及建立回归方程，然后对2017~2019年的第一产业生产总值进行拟合度检验，进而对伊犁州直2020~2022年的第一产业生产总值进行预测，最后为伊犁州直第一产业的又好又快发展提供相关意见和建议 [1] [2] [3] 。

2. 相关理论 [4] [5] [6] [7]

一元线性回归模型实质是通过分析变量之间的相关关系，通过回归方程的方式对变量间的数量变化规律进行说明和反映，进而掌握变量与变量之间的影响程度，最终达到科学控制和预测的目的。其思路就是建立Y关于X的回归方程，并在已知 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 的情况下，利用回归方程来预测Y的平均值。

2.1. 回归方程的建立

一般的一元线性模型为： $y_i={\beta }_0+{\beta }_1{x}_i+{\epsilon }_i,i=1,2,\cdots ,n$ ，其中 $x_i$ 为自变量， $y_i$ 是因变量， ${\epsilon }_i$ 是随机扰动项，其中优度统计量

${\hat{\beta }}_1=\frac{{\displaystyle \sum \left(x_i-\bar{x}\right)\left(y_i-\bar{y}\right)}}{{\displaystyle \sum {\left(x_i-\bar{x}\right)}^2}},{\hat{\beta }}_0=\bar{y}-{\hat{\beta }}_0{\bar{x}}_0$

得到样本回归直线方程 ${\hat{y}}_i={\hat{\beta }}_0+{\hat{\beta }}_1{x}_i,i=1,2,\cdots ,n$ 。

2.2. 回归方程的拟合度检验

回归方程的拟合优度是对样本数据点与回归线周围接近程度的衡量，是回归方程对样本观测值拟合程度的判断依据，对于简单直线回归方程来说，一般使用R²对拟合优度进行检验，即判定系数。R²说明了回归方程所能解释的变差比例，其取值在0~1之间，R²越趋近于1，即回归方程对样本数据点的拟合度越高；反之，R²越趋近于0，说明回归方程对样本数据点的拟合度越低，判决系数 $R^2=\frac{S_R}{S_T}=1-\frac{S_E}{S_T}$ 。其中

$S_T={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(y_i-\bar{y}\right)}^2}=S_{yy}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{y}_i^2}-\frac{1}{n}{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{y}_i}\right)}^2$

$S_R={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left({\hat{y}}_i-\bar{y}\right)}^2}=b^2{S}_{xx}=b^2\left[{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_i^2-\frac{1}{n}{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_i}\right)}^2}\right]$ ， $S_E=S_T-S_R={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{\left(y_i-\hat{y}\right)}^2}$ 。

2.3. 预测估计

若回归方程经受住全部检验且具备较高的拟合度，即可使用该回归方程预测。预测是指在给定 $x_0$ 对相应的y的取值 $y_0$ 做出估计。但点预测对估计的精确度无法掌握，在对实际值做预测时，需有一定的显著性水平，确定其置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间，即在 $X=x_0$ 处，Y的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间为：

$\left[{\hat{y}}_0\pm t_{1-\frac{\alpha }{2}}\hat{\sigma }\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{{\left(x_0-\bar{x}\right)}^2}{S_{xx}}}\right]$

3. 实证分析

根据伊犁州直2009~2019年统计年鉴 [8] [9] ，将伊犁州直第一产业生产总值作为数据基础，以2009~2016年的第一产业生产总值为预测模型，对2017~2019年的第一产业生产总值进行检验，进而对伊犁州直2020~2022年的第一产业生产总值进行预测。(表1)

Table 1. GDP of primary industry of Yili prefecture from 2009~2019 (ten thousand yuan)

表1. 伊犁州直2009~2019年第一产业生产总值(万元)

(a) (b)

Figure 1. Change chart of GDP of Yili primary industry from 2009~2019

图1. 伊犁州直2009~2019年第一产业生产总值的变化图

3.1. 回归方程模型建立

用SPSS软件对上述2009~2019年数据进行处理1) 见图1，散点图(a)：2) 得出拟合线，个体的置信区间设置为95%：根据图1(a)可大致判断出X与Y有线性相关关系，如图1(b)。3) 假设年份是自变量X，生产总值是因变量Y，则得出回归直线方程 $Y={\beta }_0+{\beta }_{1}X$ 用SPSS软件继续处理上述数据，得到相关数据如下表2、表3：Table 2. Descriptive statistics表2. 描述性统计量table_table_table_1-1251632_2_hanspub.htmTable 3. Coefficient表3. 系数table_table_table_1-1251632_3_hanspub.htm4) 计算回归方程：由图表中的数据得： ${\beta }_1=107047$ ， ${\beta }_0=-\text{214058731}\text{.091}$ 。则回归方程为 $y=-\text{214058731}\text{.091}+107047x$ 。

3.2. 回归方程的拟合优度的检测

对该模型做拟合度检验和F检验，具体如表4、表5。Table 4. The model summary表4. 模型汇总table_table_table_1-1251632_4_hanspub.htmTable 5. Anova表5. Anovatable_table_table_1-1251632_5_hanspub.htm1) 计算判决系数由以上的计算结果知， $S_{yy}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{y}_i^2}-\frac{1}{n}{\left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{y}_i}\right)}^2=\text{1558910952074}\text{.909}$ ， $S_T=S_{yy}=\text{1558910952074}\text{.909}$ $S_R={\beta }_1^2{S}_{xx}=1260496622990.000$ ， $R^2=\frac{S_R}{S_T}\approx 0.809$ 。由 $R^2\approx 0.809$ ，表明回归方程解释了总离差的80.9%，得出年份与第一产业生产总值之间的线性关系较强。2) 计算估计标准误差： $S_E=298414329084.909$ ， $\sigma =\sqrt{\frac{S_E}{n-2}}=182091.042$ 。

3.3. 回归方程的显著性检验

1) 提出假设H₀：线性关系不显著；H₁：线性关系显著。2) 构造检验统计量。当H₀为真时，检验统计量 $F=\frac{S_R/1}{S_E/\left(n-2\right)}\sim F\left(1,n-2\right)$ 3) 给定显著性水平 $\alpha =0.05$ ，得临界点 $F_{1-0.05}\left(1,9\right)=5.12$ ，由于 $F=38.016\ge F_{1-\alpha }\left(1,9\right)=5.12$ 则拒绝H₀，认为年份与第一产业生产总值之间具有显著的线性关系。

3.4. 利用回归方程预测

根据得出的回归方程 $y=-214058731.09+107047x$ ，对伊犁州直2017~2019年第一产业生产总值进行预测并与实际数值进行比较，发现误差率相对偏小。(表6)Table 6. 2017~2019 forecast estimates表6. 2017~2019年预测估计table_table_table_1-1251632_6_hanspub.htm通过该模型可对伊犁州直未来三年第一产业生产总值进行预测，2020年该产业生产总值的点估计为： $y=-214058731.091+107047\times 2020\approx 2176209$ 2021该产业生产总值的点估计为： $y=-214058731.091+107047\times 2021\approx 2283256$ 2022该产业生产总值的点估计为： $y=-214058731.091+107047\times 2022\approx 2390303$ 根据以上分析数据计算出该产业在2020、2021、2022这三年的生产总值预测值分别为2,176,209万元、2,283,256万元、2,390,303万元.