一类Caputo分数阶中立型时滞投影神经网络

A Class of Caputo Fractional-Order Neutral Delayed Projection Neural Networks

摘要: 本文主要研究一类具有时滞的Caputo分数阶中立型投影神经网络。首先，我们利用Sadovskii不动点定理和压缩映像原理，在适当条件下，证明了时滞投影神经网络解的存在和唯一性。其次，利用一个新的Gronwall不等式证明得到了投影时滞系统的有限时间稳定性的充分条件。最后，两个数值例子证明了我们的结果。

Abstract: This paper mainly focuses on a class of Caputo fractional neutral projection neural networks with time delay. Firstly, by using contraction mapping principle and fixed point theorem, we propose the existence and uniqueness of solutions for time-delay projection neural networks under appropriate conditions. Secondly, a new Gronwall inequality is used to derive the finite-time stability of projection delay systems. Finally, two numerical examples prove our results.

1. 引言

随着科学技术的发展和人们认知水平的提高，学者对神经网络稳定性的探究越来越多。尤其在组合优化、传感器信号处理、自适应控制等领域，神经网络被广泛应用。在设计用于解决实际问题的神经网络模型时，我们首先要考虑神经网络的稳定性，确保系统处于稳定状态至关重要。然而，在现实生活中，时滞 [1] 经常发生在动力系统中，并对系统的稳定性产生重大影响。因此，我们在建立模型时应将时滞因素考虑入内。许多学者研究了时滞神经网络的稳定性，例如 [2]。作为整数阶微积分的推广，分数阶积分和微分最早由莱布尼兹于1695年提出，用于处理任意阶的积分和导数。从已有的研究内容可以看出，分数阶动力系统模型优于整数阶动力系统模型，它更加准确地描述了各种运动的记忆和遗传特征。分数阶模型在波传播、医学成像和流体力学等领域发挥着重要作用。因此，越来越多的学习者逐渐开始关注分数阶神经网络动态系统 [3]。例如，王 [4] 推导了三维含有时滞和不同环结构的分数阶神经网络稳定的条件。陈和宋 [5] 构造了一个合适的Lyapunov Krasovskii泛函，为实现稳定性做出了新的贡献。他们利用不等式方法，提出了保证具有概率时变时滞的分数阶复神经网全局渐近稳定的条件。同样，李 [6] 研究了具有四元数的分数阶数值神经网络的全局同步稳定性。

一般来说，时滞不仅发生在当前的状态内，也会发生在过去的时间段内。中立型时滞神经网络 [7] 是具有多时滞的神经网络的特例。投影神经网络是在一般的神经网络基础上加入投影算子的神经网络。投影动力系统在生物、种群生态问题、病毒传播和扩散模型以及大规模集成电路方面均有涉及。众所周知，投影神经网络(动态系统)在处理线性规划、差分不等式问题、互补问题和公共交通等方面做出了巨大贡献。近年来，人们越来越重视投影神经网络的稳定性，并在 [8] 中得到了许多有效的研究结果。例如，在 [9] 中，投影神经网络在二次规划中有一个新的应用。张 [8] 通过求解中立型延迟投影神经网络并使用线性变分不等式方法，得到了新的结果。宋等人 [10] 研究了一类参数不确定神经网络的鲁棒稳定性并提出了有关分数阶复值投影神经网络的新观点。李和黄等人 [11] 利用李雅普诺夫方法、矩阵不等式技术和同胚原理研究了一类分数阶复值投影神经网络的渐近稳定性。在 [7] 中，李和吴等人对Riemann-Liouville分数阶中立型时滞神经网络的渐近稳定性做了研究。

本文对概念更强于渐进稳定性的有限时间稳定性进行了分析，它是指系统在给定区间内的稳定状态。到目前为止，学者对鲁棒稳定性、渐进稳定性等都有了一定的研究，且对分数阶中立型时滞神经网络的稳定性已经取得了很多研究成果，而这些成果全都集中在有限时间的状态内。但很少有人对分数阶中立型时滞投影神经网络的有限时间稳定性进行分析。而在实际运用中，保证系统有限的时间间隔内处于稳定状态是十分必要的。如导弹射击，卫星的运行，需要保证其状态轨迹在一定的射程范围内；在医学方面，预测个体疾病病变轨迹，做出相应的模型，对于治疗如阿尔茨海默症等疾病提供了条件。所以对有限时间稳定性的研究是很有必要的。

受上述文章的启发，本文对如下一种含有时滞的Caputo中立型分数投影神经网络(CFNDPNN)解的相关问题进行了分析，探究了该动力系统的一些性质：

$\{\begin{array}{l}{}^{C}D{}_0^{\alpha }x\left(t\right)=-2x\left(t\right)+P_K\left(x\left(t\right)-\rho Mx\left(t\right)-\rho c\right)+Bx\left(t-\tau \right)+E\left({}^{C}D{}_0^{\beta }x\left(t-\tau \right)\right),t\in \left[0,T\right]\\ x\left(t\right)=\varphi \left(t\right),t\in \left[-\tau ,0\right]\end{array}$ (1.1)

等同于下列方程

$\{\begin{array}{l}{}^{C}D{}_0^{\alpha }x\left(t\right)=-2x\left(t\right)+P_K\left(Ax\left(t\right)+\lambda \right)+Bx\left(t-\tau \right)+E\left({}^C{D}_0^{\beta }x\left(t-\tau \right)\right),t\in \left[0,T\right]\\ x\left(t\right)=\varphi \left(t\right),t\in \left[-\tau ,0\right]\end{array}$ (1.2)

其中， ${}^{C}D{}_0^{\alpha }x\left(t\right)$， ${}^{C}D{}_0^{\beta }x\left(t\right)$ 表示 $x\left(t\right)$ 的Caputo分数阶导数， $0<\beta \le \alpha <1$，n表示神经网络中神经元的数量， $x\left(t\right)={\left(x_1\left(t\right),x_2\left(t\right),\cdots ,x_n\left(t\right)\right)}^{\text{T}}$ 是t时刻的状态向量，K是 ${ℝ}^n$ 中的闭凸子集， $P_K$ 是投影算子， $\tau >0$ 表示时滞， $\varphi \left(t\right)\in C\left(\left[-\tau ,0\right],{ℝ}^n\right)$ 是初始状态函数， $C\left(\left[-\tau ,0\right],{ℝ}^n\right)$ 表示所有连续函数从 $\left[-\tau ,0\right]$ 到 ${ℝ}^n$ 的映射，其中

$A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}=I-\rho M,\lambda ={\left({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n\right)}^{\text{T}}=-\rho c,B={\left(b_{ij}\right)}_{n\times n},E={\left(e_{ij}\right)}_{n\times n}$

本文的主要贡献包括以下三个部分：i) 本文是尝试考虑具分数阶中立型投影神经网络的文章之一。ii) 在适当的条件下，我们推导了CFNDPNN解的一些性质。iii) 我们使用一个新的Gronwall不等式来证明有限时间稳定性，它与 [7] 所提到的渐近稳定性不同，是对中立型分数阶投影神经网络稳定性研究的一个很好的补充。本文用了新的Gronwall不等式来证有限时间稳定性，不同于其他稳定性的证明，用beta函数来证明，使计算结果更易于验证。主要难点在于有限时间稳定性的证明，以及处理时滞项的导数，我们用了一个新的Gronwall不等式，计算量大且复杂。

现在简要介绍一下本文的主要结构。在下一节中，我们将给出一些必要的概念以及引理。随后，第3节描述了CFNDPNN在一些适当条件下的解的性质，同时给出CFNDPNN的有限时间稳定性。在最后一节，总结全文之前给出的数值例子，用以验证我们的主要结果。

2. 预备知识

在本章中，我们介绍一些定义和引理。

定义1 [12] 如果 $x\left(t\right)\in L^1\left(\left[0,+\infty \right),ℝ\right)$，函数x的 $\alpha \left(0<\alpha <1\right)$ 阶Riemann-Liouville积分定义如下

$I_0^{\alpha }x\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}x\left(t\right)\text{d}s}$ (2.1)

$\Gamma (·)$ 表示伽马函数 $\Gamma \left(\alpha \right)={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{s}^{\alpha -1}{\text{e}}^{-s}\text{d}s}$。

定义2 [12] 函数x的 $\alpha \left(0<\alpha <1\right)$ 阶Caputo导数定义如下

${}^{C}D{}_0^{\alpha }x\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^t\frac{{\left(t-v\right)}^{-\alpha }}{\text{Γ}\left(m-\alpha \right)}{x}^{\left(m\right)}\left(v\right)\text{d}v},m-1<\alpha <m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ (2.2)

定义3 [13] 如果K是 ${ℝ}^n$ 中的非空闭凸子集，则投影算子 $P_K:{ℝ}^n\to K$ 定义如下

$P_K\left(y\right)=\arg \underset{z\in K}{\min }\Vert y-z\Vert ,\forall y\in {ℝ}^n$ (2.3)

定义4 [12] 函数x的 $\alpha \left(0<\alpha <1\right)$ 阶Riemann-Liouville导数定义如下

${}^{r}D{}_0^{\alpha }x\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(m-\alpha \right)}\frac{{\text{d}}^m}{\text{d}{t}^m}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-v\right)}^{-\alpha }}x\left(v\right)\text{d}v,m-1<\alpha <m\in {\mathbb{Z}}^{+}$ (2.4)

定义5 [2] 对于具有两个不同初始函数 $\phi \left(t\right)$， $\varphi \left(t\right)$ 的任意两个解 $x\left(t\right)$， $y\left(t\right)$，令 $u\left(t\right)=x\left(t\right)-y\left(t\right)$， $\psi \left(t\right)=\phi \left(t\right)-\varphi \left(t\right)$，则(1.2)关于 $\left\{\delta ,\epsilon ,T\right\}$ 是有限时间稳定的，如果有 $\Vert \psi \Vert =\underset{s\in \left[-\tau ,0\right]}{\sup }\Vert \psi \left(s\right)\Vert <\delta$，则 $\Vert u\left(t\right)\Vert \le \epsilon$，其中 $t\in \left[0,T\right]$， $0<\delta <\epsilon$。

引理1 [14] 假设 $0<\lambda <1$，则有

$I_0^{\lambda C}{D}_0^{\alpha }x\left(t\right)=I_0^{\lambda -\alpha }x\left(t\right)-\frac{t^{\lambda -\alpha }}{\text{Γ}\left(\lambda -\alpha +1\right)}x\left(0\right),t\ge 0$ (2.5)

规定 $I_0^{0}x\left(t\right)=x(\; t\; )$

引理2 [12] 假设 $p\ge q\ge 0$，则

${}^{r}D{}_0^p{I}_0^{q}x\left(t\right)={}^{r}D{}_0^{p-q}x\left(t\right)$ (2.6)

引理3 [12] 假设 $\lambda \in \left(0,1\right)$，

${}^{C}D{}_0^{\lambda }x\left(t\right)={}^{r}D{}_0^{\lambda }x\left(t\right)-\frac{t^{-\lambda }}{\text{Γ}\left(1-\lambda \right)}x\left(0\right),t>0$ (2.7)

引理4 [14] 假设 $\beta >-1,n-1<\alpha <n,n\in \mathbb{N}$，则有

${}^{r}D{}_0^{\alpha }\frac{t^{\beta }}{\text{Γ}\left(\beta +1\right)}=\frac{t^{\beta -\alpha }}{\text{Γ}\left(\beta -\alpha +1\right)}$ (2.8)

引理5 [15] 若K是 ${ℝ}^n$ 中的闭凸子集，则投影算子 $P_K$ 是非扩张的

$\Vert P_K\left(u\right)-P_K\left(v\right)\Vert \le \Vert u-v\Vert ,\forall u,v\in {ℝ}^n$

引理6 [16] 设X是Banach空间，若有一个集值映射 $F=F_1+F_2:X\to X$ 是k-Lipschitz，且紧致于 $0\le k<1$，则F是k凝聚的。

引理7 [17] N是Banach空间中的一个闭凸有界集， $N\left(Q\right)\subseteq Q$，那么N在Q中至少有一个不动点。

引理8 [2] 设 $a\left(t\right),c\left(t\right),d\left(t\right)\in C\left(\left[0,T\right],{ℝ}^n\right)$， $\phi \left(t\right)\in C\left(\left[-\tau ,0\right],{ℝ}^n\right)$， $a\left(t\right)$ 和 $\chi \left(t\right)$ 是非减的， $a\left(0\right)=\chi \left(0\right)$，若 $v\left(t\right)\in C\left(\left[-\tau ,T\right],{ℝ}^n\right)$

$\{\begin{array}{l}v\left(t\right)\le a\left(t\right)+{\displaystyle {\int }_0^t\frac{{\left(t-s\right)}^{\xi -1}}{\text{Γ}\left(\xi \right)}\left[c\left(s\right)v\left(s\right)+d\left(s\right)v\left(s-\tau \right)\right]\text{d}s},t\in \left[0,T\right]\hfill \\ v\left(t\right)\le \chi \left(t\right),t\in \left[-\tau ,0\right]\hfill \end{array}$

则

$v\left(t\right)\le {\left\{A\left(t\right)\exp \left({\displaystyle {\int }_0^t\left[C\left(s\right)v\left(s\right)+D\left(s\right)v\left(s-\tau \right)\right]\text{d}s}\right)\right\}}^{\gamma },t\in \left[0,T\right]$

其中， $D\left(t\right)=\frac{4^{\frac{1}{\gamma }-1}}{{\text{Γ}}^{\frac{1}{\gamma }}\left(\xi \right)}{\left(B\left(\frac{\xi -\gamma }{1-\gamma },\frac{1-\xi }{1-\gamma }\right)\right)}^{\frac{1-\gamma }{\gamma }}{t}^{\frac{\xi -\gamma }{\gamma }}{d}^{\frac{1}{\gamma }}\left(t\right)$，

$C\left(t\right)=\frac{4^{\frac{1}{\gamma }-1}}{{\text{Γ}}^{\frac{1}{\gamma }}\left(\xi \right)}{\left(B\left(\frac{\xi -\gamma }{1-\gamma },\frac{1-\xi }{1-\gamma }\right)\right)}^{\frac{1-\gamma }{\gamma }}{t}^{\frac{\xi -\gamma }{\gamma }}{c}^{\frac{1}{\gamma }}\left(t\right),A\left(t\right)=2^{\frac{1}{\gamma }-1}{a}^{\frac{1}{\gamma }}\left(t\right),0<\gamma <\xi <1$

$B\left(\cdot ,\cdot \right)$ 是beta函数， $B\left(x,y\right)={\displaystyle {\int }_0^1{t}^{x-1}{\left(1-t\right)}^{y-1}\text{d}t}\left(\mathrm{Re}\left(x\right)>0,\mathrm{Re}\left(y\right)>0\right)$。

3. 主要内容

在这一节中，我们给出了有关系统(1.2)解的相关定理。首先，我们给出存在性定理。

定理3.1 $x\left(t\right)$ 是CFNDPNN(1.2)的解，当且仅当 $x\left(t\right)$ 是下列积分系统的解。

$\{\begin{array}{l}x\left(t\right)=\varphi \left(0\right)-E\varphi \left(-\tau \right)\frac{t^{\alpha -\beta }}{\text{Γ}\left(\alpha -\beta +1\right)}+E\frac{1}{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}x\left(s-\tau \right)\text{d}s}\hfill \\ +\frac{1}{\text{Γ}\left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}}\left[-2x\left(s\right)+P_K\left(Ax\left(s\right)+\lambda \right)+Bx\left(s-\tau \right)\right]\text{d}s,t\in \left[0,T\right]\hfill \\ x\left(t\right)=\varphi \left(t\right),t\in \left[-\tau ,0\right]\hfill \end{array}$ (3.1)

证明对 $t\in \left[-\tau ,0\right]$，显然 $x\left(t\right)=\varphi \left(t\right)$ 是上式的解，反之亦然。若 $\alpha <\beta$，则

必要性：对 $t\in \left[0,T\right]$，在(3.1)两侧应用分数积分 $I_0^{\alpha }$

$I_0^{\alpha }\left[{}^c{D}_0^{\alpha }x\left(t\right)-E^c{D}_0^{\beta }\left(x\left(t-\tau \right)\right)\right]=I_0^{\alpha }\left[-2x\left(t\right)+P_K\left(Ax\left(t\right)+\lambda \right)+Bx\left(t-\tau \right)\right]$ (3.2)

由引理2.1可得

$x\left(t\right)-x\left(0\right)-E\left[I_0^{\alpha }x\left(t-\tau \right)\right]=I_0^{\alpha }\left[-2x\left(t\right)+P_K\left(Ax\left(t\right)+\lambda \right)+Bx\left(t-\tau \right)\right]$

$\begin{array}{c}x\left(t\right)=x\left(0\right)-E\varphi \left(-\tau \right)\frac{t^{\alpha -\beta }}{\text{Γ}\left(\alpha -\beta +1\right)}+E\frac{1}{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}x\left(s-\tau \right)\text{d}s}\\ +\frac{1}{\text{Γ}\left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}}\left[-2x\left(t\right)+P_K\left(Ax\left(t\right)+\lambda \right)+Bx\left(t-\tau \right)\right]\text{d}s\end{array}$

充分性：如果 $x\left(t\right)$ 是系统(3.1)的解，将 ${}^{C}D{}_0^{\alpha }$ 运用到(3.1)两侧可得

$\begin{array}{c}{}^{C}D{}_0^{\alpha }x\left(t\right)=\frac{-E\varphi \left(-\tau \right){}^{C}D{}_0^{\alpha }{t}^{\alpha -\beta }}{\text{Γ}\left(\alpha -\beta +1\right)}+{}^{C}D{}_0^{\alpha }\frac{E}{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}x\left(s-\tau \right)\text{d}s}\\ +{}^{C}D{}_0^{\alpha }{I}_0^{\alpha }\left[-2x\left(t\right)+P_K\left(Ax\left(t\right)+\lambda \right)+Bx\left(t-\tau \right)\right]\text{d}s\end{array}$

${}^{C}D{}_0^{\alpha }{I}_0^{\alpha }\left[-2x\left(t\right)+P_k\left(Ax\left(t\right)+\lambda \right)+Bx\left(t-\tau \right)\right]=-2x\left(t\right)+P_k\left(Ax\left(t\right)+\lambda \right)+Bx\left(t-\tau \right)$ (3.3)

$\begin{array}{l}{}^{c}D{}_0^{\alpha }{I}_0^{\alpha -\beta }Ex\left(t-\tau \right)\\ ={}^{r}D{}_0^{\alpha }{I}_0^{\alpha -\beta }Ex\left(t-\tau \right)-{E\frac{t^{\beta -\alpha }}{\beta -\alpha +1}\left[I_0^{\alpha -\beta }x\left(t-\tau \right)\right]|}_{t=0}\\ ={}^{r}D{}_0^{\alpha }{I}_0^{\alpha -\beta }Ex\left(t-\tau \right)\\ =E^r{D}_0^{\beta }x\left(t-\tau \right)\end{array}$ (3.4)

$\begin{array}{l}E\varphi \left(-\tau \right){}^{c}D{}_0^{\alpha }\frac{t^{\alpha -\beta }}{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)}\\ ={}^{C}D{}_0^{\alpha }E\varphi \left(-\tau \right)\frac{t^{\alpha -\beta }}{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)}\\ ={}^{r}D{}_0^{\alpha }E\varphi \left(-\tau \right)\frac{t^{\alpha -\beta }}{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)}-{\frac{t^{-\alpha }}{\Gamma \left(1-\alpha \right)}\left[E\varphi \left(-\tau \right)\frac{t^{\alpha -\beta }}{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)}\right]|}_{t=0}\\ ={}^{r}D{}_0^{\alpha }E\varphi \left(-\tau \right)\frac{t^{\alpha -\beta }}{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)}\\ =E\varphi \left(-\tau \right)\frac{t^{-\beta }}{\Gamma \left(1-\beta \right)}\end{array}$ (3.5)

由(2.3)和(2.4)可得

${}^{C}D{}_0^{\alpha }{I}_0^{\alpha -\beta }Ex\left(t-\tau \right)-E\varphi \left(-\tau \right){}^{C}D{}_0^{\alpha }\frac{t^{\alpha -\beta }}{\alpha -\beta +1}=E{}^{C}D{}_0^{\beta }x\left(t-\tau \right)-E\varphi \left(-\tau \right)\frac{t^{\alpha -\beta }}{\text{Γ}\left(1-\beta \right)}=E{}^{C}D{}_0^{\beta }x\left(t-\tau \right)$ (3.6)

由(3.4)和(3.6)可得

${}^{C}D{}_0^{\alpha }x\left(t\right)=-2x\left(t\right)+P_k\left(x\left(t\right)-\rho Mx\left(t\right)-\rho c\right)+Bx\left(t-\tau \right)+E\left({}^c{D}_0^{\beta }x\left(t-\tau \right)\right)$。

3.1. 解的存在性和有界性

定理3.2 如果 $\frac{3\Vert E\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)\left(\alpha -\beta \right)}{T}^{\alpha -\beta }<1$， $\frac{3\Vert E\Vert +\Vert A\Vert +\Vert B\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)\left(\alpha -\beta \right)}{T}^{\alpha -\beta }<1$，则系统(1.2)至少有一个解。

证明定义如下算子 $\text{Φ}:C\left(J,{ℝ}^n\right)\to C\left(J,{ℝ}^n\right)$

$\begin{array}{c}\left(\Phi x\right)\left(t\right)=\varphi \left(0\right)-E\varphi \left(-\tau \right)\frac{t^{\alpha -\beta }}{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)}+\frac{E}{\Gamma \left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}x\left(s-\tau \right)\text{d}s}\\ +\frac{2E}{\text{Γ}\left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}x\left(s\right)\text{d}s}+\frac{1}{\text{Γ}\left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}}\left[P_k\left(Ax\left(s\right)+\lambda \right)+Bx\left(s-\tau \right)\right]\text{d}s\end{array}$

$F:C\left(J,{ℝ}^n\right)\to C\left(J,{ℝ}^n\right),G:C\left(J,{ℝ}^n\right)\to C\left(J,{ℝ}^n\right)$

$\begin{array}{c}\left(Fx\right)\left(t\right)=\varphi \left(0\right)-E\varphi \left(-\tau \right)\frac{t^{\alpha -\beta }}{\text{Γ}\left(\alpha -\beta +1\right)}+\frac{E}{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}x\left(s-\tau \right)\text{d}s}\\ +\frac{2E}{\text{Γ}\left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}x\left(s\right)\text{d}s}\end{array}$

$\left(Gx\right)\left(t\right)=\frac{1}{\text{Γ}\left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}}\left[P_k\left(Ax\left(s\right)+\lambda \right)+Bx\left(s-\tau \right)\right]\text{d}s$

显然， $\Phi =F+G$，令 $B_{\delta }=\left\{x\in C\left(J,{ℝ}^n\right),\Vert x\Vert \le \delta \right\}$，可知 $B_{\delta }$ 是 $C\left(J,{ℝ}^n\right)$ 上的有界闭凸子集，其中

$\delta \ge \frac{\Vert \phi \left(0\right)\Vert +\frac{\Vert E\Vert +\Vert \phi \left(-\tau \right)\Vert +\left(\Vert E\Vert +\Vert B\Vert \right)\Vert \psi \Vert +\Vert \lambda \Vert +\Vert \phi \Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta +1\right)\left(\alpha -\beta \right)}{T}^{\alpha -\beta }}{1-\frac{3\Vert E\Vert +\Vert A\Vert +\Vert B\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta +1\right)\left(\alpha -\beta \right)}{T}^{\alpha -\beta }},\phi \in K$

存在足够大的 $\delta >0$ 使得

$\Vert x\left(t\right)\Vert <\delta ,t\ge -\tau$

从上述引理中可知，如果我们证明 $\Phi$ 在 $B_{\delta }$ 在中有一个不动点，那么系统(1.2)有一个解。该过程可以分为以下三个步骤。

步骤1假设 $\Phi$ 是一个到自身的映射。令 $\Phi \left(B_{\delta }\right)\subset B_{\delta }$。如果 $t\in \left[-\tau ,0\right]$，则 $x\left(t\right)=\varphi \left(t\right)$。因此，从 $\varphi$ 的有界性可以看出， $x\left(t\right)$ 是有界的。

对任意的 $x\in B_{\delta }$，若 $t\in \left[0,T\right]$，可得

$\begin{array}{c}\Vert \left(\Phi x\right)\left(t\right)\Vert \le \Vert \varphi \left(0\right)\Vert +\frac{\Vert E\varphi \left(-\tau \right)\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)}{t}^{\alpha -\beta }+\frac{\Vert E\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s-\tau \right)\Vert \text{d}s\\ +\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}}\left[\Vert -2x\left(s\right)\Vert +\Vert P_k\left(Ax\left(s\right)+\lambda \right)+Bx\left(s-\tau \right)\Vert \right]\text{d}s\end{array}$ (3.7)

根据定义2.3， $\Phi$ 是非空的。我们可以选一个点 $\phi \in K$，使下列不等式成立

$\Vert P_K\left(0\right)\Vert \le \Vert \phi \Vert$

所以有

$\begin{array}{l}\Vert P_k\left(Ax\left(s\right)+\lambda \right)+Bx\left(s-\tau \right)\Vert \\ =\Vert P_k(Ax\left(s\right)+\lambda -P_k\left(0\right)+P_k\left(0\right)+Bx\left(s-\tau \right)\Vert \\ \le \Vert P_k\left(Ax\left(s\right)+\lambda \right)-P_k\left(0\right)+P_k\left(0\right)\Vert +\Vert Bx\left(s-\tau \right)\Vert \\ \le \Vert Ax\left(s\right)+\lambda \Vert +\Vert \phi \Vert +\Vert Bx\left(s-\tau \right)\Vert \\ \le \Vert A\Vert \Vert x\left(s\right)\Vert +\Vert \lambda \Vert +\Vert \phi \Vert +\Vert B\Vert \Vert x\left(s-\tau \right)\Vert \end{array}$ (3.8)

由(3.7)和(3.8)我们可知

$\begin{array}{c}\Vert \left(\Phi x\right)\left(t\right)\Vert \le \Vert \varphi \left(0\right)\Vert +\frac{\Vert E\varphi \left(-\tau \right)\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)}{t}^{\alpha -\beta }+\frac{\Vert E\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s-\tau \right)\Vert \text{d}s\\ +\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}}\left[\Vert -2x\left(s\right)\Vert +\Vert P_k\left(Ax\left(s\right)+\lambda \right)+Bx\left(s-\tau \right)\Vert \right]\text{d}s\\ \le \Vert \varphi \left(0\right)\Vert \frac{\Vert E\varphi \left(-\tau \right)\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)}{t}^{\alpha -\beta }+\frac{\Vert E\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s-\tau \right)\Vert \text{d}s\\ +\frac{1}{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\left[\Vert -2x\left(s\right)\Vert +\Vert \lambda \Vert +\Vert \phi \Vert +\Vert B\Vert \Vert x\left(s-\tau \right)\Vert \right]\text{d}s\end{array}$

$\begin{array}{l}\le \Vert \varphi \left(0\right)\Vert +\frac{\Vert E\varphi \left(-\tau \right)\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)}{t}^{\alpha -\beta }+\frac{\Vert E\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s-\tau \right)\Vert \text{d}s\\ +\frac{1}{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\left[\Vert -2x\left(s\right)\Vert +\Vert A\Vert \Vert x\left(s\right)\Vert +\Vert \lambda \Vert +\Vert \phi \Vert +\Vert B\Vert \Vert x\left(s-\tau \right)\Vert \right]\text{d}s\\ \le \Vert \varphi \left(0\right)\Vert +\frac{\Vert E\varphi \left(-\tau \right)\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta +1\right)}{t}^{\alpha -\beta }+\frac{\Vert E\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s-\tau \right)\Vert \text{d}s\\ +\frac{2\Vert E\Vert +\Vert A\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s\right)\Vert \text{d}s+\frac{\Vert \lambda \Vert +\Vert \phi \Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}\text{d}s}\\ +\frac{\Vert B\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s-\tau \right)\Vert \text{d}s\end{array}$

$\begin{array}{l}\le \Vert \varphi \left(0\right)\Vert +\frac{\Vert E\varphi \left(-\tau \right)\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta +1\right)}{t}^{\alpha -\beta }+\frac{\Vert E\Vert +\Vert B\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s-\tau \right)\Vert \text{d}s\\ +\frac{2\Vert E\Vert +\Vert A\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s\right)\Vert \text{d}s+\frac{\Vert \lambda \Vert +\Vert \phi \Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\text{d}s\\ \le \Vert \varphi \left(0\right)\Vert +\frac{\Vert E\varphi \left(-\tau \right)\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta +1\right)}{t}^{\alpha -\beta }+\frac{\Vert E\Vert +\Vert B\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_{-\tau }^{t-\tau }{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(u\right)\Vert \text{d}u\\ +\frac{2\Vert E\Vert +\Vert A\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s\right)\Vert \text{d}s+\frac{\Vert \lambda \Vert +\Vert \phi \Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\text{d}s\end{array}$

$\begin{array}{l}\le \Vert \varphi \left(0\right)\Vert +\frac{\Vert E\varphi \left(-\tau \right)\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta +1\right)}{t}^{\alpha -\beta }+\frac{\Vert E\Vert +\Vert B\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_{-\tau }^0{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(u\right)\Vert \text{d}u\\ +\frac{\Vert E\Vert +\Vert B\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^{t-\tau }{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(u\right)\Vert \text{d}u+\frac{\Vert \lambda \Vert +\Vert \phi \Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\text{d}s\\ +\frac{2\Vert E\Vert +\Vert A\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s\right)\Vert \text{d}s\\ \le \Vert \varphi \left(0\right)\Vert +\frac{\Vert E\varphi \left(-\tau \right)\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta +1\right)}{t}^{\alpha -\beta }+\frac{\left(\Vert E\Vert +\Vert B\Vert \right)\Vert \psi \Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s\right)\Vert \text{d}s\\ +\frac{\left(\Vert E\Vert +\Vert B\Vert \right)\delta }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}\text{d}s}+\frac{\Vert \lambda \Vert +\Vert \phi \Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\text{d}s\end{array}$

$\begin{array}{l}+\frac{\left(2\Vert E\Vert +\Vert A\Vert \right)\delta }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s\right)\Vert \text{d}s\\ \le \Vert \varphi \left(0\right)\Vert +\frac{\Vert E\varphi \left(-\tau \right)\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta +1\right)}{t}^{\alpha -\beta }+\frac{\left(\Vert E\Vert +\Vert B\Vert \right)\delta +\Vert \lambda \Vert +\Vert \phi \Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\text{d}s\\ +\frac{\left(\Vert E\Vert +\Vert B\Vert \right)\Vert \psi \Vert +\left(2\Vert E\Vert +\Vert A\Vert \right)\delta }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s\right)\Vert \text{d}s\\ \le \Vert \varphi \left(0\right)\Vert +\frac{\Vert E\varphi \left(-\tau \right)\Vert +\left(\Vert E\Vert +\Vert B\Vert \right)\Vert \psi \Vert +\left(3\Vert E\Vert +\Vert A\Vert +\Vert B\Vert \right)\delta +\Vert \lambda \Vert +\Vert \phi \Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta +1\right)}{T}^{\alpha -\beta }\end{array}$

这就证明了 $\Phi \left(B_{\delta }\right)\subset B_{\delta }$

步骤2 F是 $k_1$ 压缩，对 $t\in \left[0,T\right]$， $x,y\in B_{\delta }$，有

$\begin{array}{c}\Vert \left(Fx\right)\left(t\right)-\left(Fy\right)\left(t\right)\Vert \le \frac{\Vert E\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s-\tau \right)-y\left(s-\tau \right)\Vert \text{d}s\\ +\frac{2\Vert E\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}}\Vert x\left(s\right)-y\left(s\right)\Vert \text{d}s\\ \le \frac{\Vert E\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(u\right)-y\left(u\right)\Vert \text{d}u\\ +\frac{2\Vert E\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s\right)-y\left(s\right)\Vert \text{d}s\\ \le \frac{3\Vert E\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\text{d}s\Vert x-y\Vert \\ =k_1{\Vert x-y\Vert }_C\end{array}$

其中，

$k_1=\frac{3\Vert E\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta +1\right)\left(\alpha -\beta \right)}{T}^{\alpha -\beta }$

因此，对 $t\in \left[0,T\right]$， $x,y\in B_{\delta }$，有

由于 $0<k_1<1$，所以F是 $B_{\delta }$ 上的一个压缩映射。

步骤3 G是紧的。

(1) $G\left(B_{\delta }\right)$ 是有界的，对任意的 $t\in \left[0,T\right]$， $x\in B_{\delta }$，可得

$\begin{array}{c}\Vert \left(Gx\right)\left(t\right)\Vert \le \frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}}\Vert P_K\left(Ax\left(s\right)+\lambda \right)+Bx\left(s-\tau \right)\Vert \text{d}s\\ \le \frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}}\left[\Vert A\Vert \Vert x\left(s\right)\Vert +\Vert \lambda \Vert +\Vert \phi \Vert +\Vert B\Vert \Vert x\left(s-\tau \right)\Vert \right]\text{d}s\end{array}$

所以有

$\begin{array}{c}\Vert Gx\Vert \le \frac{T^{\alpha }}{\text{Γ}\left(\alpha +1\right)\alpha }\left[\left(\Vert A\Vert \Vert x\Vert +\Vert B\Vert \right)\Vert \psi \Vert +\Vert \phi \Vert +\Vert \lambda \Vert \right]\\ \le \frac{T^{\alpha }}{\text{Γ}\left(\alpha +1\right)\alpha }\left[\left(\Vert A\Vert +\Vert B\Vert \right)\Vert \delta \Vert +\Vert \lambda \Vert +\Vert \phi \Vert +\Vert B\Vert \Vert \psi \Vert \right]\end{array}$

因此， $G\left(B_{\delta }\right)$ 是有界的

(2) $Gx$ 是连续的。

$0\le a<b<T,x\in B_{\delta }$，

$\begin{array}{c}\Vert \left(Gx\right)\left(a\right)-\left(Gx\right)\left(b\right)\Vert =\Vert \frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^a{\left(a-s\right)}^{\alpha -1}}{P}_K\left(Ax\left(s\right)+\lambda \right)+Bx\left(s-\tau \right)\text{d}s\\ -\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^b{\left(b-s\right)}^{\alpha -1}}{P}_K\left(Ax\left(s\right)+\lambda \right)+Bx\left(s-\tau \right)\text{d}s\Vert \\ \le \Vert \frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^a\left[{\left(a-s\right)}^{\alpha -1}-{\left(b-s\right)}^{\alpha -1}\right]P_k}\left(Ax\left(s\right)+\lambda \right)+Bx\left(s-\tau \right)\text{d}s\\ +\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_a^b{\left(b-s\right)}^{\alpha -1}}{P}_k\left(Ax\left(s\right)+\lambda \right)+Bx\left(s-\tau \right)\text{d}s\Vert \\ \le \frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^a\left[{\left(a-s\right)}^{\alpha -1}-{\left(b-s\right)}^{\alpha -1}\right]}\left[\Vert A\Vert \Vert x\left(s\right)\Vert +\Vert \lambda \Vert +\Vert \phi \Vert +\Vert B\Vert \Vert x\left(s-\tau \right)\Vert \right]\text{d}s\\ \le \frac{\left(\Vert A\Vert +\Vert B\Vert \right)\delta +\Vert \lambda \Vert +\Vert \phi \Vert +\Vert B\Vert \Vert \psi \Vert }{\Gamma \left(\alpha +1\right)}2{\left(b-a\right)}^{\alpha }\end{array}$

当 $b\to a$ 时，上述不等式的右侧趋于零。可得 $Gx$ 是等价连续的。由Arzela-Ascoli定理，可得 $G\left(B_{\delta }\right)$ 是相对紧的。综上所述，F是连续的且 $k_1$ -收缩的，G是紧的， $\Phi$ 是一个凝聚映射。因此， $\Phi$ 满足引理2.7的所有条件，可推断 $\Phi$ 中至少有一个不动点。

定理3.3如果 $\frac{3\Vert E\Vert +\Vert A\Vert +\Vert B\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta +1\right)\left(\alpha -\beta \right)}{T}^{\alpha -\beta }<1$，那么CFNDPNN(1.2)有唯一解。

证明考虑如下的算子 $\Phi :C\left(J,{ℝ}^n\right)\to C\left(J,{ℝ}^n\right)$，定义同定理3.2，我们将证明与(1.2)的解唯一性结果。证明分为下面两个步骤。

对任意的 $x\in C\left(J,{ℝ}^n\right)$ , $\Phi x\in C\left(J,{ℝ}^n\right)$， $\omega =\max \Vert x\left(t\right)\Vert ,t\in \left[0,T\right]$ 对任意 $x\in C\left(\left[-\tau ,0\right],{ℝ}^n\right)$， $\xi >0$ 满足 $t+\xi >-\tau$，可得

$\begin{array}{l}\Vert \left(\Phi x\right)\left(t+\xi \right)-\left(\Phi x\right)\left(t\right)\Vert \\ =\Vert E\varphi \left(-\tau \right)\frac{t^{\alpha -\beta }-{\left(t+\xi \right)}^{\alpha -\beta }}{\text{Γ}\left(\alpha -\beta +1\right)}+\frac{E}{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}x\left(s-\tau \right)\text{d}s}\\ +\frac{1}{\text{Γ}\left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}{P}_k\left(Ax\left(s\right)+\lambda \right)+Bx\left(s-\tau \right)\text{d}s}+\frac{2E}{\text{Γ}\left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}x\left(s\right)\text{d}s}\\ +\frac{E}{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^{t+\xi }{\left(t+\xi -s\right)}^{\alpha -\beta -1}x\left(s-\tau \right)\text{d}s}+\frac{2E}{\text{Γ}\left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^{t+\xi }{\left(t+\xi -s\right)}^{\alpha -\beta -1}x\left(s\right)\text{d}s}\\ +\frac{1}{\text{Γ}\left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^{t+\xi }{\left(t+\xi -s\right)}^{\alpha -\beta -1}{P}_k\left(Ax\left(s\right)+\lambda \right)+Bx\left(s-\tau \right)\text{d}s}\Vert \end{array}$

$\begin{array}{l}\le \Vert E\varphi \left(-\tau \right)\Vert \frac{t^{\alpha -\beta }-{\left(t+\xi \right)}^{\alpha -\beta }}{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)}+\frac{2\Vert E\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t\left[{\left(t+\xi -s\right)}^{\alpha -1}-{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}\right]\Vert x\left(s\right)\Vert \text{d}s}\\ +\frac{\Vert E\Vert +\Vert B\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^{t-\tau }\left[{\left(t+\xi -s\right)}^{\alpha -\beta -1}-{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}\right]\Vert x\left(u\right)\Vert \text{d}u}\\ +\frac{\left(\Vert E\Vert +\Vert B\Vert \right)\Vert \psi \Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t\left[{\left(t+\xi -s\right)}^{\alpha -\beta -1}-{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}\right]\text{d}s}\\ +\frac{2\Vert E\Vert +\Vert A\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^{t+\xi }\left[{\left(t+\xi -s\right)}^{\alpha -\beta -1}-{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}\right]\Vert x\left(s\right)\Vert \text{d}s}\\ +\frac{\Vert E\Vert +\Vert B\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^{t+\xi }\left[{\left(t+\xi -s\right)}^{\alpha -\beta -1}-{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}\right]\Vert x\left(u\right)\Vert \text{d}u}\end{array}$

$\begin{array}{l}+\frac{\Vert \lambda \Vert +\Vert \phi \Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^{t+\xi }\left[{\left(t+\xi -s\right)}^{\alpha -\beta -1}-{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}\right]\text{d}s}\\ \le \frac{\Vert E\varphi \left(-\tau \right)\Vert \left(t^{\alpha -\beta }-{\left(t+\xi \right)}^{\alpha -\beta }\right)}{\text{Γ}\left(\alpha -\beta +1\right)}+\frac{\left(2\Vert E\Vert +\Vert A\Vert \right)\Vert \omega \Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t\left[{\left(t+\xi -s\right)}^{\alpha -\beta -1}-{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}\right]\text{d}s}\\ +\frac{\left(\Vert E\Vert +\Vert B\Vert \right)\Vert \psi \Vert +\Vert \lambda \Vert +\Vert \phi \Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t\left[{\left(t+\xi -s\right)}^{\alpha -\beta -1}-{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}\right]\text{d}s}\\ \le \frac{2\left(\left(2\Vert E\Vert +\Vert A\Vert \right)\Vert \omega \Vert +\left(\Vert E\Vert +\Vert B\Vert \right)\Vert \psi \Vert +\Vert \lambda \Vert +\Vert \phi \Vert \right)+\Vert E\left(-\tau \right)\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta +1\right)\left(\alpha -\beta \right)}\\ \times \left[{\left(t+\xi -s\right)}^{\alpha -\beta -1}-{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}\right]\end{array}$

当 $\xi \to 0$ 时，上述不等式右侧趋于0，所以， $\Phi x\in C\left(\left[0,T\right],{ℝ}^n\right)$。

(2) $\Phi$ 是 $C\left(T,{ℝ}^n\right)$ 上的压缩映射，对 $x,y\in C\left(T,{ℝ}^n\right)$，由引理2.3得

$\begin{array}{l}\Vert \left(\Phi x\right)\left(t\right)-\left(\Phi y\right)\left(t\right)\Vert \\ \le \frac{\Vert E\varphi \left(-\tau \right)\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)}{t}^{\alpha -\beta }-\frac{\Vert E\varphi \left(-\tau \right)\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)}{t}^{\alpha -\beta }\\ +\frac{\Vert E\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s-\tau \right)-y\left(s-\tau \right)\Vert \text{d}s+\frac{2\Vert E\Vert }{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}}\Vert x\left(s\right)-y\left(s\right)\Vert \text{d}s\\ +\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}}\Vert P_k\left(Ax\left(s\right)+\lambda \right)+Bx\left(s-\tau \right)-P_k\left(Ay\left(s\right)+\lambda \right)+By\left(s-\tau \right)\Vert \text{d}s\end{array}$

$\begin{array}{l}\le \frac{\Vert E\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s-\tau \right)-y\left(s-\tau \right)\Vert \text{d}s+\frac{2\Vert E\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s\right)-y\left(s\right)\Vert \text{d}s\\ +\frac{\Vert A\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s\right)-y\left(s\right)\Vert \text{d}s+\frac{\Vert B\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s-\tau \right)-y\left(s-\tau \right)\Vert \text{d}s\\ =\frac{\Vert E\Vert +\Vert B\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s-\tau \right)-y\left(s-\tau \right)\Vert \text{d}s+\frac{2\Vert E\Vert +\Vert A\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s\right)-y\left(s\right)\Vert \text{d}s\\ \le \frac{3\Vert E\Vert +\Vert A\Vert +\Vert B\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\text{d}s{\Vert x-y\Vert }_C\\ \le \frac{3\Vert E\Vert +\Vert A\Vert +\Vert B\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)\left(\alpha -\beta \right)}{T}^{\alpha -\beta }{\Vert x-y\Vert }_C\end{array}$

其中， $k_2=\frac{3\Vert E\Vert +\Vert A\Vert +\Vert B\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)\left(\alpha -\beta \right)}{T}^{\alpha -\beta }$

由于 $0<k_2<1$，所以 $\Phi$ 在 $C\left(J,{ℝ}^n\right)$ 是压缩算子，由Banach不动点定理可知， $\Phi$ 在 $C\left(J,{ℝ}^n\right)$ 上至少有一个不动点。因此，投影动力系统(1.2)有唯一解。

定理3.4 CFNDPNN(1.2)的所有解集都是有界的。

证明由3.1可得

$\begin{array}{c}\Vert x\left(t\right)\Vert \le \Vert \varphi \left(0\right)\Vert +\Vert E\varphi \left(-\tau \right)\Vert \frac{t^{\alpha -\beta }}{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)}+\frac{\Vert E\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s-\tau \right)\Vert \text{d}s\\ +\frac{2\Vert E\Vert }{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}}\Vert x\left(s\right)\Vert \text{d}s+\frac{1}{\Gamma \left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}}\left[\Vert A\Vert \Vert x\left(s\right)\Vert +\Vert \phi \Vert +\Vert \lambda \Vert +\Vert B\Vert \Vert x\left(s-\tau \right)\Vert \right]\text{d}s\\ \le \Vert \varphi \left(0\right)\Vert +\frac{\Vert E\varphi \left(-\tau \right)\Vert +\Vert \lambda \Vert +\Vert \phi \Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)}{t}^{\alpha -\beta }+\frac{\Vert E\Vert +\Vert B\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s-\tau \right)\Vert \\ +\frac{2\Vert E\Vert +\Vert A\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\Vert x\left(s\right)\Vert \end{array}$

令 $a\left(t\right)=\Vert \varphi \left(0\right)\Vert +\frac{\Vert E\varphi \left(-\tau \right)\Vert +\Vert \lambda \Vert +\Vert \phi \Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)}{t}^{\alpha -\beta }$， $c\left(t\right)=2\Vert E\Vert +\Vert A\Vert$， $d\left(t\right)=\Vert E\Vert +\Vert B\Vert$，显然 $a\left(t\right)$ 是非减函数，且 $a\left(0\right)=\varphi \left(0\right)$，由引理2.8，可得

其中

$D\left(t\right)=\frac{4^{\frac{1}{\gamma }-1}}{{\Gamma }^{\frac{1}{\gamma }}\left(\alpha -\beta \right)}{\left(B\left(\frac{\alpha -\beta -\gamma }{1-\gamma },\frac{1-\left(\alpha -\beta \right)}{1-\gamma }\right)\right)}^{\frac{1-\gamma }{\gamma }}{t}^{\frac{\alpha -\beta -\gamma }{\gamma }}{d}^{\frac{1}{\gamma }}\left(t\right)$，

$C\left(t\right)=\frac{4^{\frac{1}{\gamma }-1}}{{\Gamma }^{\frac{1}{\gamma }}\left(\alpha -\beta \right)}{\left(B\left(\frac{\alpha -\beta -\gamma }{1-\gamma },\frac{1-\left(\alpha -\beta \right)}{1-\gamma }\right)\right)}^{\frac{1-\gamma }{\gamma }}{t}^{\frac{\alpha -\beta -\gamma }{\gamma }}{c}^{\frac{1}{\gamma }}\left(t\right)$， $A\left(t\right)=2^{\frac{1}{\gamma }-1}{a}^{\frac{1}{\gamma }}(\; t\; )$

$0<\gamma <\alpha -\beta <1$， $B\left(\cdot ,\cdot \right)$ 是Beta函数.

由(3.13)可知，CFNDPNN(1.2)的所有解集是有界的。

3.2. 有限时间稳定性

定理3.5 假设 $\alpha -\beta >0,\gamma >0$，且满足下列条件

$2^{1-\gamma }\exp \left(\frac{{\gamma }^2}{\alpha -\beta }\frac{4^{\frac{1}{\gamma }-1}}{{\Gamma }^{\frac{1}{\gamma }}\left(\alpha -\beta \right)}{\left(B\left(\frac{\alpha -\beta -\gamma }{1-\gamma },\frac{1-\alpha -\beta }{1-\gamma }\right)\right)}^{\frac{1-\gamma }{\gamma }}{T}^{\frac{\alpha -\beta -\gamma }{\gamma }}\left({\left(\Vert E\Vert +\Vert B\Vert \right)}^{\frac{1}{\gamma }}+{\left(2\Vert E\Vert +\Vert A\Vert \right)}^{\frac{1}{\gamma }}\right)\right)\le \frac{\epsilon }{\delta }$

CFNDPNN(1.2)是有限时间稳定的。

证明假设 $x\left(t\right)={\left(x_1\left(t\right),x_2\left(t\right),\cdots ,x_n\left(t\right)\right)}^{\text{T}}$， $y\left(t\right)={\left(y_1\left(t\right),y_2\left(t\right),\cdots ,y_n\left(t\right)\right)}^{\text{T}}$ 是具有不同初始函数的CFNDPNN(1.2)的两个不同解 $\varphi \left(t\right)$ 和 $\eta \left(t\right)$。令 $\upsilon \left(t\right)=x\left(t\right)-y(\; t\; )$

根据定理3.1，我们得到

$\{\begin{array}{l}v\left(t\right)=v\left(0\right)+\frac{1}{\text{Γ}\left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}}\left[-2v\left(s\right)+P_K\left(Av\left(s\right)+\lambda \right)+Bv\left(s-\tau \right)\right]\text{d}s\\ +\frac{E}{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}v\left(s-\tau \right)\text{d}s,t\in \left[0,T\right]\\ v\left(t\right)=\chi \left(t\right),t\in \left[-\tau ,0\right]\end{array}$

我们从(3.11)和(3.15)得出

$\begin{array}{c}\Vert v\left(t\right)\Vert \le \Vert v\left(0\right)\Vert +\frac{\Vert E\Vert }{\text{Γ}\left(\alpha -\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}v\left(s-\tau \right)\text{d}s\\ +\frac{1}{\text{Γ}\left(\alpha \right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -1}}\left[\Vert -2v\left(s\right)\Vert +P_k\left(Av\left(s\right)+\lambda \right)+Bv\left(s-\tau \right)\right]\text{d}s\\ \le \Vert \chi \Vert +\frac{1}{\text{Γ}\left(\alpha -\beta +1\right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{\alpha -\beta -1}}\left[\Vert E+B\Vert \Vert v\left(s-\tau \right)\Vert +\Vert 2E+A\Vert \Vert v\left(s\right)\Vert \right]\text{d}s,t\in \left[0,T\right]\end{array}$

对 $t\in [-\tau ,0]$， $\upsilon \left(0\right)=\chi \left(t\right)\le \sup \Vert \chi \left(t\right)\Vert =\Vert \chi \Vert$，使 $a\left(t\right)=\Vert \chi \Vert$ , $c\left(t\right)=2\Vert E\Vert +\Vert A\Vert$，

$d\left(t\right)=\Vert E\Vert +\Vert B\Vert$， $\alpha -\beta =\xi$，显然 $a\left(t\right)$， $\chi \left(t\right)$ 是非减函数且 $a\left(0\right)=\chi (\; 0\; )$

从引理2.8，我们得到

$\begin{array}{c}\upsilon \left(t\right)\le {\left(2^{\frac{1}{\gamma }-1}{a}^{\frac{1}{\gamma }}\left(t\right)\exp \left({\displaystyle {\int }_0^t\frac{4^{\frac{1}{\gamma }-1}}{{\Gamma }^{\frac{1}{\gamma }}\left(\alpha -\beta \right)}}{\left(B\left(\frac{\alpha -\beta -\gamma }{1-\gamma },\frac{1-\alpha -\beta }{1-\gamma }\right)\right)}^{\frac{1-\gamma }{\gamma }}{t}^{\frac{\alpha -\beta -\gamma }{\gamma }}\left(c^{\frac{1}{\gamma }}\left(s\right)+d^{\frac{1}{\gamma }}\left(s\right)\right)\text{d}s\right)\right)}^{\gamma }\\ \le 2^{1-\gamma }a\left(t\right){\left(2^{\frac{1}{\gamma }-1}{a}^{\frac{1}{\gamma }}\left(t\right)\exp \left({\displaystyle {\int }_0^t\frac{4^{\frac{1}{\gamma }-1}}{{\Gamma }^{\frac{1}{\gamma }}\left(\alpha -\beta \right)}}{\left(B\left(\frac{\alpha -\beta -\gamma }{1-\gamma },\frac{1-\alpha -\beta }{1-\gamma }\right)\right)}^{\frac{1-\gamma }{\gamma }}{t}^{\frac{\alpha -\beta -\gamma }{\gamma }}\left(c^{\frac{1}{\gamma }}\left(s\right)+d^{\frac{1}{\gamma }}\left(s\right)\right)\text{d}s\right)\right)}^{\gamma }\\ \le 2^{1-\gamma }a\left(t\right)\exp \left(\frac{{\gamma }^2}{\alpha -\beta }\frac{4^{\frac{1}{\gamma }-1}}{{\Gamma }^{\frac{1}{\gamma }}\left(\alpha -\beta \right)}{\left(B\left(\frac{\alpha -\beta -\gamma }{1-\gamma },\frac{1-\alpha -\beta }{1-\gamma }\right)\right)}^{\frac{1-\gamma }{\gamma }}{t}^{\frac{\alpha -\beta -\gamma }{\gamma }}\left({\left(\Vert E\Vert +\Vert B\Vert \right)}^{\frac{1}{\gamma }}+{\left(2\Vert E\Vert +\Vert A\Vert \right)}^{\frac{1}{\gamma }}\right)\right)\\ \le 2^{1-\gamma }a\left(t\right)\exp \left(\frac{{\gamma }^2}{\alpha -\beta }\frac{4^{\frac{1}{\delta }-1}}{{\Gamma }^{\frac{1}{\gamma }}\left(\alpha -\beta \right)}{\left(B\left(\frac{\alpha -\beta -\gamma }{1-\gamma },\frac{1-\alpha -\beta }{1-\gamma }\right)\right)}^{\frac{1-\gamma }{\gamma }}{T}^{\frac{\alpha -\beta -\gamma }{\gamma }}\left({\left(\Vert E\Vert +\Vert B\Vert \right)}^{\frac{1}{\gamma }}+{\left(2\Vert E\Vert +\Vert A\Vert \right)}^{\frac{1}{\gamma }}\right)\right)\end{array}$

由(3.16)可知，当 $\Vert a\left(t\right)\Vert \le \delta$ 时，如果满足不等式(3.14)，则 $v\left(t\right)\le \epsilon$。根据定义2.5，CFNDPNN(1.2)关于 $\left\{\delta ,\epsilon ,T\right\}$ 是有限时间稳定的。

4. 数值例子

例子1考虑二维CFNDPNN，如下所示：

${}^{C}D{}_0^{\alpha }x\left(t\right)=-2x\left(t\right)+P_K\left(Ax\left(t\right)+\lambda \right)+Bx\left(t-\tau \right)+E{}^{C}D{}_0^{\beta }x\left(t-\tau \right)$

其中

$K=\left\{x\mid -1\le x_i\le 1,i=1,2\right\},\alpha =0.9,\beta =0.1,\tau =0.2,T=0.15,A=I,B=I,E=I,\lambda ={\left(1,0\right)}^{\text{T}}$

通过计算可得，

$\frac{3\Vert E\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)\left(\alpha -\beta \right)}{T}^{\alpha -\beta }=\frac{3\times {0.1}^{0.8}}{\Gamma \left(1.8\right)\times 0.8}<1$

$\frac{3\Vert E\Vert +\Vert A\Vert +\Vert B\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)\left(\alpha -\beta \right)}{T}^{\alpha -\beta }=\frac{5\times {0.1}^{0.8}}{\Gamma \left(1.8\right)\times 0.8}<1$

因此，定理3.2和3.3的所有条件都已满足。

对应不同初值函数 $\varphi \left(t\right)={\left(-0.02,0.01\right)}^{\text{T}}$， $\eta \left(t\right)={\left(0.02,-0.03\right)}^{\text{T}}$ 的两个解 $x\left(t\right)$， $y(\; t\; )$

令 $\upsilon \left(t\right)=x\left(t\right)-y\left(t\right)$，当 $T=0.15$， $\delta =0.08$， $\epsilon =0.1493$， $\gamma =0.1$，对于 $\Vert \varphi -\eta \Vert \le \delta$，

$2^{0.9}\exp \left(\frac{{0.1}^2}{0.8}\frac{4^9}{{\Gamma }^{10}\left(0.8\right)}{\left(B\left(\frac{0.7}{0.9},\frac{0.2}{0.9}\right)\right)}^9{T}^7\left({\left(\Vert E\Vert +\Vert B\Vert \right)}^{\frac{1}{0.1}}+{\left(2\Vert E\Vert +\Vert B\Vert \right)}^{\frac{1}{0.1}}\right)\right)<\frac{\epsilon }{\delta }$

有 $\Vert \upsilon \left(t\right)\Vert \le \epsilon$，在有限时间间隔[0, 0.15]上，(1.2)的解是有限时间稳定的。

例子2考虑三维CFNDPNN，如下所示：

${}^{C}D{}_0^{\alpha }x\left(t\right)=-2x\left(t\right)+P_K\left(Ax\left(t\right)+\lambda \right)+Bx\left(t-\tau \right)+E{}^{C}D{}_0^{\beta }x\left(t-\tau \right)$

当

$K=\left\{x\mid -1\le x_i\le 1,i=1,2,3\right\},\alpha =0.8,\beta =0.1,\tau =0.2,T=0.1$

$A=0.01I,B=0.01I,E=I,\lambda ={\left(1,0,1\right)}^{\text{T}}$

计算可得

$\frac{3\Vert E\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)\left(\alpha -\beta \right)}{T}^{\alpha -\beta }=\frac{3\times {0.1}^{0.7}}{\Gamma \left(1.7\right)\times 0.7}<1$

$\frac{3\Vert E\Vert +\Vert A\Vert +\Vert B\Vert }{\Gamma \left(\alpha -\beta +1\right)\left(\alpha -\beta \right)}{T}^{\alpha -\beta }=\frac{3.02\times {0.1}^{0.7}}{\Gamma \left(1.7\right)\times 0.7}<1$

因此，定理3.2和3.3的所有条件都已满足。

对应不同初值函数 $\varphi \left(t\right)={\left(0.02,-0.03,0.01\right)}^{\text{T}}$， $\eta \left(t\right)={\left(0.01,-0.01,-0.02\right)}^{\text{T}}$ 的CFNDPNN系统的两个不同解 $x\left(t\right)$ 和 $y\left(t\right)$ 是令 $\upsilon \left(t\right)=x\left(t\right)-y\left(t\right)$ 当 $T=0.1$， $\delta =0.3$， $\epsilon =0.5873$， $\gamma =0.1$。对于 $\Vert \varphi -\eta \Vert \le \delta$

$2^{0.9}\exp \left(\frac{{0.1}^2}{0.7}\frac{4^9}{{\Gamma }^{\frac{1}{0.1}}\left(0.7\right)}{\left(B\left(\frac{0.6}{0.9},\frac{0.3}{0.9}\right)\right)}^{\frac{0.9}{0.1}}{T}^{\frac{0.6}{0.1}}\left({\left(\Vert E\Vert +\Vert B\Vert \right)}^{\frac{1}{0.1}}+{\left(2\Vert E\Vert +\Vert A\Vert \right)}^{\frac{1}{0.1}}\right)\right)\le \frac{\epsilon }{\delta }$

$\Vert \upsilon \left(t\right)\Vert \le \epsilon$，在区间[0, 0.1]上，(1.2)的解是有限时间稳定的。

通过以上两个数值例子，我们验证了保证系统解的存在、唯一性等等条件和稳定性的理论条件，说明主要结果是有效可行的。

5. 总结

值得一提的是，关于CFNDPNN解的稳定性的研究很少。本文致力于在一些合适的条件下刻画CFNDPNN的解。首先，分别利用Sadovskii不动点定理和Banach不动点定理证明了与CFNDPNN解有关的存在性和唯一性的定理。其次，利用一个新的Gronwall不等式证明了解集的有界性，在从有界性出发，得到了CFNDPNN的有限时间稳定性。最后，给出了两个数例来说明结果的有效性。

众所周知，分数阶神经网络在不确定环境(随机或模糊)中的研究越来越受到重视。因此，在不确定环境下研究CFNDPNN也是一个有趣而重要的课题。这个问题留作我们以后的研究内容。