一类分数阶中立型发展方程Mild解的存在性

Existence of Mild Solutions for a Class of Fractional Neutral Evolution Equations

摘要: 本文讨论了带有积分边界条件的非局部分数阶中立型发展方程并通过非紧性测度估计方法，利用Sadovskii不动点定理，获得了mild解存在性的充分性条件。

Abstract: In this paper, we talk the nonlocal partial order neutral type evolution equation with integral boundary conditions, and obtain the adequacy conditions for the existence of mild solutions by non-compact measure estimation methods, using the Sadovskii fixed point theorem.

1. 引言

由于分数阶微分方程具有记忆效果，在某些问题中比整数阶微分方程能够更好地反映生活中的现象。除了在数学方面的应用外，它还在流体力学，分数控制系统与分数控制器，各种电子回路，电分析化学，生物系统的电传导等方面有广泛的应用 [1]。因此，近年来分数阶微分方程问题引起了许多学者的关注，而分数阶中立型微分方程作为一类广泛应用的微分方程，对它的研究已经屡见不鲜了 [2] - [8]。

周勇教授 [8] 运用Krasnoselskii不动点定理以及紧半群的理论，研究了下列分数阶中立型非局部问题

$\{\begin{array}{l}{D}^q\left[x\left(t\right)-h\left(t,x_t\right)\right]+Ax\left(t\right)=f\left(t,x_t\right),t\in \left(0,a\right],\\ x_0\left(\vartheta \right)+\left(g\left(x_{t_1},\cdots ,x_{t_n}\right)\right)\left(\vartheta \right)=\phi \left(\vartheta \right),\vartheta \in \left[-r,0\right],\end{array}$

mild解的存在性。其中

$x_0\left(\vartheta \right)+\left(g\left(x_{t_1},\cdots ,x_{t_n}\right)\right)\left(\vartheta \right)=\phi \left(\vartheta \right)$， $\vartheta \in \left[-r,0\right]$，

是非局部条件，函数 $\left(g\left(x_{t_1},\cdots ,x_{t_n}\right)\right)$，形如

$\left(g\left(x_{t_1},\cdots ,x_{t_n}\right)\right)\left(\vartheta \right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{c}_i{x}_{t_i}}\left(\vartheta \right)$，

$c_i\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 为常数。文中作者，假设 $-A$ 生成紧半群，非线性项 $f\left(t,x_t\right)$ 一致有界，中立项满足Lipschitz条件。

2017年，带积分边界条件的微分方程引起许多学者的注意 [9] [10] [11]。在文献 [12] 中作者运用逐次逼近的方法，获得了下列带积分条件的分数阶发展方程

$\{\begin{array}{l}{D}^{q}u\left(t\right)=Au\left(t\right)+f\left(t,u\left(t\right)\right),t\in J:=\left[0,a\right],\\ u\left(0\right)=H\left(u\right),\end{array}$

在实Banach空间中mild解存在的充分条件，其中非局部函数 $H:\left[0,a\right]\times {\rm X}\to {\rm X}$ 定义如下：

$H\left(u\right)={\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,u\left(s\right)\right)\text{d}s}$，

其中X是实Banach空间， $g:\left[0,a\right]\times {\rm X}\to {\rm X}$ 是一个给定的函数，满足某些假设条件。

受以上工作的启发，在本文中，研究了实Banach空间中如下带非局部积分边界条件的分数阶中立型发展方程

$\{\begin{array}{l}{}^{C}D{}^q\left[x\left(t\right)-h\left(t,x\right)\right]=Ax\left(t\right)+f\left(t,x\left(t\right)\right),t\in \left[0,a\right],\\ x\left(0\right)={\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s},\end{array}$ (I)

mild解存在性。 ${}^{C}D{}^q$ 是 $q\left(0<q\le 1\right)$ 阶Caputo型分数阶导数； $A:D\left(A\right)\subset {\rm X}\to {\rm X}$ 是X中一致有界的等度连续半群 $\left\{T\left(t\right);t\ge 0\right\}$ 的无穷小生成元，即 $\exists M\ge 1$，使得对 $t\ge 0$，有 $\Vert T\left(t\right)\Vert \le M$， $g,f:I\times {\rm X}\to {\rm X}$ 是给定的函数，需要满足下面给出的假设条件。

对于非局部问题的讨论一般要求 $-A$ 生成紧半群或解析半群，非线性函数 $f,g$ 一致有界且满足Lipschitz条件。但是，在 $t=0$ 处，半群 $T\left(t\right)$ 的紧性只有在有限维空间成。因此，本文运用非紧性测度估计技术，只假设非线性函数 $f,g$ 满足线性增长条件和非紧性测度条件，以非紧性测度条件代替紧半群条件，中立项函数满足Lipschitz条件，线性增长条件及非紧性测度条件。通过证明解算子是凝聚算子，运用Sadovskii不动点定理，获得了带有积分条件的非局部分数阶中立型发展方程mild解的存在性，推广了已有文献中的结论。在第二部分作者给出了一些为了证明主要结果所需的定义和引理，在第三部分给出了主要结果及其证明。

2. 预备知识

设 $I:=\left[0,a\right]$，又设空间X按范数 $\Vert \cdot \Vert$ 构成实Banach空间， $C\left(I,{\rm X}\right)$ 为定义于I取值于X的连续函数之集，按范数

${\Vert x\Vert }_C=\underset{t\in I}{\sup }\Vert x\left(t\right)\Vert$

构成Banach空间。本文记N为正整数集。

下面介绍分数阶微积分的概念：

定义2.1 [1] 区间I上的函数f的 $q>0$ 阶分数阶积分定义为

$I^{q}f\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(q\right)}{\displaystyle {\int }_0^t\frac{f\left(s\right)}{{\left(t-s\right)}^{q-1}}\text{d}s}$， $t>0$，

其中 $\Gamma (\cdot )$ 是Gamma函数。

定义2.2 [1] 区间I上的函数f的 $q\in \left[n-1,n\right]$ 阶Riemann-Liouville型分数阶导数定义为

${}^{L}D{}^{q}f\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(n-q\right)}\frac{{\text{d}}^n}{\text{d}{t}^n}{\displaystyle {\int }_0^t\frac{f\left(s\right)}{{\left(t-s\right)}^{q+1-n}}\text{d}s}$， $t>0$，

其中 $n=\left[q\right]$ 表示大于或者等于q的最小整数。

定义2.3 [1] 区间I上的函数f的 $q\in \left[n-1,n\right]$ 阶Caputo型分数阶导数定义为

${}^{C}D{}^{q}f\left(t\right)=\frac{1}{\Gamma \left(n-q\right)}{\displaystyle {\int }_0^t\frac{f^{\left(n\right)}\left(s\right)}{{\left(t-s\right)}^{q+1-n}}\text{d}s}=I_t^{n-q}{f}^{\left(n\right)}\left(t\right)$， $t>0$，

其中 $n=\left[q\right]$。

注2.1：1) Riemann-Liouville型分数阶导数和Caputo型分数阶导数有下列关系：

${}^{C}D{}^{q}f\left(t\right)={}^{L}D{}^q\left(f\left(t\right)-{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{n-1}{\sum }}\frac{t^k}{k!}{f}^{\left(k\right)}\left(0\right)}\right)$。

2) 常数的Caputo型导数为0。

3) 如果f是X中的抽象函数，则定义2.1，2.2，2.3中的积分为Bochner意义下的积分。

根据文献 [8] 引理3.1中的证明方法可得下列引理：

引理2.1 [4] 如果函数 $x\in C\left(I,{\rm X}\right)$ 满足下列积分方程

$x\left(t\right)=S_q\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}+h\left(t,x\left(t\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{q-1}}{T}_q\left(t-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s$， $t\in I$，

则称x是问题(I)的mild解，其中

$S_q\left(t\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\xi }_q\left(\theta \right)T\left(t^q\theta \right)\text{d}\theta }$ ；

$T_q\left(t\right)=q{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\theta {\xi }_q\left(\theta \right)T}\left(t^q\theta \right)\text{d}\theta$ ； ${\xi }_q\left(\theta \right)=\frac{1}{q}{\theta }^{-1-\frac{1}{q}}{\varpi }_q\left({\theta }^{-\frac{1}{q}}\right)\ge 0$ ；

${\varpi }_q\left(\theta \right)=\frac{1}{\pi }{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\left(-1\right)}^{n-1}{\theta }^{-qn-1}}\frac{\Gamma \left(nq+1\right)}{n!}\sin \left(n\pi q\right)$， $\theta \in \left(0,\infty \right)$，

这里 ${\xi }_q$ 是定义在 $\left(0,\infty \right)$ 上的单边概率密度函数，且 ${\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\xi }_q}\left(\theta \right)\text{d}\theta =1$， $\theta \in \left(0,\infty \right)$。

定义算子 $F_q:{\rm X}\to {\rm X}$，如下：

$F_q\left(x\left(t\right)\right)=S_q\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}+h\left(t,x\left(t\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{q-1}{T}_q\left(t-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}$，

则问题(I)的mild解就等价于算子 $F_q$ 的不动点。

引理2.2 [11] 对任意给定的 $t\ge 0$， $S_q\left(t\right)$， $T_q\left(t\right)$ 为有界线性算子，即对 $\forall x\in {\rm X}$，有

$\Vert S_q\left(t\right)x\Vert \le M\Vert x\Vert$， $\Vert T_q\left(t\right)x\Vert \le \frac{qM}{\Gamma \left(1+q\right)}\Vert x\Vert$，

其中 $\Vert T\left(t\right)\Vert \le M$， $\forall t\ge 0$。

引理2.3 [8] 算子簇 ${\left\{S_q\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$， ${\left\{T_q\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 强连续，即对 $\forall x\in {\rm X}$ 且 $0\le t^{\prime }<t^{″}\le a$，当 $t^{\prime }\to t^{″}$ 时，有

$\Vert S_q\left(t^{″}\right)x-S_q\left(t^{\prime }\right)x\Vert \to 0$， $\Vert T_q\left(t^{″}\right)x-T_q\left(t^{\prime }\right)x\Vert \to 0$。

下面我们给出一些关于非紧性测度的概念和结论，这些结论将在后续证明中用到。设X是Banach空间， $D\subset {\rm X}$ 是非空有界集。令

$\beta \left(D\right)=\inf \left\{\mu >0|D={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\cup }}{D}_i},d\left(D_i\right)\le \mu \right\}$，

其中 $d\left(D_i\right)$ 表示 $D_i$ 的直径。则称 $\beta \left(D\right)$ 为X中D的Kuratowski非紧性测度。显然，

$0\le \beta \left(D\right)<+\infty$，

${\beta }_C\left(D\right)$ 表示 $C\left(I,{\rm X}\right)$ 中D的Kuratowski非紧性测度。

引理2.4 [13] 设X为Banach空间， $D_1,D_2\subset {\rm X}$，则有

(i) $\beta \left(D_1\right)=0$ 当且仅当 $D_1$ 是相对紧集；

(ii) 若 $D_1\subset D_2$，则 $\beta \left(D_1\right)\le \beta \left(D_2\right)$ ；

(iii) $\beta \left(D_1+D_2\right)\le \beta \left(D_1\right)+\beta \left(D_2\right)$。

更多关于Kuratowski非紧性测度估计的知识，可参见文献 [13]。

引理2.5 [13] 设X为Banach空间，若 $D\subset C\left(I,{\rm X}\right)$ 为有界且等度连续集，则 $\beta \left(D\left(t\right)\right)$ 在I上连续，且

${\beta }_C\left(D\right)=\underset{t\in I}{\max }\beta \left(D\left(t\right)\right)=\beta \left(D\left(I\right)\right)$。

引理2.6 [14] 设X为Banach空间， $D=\left\{x_n\right\}\subset C\left(I,{\rm X}\right)$ 为可列集，若存在 $\varphi \in L^1\left(I\right)$，使得 $\Vert x_n\left(t\right)\Vert \le \varphi \left(t\right)$，a.e.， $t\in I$， $n=1,2,\cdots$，则 $\beta \left(D\left(t\right)\right)$ 在I上Lebesgue可积，且

$\beta \left(\left\{{\displaystyle {\int }_I{x}_n\left(t\right)\text{d}t|n\in {\rm N}}\right\}\right)\le 2{\displaystyle {\int }_I\beta \left(D\left(t\right)\right)\text{d}t}$。

引理2.7 [15] 设X是Banach空间， $D\subset {\rm X}$ 有界，则存在可列集 $D_0\subset D$，使得

$\beta \left(D\right)\le 2\beta \left(D_0\right)$。

定义2.4 [16] 设X是Banach空间， $A:D\left(A\right)\subset {\rm X}\to {\rm X}$ 连续，如果对任意 $S\subset {\rm X}$ 有界集，满足下列不等式

$\beta \left(A\left(S\right)\right)<\beta \left(S\right)$，

则称F是凝聚映射。

引理2.8 [17] (Sadovskii定理)设X为Banach空间， $D\subset {\rm X}$ 为有界凸闭集， $A:D\to D$ 为凝聚映射，则A在D中至少有一个不动点。

下面我们应用Sadovskii不动点定理证明算子 $F_q$ 存在不动点，为了证明主要结论，我们给出下列假设：

(P₁) 函数 $g:I\times {\rm X}\to {\rm X}$ 是连续函数，且对 $\forall t\in I$， $x\in {\rm X}$，存在非负连续函数 $n\in C\left(I,{\rm X}\right)$，使得

$\Vert g\left(t,x\right)\Vert \le n\left(t\right)\Vert x\Vert$。

(P₂) 函数 $f:I\times {\rm X}\to {\rm X}$ 是连续函数，且对 $\forall t\in I$， $x\in {\rm X}$，存在非负连续函数 $m\in C\left(I,{\rm X}\right)$，使得

$\Vert f\left(t,x\right)\Vert \le m\left(t\right)\Vert x\Vert$。

(P₃) 函数 $h:I\times {\rm X}\to {\rm X}$ 是连续函数，满足Lipschitz条件，即对 $\forall t_1,t_2\in I$， $x,y\in {\rm X}$，存在常数 $L>0$，使得

$\Vert h\left(t_1,x\right)-h\left(t_2,y\right)\Vert \le L\left(\left|t_1-t_2\right|+\Vert x-y\Vert \right)$，

且存在非负连续函数 $p\in C\left(I,{\rm X}\right)$，满足

$\Vert h\left(t,x\right)\Vert \le p\left(t\right)\Vert x\Vert$。

注2.2：由文献 [13] 可知，中立项函数如果满足Lipschitz条件，则有下列成立

$\beta \left(h\left(t,D\right)\right)\le L\beta \left(D\right)$。

问题(2)中的给定函数f，h，g，除了要满足上面的线性增长条件以外，还满足下列非紧性测度条件：

(P₄)对 $\forall t\in I$， $D\subset {\rm X}$ 为有界集，存在常数 $L_1>0$， $L_2>0$，满足

$2\left(2aM{L}_2+L+\frac{2M{L}_1{a}^q}{\Gamma \left(1+q\right)}\right)<1$， (2.1)

使得

$\beta \left(f\left(t,D\right)\right)\le L_1\beta \left(D\right)$，

$\beta \left(g\left(t,D\right)\right)\le L_2\beta \left(D\right)$。

3. 主要结果及其证明

设R是一个充分大的常数，在空间 $C\left(I,{\rm X}\right)$ 中，取

${{\rm K}}_R=\left\{x\in C\left(I,{\rm X}\right)|{\Vert x\Vert }_C\le R\right\}$。

定理3.1如果条件(P₁)-(P₄)成立，且下列条件满足

$aM{\Vert n\Vert }_C+{\Vert p\Vert }_C+\frac{M{a}^q{\Vert m\Vert }_C}{\Gamma \left(1+q\right)}<1$， (3.1)

则问题(I)在 ${{\rm K}}_R$ 上至少有一个mild解。

证明：对 $\forall x\in {{\rm K}}_R$，由假设条件(P₁)-(P₃)及引理2.1，2.2，有

$\begin{array}{c}\Vert \left(F_{q}x\right)\left(t\right)\Vert =\Vert S_q\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s+h\left(t,x\left(t\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{q-1}{T}_q\left(t-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}}\Vert \\ \le \Vert S_q\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s\Vert +\Vert h\left(t,x\left(t\right)\right)\Vert +\Vert {\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{q-1}{T}_q\left(t-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert }\\ \le aM{\Vert n\Vert }_C{\Vert x\Vert }_C+{\Vert p\Vert }_C{\Vert x\Vert }_C+\frac{M{a}^q}{\Gamma \left(1+q\right)}{\Vert m\Vert }_C{\Vert x\Vert }_C\\ =\left(aM{\Vert n\Vert }_C+{\Vert p\Vert }_C+\frac{M{a}^q{\Vert m\Vert }_C}{\Gamma \left(1+q\right)}\right){\Vert x\Vert }_C\end{array}$

由(3.1)式可知， $\Vert \left(F_{q}x\right)\left(t\right)\Vert \le R$。故 $F_q$ 映 ${{\rm K}}_R$ 到自身。

接下来证明 $F_q\left({{\rm K}}_R\right)$ 在 $C\left(I\right)$ 中是等度连续集。由上面 ${{\rm K}}_R$ 的定义可知， ${{\rm K}}_R\subset C\left(I\right)$ 是有界集。对 $\forall t_1,t_2\in I$， $t_1<t_2$， $x\in {{\rm K}}_R$，有

$\begin{array}{l}\Vert F_q\left(x\left(t_1\right)\right)-F_q\left(x\left(t_2\right)\right)\Vert \\ \le \Vert \left[S_q\left(t_1\right)-S_q\left(t_2\right)\right]{\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert +\Vert h\left(t_1,x\left(t_1\right)\right)-h\left(t_2,x\left(t_2\right)\right)\Vert \\ +\Vert {\displaystyle {\int }_0^{t_1}{\left(t_1-s\right)}^{q-1}{T}_q\left(t_1-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}-{\displaystyle {\int }_0^{t_2}{\left(t_2-s\right)}^{q-1}{T}_q\left(t_2-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert \end{array}$

$\begin{array}{l}\le \Vert \left[S_q\left(t_1\right)-S_q\left(t_2\right)\right]{\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert +\Vert h\left(t_1,x\left(t_1\right)\right)-h\left(t_2,x\left(t_2\right)\right)\Vert \\ +\Vert {\displaystyle {\int }_0^{t_1}{\left(t_1-s\right)}^{q-1}\left[T_q\left(t_1-s\right)-T_q\left(t_2-s\right)\right]f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert \\ +\Vert {\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{\left(t_2-s\right)}^{q-1}{T}_q\left(t_2-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert \\ +\Vert {\displaystyle {\int }_0^{t_1}\left[{\left(t_1-s\right)}^{q-1}-{\left(t_2-s\right)}^{q-1}\right]T_q\left(t_2-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert \\ =S_1+S_2+S_3+S_4\end{array}$

其中

$S_1=\Vert \left[S_q\left(t_1\right)-S_q\left(t_2\right)\right]{\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert +\Vert h\left(t_1,x\left(t_1\right)\right)-h\left(t_2,x\left(t_2\right)\right)\Vert$，

$S_2=\Vert {\displaystyle {\int }_0^{t_1}{\left(t_1-s\right)}^{q-1}\left[T_q\left(t_1-s\right)-T_q\left(t_2-s\right)\right]f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert$，

$S_3=\Vert {\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{\left(t_2-s\right)}^{q-1}{T}_q\left(t_2-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert$，

$S_4=\Vert {\displaystyle {\int }_0^{t_1}\left[{\left(t_1-s\right)}^{q-1}-{\left(t_2-s\right)}^{q-1}\right]T_q\left(t_2-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert$。

因为

$\begin{array}{c}{S}_1=\Vert \left[S_q\left(t_1\right)-S_q\left(t_2\right)\right]{\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert +\Vert h\left(t_1,x\left(t_1\right)\right)-h\left(t_2,x\left(t_2\right)\right)\Vert \\ \le \Vert \left[S_q\left(t_1\right)-S_q\left(t_2\right)\right]\Vert a{\Vert n\Vert }_C{\Vert x\Vert }_C+L\left(\left|t_1-t_2\right|+\Vert x\left(t_1\right)-x\left(t_2\right)\Vert \right)\end{array}$，

$\begin{array}{c}{S}_2=\Vert {\displaystyle {\int }_0^{t_1}{\left(t_1-s\right)}^{q-1}\left[T_q\left(t_1-s\right)-T_q\left(t_2-s\right)\right]f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert \\ \le \Vert {\displaystyle {\int }_0^{t_1}{s}^{q-1}\left[T_q\left(s\right)-T_q\left(t_2-t_1+s\right)\right]f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert \end{array}$，

$S_4=\Vert {\displaystyle {\int }_0^{t_1}\left[{\left(t_1-s\right)}^{q-1}-{\left(t_2-s\right)}^{q-1}\right]T_q\left(t_2-s\right)f\left(s,x\left(s\right)\right)\text{d}s}\Vert \le \frac{M{\Vert m\Vert }_C{\Vert x\Vert }_C}{\Gamma \left(1+q\right)}\left(t_1^q-t_2^q\right)$。

对 $t_1=0$， $0\le t_1<t_2\le a$， $t_2-t_1\to 0$ 时，由引理2.3及假设条件可知， $S_1,S_2,S_3,S_4\to 0$。故 $F_q\left({{\rm K}}_R\right)$ 在 $C\left(I\right)$ 中等度连续。

最后证明 $F_q:{{\rm K}}_R\to {{\rm K}}_R$ 凝聚。由上面的证明可知， ${{\rm K}}_R\subset C\left(I\right)$ 是等度连续集。对 $\forall x\in {{\rm K}}_R$，由引理2.6，2.7，存在 ${{{\rm K}}^{\prime }}_R=\left\{x_n|n\in {\rm N}\right\}\subset {{\rm K}}_R$，使得

$\beta \left({{\rm K}}_R\right)\le 2\beta \left({{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)$。

进而，由条件(P₄)有

$\begin{array}{c}0\le \beta \left(F_q\left({{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)\right)\\ =\beta \left(\left\{S_q\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x_n\left(s\right)\right)\text{d}s+h\left(t,x_n\left(t\right)\right)+{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{q-1}{T}_q\left(t-s\right)f\left(s,x_n\left(s\right)\right)\text{d}s|n\in {\rm N}}}\right\}\right)\\ =\beta \left(\left\{S_q\left(t\right){\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x_n\left(s\right)\right)\text{d}s|n\in {\rm N}}\right\}\right)+\beta \left(\left\{h\left(t,x_n\left(t\right)\right)|n\in {\rm N}\right\}\right)\\ +\beta \left(\left\{{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{q-1}{T}_q\left(t-s\right)f\left(s,x_n\left(s\right)\right)\text{d}s|n\in {\rm N}}\right\}\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\le M\beta \left(\left\{{\displaystyle {\int }_0^{a}g\left(s,x_n\left(s\right)\right)\text{d}s|n\in {\rm N}}\right\}\right)+\beta \left(\left\{h\left(t,x_n\left(t\right)\right)|n\in {\rm N}\right\}\right)\\ +\frac{qM}{\Gamma \left(1+q\right)}\beta \left(\left\{{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{q-1}f\left(s,x_n\left(s\right)\right)\text{d}s|n\in {\rm N}}\right\}\right)\\ \le 2M{\displaystyle {\int }_0^a\beta \left(g\left(s,{{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)\right)\text{d}s}+\beta \left(h\left(t,{{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)\right)+\frac{2qM}{\Gamma \left(1+q\right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{q-1}\beta \left(f\left(s,{{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)\right)\text{d}s}\\ \le 2M{L}_2{\displaystyle {\int }_0^a\beta \left({{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)\text{d}s}+L\beta \left({{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)+\frac{2qM{L}_1}{\Gamma \left(1+q\right)}{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{q-1}\beta \left({{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)\text{d}s}\end{array}$

$\begin{array}{l}\le 2aM{L}_2\beta \left({{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)+L\beta \left({{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)+\frac{2qM{L}_1{a}^q}{\Gamma \left(1+q\right)}\beta \left({{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)\\ +\frac{qM}{\Gamma \left(1+q\right)}\beta \left(\left\{{\displaystyle {\int }_0^t{\left(t-s\right)}^{q-1}f\left(s,x_n\left(s\right)\right)\text{d}s|n\in {\rm N}}\right\}\right)\\ \le \left(2aM{L}_2+L+\frac{2M{L}_1{a}^q}{\Gamma \left(1+q\right)}\right)\beta \left({{{\rm K}}^{\prime }}_R\right)\end{array}$

所以，由引理2.5可知，

$\begin{array}{c}{\beta }_C\left(F_q\left({{\rm K}}_R\right)\right)=\underset{t\in I}{\max }\beta \left(F_q\left({{\rm K}}_R\left(t\right)\right)\right)\\ \le 2\underset{t\in I}{\max }\beta \left(F_q\left({{{\rm K}}^{\prime }}_R\left(t\right)\right)\right)\\ \le 2\left(2aM{L}_2+L+\frac{2M{L}_1{a}^q}{\Gamma \left(1+q\right)}\right)\beta (\; {\rm K}\; R\; )\end{array}$

因此，由(2.1)式可知， ${\beta }_C\left(F_q\left({{\rm K}}_R\right)\right)<{\beta }_C\left({{\rm K}}_R\right)$。由定义2.4知，算子 $F_q$ 是凝聚映射。故由引理2.8可知，算子 $F_q$ 在 ${{\rm K}}_R$ 上存在不动点，该不动点是问题(I)的mild解。

基金项目

伊犁师范大学校级资助项目(2021YSYB078)。