复正交李超代数osp(1,2)的拟型心与型心的矩阵表示

Matrix Representation of Centroids and Quasi Centroids of the Complex Orthogonal Lie Superalgebras

摘要: 本文为研究复数域上不超过三阶的正交李超代数osp(1,2)的拟型心与型心，应用解线性方程组的方法，分别在奇变换和偶变换两种情况下确定了这些李超代数拟型心和型心的矩阵表示。最终得到其在奇变换下的拟型心在标准基上的矩阵为0_5×5，型心在标准基上的矩阵为0_5×5；其在偶变换下的拟型心在标准基上的矩阵为cI_5×5，型心在标准基上的矩阵为cI_5×5。

Abstract: In this paper, in order to study the centroids and quasi-centroids of the orthogonal Lie superalgebras osp(1,2) over complex fields, the matrix representations of centroid and quasi centroid of osp(1,2) are determined by applying the method of solving the system of linear equa-tions in the cases of odd and even transformations, respectively. The final matrix of its qua-si-centroids on the standard basis under odd transformation is 0_5×5 and the matrix of the cen-troids on the standard basis is 0_5×5; the matrix of its quasi-centroids on the standard basis under even transformation is cI_5×5 and the matrix of the centroids on the standard basis is cI_5×5.

1. 引言

作为Z₂-阶化流形的数学模型，复李超代数在理论物理、工程学以及其他数学领域中都有着重要的意义 [1] [2] [3] [4]。型心和拟型心作为复李超代数上的重要映射，其在双导子的研究中起到关键的作用 [5]。对于复单李超代数 $gl\left(1,2\right)$ 的型心，文献 [6] 证明了其是常数阵或其平方是常数阵，并且此类李超代数的型心与拟型心相同。对于一般李超代数的拟型心，文献 [7] 证明了其保持诣零根不变。而在文献 [8] [9] [10] 中具体研究了特殊线性李超代数几类子代数的型心和拟型心。Cartan型模李超代数是一类非常重要的单模李超代数，它的结构与表示是当前较为活跃的研究方向。在李超代数理论中，作为刚体运动学对应超旋转的重要数学模型，有限维的正交辛李超代数 $osp\left(m,n\right)$ 研究已成为当前该领域的核心研究之一。对于实数域 $ℝ$ 上正交辛李超代数 $osp\left(ℝ\right)$，文献 [11] 讨论了其理想之间的关系并证明了 $osp\left(ℝ\right)$ 的所有理想都是标准的。文献 [12] 以素特征域上正交线性李超代数 $osp\left(1,4\right)$ 为例，研究其在广义Witt型李超代数上的中心化子。但未有文章研究具体给定正交李超代数的型心与拟型心。本文将主要研究3阶复正交李超代数 $osp\left(1,2\right)$ 的型心与拟型心的矩阵表示。相较于同类文章，文本推广了已有文献中的结论，对已有公理系统进行运用，研究具体给定正交李超代数。

文本结构如下：第二部分是预备知识，介绍了本文用到的一些基本概念和符号。第三部分得到了 $osp\left(1,2\right)$ 的拟型心的矩阵表示。第四部分得到了 $osp\left(1,2\right)$ 的型心的矩阵表示。

2. 预备知识

定义2.1 设 ${\mathbb{Z}}_2=\left\{\bar{0},\bar{1}\right\}$ 为模2剩余类环，则复数域C上的 ${\mathbb{Z}}_2$ -阶化线性空间 $L=L_{\bar{0}}\oplus L_{\bar{1}}$ 称为李超代数，若对其上定义的双线性二元运算 $[,]$ 满足：

1) 超反对称性：

$\left[x,y\right]=-{\left(-1\right)}^{d\left(x\right)d\left(y\right)}\left[y,x\right]$

2) 超莱布尼兹公式：

$\left[x,\left[y,z\right]\right]=\left[\left[x,y\right],z\right]+{\left(-1\right)}^{d\left(x\right)d\left(y\right)}\left[y,\left[x,z\right]\right]$

其中： $x,y,z$ 是李超代数中的 ${\mathbb{Z}}_2$ -齐次元素， $d\left(x\right),d\left(y\right),d\left(z\right)$ 分解为 $x,y,z$ 的 ${\mathbb{Z}}_2$ -阶化次数。

注：超莱布尼茨公式移项整理后就是雅可比恒等式，李超代数也称为 $Z_2$ -阶化李代数。

定义2.2 在 $l\left(m,n\right)$ 中定义超代数 $osp\left(m,n\right)=osp{\left(m,n\right)}_0^{-}\oplus osp{\left(m,n\right)}_1^{-}$，令

$osp{\left(m,n\right)}_s=\left\{a\in l{\left(m,n\right)}_s|F\left(a\left(x\right),y\right)=-{\left(-1\right)}^{\delta \left(\mathrm{deg}x\right)}F\left(x,a\left(y\right)\right)\right\},s\in {\mathbb{Z}}_2$

其中： $n=2r$ 是偶数，我们将 $osp\left(m,n\right)$ 称为正交对称的超代数，当 $n=0$ 或 $m=0$ 时即转换为正交的或对称的李代数。

定义 $\left(2m+2n+1\right)\times \left(2m+2n+1\right)$ 阶矩阵，

${\varsigma }_{2m+1|2n}=\left(\begin{array}{ccccc}0& I_m& 0& 0& 0\\ I_m& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& I_n\\ 0& 0& 0& -I_n& 0\end{array}\right)$

其中： $I_m$ 是 $m\times m$ 阶单位矩阵， $I_m$ 是 $n\times n$ 阶单位矩阵，令 ${\varsigma }_{2m|2n}$ 表示从中删除第 $2m+1$ 行与第 $2m+1$ 列所得到的 $\left(2m+2n\right)\times \left(2m+2n\right)$ 阶矩阵，那么有

$osp\left(l,2n\right)=\left\{G\in gl\left(l,2n\right)|G^{st}{\varsigma }_{l|2n}+{\varsigma }_{l|2n}G=0\right\}$

其中： $G^{st}$ 表示G的超转置。则 $osp\left(l,2n\right)$ 可表示为

$G=\left(\begin{array}{ccccc}A& B& -V^t& X& X_1\\ C& -A^t& -U^t& Y& Y_1\\ U& V& 0& Z& Z_1\\ -Y_1^t& -X_1^t& -Z_1^t& D& E\\ Y^t& X^t& Z^t& F& -D^t\end{array}\right)$

其中：B，C是斜对称矩阵，E，F是对称矩阵，易得

$osp\left(1,2\right)=\left\{g\in gl\left(1,2\right)|g^{st}{\varsigma }_{1|2}+{\varsigma }_{1|2}g=0\right\}$

则 $osp\left(1,2\right)$ 可由如下矩阵表示

$g=\left(\begin{array}{ccc}0& z& z_1\\ -z_1& d& e\\ z& f& -d\end{array}\right)$

由此可以验证 $e_{23},e_{32},e_{22}-e_{33},e_{12}-e_{31},e_{13}+e_{21}$ 是 $osp\left(1,2\right)$ 的一组基。

其中 $e_{ij}$ 表示第i行第j列的元素为1，其余位置为0的方阵。为简便本文称以上这组基为对应代数的标准基。

定义2.3 设L是复李超代数，则称

${\Gamma }_{\theta }\left(L\right)=\left\{f\in En{d}_{\theta }\left(L\right)|f\left[x,y\right]=\left[f\left(x\right),y\right]={\left(-1\right)}^{d\left(x\right)d\left(f\right)}\left[x,f\left(y\right)\right],x,y\in L,\theta \in {\mathbb{Z}}_2\right\}$

为L上的 ${\mathbb{Z}}_2$ -阶化型心；称

$Q{\Gamma }_{\theta }\left(L\right)=\left\{f\in En{d}_{\theta }\left(L\right)|\left[f\left(x\right),y\right]={\left(-1\right)}^{d\left(x\right)d\left(f\right)}\left[x,f\left(y\right)\right],x,y\in L,\theta \in {\mathbb{Z}}_2\right\}$

为L上的 ${\mathbb{Z}}_2$ -阶化拟型心，其中 $En{d}_{\theta }\left(L\right)$ 表示所有L中 ${\mathbb{Z}}_2$ -阶化线性变换的集合。

注：对任意 $f\in En{d}_{\theta }\left(L\right)$，若 $\theta =\bar{0}$，则称f为偶变换，即 $d\left(f\right)=\bar{0}$ ；若 $\theta =\bar{1}$，则称f为奇变换，即 $d\left(f\right)=\bar{1}$。

命题2.4 设f是李超代数上的线性变换，则f在一组基上的矩阵表示为：

$f\left(e_{11}{e}_{12},\cdots ,e_{nn}\right)=\left(e_{11},e_{12},\cdots ,e_{nn}\right)\left(\begin{array}{cccc}{k}_{11}& k_{12}& \cdots & k_{1,n}\\ k_{21}& k_{22}& \cdots & k_{2,n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ k_{n,1}& k_{n,2}& \cdots & k_{n,n}\end{array}\right)$

注：当f表示型心时，由元素 $k_{ij}$ 组成的矩阵即是型心矩阵表示法；当f表示拟型心时，由元素 $k_{ij}$ 组成的矩阵即是拟型心矩阵表示法。

3. $osp\left(1,2\right)$ 拟型心的矩阵表示

引理3.1 设f是 $osp\left(1,2\right)$ 线性变换，则f在 $osp\left(1,2\right)$ 的标准基上的线性变换为：

$f\left(e_{23}\right)=k_{11}{e}_{23}+k_{21}{e}_{32}+k_{31}\left(e_{22}-e_{33}\right)+k_{41}\left(e_{12}-e_{31}\right)+k_{51}\left(e_{13}+e_{21}\right)$

$f\left(e_{32}\right)=k_{12}{e}_{23}+k_{22}{e}_{32}+k_{32}\left(e_{22}-e_{33}\right)+k_{42}\left(e_{12}-e_{31}\right)+k_{52}\left(e_{13}+e_{21}\right)$

$f\left(e_{22}-e_{33}\right)=k_{13}{e}_{23}+k_{23}{e}_{32}+k_{33}\left(e_{22}-e_{33}\right)+k_{43}\left(e_{12}-e_{31}\right)+k_{53}\left(e_{13}+e_{21}\right)$

$f\left(e_{12}-e_{31}\right)=k_{14}{e}_{23}+k_{24}{e}_{32}+k_{34}\left(e_{22}-e_{33}\right)+k_{44}\left(e_{12}-e_{31}\right)+k_{54}\left(e_{13}+e_{21}\right)$

$f\left(e_{13}+e_{21}\right)=k_{15}{e}_{23}+k_{25}{e}_{32}+k_{35}\left(e_{22}-e_{33}\right)+k_{45}\left(e_{12}-e_{31}\right)+k_{55}\left(e_{13}+e_{21}\right)$

定理3.2 若 $osp\left(1,2\right)$ 的拟型心偶变换，则其在标准基上的矩阵为 $c{I}_{5\times 5}$，其中c为任意的复数。

证明：设偶变换为f是 $osp\left(1,2\right)$ 的拟型心，根据拟型心的定义分别用 $e_{23},e_{32},e_{22}-e_{33},e_{12}-e_{31},e_{13}+e_{21}$ 代替定义中的 $x,y$ 进行运算。当 $x=e_{23},y=e_{32}$ 时， $f\left(e_{23}\right)$ 与 $e_{32}$ 的情况为：

$\begin{array}{c}\left[f\left(e_{23}\right),e_{32}\right]=f\left(e_{23}\right)e_{32}-{\left(-1\right)}^{d\left(f\left(e_{23}\right)\right)d\left(e_{32}\right)}{e}_{32}f\left(e_{23}\right)\\ =f\left(e_{23}\right)e_{32}-e_{32}f\left(e_{23}\right)\\ =k_{11}\left(e_{22}-e_{33}\right)-2k_{31}{e}_{32}+k_{51}\left(e_{12}-e_{31}\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}\left[e_{23},f\left(e_{32}\right)\right]=e_{23}f\left(e_{32}\right)-{\left(-1\right)}^{d\left(e_{23}\right)d\left(f\left(e_{32}\right)\right)}f\left(e_{32}\right)e_{23}\\ =e_{23}f\left(e_{32}\right)-f\left(e_{32}\right)e_{23}\\ =k_{22}\left(e_{22}-e_{33}\right)-2k_{32}{e}_{23}-k_{42}\left(e_{21}-e_{13}\right)\end{array}$

又由拟型心的定义可得 $\left[f\left(e_{23}\right),e_{32}\right]=\left[e_{23},f\left(e_{32}\right)\right]$，所以通过比较系数可得：

$k_{11}=k_{22},k_{31}=k_{32}=k_{51}=k_{42}=0$

其他情况同理可得 $k_{11}=k_{22}=k_{33}=k_{44}=k_{55}$， $k_{12}=k_{13}=k_{14}=k_{15}=k_{21}=k_{23}=k_{24}=k_{25}=k_{31}=k_{32}=k_{34}=k_{35}=k_{41}=k_{42}=k_{43}=k_{45}=k_{51}=k_{52}=k_{53}=k_{43}=0$。

类似的，可得f是奇变换即 $d\left(f\right)=\bar{1}$ 的情况。

定理3.3 若 $osp\left(1,2\right)$ 的拟型心是奇变换，则其在标准基上的矩阵为 $0_{5\times 5}$。

证明：设奇变换为f是 $osp\left(1,2\right)$ 的拟型心，根据拟型心的定义分别用 $e_{23},e_{32},e_{22}-e_{33},e_{12}-e_{31},e_{13}+e_{21}$ 代替定义中的 $x,y$ 进行运算。当 $x=e_{23},y=e_{32}$ 时， $f\left(e_{23}\right)$ 与 $e_{32}$ 的情况为：

$\begin{array}{c}\left[f\left(e_{23}\right),e_{32}\right]=f\left(e_{23}\right)e_{32}-{\left(-1\right)}^{d\left(f\left(e_{23}\right)\right)d\left(e_{32}\right)}{e}_{32}f\left(e_{23}\right)\\ =f\left(e_{23}\right)e_{32}-e_{32}f\left(e_{23}\right)\\ =k_{11}\left(e_{22}-e_{33}\right)-2k_{31}{e}_{32}+k_{51}\left(e_{12}-e_{31}\right)\end{array}$

$\begin{array}{c}\left[e_{23},f\left(e_{32}\right)\right]=e_{23}f\left(e_{32}\right)-{\left(-1\right)}^{d\left(e_{23}\right)d\left(f\left(e_{32}\right)\right)}f\left(e_{32}\right)e_{23}\\ =e_{23}f\left(e_{32}\right)-f\left(e_{32}\right)e_{23}\\ =k_{22}\left(e_{22}-e_{33}\right)-2k_{32}{e}_{23}-k_{42}\left(e_{21}-e_{13}\right)\end{array}$

又由拟型心的定义可得 $\left[f\left(e_{23}\right),e_{32}\right]=\left[e_{23},f\left(e_{32}\right)\right]$，所以通过比较系数可得：

$k_{11}=k_{22},k_{31}=k_{32}=k_{51}=k_{42}=0$

其他情况同理可得 $k_{11}=k_{22}=k_{33}=k_{44}=k_{55}=0$， $k_{12}=k_{13}=k_{14}=k_{15}=k_{21}=k_{23}=k_{24}=k_{25}=k_{31}=k_{32}=k_{34}=k_{35}=k_{41}=k_{42}=k_{43}=k_{45}=k_{51}=k_{52}=k_{53}=k_{43}=0$。

4. $osp\left(1,2\right)$ 型心的矩阵表示

定理4.1 若 $osp\left(1,2\right)$ 的型心是偶变换，则其在标准基上的矩阵为 $c{I}_{5\times 5}$ 其中c为任意的复数。

证明：设 $osp\left(1,2\right)$ 的型心f是偶变换，则此时可同样用 $osp\left(1,2\right)$ 的基元素代替型心定义中的 $x,y$。当 $x=e_{23},y=e_{32}$ 时，由 $\left[x,y\right]=xy-yx$，有：

$f\left[e_{23},e_{32}\right]=f\left[e_{23}\times e_{32}-e_{32}\times e_{23}\right]=f\left(e_{22}-e_{33}\right)=c\left(e_{22}-e_{33}\right)$

$\left[f\left(e_{23}\right),e_{32}\right]=k_{11}\left(e_{22}-e_{33}\right)-2k_{31}{e}_{32}+k_{51}\left(e_{12}-e_{31}\right)$

又由型心定义

$f\left[e_{23},e_{32}\right]=\left[f\left(e_{23}\right),e_{32}\right]$

所以 $k_{11}=c,k_{31}=k_{51}=0$，其他情况同理可得 $k_{22}=k_{33}=k_{44}=k_{55}=c$， $k_{12}=k_{13}=k_{14}=k_{15}=k_{21}=k_{23}=k_{24}=k_{25}=k_{32}=k_{34}=k_{35}=k_{41}=k_{42}=k_{43}=k_{45}=k_{52}=k_{53}=k_{43}=0$。

同理，根据f为奇变换定义运算可得型心矩阵。

定理4.2 若 $osp\left(1,2\right)$ 的型心是奇变换，则其在标准基上的矩阵为 $0_{5\times 5}$ 矩阵。

致谢

衷心感谢审稿人提出的细致建议。

基金项目

东北林业大学大学生创新训练项目(S202210225006)；中央高校基本科研业务费专项资金资助(2572021BC02)。

参考文献

NOTES

^*通讯作者。