Steklov特征值问题间断有限元自适应方法

Discontinuous Finite Element Adaptive Method for Steklov Eigenvalue Problems

摘要: 本文研究了Steklov特征值问题的自适应间断有限元法。我们推导了相应的离散格式并给出了特征值的后验误差估计子。通过构造辅助的泡泡函数和提升算子，我们证明了后验误差估计子的可靠性和有效性。此外，我们通过数值实验验证了后验误差估计子在自适应网格下的鲁棒性。

Abstract: This paper studies the eigenvalue problem of adaptive discontinuous finite element method (fem). We derive the corresponding discrete format and give the posterior error estimators of the eigen-values. By constructing auxiliary bubble functions and lifting operators, we prove the reliability and validity of the posterior error estimator. In addition, we verify the robustness of the posterior error estimator under the adaptive grid through numerical experiments.

1. 引言

Steklov特征值问题在力学和工程科学中有许多应用。例如，在表面波 [1]、沉浸在粘性流体中的机械振子的稳定性、与不可压缩流体接触的结构的振动模式 [1] 的研究中发现了这样的谱问题。

为了解决文献 [2] 的Remark 3.11中关于Steklov特征值问题中后验误差估计研究的问题，本文针对该问题的间断有限元方法提出了一个后验误差估计子，并从理论和数值上证明了估计子的可靠性和有效性。间断有限元方法的主要特点是测试函数在网格中沿面(或边)不连续，具有局部质量守恒、易于与其他方法组合耦合、hp自适应、可在多边形网格上工作等优点。因此，间断有限元方法被用于解决许多问题，如 [3]。此外，DG方法还被用于求解各种特征值问题，如拉普拉斯特征值问题 [4]、经典自伴随Steklov特征值问题 [2]、双调和特征值问题 [5]、Maxwell特征值问题 [6] 等。

对于自共轭Steklov特征值问题，Zeng等人 [2] 首先研究了间断有限元方法并给出了它的先验误差估计。对于逆散射的Steklov特征值问题，李等人 [7] 研究了间断有限元方法的后验误差估计和自适应方法。在上述工作的基础上，本文进一步研究了间断有限元方法的后验误差估计子。我们利用提升算子的性质，证明了特征函数的后验误差估计子的可靠性和有效性，分析了有限元特征值后验误差估计子的可靠性。本文的分析方法可以推广至一般的二阶椭圆特征值问题。

我们在均匀网格和自适应加密网格上完成了数值实验。从数值结果可以看出，我们的方法对于简单特征值和多重特征值都能达到最优收敛阶。

本文的其余部分组织如下。在第2节和第3节中，我们提出模型问题并介绍一些初步内容及讨论了先验误差估计。在第4节中，我们讨论了后验误差并进行估计。最后，通过数值算例验证了理论分析的正确性。

2. 问题模型的弱形式及相应的离散格式

令 $\Omega \subset R^2$ 是有界域，其Lipshitz边界为 $\partial \Omega$，设 $n$ 是 $\partial \Omega$ 的单位外法向。考虑Steklov特征值问题：求 $\lambda \in R$ 和非平凡函数 $u\in H^1\left(\Omega \right)$，使得：

$-\Delta u+u=0,\text{in}\Omega$ (2.1)

$\frac{\partial u}{\partial n}=\lambda u,\text{on}\Omega$ (2.2)

设 $T_h=\left\{\kappa \right\}$ 为 $\Omega$ 的形状规则网格，边e的直径用he表示，单元 $\kappa \in T_h$ 的直径用 $h_{\kappa }$ 表示，并且 $h=\underset{\kappa \in T_h}{\max }{h}_k$。单元格的一组边 ${\Gamma }_h={\Gamma }_h^i\cup {\Gamma }_h^b$，其中 ${\Gamma }_h^i$ 表示内部边的集合， ${\Gamma }_h^b$ 表示边界上的集合。下面表示边e上v的均值和跳跃：

$\left\{v\right\}=\frac{1}{2}\left(v^{+}+v^{-}\right),\left[v\right]=v^{+}\cdot n^{+}+v^{+}\cdot n^{-}$ (2.3)

其中， $e=\partial {\kappa }^{+}\cap \partial {\kappa }^{-}$， $v^{+}={v|}_{{\kappa }^{+}}$， $v^{-}={v|}_{{\kappa }^{-}}$， $n$ 是 ${\kappa }^{+}$ 到 ${\kappa }^{-}$ 的单位外法向。

注意，当 $e\in {\Gamma }_h^b$ 时

$\left\{v\right\}=v,\left[v\right]=v\cdot n$ (2.4)

(2.1)的弱形式为

$a\left(u,v\right)=\lambda \langle u,v\rangle ,\forall v\in H^1\left(\Omega \right)$ (2.5)

其中 $\left(u,v\right)={\displaystyle {\int }_{\Omega }u\cdot v\text{d}x}$， $\langle u,v\rangle ={\displaystyle {\int }_{\partial \Omega }u\cdot v\text{d}x}$，双线性形式 $a\left(u,v\right)=\left(u,v\right)+\left(\nabla u,\nabla v\right)$。

任取分片多项式v， $\Omega ={\cup }_{\kappa \in {\Gamma }_{\kappa }}\kappa$，有

${\displaystyle \underset{\Omega }{\int }\nabla u\cdot \nabla v\text{d}x\text{d}y}+{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }u\cdot v\text{d}x\text{d}y}-{\displaystyle \underset{e\in {\Gamma }_h^i}{\sum }{\displaystyle \underset{e}{\int }\left\{\nabla u\right\}}}\left[v\right]\text{d}s={\displaystyle \underset{\partial \Omega }{\int }\lambda u\cdot v\text{d}s}$ (2.6)

定义间断有限元空间： $S^h=\left\{v\in L^2\left(\Omega \right):{v|}_{\kappa }\in p_m\left(\kappa \right)\right\}$， $\forall \kappa \in T_h$， $P_m\left(\kappa \right)$ 是关于 $\kappa$ 的m次多项式空间。

定义

$\begin{array}{c}{a}_h\left(u_h,v_h\right)={\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{\nabla }_h{u}_h\cdot {\nabla }_h{v}_h\text{d}x\text{d}y}+{\displaystyle \underset{\Omega }{\int }{u}_h\cdot v_h\text{d}x\text{d}y}-{\displaystyle \underset{e\in {\Gamma }_h^i}{\sum }{\displaystyle \underset{e}{\int }\left\{{\nabla }_h{u}_h\right\}}}\left[v_h\right]\text{d}s\\ -{\displaystyle \underset{e\in {\Gamma }_h^i}{\sum }{\displaystyle \underset{e}{\int }\left\{u_h\right\}}}\left[{\nabla }_h{v}_h\right]\text{d}s+\sigma \cdot h{e}^{-1}{\displaystyle \underset{e\in {\Gamma }_h^i}{\sum }{\displaystyle \underset{e}{\int }\left\{u_h\right\}}}\left[v_h\right]\text{d}s\end{array}$ (2.7)

其中 $\sigma$ 是大于零的待定参数。

问题(2.5)的离散形式为

$a_h\left(u_h,v_h\right)={\displaystyle \underset{\partial \Omega }{\int }{\lambda }_h{u}_h\cdot v_h\text{d}s},\forall v_h\in S^h$ (2.8)

3. 与特征值相关的源问题的误差估计

问题(2.5)的源问题是：求 $w\in H^1\left(\Omega \right)$，使得

$a\left(w,v\right)=\langle f,v\rangle ,\forall v\in H^1\left(\Omega \right)$ (3.1)

问题(3.1)的间断有限元逼近是求 $w_h\in S^h$，使得

$a_h\left(w_h,v_h\right)=\langle f_h,v_h\rangle ,\forall v_h\in S^h$ (3.2)

引入间断有限元范数的求和空间 $V\left(h\right)=S^h+H^1\left(\Omega \right)$，

${\Vert u_h\Vert }_G^2={\displaystyle \underset{\kappa \in T_h}{\sum }\left({\Vert \nabla u_h\Vert }_{{}_{0,\kappa }}^2+{\Vert u_h\Vert }_{{}_{0,\kappa }}^2\right)}+{\displaystyle \underset{e\in {\Gamma }_h^i}{\sum }\sigma \cdot h{e}^{-1}{\Vert \left[u\right]\Vert }_{{}_{0,e}}^2}$ (3.3)

和定义空间 $H^{1+s}\left(T_h\right)\left(s>\frac{1}{2}\right)$ 上的其它范数如下：

${\Vert u_h\Vert }_h^2={\Vert u_h\Vert }_G^2+{\displaystyle \underset{e\in {\Gamma }_h^i}{\sum }he{\Vert \left\{\nabla u_h\right\}\Vert }_{{}_{0,e}}^2}$ (3.4)

注意，在空间 $S^h$ 上 ${\Vert \cdot \Vert }_G$ 等价于 ${\Vert \cdot \Vert }_h$。

参考文献 [7] 的命题3.3和运用格林公式，得到间断有限元的一致性，即：设w是(3.1)的解， $f\in L^2\left(\partial \Omega \right)$，有

$a_h\left(w,v\right)=\langle f,v\rangle ,\forall v\in V\left(h\right)$ (3.5)

从(3.2)可以得到误差公式：

$a_h\left(w-w_h,v_h\right)=0,\forall v_h\in S^h$ (3.6)

很容易知道下面的稳定性成立：

$\left|a_h\left(u_h,v_h\right)\right|\le {\Vert u\Vert }_h{\Vert v\Vert }_h,\forall u_h,v_h\in S^h+H^{1+S}\left(T_h\right)\left(S>\frac{1}{2}\right).$ (3.7)

${\Vert u_h\Vert }_G^2\le \left|a_h\left(u_h,v_h\right)+{\displaystyle \underset{\kappa \in T_h}{\sum }{\Vert u_h\Vert }_{0,\kappa }^2}\right|,\forall u_h\in S^h.$ (3.8)

引理3.1 (文献 [7] 中引理2.2)：设 $\varphi \in H^{1+\varsigma }\left(\kappa \right)\left(0<\varsigma <\frac{1}{2}\right)$ 和 $\Delta \varphi \in L^2\left(\kappa \right)$，有下列迹不等式成立：

${\Vert \nabla \varphi \cdot n\Vert }_{\varsigma -\frac{1}{2},e}\le h^{\delta }\left({\Vert \Delta \varphi \Vert }_{\varsigma ,\kappa }+h_{\kappa }^{1-\varsigma }{\Vert \Delta \varphi \Vert }_{0,\kappa }\right),\forall \kappa \in T_h,e\in \partial \Omega .$ (3.9)

引理3.2 (文献 [7] 中定理3.1)：假设 $M\left(\lambda \right)\in H^{1+s}\left(\Omega \right)\left(s>\frac{1}{2}\right),t=\min \left(m,s\right)$，有

$\left|{\lambda }_h-\lambda \right|\le h^{2t}$ (3.10)

${\Vert u-u_h\Vert }_h\le h^t$ (3.11)

${\Vert u-u_h\Vert }_{0,\partial \Omega }\le h^r{\Vert u-u_h\Vert }_h$ (3.12)

其中 $u_h$ 是(2.8)的特征函数， $u\in M\left(\lambda \right)$ 是(2.5)的特征函数， $\lambda$ 是(2.5)的特征值。

4. 特征值问题的后验误差估计

4.1. 特征函数的估计子及其可靠性

设 $\left({\lambda }_h,u_h\right)$ 是(2.8)的特征对。在每个单元 $\kappa \in T_h$ 和每个边 $e\in {\Gamma }_h$ 上，有下面的元素残差和面残差。

$R_k=-\Delta u_h+u_h$

$J_{F,1}=\left[\nabla u_h\right],\forall e\in {\Gamma }_h^i$

$J_{F,1}={\lambda }_h{u}_h-\frac{\partial u_h}{\partial n},\forall e\in {\Gamma }_h^b$

$J_{F,2}=\left[u_h\right],\forall e\in {\Gamma }_h^i$

单元上的局部误差估计定义为：

$\begin{array}{c}{\eta }_{\kappa }^2=h_{\kappa }^2{\Vert -\Delta u_h+u_h\Vert }_{{}_{0,\kappa }}^2+\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{e\in {\Gamma }_h^i\cap \partial \kappa }{\sum }he{\Vert J_{F,1}\Vert }_{0,e}^2}\\ +{\displaystyle \underset{e\in {\Gamma }_h^b\cap \partial \kappa }{\sum }he{\Vert J_{F,1}\Vert }_{0,e}^2}+\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{e\in {\Gamma }_h^i\cap \partial \kappa }{\sum }\sigma h{e}^{-1}{\Vert J_{F,2}\Vert }_{0,e}^2}\end{array}$ (4.1)

全局误差估计子如下：

$\eta \left(u_h\right)={\left({\displaystyle \underset{\kappa \in T_h}{\sum }{\eta }_{\kappa }^2}\right)}^{1/2}$ (4.2)

后文将证明误差估计子是可靠的且有效的。

引入具有稳定性的提升算子 $\Lambda :V_h\to {\left[S^h\right]}^2$

${\displaystyle {\int }_{\Omega }\Lambda \left(v\right)}\cdot w\text{d}x={\displaystyle \underset{e\in T_h^i}{\sum }{\displaystyle {\int }_e\left[v\right]}}\cdot \left\{w\right\}\text{d}s,\forall w\in {\left[S^h\right]}^2$ (4.3)

${\Vert \Lambda \left(v\right)\Vert }_{0,\Omega }^2\le {\displaystyle \underset{e\in {\Gamma }_h^i}{\sum }{\Vert h{e}^{-1/2}\left[v\right]\Vert }_{0,e}^2}$ (4.4)

同时定义一个辅助双线性形式 $\overline{a_h}\left(\cdot ,\cdot \right):V_h\times V_h\to R$

$\begin{array}{c}\overline{a_h}\left(w,v\right)={\displaystyle \underset{\kappa \in T_h}{\sum }{\displaystyle {\int }_{\kappa }\nabla w\cdot \nabla v\text{d}x}}+{\displaystyle \underset{\kappa \in T_h}{\sum }{\displaystyle {\int }_{\kappa }w\cdot v\text{d}x}}-{\displaystyle \underset{\kappa \in T_h}{\sum }{\displaystyle {\int }_{\kappa }\nabla w\cdot \Lambda \left(v\right)\text{d}x}}\\ +\theta {\displaystyle \underset{e\in {\Gamma }_h^i}{\sum }{\displaystyle {\int }_{\kappa }\Lambda \left(w\right)\cdot \nabla v\text{d}x}}+\sigma \cdot h{e}^{-1}{\displaystyle \underset{e\in {\Gamma }_h^i}{\sum }{\displaystyle \underset{e}{\int }\left[w\right]}}\left[v\right]\text{d}s\end{array}$ (4.5)

易知在 $S^h\times S^h$ 上 $\overline{a_h}=a_h$，在 $H^1\left(\Omega \right)\times H^1\left(\Omega \right)$ 上 $\overline{a_h}=a$，也满足

$\Vert \overline{a_h}\left(w,v\right)\Vert \le {\Vert w\Vert }_G+{\Vert v\Vert }_G,\forall w,v\in V(\; h\; )$

引理4.1 (文献 [7] 中引理4.1)：对任意 $v\in S^h$，存在改进算子 $E_h:S^h\to S^h\cap H^1\left(\Omega \right)$，使得

${\displaystyle \underset{\kappa \in T_h}{\sum }\left(h_{\kappa }^{-2}{\Vert v-E_{h}v\Vert }_{{}_{0,\kappa }}^2+{\Vert \nabla \left(v-E_{h}v\right)\Vert }_{{}_{0,\kappa }}^2\right)}\le {\displaystyle \underset{e\in {\Gamma }_h^i}{\sum }h{e}^{-1}}{\Vert \left[v\right]\Vert }_{0,e}^2$ (4.6)

从Scott-zhang插值，可以得到以下引理。

引理4.2 (文献 [7] 中引理4.2)：用 $U_h$ 表示线性有限元空间，对于任意 $\phi \in H^1\left(\Omega \right)$，有一个分段的线性插值 $I^h$ 满足

${\Vert \phi -I^h\phi \Vert }_{0,\kappa }+h_{\kappa }{\Vert \nabla \left(\phi -I^h\phi \right)\Vert }_{0,\kappa }\le h_{\kappa }{\Vert \nabla \phi \Vert }_{0,w_{\kappa }},\forall \kappa \in T_h$ (4.7)

${\Vert \phi -I^h\phi \Vert }_{0,\kappa }\le h_e^{1/2}{\Vert \nabla \phi \Vert }_{0,w_e},\forall e\in T_h$ (4.8)

其中 $w_{\kappa }$ 是与 $\kappa$ 共享一个节点的所有单元的并集， $w_e$ 是与e共享一个节点的所有单元的并集。

定理4.1：设 $\left(\lambda ,u\right)$ 和 $\left({\lambda }_h,u_h\right)$ 分别是(2.5)，(2.8)的特征对， $u\in H^{1+s}\left(\Omega \right)\left(s>\frac{1}{2}\right)$ 对任意 $v\in H^1\left(\Omega \right)$，

有下列不等式成立。

$\begin{array}{c}{\Vert u-u_h\Vert }_G\le \underset{v\in H^1\left(\Omega \right)}{\sup }\frac{\left|\langle {\lambda }_h{u}_h,v\rangle +\overline{a_h}\left(u_h,v\right)\right|}{{\Vert v\Vert }_G}+\underset{v\in H^1\left(\Omega \right)}{\inf }{\Vert u_h-v\Vert }_G\\ +{\Vert {\lambda }_h{u}_h-\lambda u\Vert }_{0,\partial \Omega }+{\Vert u_h-u\Vert }_{0,\Omega }\end{array}$ (4.9)

证明：注意在 $H^1\left(\Omega \right)\times H^1\left(\Omega \right)$ 上 $\overline{a_h}=a$。设 $w\in H^1\left(\Omega \right)$，从(2.5)中我们可以推导出

$\begin{array}{c}{\Vert u-u_h\Vert }_G^2\le \left|\overline{a_h}\left(u-w,u-w\right)+{\Vert u-w\Vert }_0^2\right|\\ \le \left|\langle \lambda u,u-w\rangle -\overline{a_h}\left(u_h,u-w\right)+{\Vert u_h-w\Vert }_G{\Vert u-w\Vert }_G+{\Vert u-w\Vert }_0^2+{\Vert {\lambda }_h{u}_h-\lambda u\Vert }_{0,\partial \Omega }{\Vert u-w\Vert }_{0,\partial \Omega }\right|\end{array}$ (4.10)

因此

${\Vert u-u_h\Vert }_G\le \underset{v\in H^1\left(\Omega \right)}{\sup }\frac{\left|\langle {\lambda }_h{u}_h,v\rangle +\overline{a_h}\left(u_h,v\right)\right|}{{\Vert v\Vert }_G}+{\Vert u_h-w\Vert }_G+{\Vert {\lambda }_h{u}_h-\lambda u\Vert }_{0,\partial \Omega }+{\Vert u-u_h\Vert }_{0,\Omega }+{\Vert u_h-w\Vert }_{0,\Omega }$ (4.11)

由三角不等式推导出

$\begin{array}{c}{\Vert u-u_h\Vert }_G\le {\Vert u-w\Vert }_G+{\Vert u_h-w\Vert }_G\\ \le \underset{v\in H^1\left(\Omega \right)}{\sup }\frac{\left|\langle {\lambda }_h{u}_h,v\rangle +\overline{a_h}\left(u_h,v\right)\right|}{{\Vert v\Vert }_G}+{\Vert u_h-w\Vert }_G+{\Vert {\lambda }_h{u}_h-\lambda u\Vert }_{0,\partial \Omega }+{\Vert u-u_h\Vert }_{0,\Omega }\end{array}$ (4.12)

由w的任意性，就可以得到估计式(4.9)。

定理4.2：在定理4.1的条件下，有下列不等式成立：

${\Vert u-u_h\Vert }_G\le \eta \left(u_h\right)+{\Vert \lambda u-{\lambda }_h{u}_h\Vert }_{0,\partial \Omega }+{\Vert u-u_h\Vert }_{0,\Omega }$ (4.13)

证明：对于(4.12)的右端第二项，使用(3.3)和(4.6)，注意到 $\left[E_h{u}_h\right]=0$，我们有

$\underset{v\in H^1\left(\Omega \right)}{\inf }{\Vert u_h-v\Vert }_G^2\le {\Vert E_h{u}_h-u_h\Vert }_G^2\le {\displaystyle \underset{e\in {\Gamma }_h^i}{\sum }\sigma h{e}^{-1}{\Vert J_{F,2}\Vert }_{0,e}^2}$

见上式和 [7] 中引理4.3带入的(4.13)。证毕。

由定理4.1可知， ${\Vert \lambda u-{\lambda }_h{u}_h\Vert }_{0,\partial \Omega }$ 和 ${\Vert u-u_h\Vert }_{0,\Omega }$ 的高阶项是比 ${\Vert u-u_h\Vert }_G$ 小的高阶量，同时由定理4.2知 $\eta \left(u_h\right)$ 是能量范数误差的上界之一。因此，误差估计子是可靠的。

4.2. 特征函数的估计子的有效性

为了保证估计子在实际的自适应细化中是有效的，我们下证局部误差估计子 ${\eta }_k$ 为邻域 $\kappa$ 上的误差并提供了局部下界。 $b_k\in H_0^1\left(\kappa \right)$ 为标准单元泡泡函数， $b_e\in H_0^1\left(w_e\right)$ 为边泡泡函数，其中 $w_e$ 是两个单元 ${\kappa }^{+}$ 和 ${\kappa }^{-}$ 共享e的集合，由参考文献 [7]，引入以下知识。

引理4.4 (文献 [7] 中引理4.4)：对于所有多项式函数 $v\in P_m\left(\kappa \right)$， $w\in P_m\left(e\right)$，有

${\Vert v\Vert }_{o,\kappa }\le {\Vert b_{\kappa }^{1/2}v\Vert }_{0,\kappa }$ (4.15)

${\Vert w\Vert }_{o,e}\le {\Vert b_{\kappa }^{1/2}w\Vert }_{0,e}$ (4.16)

和对每一个 $b_{e}w$，存在一个延拓 $w_b$ 满足 ${w_b|}_e=b_{e}w$， $w_b\in H_0^1\left(w_e\right)$ 且

${\Vert w_b\Vert }_{o,w_e}\cdot {\Vert \nabla w_b\Vert }_{o,w_e}\le {\Vert w\Vert }_{0,e}^2$ (4.17)

根据上面的引理，使用标准参数，可证下面局部上界。

引理4.5 (文献 [7] 中引理4.5)：设 $\left(\lambda ,u\right)$ 和 $\left({\lambda }_h,u_h\right)$ 分别是(2.5)和(2.8)的特征对。有下面局部上界：

(i) 对任意

$h_k{\Vert -\Delta u_h+u_h\Vert }_{0,\kappa }\le {\Vert -\nabla \left(u-u_h\right)\Vert }_{0,\kappa }+h_k{\Vert u-u_h\Vert }_{0,\kappa }$ (4.18)

(ii) 设 $e\in {\Gamma }_h^i$ 是相邻单元 ${\kappa }^{+}$ 和 ${\kappa }^{-}$ 的内部边

$h_e^{1/2}{\Vert J_{F,1}\Vert }_{0,e}\le {\displaystyle \underset{\kappa \in U_e}{\sum }\left({\Vert -\nabla \left(u-u_h\right)\Vert }_{0,\kappa }+h_k{\Vert u-u_h\Vert }_{0,\kappa }\right)}$ (4.19)

其中 $U_e=\left\{{\kappa }^{+},{\kappa }^{-}\right\}$。

(iii) 对于每一个边界边 $e\in {\Gamma }_h^i$ 且 $e\in \partial \Omega$，有

$h_e^{1/2}{\Vert J_{F,1}\Vert }_{0,e}\le {\Vert -\nabla \left(u-u_h\right)\Vert }_{0,\kappa }+h_e{\Vert u-u_h\Vert }_{0,\kappa }+h_e^{1/2}{\Vert {\lambda }_h{u}_h-\lambda u\Vert }_{0,e}$ (4.20)

(iv) 对任意边 $e\in {\Gamma }_h^i$

$h_e^{-1}{\Vert \left[u_h\right]\Vert }_{0,e}^2=h_e^{-1}{\Vert \left[u-u_h\right]\Vert }_{0,e}^2$ (4.21)

定理4.3：在定理4.1的条件下有下列不等式成立：

$\begin{array}{c}{\eta }_{\kappa }\le {\displaystyle \underset{\kappa \in w_{\kappa }}{\sum }\left({\Vert -\nabla \left(u-u_h\right)\Vert }_{0,\kappa }+h_{\kappa }{\Vert u-u_h\Vert }_{0,\kappa }\right)}\\ +{\displaystyle \underset{e\in {\Gamma }_h^i\cap \partial \Omega }{\sum }h{e}^{-1/2}{\Vert \left[u-u_h\right]\Vert }_{0,e}}+{\displaystyle \underset{e\in {\Gamma }_h^i\cap \partial \Omega }{\sum }h{e}^{1/2}{\Vert {\lambda }_h{u}_h-\lambda u\Vert }_{0,e}}\end{array}$ (4.22)

$\eta \left(u_h\right)\le {\Vert u-u_h\Vert }_G+h^{1/2}{\Vert {\lambda }_h{u}_h-\lambda u\Vert }_{0,\partial \Omega }$ (4.23)

证明：由 ${\eta }_{\kappa }$ 的定义和引理4.5推出(4.21)

$\begin{array}{c}{\eta }_{\kappa }^2=h_{\kappa }^2{\Vert -\Delta u_h+u_h\Vert }_{0,\kappa }^2+\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{e\in {\Gamma }_h^i\cap \partial \kappa }{\sum }he{\Vert J_{F,1}\Vert }_{0,e}^2}+{\displaystyle \underset{e\in {\Gamma }_h^b\cap \partial \kappa }{\sum }he{\Vert J_{F,1}\Vert }_{0,e}^2}+\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{e\in {\Gamma }_h^i\cap \partial \kappa }{\sum }\sigma h{e}^{-1}{\Vert J_{F,2}\Vert }_{0,e}^2}\\ \le {\Vert -\nabla \left(u-u_h\right)\Vert }_{0,e}^2+c\cdot h_k^2{\Vert u-u_h\Vert }_{0,e}^2+\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{e\in {\Gamma }_h^i\cap \partial \kappa }{\sum }{\Vert -\nabla \left(u-u_h\right)\Vert }_{0,e}^2}+{\displaystyle \underset{e\in {\Gamma }_h^b\cap \partial \kappa }{\sum }{\Vert -\nabla \left(u-u_h\right)\Vert }_{0,e}^2}\\ +h_e{\Vert {\lambda }_h{u}_h-\lambda u\Vert }_{0,e}^2+\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{e\in {\Gamma }_h^i\cap \partial \kappa }{\sum }\sigma h{e}^{-1}{\Vert \left[u-u_h\right]\Vert }_{0,e}^2}\end{array}$

对上式整理就可以得到(4.21)，对(4.21)两边的 $\kappa \in T_h$ 求和并利用 ${\Vert \cdot \Vert }_G$ 的定义，得到(4.22)。

定理4.3表明误差估计子 $\eta \left(u_h\right)$ 是有效的。

4.3. 特征函数的估计子的可靠性

引理4.6 (文献 [7] 中引理4.6)：设 $\left(\lambda ,u\right)$ 和 $\left({\lambda }_h,u_h\right)$ 分别是(2.5)和(2.8)的特征对，且 $\left(u_h,u_h\right)\ne 0$，则有

$\lambda -{\lambda }_h=\frac{a_h\left(u-u_h,u-u_h\right)}{\left(u_h,u_h\right)}+\lambda \frac{\langle u-u_h,u-u_h\rangle }{\left(u_h,u_h\right)}$ (4.24)

由定理4.2和定理4.3可知，特征函数 ${\Vert u-u_h\Vert }_G^2$ 的估计子 $\eta {\left(u_h\right)}^2$ 在数据振荡前是可靠和高效的，因此基于该估计子的自适应算法可以生成良好的分级网格，即近似特征函数在 ${\Vert \cdot \Vert }_G^2$ 内达到最优收敛速度 ${\rm O}\left(do{f}^{-m}\right)$。同时，根据 [7] 有 ${\displaystyle \underset{\kappa \in T_h}{\sum }{h}_{\kappa }}{\left|u-u^I\right|}_{3/2,\kappa }\le do{f}^{-m}$，即 $\left|\lambda -{\lambda }_h\right|\le do{f}^{-m}$。因此，我们认为 $\eta {\left(u_h\right)}^2$ 可以看作是 ${\lambda }_h$ 的误差估计(注意 $do{f}^{-m}$ 表示自由度)。

第5节的数值实验表明 $\eta {\left(u_h\right)}^2$ 作为 ${\lambda }_h$ 的误差估计是可靠和有效的。

5. 数值实验

在这部分，我们将会针对问题(2.1)使用间断有限元自适应方法进行数值实验去验证方法的有效性。程序是在IFEM包下编译的，计算得出的特征值采用降序排列。

我们考虑了两个区域：L型 ${\left(-1,1\right)}^2\backslash \left(\left[0,1\right)\times \left(-1,0\right]\right)$ 和有四个顶点的方形( ${\Omega }_s$ )：顶点为 $\left(0,1\right)\left(1,0\right)\left(0,-1\right)\left(-1,0\right)$，计算了二维一次元，并且在计算的时候两个区域惩罚参数都取固定的数 $\sigma =10$。

由于准确的特征值未知，我们分别取了参考值，这些参考特征值都是通过自适应计算得到的，尽可能的准确。

Table 1. The adaptive results by using the P1 element with initial meshes h = 1/8

表1. 采用初始网格 $h=1/8$ 一次元自适应结果

Figure 1. Adaptive refifined mesh and the error curves on ${\Omega }_L$ with initial mesh $h=1/8$ using the P1 element

图1. ${\Omega }_L$ 采用初始网格 $h=1/8$ 一次元自适应网格与误差曲线图

Figure 2. Adaptive refifined mesh and the error curves on ${\Omega }_S$ with initial mesh $h=1/8$ using the P1 element

图2. ${\Omega }_S$ 采用初始网格 $h=1/8$ 一次元自适应网格与误差曲线图

表1列出了自适应计算的结果，图1、图2描述了自适应网格与误差曲线，可以看出线性不连续单元(一次元)的误差曲线近似平行于斜率为−1的直线。这表明自适应算法能达到最优收敛，从误差曲线上也可以看出在相同自由度下，自适应算法得到的近似比均匀网格上的近似更准确。

6. 总结

由于自共轭Steklov特征值问题中特征值的后验误差估计的可靠性和有效性的间断有限元问题至今做的人很少，所以为了解决这个问题，本文采用了间断有限元法，先写出了选取的问题模型的变分形式和间断有限元离散形式，在L型区域和方形区域上计算了后验误差估计的可靠性和有效性，在数值实验部分本文对其进行编程，实现了二维一次元的算法的有效实现，得到了我想要的结果，但是我认为这并不是最理想的结果，后期的工作是二维二次元算法的有效实现，甚至更高维和其他区域的有效实现。

基金项目

贵州师范大学学术新苗基金(黔师新苗[2021]A01)。