一类仿射簇的维数计算的程序实现

Symbolic Implementation of Calculation Dimension of a Class of Affine Varieties

摘要: 计算单项式理想定义的簇的维数与计算任意簇的维数不同，可以简化为计算理想中最小公共变量集的元素个数。根据单项式理想的这一特性，本文给出一种算法并利用符号计算软件进行实现，从而可以自动计算单项式理想定义的簇的维数。

Abstract: Calculating the dimension of varieties defined by a monomial ideal is different from calculating the dimension of any varieties, and can be reduced to finding the number of elements of the least com-mon set of variables in the ideal. According to this characteristic of monomials, an algorithm is de-signed and a code is written by Maple to calculate the dimension of varieties defined by monomi-alideal.

1. 引言

簇的维数是代数几何中的一个基本概念，簇的一种刻画.但是计算一个簇的维数是比较困难的，其中计算由单项式理想定义的簇的维数是比较简单的。D. Cox等人在 [1] 中，总结了一种计算由单项式理想定义的簇的维数的方法。J. Herzog在 [2] 的第二部分中介绍了希尔伯特函数，可以用来计算簇的维数。K. Hulek在 [3] 中介绍了希尔伯特零点定理、克鲁尔维数的概念。这篇文章总结文献 [1] [2] [3] 中提到由单项式理想定义的簇的维数问题，并且介绍一种算法，用来计算由单项式理想定义的簇的维数。最后利用maple实现程序，并且通过实例论证整个过程是可以用计算机软件实现。

2. 基础知识

我们定义数域k上的n维仿射空间为：

$A^n:=\left\{\left(a_1,a_2,a_3,\cdots ,a_n\right)|\forall a_i\in k\right\}$.

定义1：设子集 $X\in A^n$，那么X生成的消失理想如下：

$I\left(X\right)=\left\{f\in k\left[x_1,x_2,\cdots ,x_n\right]|\forall P\in X,f\left(P\right)=0\right\}$.

可以证明上述定义的 $I\left(X\right)$ 为 $k\left[x_1,x_2,\cdots ,x_n\right]$ 中的一个理想。

定义2：设 $k\left[x_1,x_2,\cdots ,x_n\right]$ 是在数域k的n个元多项式环，对于环中的一个子集J，定义由J生成的簇(代数集)：

$V\left(J\right)=\left\{P\in A^n|\forall f\in J,f\left(P\right)=0\right\}$.

根据上面的定义以及希尔伯特零点定理 [3]，可以在 $k\left[x_1,x_2,\cdots ,x_n\right]$ 中的理想与 $A^n$ 中子集定义出一个映射。那么在这个映射下， $k\left[x_1,x_2,\cdots ,x_n\right]$ 中的素理想与 $A^n$ 不可约簇是一一对应的 [4]。

定理1：假设 $A=\langle f_1,f_2,\cdots ,f_s\rangle$ 和 $B=\langle g_1,g_2,\cdots ,g_t\rangle$ 是 $k\left[x_1,x_2,\cdots ,x_n\right]$ 中的理想， $V\left(A\right)$ 和 $V\left(B\right)$ 是 $A^n$ 中

的仿射簇，那么两个簇的交集和并集也是簇，并且

$V\left(A\right)\cup V\left(B\right)=V\left(f_1{g}_1|1\le i\le s,1\le j\le t\right)$,

$V\left(A\right)\cap V\left(B\right)=V\left(\langle f_1,f_2,\cdots ,f_s,g_1,g_2,\cdots ,g_t\rangle \right)$.

定理2：假设簇X非空，其对应的消去理想是 $I\left(X\right)$，那么X是不可约簇当且仅当 $I\left(X\right)$ 是素理想。

其中不可约簇是指不存在 $X=X_1\cup X_2$，其中 $X_1$， $X_2$ 是X的两个真子集， $I\left(X\right)$ 素理想是指，若 $a\cdot b\in I\left(X\right)$，那么必有 $a\in I\left(X\right)$ 或 $b\in I\left(X\right)$ 成立。

根据文献4定理3.9在 $k\left[x_1,x_2,\cdots ,x_n\right]$ 中素谱的诺特性质，和素理想和不可约簇的对应关系，可以证

明每个由不可约簇构成的降链具有有限长度。就像计算线性空间的维数一样。这里将降链的最大长度定义为簇的维数。

定义3：一个簇V的克鲁尔维数(krull)是V的最长降链的长度krdim $V=n$。其中降链是

$V=V_0⊋V_1⊋V_2⊋V_3⊋\cdots ⊋V_n\ne \varnothing$.

根据上述定义，计算簇的维数要找到一条最长不可约簇的降链。利用 $k\left[x_1,x_2,\cdots ,x_n\right]$ 中的素理想与 $A^n$ 中的不可约簇之间的对应关系，我们可以将上述问题转化为寻找最长素理想构成的降链的问题。

定义4：假设 $V\left(I\right)$ 是 $k\left[x_1,x_2,\cdots ,x_n\right]$ 中的一个单项式理想，那么 $I=\langle f_1,f_2,\cdots ,f_n\rangle$ 中的每一个生成元 $f_i$ $\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ 都是单项式。

由于计算一般簇的维数是比较困难的，下面本文考虑一类由单项式理想的定义的簇。

3. 单项式理想所定义的簇维数

由于单项式中的任意非零次数的变量取零时，单项式就会为零。所以单项式理想的簇我们只需要考虑由类似坐标超平面来构成的。如下例所示：

例1：假设在 $k\left[x_1,x_2,\cdots ,x_n\right]$ 中有一个单项式理想 $I=\langle x_2^2{x}_3^3,x_1^5{x}_3^4,x_1^2{x}_2{x}_3^2\rangle$，那么：

$\begin{array}{c}V\left(I\right)=V\left(\langle x_2^2{x}_3^3,x_1^5{x}_3^4,x_1^2{x}_2{x}_3^2\rangle \right)\\ =V\left(\langle x_2^2{x}_3^3\rangle \right)\cap V\left(\langle x_1^5{x}_3^4\rangle \right)\cap V\left(\langle x_1^2{x}_2{x}_3^2\rangle \right)\\ =V\left(\langle x_2{x}_3\rangle \right)\cap V\left(\langle x_1{x}_3\rangle \right)\cap V\left(\langle x_1{x}_2{x}_3\rangle \right)\\ =\left[V\left(\langle x_2\rangle \right)\cup V\left(\langle x_3\rangle \right)\right]\cap \left[V\left(\langle x_1\rangle \right)\cup V\left(\langle x_2\rangle \right)\right]\\ \cap \left[V\left(\langle x_1\rangle \right)\cup V\left(\langle x_2\rangle \right)\cup V\left(\langle x_3\rangle \right)\right]\end{array}$

簇 $V\left(\langle x_2\rangle \right)\cup V\left(\langle x_3\rangle \right)$，簇 $V\left(\langle x_1\rangle \right)\cup V\left(\langle x_1\rangle \right)$，簇 $V\left(\langle x_1\rangle \right)\cup V\left(\langle x_2\rangle \right)\cup V\left(\langle x_3\rangle \right)$ 如下图：

三个簇取交集不难看出是：

上面这个平面计算克鲁尔维数，先找到最长一条由不可约簇构成的链：

$V_2⊋V_1⊋V_0$.

$V_0$ 表示 $\left(0,0,0\right)$ 点， $V_1$ 表示 $\left(a,0,0\right)$ 其中 $a\in K$。 $V_2$ 表示 $\left(a,b,0\right)$ 其中 $a,b\in K$，也就是上面的平面。在这个 $V\left(I\right)$ 中最长可以找到由三个不可约簇构成的降链。根据克鲁尔维数的定义可知：

$\text{krdim}\pi \left(V_2\right)=2$.

与之相对的素理想链：

$\langle x,y,z\rangle ⊋\langle x,y\rangle ⊋\langle x\rangle$.

受上例启发，可以将上述过程简化为计算理想中最小公共变量集的元素个数，一般的簇并不能做到这点。

定理3：设单项式理想 $I\in k\left[x_1,x_2,\cdots ,x_n\right]$，那么单项式理想的簇 $V\left(I\right)$ 的维数和理想I公共变量有下述关系：

$\text{krdim}\left(V\left(I\right)\right)=\text{krdim}\left(V\left(\langle x_{q1}\rangle \right)\cup V\left(\langle x_{q2}\rangle \right)\cup \cdots \cup V\left(\langle x_{qn}\rangle \right)\right)$,

其中 $x_{p1},x_{p2},\cdots ,x_{pq}$ 是在单项式理想I中出现的公共变量。

证明：设 $\left(m,n\in 0,1,2,\cdots \right)$，那么

$\begin{array}{l}V\left(\langle x_1^{\left(1,1\right)}{x}_2^{\left(1,2\right)}\cdots x_n^{\left(1,n\right)},x_1^{\left(2,1\right)}{x}_2^{\left(2,2\right)}\cdots x_n^{\left(2,n\right)},\cdots ,x_1^{\left(m,1\right)}{x}_2^{\left(m,2\right)}\cdots x_n^{\left(m,n\right)}\rangle \right)\\ =\underset{i=1}{\overset{m}{{\displaystyle \cap }}}V\left(\langle x_1^{\left(i,1\right)}{x}_2^{\left(i,2\right)}\cdots x_n^{\left(i,n\right)}\rangle \right)\\ =\underset{i=1}{\overset{m}{{\displaystyle \cap }}}\left[\underset{j=1}{\overset{n}{{\displaystyle \cup }}}V\left(\langle x_j^{i,j}\rangle \right)\right]\\ =V\left(\langle x_{p1}^{k1}\rangle \right)\cup V\left(\langle x_{p2}^{k2}\rangle \right)\cup \cdots \cup V\left(\langle x_{pn}^{ks}\rangle \right)\\ =V\left(\langle x_{p1}\rangle \right)\cup V\left(\langle x_{p1}\rangle \right)\cup \cdots \cup V\left(\langle x_{p1}\rangle \right),\end{array}$

其中 $x_{p1},x_{p2},\cdots ,x_{pq}$ 是在单项式理想I中出现的公共变量。

根据定理6，把例5改成寻找公共变量集，

$I=\langle x_2^2{x}_3^3,x_1^5{x}_3^4,x_1^2{x}_2{x}_3^2\rangle$.

公共变量集合为：

$\left\{\left\{x_1,x_2,x_3\right\},\left\{x_1,x_2\right\},\left\{x_1,x_3\right\},\left\{x_2,x_3\right\},\left\{x_3\right\}\right\}$,

其中最少的是 $\left\{x_3\right\}$，个数为1。那么该簇的维数就等于：

$\text{krdim}\left(V\left(I\right)\right)=3-1=2$.

4. 单项式理想簇的维数程序实现

根据上面的寻找最小公共变量集的做法，这里设计一种maple程序。先将全部的变元取出来，根据choose算法，做成公共变量集合，最后找到其中变元最少的。

用变量做成字符串，求全部子集。然后按照子集中元素的个数排列，将元素个数少的子集排在前面。choose算法如下：

下面是利用maple执行上述算法得出的结果。

后面两个例子直接计算的话是比较复杂的。上面的几个例子可以看出到，利用maple执行上诉算法的程序，可以快捷有效的计算出一个由单项式定义的簇的维数。这里choose算法中对数据的处理会按照2ⁿ增加，本质上求理想中最少公共变量集的元素个数这一做法是不需要choose算法中全部的结果。如果可以精准的找到最少公共变量集，是可以对效率有很大的提升。