Laplace方程的斜导数边值问题梯度估计

The Gradient Estimation of Oblique Derivative Boundary Value Problems for Laplace Equation

摘要: 本文主要是研究一类Laplace方程第二边值问题的梯度估计，通过构造合适的辅助函数，利用函数在极大值点的性质，证明Laplace方程的斜导数边值问题解的梯度估计，得到了一类带Du的Laplace方程第二类边值问题解的全局梯度估计。

Abstract: In this paper, we study the gradient estimation of the second boundary value problem for a class of Laplace equations. By constructing appropriate auxiliary functions and using the properties of functions at maximum points, we prove the gradient estimation of the solution of the oblique de-rivative boundary value problem for the Laplace equation, and obtain the global gradient estima-tion of the solution of the second class boundary value problem for the Laplace equation with Du.

1. 引言

在我们二阶椭圆偏微分方程理论的学习中，我们知道边值问题解的存在性是最重要的问题之一。那么边值问题主要包括Dirichlet问题，Neumann问题和斜导数问题，然而我们解决边值问题解的存在性问题的关键在于需要我们给出解的先验估计，也就是解的梯度估计，最大模估计等。对于梯度估计中的Dirichlet问题已有广泛的研究，1969年Serrin [1] 完成了Dirichlet问题的解的存在性的证明。2001年Gibarg-Trudinger [2] 等人得到了具有Dirichlet问题解更一般的性质。对于Neumann问题的研究相对较少。麻希南，徐金菊 [3] 通过综合利用Spruck [4]，Wang [5]，Liebeman [6] 等人的技巧给出了有关Neumann边值问题的梯度估计。

Laplace方程是最简单的椭圆型偏微分方程，它在科学技术的各个领域都有着广泛的应用，譬如静电学中它被称为静电场方程以及牛顿万有引力理论中它被称为静态引力场方程。

2014年，徐金菊 [3] 利用极值原理给出了一类Laplace方程Neumann问题解的梯度估计，即

$\Delta u=f\left(x,u\right)$，在 $\Omega$ 内

$\frac{\partial u}{\partial \gamma }=\psi \left(x\right)$，在 $\partial \Omega$ 上

2016年，向妮 [7] 利用极值原理得到了Laplace方程斜边值问题解的梯度估计，即

$\Delta u=f\left(x\right)$，在 $\Omega$ 内

$D_{\beta }u=\psi \left(x\right)$，在 $\partial \Omega$ 上

受上述文章的启发，本文考虑如下形式的一类Laplace方程斜边值问题的梯度估计

$\Delta u=f\left(x,u,\nabla u\right)$，在 $\Omega$ 内 (1.1)

$D_{\beta }u=\psi \left(x\right)$，在 $\partial \Omega$ 上 (1.2)

其中 $\Omega$ 是 $R^n$ 中的有界区域， $n\ge 2$， $\partial \Omega \in C^4$， $\beta$ 是严格斜的单位向量，即 $\beta \cdot \gamma \ge {\beta }_0$， $\gamma$ 为单位内法向量， ${\beta }_0$ 为正常数，令 $L_1=\underset{\bar{\Omega }}{\sup }\left|u\right|$， $f,\psi$ 分别为定义在 $\bar{\Omega }\times R$ 和 $\bar{\Omega }$ 上给定的有界可微函数，假设存在正常数 $L_2,L_3$ 使得

$\left|f\left(x,z,p\right)\right|+\left|f_x\left(x,z,p\right)\right|+\left|f_z\left(x,z,p\right)\right|+\left|f_p\left(x,z,p\right)\right|\le L_2$ (1.3)

${\left|\psi \left(x\right)\right|}_{C^3\left(\bar{\Omega }\right)}\le L_3$， (1.4)

本文中，我们给出Laplace方程斜边值问题解的梯度估计的证明。通过选取适当的辅助函数来讨论解的边界梯度估计，近边梯度估计，以及梯度内估计，从而得到解的全局梯度估计。在证明中，我们构造合适的辅助函数，充分利用函数在极大值点的性质以及斜边值条件得到梯度估计。

下面，我们给出本文的主要结论。

定理1.1设 $u\in C^2\left(\bar{\Omega }\right)\cap C^3\left(\Omega \right)$ 为问题(1.1)~(1.2)的解，且 $f,\phi$ 满足结构性条件(1.3)，(1.4)，则

$\underset{\bar{\Omega }}{\sup }\left|Du\right|\le C$

其中C为正的常数依赖于 $n,\Omega ,L_1,L_2,L_3,{\beta }_0$。

2. 预备知识

基本概念以及Laplace方程标准的梯度内估计。

设 $\Omega$ 是 $R^n$ 中的有界区域， $n\ge 2$， $\partial \Omega \in C^4$， $\gamma$ 是 $\partial \Omega$ 上的单位内法向量。令

$d\left(x\right)=dist\left(x,\partial \Omega \right)$

${\Omega }_{\mu }=\left\{x\in \Omega :d\left(x\right)<\mu \right\}$

则存在常数 ${\mu }_1>0$ 使得 $d\left(x\right)\in C^4\left({\bar{\Omega }}_{{\mu }_1}\right)$。在 ${\Omega }_{{\mu }_1}$ 内，可取 $\gamma =Dd$，并且 $\gamma$ 是一个 $C^2\left({\bar{\Omega }}_{{\mu }_1}\right)$ 向量场，且有以下性质：

$\left|D\gamma \right|+\left|D^2\gamma \right|\le C\left(n,\Omega \right)$，在 ${\Omega }_{{\mu }_1}$ 内

$\left|\gamma \right|=1$， ${\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{\gamma }^i{D}_j{\gamma }^i}=0$， ${\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{\gamma }^i{D}_i{\gamma }^j}=0$，在 $\Omega$ 内

引入记号

$c^{ij}={\delta }_{ij}-{\gamma }^i{\gamma }^j$，在 $\Omega$ 内

则 ${\left(c^{ij}\right)}_{n\times n}$ 非负定。

对任一 $R^n$ 中向量 $\xi$，记 ${\xi }^{\prime }$ 为 $\xi$ 的切向部分，其第i个分量定义为

${\displaystyle \underset{1\le j\le n}{\sum }{c}^{ij}{\xi }_j}$

梯度 $Du$ 的切向量记为 $D^{\prime }u$，则

${\left|D^{\prime }u\right|}^2={\displaystyle \underset{1\le i,j\le n}{\sum }{c}^{ij}{u}_i{u}_j}$

引理2.1 设 $u\in C^3\left(\Omega \right)$ 为方程(1.1)的解，则对任意区域 ${\Omega }^{\prime }\subset \subset \Omega$，有

$\underset{{\Omega }^{\prime }}{\sup }\left|Du\right|\le M_1$

其中 $M_1$ 只依赖于 $n,\Omega ,L_1,L_2,L_3$。

引理2.2 设 $u\in C^2\left(\bar{\Omega }\right)\cap C^3\left(\Omega \right)$ 为斜边值问题(1.1)~(1.2)的解。且 $f,\phi$ 满足条件(1.3)，(1.4)则

$\underset{\partial \Omega }{\sup }\left|D_{\beta \gamma }u\right|\le C_2\sup \left|Du\right|+C_3$

其中 $C_2$ 和 $C_3$ 依赖于 $n,\Omega ,L_1,L_2,L_3$。

3. Laplace方程斜导数边值问题的全局梯度估计

下面我们讨论该方程在 $\nabla u$ 影响下的情况：

定理3.1设 $u\in C^2\left(\bar{\Omega }\right)\cap C^3\left(\Omega \right)$ 为斜边值问题(1.1)~(1.2)的解。 $f,\phi$ 满足条件(1.3)，(1.4)，则存在小的正常数 ${\mu }_0$，使得

$\underset{{\bar{\Omega }}_{{\mu }_0}}{\sup }\left|Du\right|\le M_1$

其中C依赖于 $n,\Omega ,{\beta }_0,{\mu }_0,L_1,L_2,L_3$。

下面我们利用文献 [3] 中的方法，构造合适的辅助函数，再利用极大值原理以及斜边导数边值条件得到梯度估计。

证：令

$G\left(x\right)={\left|Dw\right|}^2{\text{e}}^{\frac{1}{1+L_1+u}{\text{e}}^{{\alpha }_{0}d}}$ (3.1)

其中 $w\left(x\right)=u\left(x\right)-\psi \left(x\right)d$， ${\alpha }_0=\frac{L_3+4C_1+1}{{\beta }_0}$ 其中C₁为正常数依赖于 $n,\Omega$。

取

$\varphi \left(x\right)=\log G\left(x\right)=\log {\left|Dw\right|}^2+h\left(u\right)+g\left(d\right)$ (3.2)

其中

$h\left(u\right)=\frac{1}{1+L_1+u},g\left(d\right)={\alpha }_{0}d$ (3.3)

设 $\varphi \left(x\right)$ 在 $x_0$ 点达到极大值。以下所有计算均在 $x_0$ 点进行。下面分三种情况证明定理3.1：

情形1若 $x_0\in \partial \Omega$，我们将证明 $\left|Du\right|\left(x_0\right)$ 有界。

这种情形的证明与文献 [7] 的证明方式一致。

首先对 $\varphi$ 沿 $\beta$ 方向求导数，有

$D_{\beta }\varphi =\frac{1}{{\left|Dw\right|}^2}{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{\left({\left|Dw\right|}^2\right)}_i{\beta }^i}+h^{\prime }{D}_{\beta }u+{\beta }_0{\gamma }^i{\beta }^i$ (3.4)

因为

$w_i=u_i-{\psi }_{i}d-\psi {\gamma }^i=u_i-\psi {\gamma }^i$

${\left|Dw\right|}^2={\left|D^{\prime }w\right|}^2+w_{\gamma }^2$ (3.5)

$w_{\gamma }=u_{\gamma }-{\psi }_{\gamma }d-\psi =u_{\gamma }-\psi (\; x\; )$

所以，在 $\partial \Omega$ 上有

${\left({\left|Dw\right|}^2\right)}_i={\left({\left|D^{\prime }w\right|}^2\right)}_i+{\left(w_{\gamma }^2\right)}_i$ (3.6)

因此

$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{\left({\left|Dw\right|}^2\right)}_i{\beta }^i}={\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{\left({\left|D^{\prime }w\right|}^2\right)}_i{\beta }^i}+{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{\left(w_{\gamma }^2\right)}_i{\beta }^i}\\ =2{\displaystyle \underset{1\le i,k,l\le n}{\sum }{c}^{kl}{w}_{ki}{w}_l}{\beta }^i+{\displaystyle \underset{1\le i,k,l\le n}{\sum }{\left(c^{kl}\right)}_i{w}_k{w}_l{\beta }^i}+{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{\left(w_{\gamma }^2\right)}_i{\beta }^i}\\ =2{\displaystyle \underset{1\le i,k,l\le n}{\sum }{c}^{kl}\left(u_{ki}-{\psi }_k{\gamma }^i-\psi {\left({\gamma }^i\right)}_k\right)}\left(u_l-\psi {\gamma }^l\right){\beta }^i\\ +{\displaystyle \underset{1\le i,k,l\le n}{\sum }{\left(c^{kl}\right)}_i\left(u_k-\psi {\gamma }^k\right)}\left(u_l-\psi {\gamma }^l\right){\beta }^i\\ +{\displaystyle \underset{1\le i,k,l\le n}{\sum }{\left(u_{\gamma }^2-2u_{\gamma }\psi +{\psi }^2\right)}_i{\beta }^i}\end{array}$

$\begin{array}{l}=2{\displaystyle \underset{1\le i,k,l\le n}{\sum }{c}^{kl}{w}_{ki}{w}_l}{\beta }^i+{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }2\left(u_{\gamma }-\psi \right)}{u}_{ki}{\gamma }^k{\beta }^i\\ -2{\displaystyle \underset{1\le i,k,l\le n}{\sum }{c}^{kl}{\psi }_k{\gamma }^i{u}_l{\beta }^i}-2{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{\left({\gamma }^i\right)}_k{u}_k\psi {\beta }^i}\\ +{\displaystyle \underset{1\le i,k,l\le n}{\sum }{\left(c^{kl}\right)}_i{u}_k{u}_l}{\beta }^i+2{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{\left({\gamma }^k\right)}_i{u}_k\psi {\beta }^i}\\ +{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }2\left(u_{\gamma }-\psi \right)u_k{\left({\gamma }^k\right)}_i{\beta }^i}-2u_{\gamma }{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{\psi }_i{\beta }^i}+2{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }\psi {\psi }_i{\beta }^i}\end{array}$ (3.7)

对边界条件(1.2)关于切向求导，有

${\left(D_{\beta }u\right)}_k={\psi }_k$ (3.8)

因此

$u_{ik}{\beta }^i+u_i{\left({\beta }^i\right)}_k={\psi }_k$ (3.9)

计算可得

$u_{ik}{\beta }^i=-u_i{\left({\beta }^i\right)}_k+{\psi }_k$ (3.10)

所以

${\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{c}^{kl}{u}_{ki}{\beta }^i}=-{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{c}^{kl}{u}_i{\left({\beta }^i\right)}_k}+{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{c}^{kl}{\psi }_k}$ (3.11)

由(3.3)，(3.4)，(3.7)及(3.11)式得

$\begin{array}{c}{\left|Dw\right|}^2{D}_{\beta }\varphi \left(x_0\right)=\left(h^{\prime }\psi +{\alpha }_0{\gamma }^i{\beta }^i\right){\left|Dw\right|}^2+2{\displaystyle \underset{1\le i,k,l\le n}{\sum }{c}^{kl}{u}_{ki}{u}_l{\beta }^i}\\ +{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }2\left(u_{\gamma }-\psi \right)u_{ki}{\gamma }^k{\beta }^i}-2{\displaystyle \underset{1\le i,k,l\le n}{\sum }{c}^{kl}{\psi }_k{\gamma }^i{u}_l{\beta }^i}\\ -2{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{\left({\gamma }^i\right)}_k{u}_k\psi {\beta }^i}+{\displaystyle \underset{1\le i,k,l\le n}{\sum }{\left(c^{kl}\right)}_i{u}_k{u}_l{\beta }^i}\\ +2{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{\left({\gamma }^k\right)}_i{u}_k\psi {\beta }^i}+2{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }\left(u_{\gamma }-\psi \right)u_k{\left({\gamma }^k\right)}_i{\beta }^i}\\ -2u_{\gamma }{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{\psi }_i{\beta }^i}+2{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }\psi {\psi }_i{\beta }^i}\end{array}$

$\begin{array}{c}=\left(h^{\prime }\psi +{\alpha }_0{\gamma }^i{\beta }^i\right){\left|Dw\right|}^2-2{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{c}^{kl}{u}_i{u}_l{\left({\beta }^i\right)}_k}\\ +2{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{c}^{kl}{\psi }_k{u}_l}+{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }2\left(u_{\gamma }-\psi \right)u_{ki}{\gamma }^k{\beta }^i}\\ -2{\displaystyle \underset{1\le i,k,l\le n}{\sum }{c}^{kl}{\psi }_k{\gamma }^i{u}_l{\beta }^i}-2{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{\left({\gamma }^k\right)}_i{u}_k\psi {\beta }^i}\\ +{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }2\left(u_{\gamma }-\psi \right)u_k{\left({\gamma }^k\right)}_i{\beta }^i}-2u_{\gamma }{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{\psi }_i{\beta }^i}+2{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }\psi {\psi }_i{\beta }^i}\\ \ge \left(h^{\prime }\psi +{\alpha }_0{\gamma }^i{\beta }^i\right){\left|Dw\right|}^2-2{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{c}^{kl}{u}_i{u}_l{\left({\beta }^i\right)}_k}\end{array}$

$\begin{array}{c}+2{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{c}^{kl}{\psi }_k{u}_l}-{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }2\left|\left(u_{\gamma }-\psi \right)\right|\left(C_2\sup \left|Du\right|+C_3\right)}\\ -2{\displaystyle \underset{1\le i,k,l\le n}{\sum }{c}^{kl}{\psi }_k{\gamma }^i{u}_l{\beta }^i}-2{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{\left({\gamma }^k\right)}_k{u}_k\psi {\beta }^i}\\ +2{\displaystyle \underset{1\le i,k,l\le n}{\sum }{\left(c^{kl}\right)}_i{u}_k{u}_l{\beta }^i}+2{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }{\left({\gamma }^k\right)}_i{u}_k\psi {\beta }^i}\\ +{\displaystyle \underset{1\le i,k\le n}{\sum }2\left(u_{\gamma }-\psi \right)u_k{\left({\gamma }^k\right)}_i{\beta }^i}-2u_{\gamma }{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{\psi }_i{\beta }^i}+2{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }\psi {\psi }_i{\beta }^i}\\ \ge \left({\alpha }_0{\beta }_0-\frac{\left|\psi \right|}{{\left(1+L_1+u\right)}^2}\right){\left|Dw\right|}^2-C_1{\left|Du\right|}^2\end{array}$ (3.12)

第一个等式利用(3.7)式，第二个等式利用(3.11)式，第一个不等式是利用引理2.2以及 $\left|Du\right|$ 的连续性得到的。最后一个不等式我们假设 $\left|Du\right|$ 充分大，否则可得到估计，其中C₁依赖于 $n,\Omega ,{\beta }_0,L_3$。

由(3.5)式，在 $x_0$ 点，可得

${\left|Dw\right|}^2={{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }\left|u_k-\psi {\gamma }^k\right|}}^2$ (3.13)

${\left|Du\right|}^2={{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }\left|w_k+\psi {\gamma }^k\right|}}^2$ (3.14)

由Cauchy不等式，可得

${\left|Du\right|}^2\le {\left|Dw\right|}^2+2{\left|\psi \right|}^2$ (3.15)

不妨设 ${\left|Du\right|}^2\ge 2{\left|\psi \right|}^2$， ${\left|Dw\right|}^2\ge {\left|\psi \right|}^2$，否则 ${\left|Du\right|}^2\le 4{\left|\psi \right|}^2$，得到估计。因此不妨设

$2{\left|\psi \right|}_{c^0\left(\partial \Omega \right)}^2\le {\left|Du\right|}^2\le 4{\left|Dw\right|}^2$

因此

${\left|Du\right|}^2{D}_{\beta }\varphi \left(x_0\right)\ge \left({\alpha }_0{\beta }_0-\left|\psi \right|-4C_1\right){\left|Dw\right|}^2\ge {\left|Dw\right|}^2>0$ (3.16)

另一方面，由 $\varphi$ 在 $x_0$ 点取到极大值，则

$D_{\beta }\varphi \left(x_0\right)\le 0$ (3.17)

与(3.16)式矛盾，因此， $\left|Du\right|\left(x_0\right)$ 有界。

情形2若 $x_0\in {\Omega }_{{\mu }_0}$，我们将证明 $\left|Du\right|\left(x_0\right)$ 有界。

在 $x_0$ 点选择标准坐标系，不妨设 $u_i\left(x_0\right)=0,2\le i\le n$， $u_1\left(x_0\right)=\left|Du\right|>0$。

由 $w\left(x\right)=u\left(x\right)-\psi \left(x\right)d$ 可知

$\begin{array}{c}{\left|Dw\right|}^2={{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }\left(u_k-{\left(d\psi \right)}_k\right)}}^2\\ \le 2{\left|Du\right|}^2+2{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\left(d\psi \right)}_k^2}\\ \le 2{\left|Du\right|}^2+4{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{\left({\gamma }^k\right)}^2{\left|\psi \right|}^2}+4{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{d}^2{\psi }_k^2}\\ \le C_2{\left|Du\right|}^2\end{array}$ (3.18)

其中 $C_2$ 为正常数依赖于 $n,\Omega ,L_3$，假设(3.18)式最后一个不等式成立，否则可得到估计。

同理可得

${\left|Du\right|}^2\le C_3{\left|Dw\right|}^2$ (3.19)

因此

$\frac{1}{C_4}{\left|Dw\right|}^2\le {\left|Du\right|}^2\le C_4{\left|Dw\right|}^2$ (3.20)

其中 $C_3$ 和 $C_4$ 依赖于 $n,\Omega ,L_3$。

对 $\varphi$ 求导可得

${\varphi }_i=\frac{{\left({\left|Dw\right|}^2\right)}_i}{{\left|Dw\right|}^2}+h^{\prime }{u}_i+g^{\prime }{\gamma }^i$， (3.21)

由 ${\varphi }_i=0$，可得

${\left({\left|Dw\right|}^2\right)}_i=-{\left|Dw\right|}^2\left(h^{\prime }{u}_i+g^{\prime }{\gamma }^i\right)$， (3.22)

对 $\varphi$ 求两次导可得

$\begin{array}{c}0\ge \Delta \varphi \\ =\frac{\Delta {\left|Dw\right|}^2}{{\left|Dw\right|}^2}+h^{\prime }\Delta u+\left(h^{″}-{h^{\prime }}^2\right){\left|Du\right|}^2-2h^{\prime }{g}^{\prime }{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{\gamma }^i{u}_i}-{g^{\prime }}^2+g^{\prime }{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{\left({\gamma }^i\right)}_i}\\ =\frac{\Delta {\left|Dw\right|}^2}{{\left|Dw\right|}^2}+\left(h^{″}-{h^{\prime }}^2\right)u_1^2-2h^{\prime }{g}^{\prime }{\gamma }^1{u}_1-h^{\prime }f-{g^{\prime }}^2+g^{\prime }{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{\left({\gamma }^i\right)}_i}\end{array}$ (3.23)

接下来计算 $\Delta {\left|Dw\right|}^2$。由 $w=u-d\psi$，可得

$\begin{array}{c}\Delta {\left|Dw\right|}^2={\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{\left[{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{w}_k^2}\right]}_{ii}}={\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{\left[{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }2w_k{w}_{ki}}\right]}_i}\\ =2{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{w}_{ki}^2}+2{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{w}_k{\left(\Delta w\right)}_k}\\ =2{\displaystyle \underset{1\le k,i\le n}{\sum }{w}_{ki}^2}+2{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{w}_k{\left(\Delta u\right)}_k}-2{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{w}_k{\left(\Delta \left(d\psi \right)\right)}_k}\\ =2{\displaystyle \underset{1\le k,i\le n}{\sum }{w}_{ki}^2}+2{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{w}_k{D}_{k}f}-2{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{w}_k{\left(\Delta \left(d\psi \right)\right)}_k}\\ =2{\displaystyle \underset{1\le k,i\le n}{\sum }{w}_{ki}^2}+2{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{w}_k{f}_{x_k}}+2f_u{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{w}_k{u}_k}\\ +f_{u_k}{\displaystyle \underset{1\le k,i\le n}{\sum }{w}_k{u}_{ki}-}2{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{w}_k{\left(\Delta \left(d\psi \right)\right)}_k}\end{array}$ (3.24)

下面我们对(3.24)的每一项进行计算：

由Cauchy不等式，可得

$2{\displaystyle \underset{1\le k,i\le n}{\sum }{w}_{ki}^2}=2{\displaystyle \underset{1\le k,i\le n}{\sum }{\left[u_{ki}-{\left(d\psi \right)}_{ki}\right]}^2}\ge {\displaystyle \underset{1\le k,i\le n}{\sum }{u}_{ki}^2}-2{\displaystyle \underset{1\le k,i\le n}{\sum }{\left(d\psi \right)}_{ki}^2}$

由(1.3)和(3.20)式，可得

$2{\displaystyle \underset{1\le k,i\le n}{\sum }{w}_k{f}_{x_k}}\ge -2L_2{\displaystyle \underset{1\le k,i\le n}{\sum }{w}_k\ge -2L_2}{\left|Dw\right|}^2$

由Cauchy不等式，(1.3)式以及(3.20)，可得

$2f_u{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{w}_k{u}_k\ge -f_u{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }\left(w_k^2+u_k^2\right)}}\ge -f_u\left({\left|Dw\right|}^2+{\left|Du\right|}^2\right)\ge -2L_2{C}_4{\left|Dw\right|}^2$

$2f_{u_k}{\displaystyle \underset{1\le k,i\le n}{\sum }{w}_k{u}_{ki}}\ge -{\displaystyle \underset{1\le k\le \le n}{\sum }{w}_k^2}{f}_{u_k}^2-{\displaystyle \underset{1\le k,i\le n}{\sum }{u}_{ki}^2}\ge -L_2{\left|Dw\right|}^2-{\displaystyle \underset{1\le k,i\le n}{\sum }{u}_{ki}^2}$

由(1.4)式，可得

$-2{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{w}_k{\left(\Delta \left(d\psi \right)\right)}_k}\ge -2L_2{\displaystyle \underset{1\le k\le n}{\sum }{w}_k}\ge -2L_3{\left|Dw\right|}^2$

因此我们有

$\Delta {\left|Dw\right|}^2\ge {\displaystyle \underset{1\le k,i\le n}{\sum }{u}_{ki}^2-2{\displaystyle \underset{1\le k,i\le n}{\sum }{\left(d\psi \right)}_{ki}^2}-\left(3L_2+2L_2{C}_4+2L_3\right){\left|Dw\right|}^2-{\displaystyle \underset{1\le k,i\le n}{\sum }{u}_{ki}^2}}\ge -C_5{\left|Dw\right|}^2$ (3.25)

其中 $C_5$ 为正常数依赖于 $n,\Omega ,L_2,L_3$。

将(3.25)代入(3.23)，结合(3.3)，我们有

$\begin{array}{c}0\ge \Delta \varphi \\ \ge \left(h^{″}-{h^{\prime }}^2\right)u_1^2-2h^{\prime }{g}^{\prime }{\gamma }^1{u}_1-h^{\prime }f-{g^{\prime }}^2+g^{\prime }{\displaystyle \underset{1\le i\le n}{\sum }{\left({\gamma }^i\right)}_i}-C_5\\ \ge \left(h^{″}-{h^{\prime }}^2\right)u_1^2-C_6{u}_1\\ \ge \frac{1}{1+2L_1}{u}_1^2-C_6{u}_1\end{array}$

其中 $C_6$ 为正常数依赖于 $n,\Omega ,L_2,L_3$。

取 $u_1$ 充分大，否则可得到估计。

因此

${\left|Du\right|}^2\le C_7$

其中 $C_7$ 为正常数依赖于 $n,\Omega ,L_1,L_2,L_3$。

情形3若 $x_0\in \Omega \backslash {\bar{\Omega }}_{{\mu }_0}$，则问题归结内部梯度估计。

有引理2.1，我们在其证明中令

$dist\left({\Omega }^{\prime },\Omega \right)=\frac{{\mu }_0}{2}$

得到这样区域的内估计。

综合3种情况，可以得到

$\underset{{\bar{\Omega }}_{{\mu }_0}}{\sup }\left|Du\right|\le M_1$

其中C为正常数依赖于 $n,\Omega ,L_1,L_2,L_3,{\beta }_0$。

4. 总结

研究结果主要推广了向妮的Laplace方程中f只依赖于x和u时的斜边值问题的梯度估计，即Laplace方程中关于f依赖于x，u，Du时斜边值问题的梯度估计。