基于偏微分方程的自适应图像去噪模型

Adaptive Image Denoising Model Based on Partial Differential Equation

摘要: 四阶各项异性扩散模型(AFOD)的提出有效解决了各向同性扩散模型(Y-K)的斑点效应、收敛速度慢等和边缘信息丢失等问题。但图像梯度作为边缘指示器，区分斜坡区域和边缘区域的能力弱，会使得去噪图像在斜坡区域产生阶梯效应。本文利用差分曲率能有效区分图像边缘区域和斜坡区域的特点，将AFOD模型和P-Laplace结合，使得模型能在保护图像边缘的同时，有效抑制阶梯效应。实验结果与几种相关方法进行比较，证明了该模型稳定良好的性能。

Abstract: The Anisotropic Fourth-Order Diffusion Filter (AFOD) is proposed to effectively solve the problems of speckle effect, slow convergence speed and loss of edge information of isotropic Diffusion Filter (Y-K). However, as an edge indicator, the image gradient has a weak ability to distinguish the slope area from the edge area, which will cause the denoised image to produce a staircase effect in the slope area. In this paper, the difference curvature can effectively distinguish the edge area and the slope area of the image, and the AFOD model is combined with P-Laplace, so that the model can effectively suppress the step effect while protecting the image edge. The experimental results are compared with several related methods, which demonstrate the stable and good performance of the model.

1. 引言

图像在采集、转换和传输过程中，总会不可避免地受到各种噪声的干扰和影响，造成图像特征缺失，对图像的处理带来许多困难，因此图像去噪成了图像处理中最基本的问题。在图像去噪中，权衡去噪与保持图像结构极为重要。基于偏微分方法去噪过程是将边缘检测和平滑去噪相结合，能在去噪过程中保护图像信息，达到较好的去噪效果。其中最为经典的当属以PM模型和TV模型为代表的二阶偏微分图像去噪模型，和以Y-K模型为代表的四阶偏微分图像去噪模型。

经典的PM模型是一个“病态”方程，Catte et al. (1992)在PM模型中引入高斯卷积核，提出了正则化的PM模型(Catte模型) [1] 解决了PM方程病态问题。Rudin (1992)提出二阶全变分去噪模型(TV模型) [2]，该模型能在去噪过程中很好地保留图像信息，在图像的斜坡区域会出现“阶梯效应”。Lysaker等人(2003)提出四阶LLT模型 [3]，显著地改善坡道边缘保护并显著减少块状效果。Hajiaboli (2010)指出Laplace模对噪声敏感，导致Y-K模型去噪后图像容易产生斑点效应，提出了四阶各项异性模型(AFOD模型) [4]，避免了Y-K模型边缘丢失问题和斑点效应。Qiang Chen (2010)指出传统的边缘指示器(梯度模)不能较好区分图像边缘区域和斜坡区域，从而导致去噪图像在斜坡区域出现“阶梯效应”，并提出一种新的边缘指示差分曲率的自适应全变分方法 [5]。徐书方(2010)将TV模型和Y-K模型直接结合，既抑制了TV模型的阶梯效应，又防止了Y-K模型的边缘丢失 [6]。Q. S. Chang (2013)将LLT模型与TV模型(ROF)相结合，构造了一个二阶与四阶的混合模型(简称LF模型) [7]，使得模型在保护图像信息的同时，抑制阶梯效应。Y. Q. Wang (2013)为解决PM模型的阶梯效应，借用无噪图像边缘信息，再加上了一个带有权重的Laplace算子以降低阶梯效应，抑制噪声产生(MPM模型) [8]。李丹(2014)将TV模型与P-Laplace模型结合，用P-Laplace来平滑TV模型去噪图像假边缘 [9]。Lizhen Deng (2019)指出传统的四阶去噪模型过于平滑会导致图像边缘模糊和失真，提出一种基于Hessian矩阵的四阶各向异性去噪模型，该模型在保持边缘和抑制阶梯效应的同时，具有较好去噪性能 [10]。

综上所诉，基于偏微分的图像去噪旨在去除噪声，保护边缘，抑制阶梯效应。所以本文需要构建一个能权衡保护边缘和抑制阶梯效应的模型，使得在达到良好去噪的同时，图像丢失信息最少。虽然AFOD能有效保护边缘，但文献 [11] 指出该模型存在阶梯效应，去噪图像在视觉上有不平整感。为了抑制阶梯效应，本文通过结合AFOD和P-Laplace模型，通过差分曲率控制两模型在图像不同区域的去噪比重。利用差分曲率能有效区分图像斜坡区域和边缘区域的特点，当模型处理噪声图像边缘时，该模型退化为AFOD模型，有效保护图像边缘信息；当模型处理噪声图像斜坡和平坦区域时，P-Laplace模型平滑噪声边缘，抑制阶梯效应。本文将先介绍AFOD模型和P-Laplace模型，并通过各自的特点，结合差分曲率，构建自适应去噪模型。最后通过进行数值实验对比证明本文模型的可行性。

2. 经典模型

2.1. AFOD模型

Hajia Boli指出Y-K模型中Laplace算子对噪声较为敏感 [4]。相比之下，梯度模检测边缘能力强，提出了一种用于图像去噪的改进四阶各向异性扩散滤波(AFOD模型)

$\frac{\partial u}{\partial t}=-{\nabla }^2\left(c{\left(\left|\nabla u\right|\right)}^2{u}_{\eta \eta }+c\left(\left|\nabla u\right|\right)u_{\xi \xi }\right)$. (1)

其中

$u_{\eta \eta }=\frac{u_{xx}{u}_x^2+u_{yy}{u}_y^2+2u_x{u}_y{u}_{xy}}{u_y^2+u_x^2+\epsilon }$， (2)

$u_{\xi \xi }=\frac{u_{xx}{u}_y^2+u_{yy}{u}_x^2-2u_x{u}_y{u}_{xy}}{u_y^2+u_x^2+\epsilon }$. (3)

为了防止分母为0，增加一个极小常量 $\epsilon$。 $\eta$ 和 $\xi$ 为图像的梯度方向和切线方向， $u_{\eta \eta }$ 为沿图像梯度方向的二阶导数，倾向于平滑图像边缘； $u_{\xi \xi }$ 为沿切线方向的二阶导数，倾向于保留图像边缘。该模型的扩散系数为

$c\left(\left|\nabla u\right|\right)=\frac{1}{1+{\left(\frac{\left|\nabla u\right|}{K}\right)}^2}$. (4)

其中 $\left|\nabla u\right|$ 为图像梯度模， $K$ 为对比度参数。扩散系数的值域在 $(0,1]$，当图像梯度模值越大时，扩散系数值越小。可以发现AFOD中 $u_{\xi \xi }$ 的权重大于 $u_{\eta \eta }$ 的权重，所以具有各向异性扩散的行为，并且能保持良好边缘的情况下实现相对快速的降噪，克服了Y-K模型收敛速度慢，斑点效应等问题。

2.2. P-Laplace模型

文献 [12] 中提出了P-Laplace算子在图像去噪中的推广，模型表达如下

${\Delta }_{p}u=div\left({\left|\nabla u\right|}^{p-2}\nabla u\right)$. (5)

本文主要讨论当 $p=2$，可得一个Laplace算子

$\frac{\partial u}{\partial t}=\Delta u=u_{xx}+u_{yy}$. (6)

假设图像 $u$ 大小为 $I\times J$，记 $u_{{}_{i,j}}^n$ 为第 $n$ 次去噪后在 $\left(i,j\right)$ 位置像素点的值， $dt$ 为足够小的时间步长，采用中心差分格式

${\left(u_{xx}\right)}_{{}_{i,j}}^n=u_{i+1,j}^{n-1}-2u_{i,j}^{n-1}+u_{i-1,j}^{n-1}$， (7)

${\left(u_{yy}\right)}_{i.j}^n=u_{{}_{i,j+1}}^{n-1}-2u_{i,j}^{n-1}+u_{i,j-1}^{n-1}$. (8)

易得第 $n$ 次迭代，在 $\left(i,j\right)$ 位置的像素值

$u_{{}_{i,j}}^n=u_{i,j}^{n-1}+\left[\begin{array}{ccc}0& dt& 0\\ dt& -4dt& dt\\ 0& dt& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{u}_{{}_{i-1,j-1}}^{n-1}& u_{{}_{i-1,j}}^{n-1}& u_{{}_{i-1,j+1}}^{n-1}\\ u_{{}_{i,j-1}}^{n-1}& u_{{}_{i,j}}^{n-1}& u_{i,j+1}^{n-1}\\ u_{{}_{i+1,j-1}}^{n-1}& u_{{}_{i+1,j}}^{n-1}& u_{{}_{i+1,j+1}}^{n-1}\end{array}\right]$. (9)

从而得到第 $n$ 次迭代图像结果

$u^n=\left[\begin{array}{ccc}0& dt& 0\\ dt& 1-4dt& dt\\ 0& dt& 0\end{array}\right]\ast u^{n-1}$. (10)

其中 $\ast$ 为卷积运算符号，可以看出，用于图像去噪的Laplace算子，实质上就是线性高斯滤波器，在去噪中会带来很强的空间规则性，因此能够较好去除噪声边缘，抑制阶梯效应，使得图像细节(如线条和边缘)会变得过于平滑。

3. 本文模型

AFOD模型的提出，有效地避免了Y-K斑点效应、收敛速度慢等和边缘信息丢失等问题。但图像梯度作为边缘指示器虽然受噪声影响小，判别边缘区域和斜坡区域能力较弱。为了有效区分图像中的边缘和坡道，Chen [5] 等人提出的边缘指示器为

$D=\left|\left|u_{\xi \xi }\right|-\left|u_{\eta \eta }\right|\right|$. (11)

$u_{\eta \eta }$ $u_{\xi \xi }$和由公式(2)和(3)得出，对于差分曲率有如下结论：

1) 对于图像边缘， $\left|u_{\eta \eta }\right|$ 值大， $\left|u_{\xi \xi }\right|$ 值小，所以 $D$ 值大；

2) 对于图像平坦区域与斜坡区域， $\left|u_{\eta \eta }\right|$ 和 $\left|u_{\xi \xi }\right|$ 值小，所以 $D$ 值小；

3) 对于孤立噪声， $\left|u_{\eta \eta }\right|$ 和 $\left|u_{\xi \xi }\right|$ 值大并且相近，所以 $D$ 值小。

因此差分曲率能有效地区分图像边缘区域与非边缘区域。

为了抑制去噪图像出现阶梯效应，本文提出模型如下

$\frac{\partial u}{\partial t}=-\left(1-\frac{f\left(D\right)}{2}\right){\nabla }^2\left[c{\left(\nabla u\right)}^2{u}_{\eta \eta }+c\left(\nabla u\right)u_{\xi \xi }\right]+\frac{f\left(D\right)}{2}{\nabla }^{2}u$. (12)

其中 $D$ 为图像差分曲率， $f\left(D\right)$ 为控制AFOD模型与P-Laplace模型的参数，表达式为

$f\left(D\right)=\frac{1}{1+D^2}$. (13)

通过控制参数 $f\left(D\right)$ 将AFOD模型和P-Laplace结合，达到保护边缘和抑制阶梯效应的作用。当模型处理噪声图像边缘时， $D$ 值较大， $f\left(D\right)$ 值趋于0，模型退化为AFOD模型以达到保护图像边缘的目的；当处理图像平坦区域和斜坡区域时， $D$ 值较小， $f\left(D\right)$ 值趋于1，两个模型的权重均为0.5，Laplace抑制AFOD模型的阶梯效应。可以发现，本文模型通过控制参数 $f\left(D\right)$ 达到自适应效果，借助差分曲率 $D$ 对于斜坡区域和边缘区域有较强的区分能力，用Laplace算子过滤噪声边缘，抑制阶梯效应。

4. 仿真实验

在本节中，我们展示本文模型的良好去噪能力。并与TV-P-Laplace模型、LF模型和AFOD模型进行比较。用峰值信噪比(PSNR)、信噪比(SNR)和结构相似性(SSIM)被用作评价去噪图像质量的客观指标。本文设置TV-P-Laplace模型和LF模型时间步长 $dt$ 为0.1。AFOD模型和本文模型时间步长 $dt$ 为0.031，AFOD模型中对比度参数 $K$ 为7。并根据文献 [4] [7] [9] 中模型的有限差分格式，进行MATLAB数值实验，选取Lena、Pepper和House图像进行仿真。设置当去噪图像达到信噪比最大值时，迭代停止。先选取Lena图像分别加入噪声方差为30的高斯噪声，验证模型去噪能力的稳定性。

由图1~3，噪声方差为30时，TV-P-Laplace模型没有达到较好的平滑去噪效果，LF模型和AFOD模型在视觉上存在不平整感，存在阶梯效应。相比之下，本文模型在视觉上达到了很好地平滑去噪效果，

Figure 1. Original noise image

图1. 原图噪声图像

Figure 2. Lena image denoising effect

图2. Lena图像去噪效果

Figure 3. Lena image face denoising effect

图3. Lena图像脸部去噪效果

在脸部的平坦区域和斜坡区域的处理，比其他模型更为平整，较好地抑制了阶梯效应。由表1，在处理高斯噪声方差为30的图像中，TV-P-Laplace模型迭代20次达到信噪比峰值，本文模型和LF模型在210次左右达到信噪比峰值，LF模型在320次左右达到信噪比峰值。本文模型去噪结果的PSNR、SNR和SSIM值都是最大的，图像失真最小，去噪结果图像与原图结构最为接近，证实了本文模型去噪能力与保护图像信息能力的良好与稳定性，并且能抑制阶梯效应，使得图像更加平整。

Table 1. Objective evaluation index of Lena image after denoising

表1. Lena图像去噪后的客观评价指标

以下选取的House与Pepper图像，加入方差为30的高斯噪声，去噪结果如下图4~6。

Figure 4. Original image and noisy image

图4. 原图与噪声图像

Figure 5. Pepper denoising result image

图5. Pepper去噪结果图像

Figure 6. House denoising result image

图6. House去噪结果图像

由图5在Pepper图像中加入方差为30的高斯噪声，TV-P-Laplace模型和LF模型去噪结果图像在视觉上存在有不平整感，AFOD模型和本文模型达到较好的平滑效果。由表2，在Pepper噪声图SNR值为6.17。去噪后，AFOD模型和本文模型的PSNR、SNR和SSIM值高于其他模型，并且两模型去噪结果接近。

在图6对House噪声图去噪，可以明显看出，TV-P-Laplace、LF和AFOD模型在平坦区域存在伪影。本文模型去噪结果图像边缘完整，在图像平坦区域有很好地平滑去噪效果，不存在阶梯效应，在视觉上达到最佳的去噪效果。在表2中，本文模型去噪图像PSNR和SNR都比AFOD在数值上均有提升，表明本文模型相比于AFOD模型，去噪图像的失真能达到更小。

Table 2. Objective evaluation index of Pepper and House image after denoising

表2. Pepepr和House图像去噪后的客观评价指标

5. 结论

本文将AFOD模型和P-Laplace模型相结合，以达到去除噪声，保护边缘和抑制阶梯效应的目的。利用差分曲率能有效区分图像边缘区域与斜坡区域的特点，使得模型在处理图像边缘区域时，退化为AFOD模型，有效保护图像边缘信息；当模型处理噪声图像斜坡和平坦区域时，P-Laplace模型平滑噪声边缘，抑制阶梯效应。在对比实验中，也验证了本文模型良好性能。本文模型虽提高了图像质量，但由于结合多个模型，在计算表示上也较为复杂，在参数设置上也受限于AFOD模型。如何针对该算法进行优化将是下一步研究的工作重点。