基于网络拓扑特性的北京地铁静态网络分析

Static Network Analysis of Beijing Metro Based on Network Topology

摘要: 研究网络的拓扑性对识别网络重要节点、了解网络的特征结构具有重要作用，本文以北京地铁换乘车站为研究对象，经统计共有62个节点，102条边，构建北京地铁网络的拓扑模型。通过网络的一些静态特征，如度、平均路径长度、集聚系数、介数等参数分析北京地铁的拓扑特性。

Abstract: Studying the topology of the network plays an important role in identifying the important nodes of the network and understanding the characteristic structure of the network. This paper took Beijing subway transfer station as the research object. 62 nodes and 102 sides were used to construct the topology model of the Beijing subway network. This paper analyzed the topological characteristics of the Beijing subway through some static characteristics of the network, such as degree, average path length, clustering coefficient, intermediate number and other parameters.

1. 网络拓扑特性

拓扑是一种不考虑物体的大小、形状等物理属性，而仅仅使用点或者线描述多个物体实际位置与关系的抽象表示方法。拓扑不关心事物的细节，也不在乎相互的比例关系，而只是以图的形式表示一定范围内多个物体之间的相互关系 [1]。研究网络拓扑结构时通常会构建拓扑模型，计算“度”、“平均路径长度”、“集聚系数”、“介数”等参数。

1.1. 度

度(k_i)是一个描述节点特征的重要几何量，度表示的是与这个节点相连的节点个数，该节点度值越大，说明连接的车站数量越多，在研究网络中越重要。度值可以通过邻接矩阵来计算，公式如式(1)，其中k_i为节点的度，a_ij表示节点i、j之间的连边情况，有连边时a_ij = 1，无连边时a_ij = 0，N为网络规模，即节点数 [2]。

$k_i={\displaystyle \sum j}\in N{a}_{ij}$ (1)

1.2. 平均路径长度

路径长度是用来表示节点间沟通难易程度的量，网络中任意两节点间都可以存在多条路径，不同路径需要经过的节点和边也不同，经过边最少的路径称为最短路径，本文中的路径长度指的就是最短路径长度，所有路径长度的平均值就是平均路径长度，用L来表示，平均路径计算公式如式(2)。

$L=2/\left[N\left(N+1\right)\right]{\displaystyle \sum i}\ge j{d}_{ij}$ (2)

与最短路径相对应的还有最长路径，也就是最大的最短路径，该路径被称为网络的直径，用D表示，公式如式(3)。

$D=\max d_{ij}$ (3)

通常来讲，一般复杂网络的规模虽然巨大，但网络的平均最短路径却很小，各节点之间相对容易达到，表现出了复杂网络的小世界特性。

1.3. 集聚系数

大部分的现实网络都具有集聚性，集聚系数能够反映网络中节点的连接强度，某个节点的集聚系数越大，说明此节点与相邻节点的联系越密切。集聚性可以理解为：假设与节点i相连的有n个节点，这n个节点又相互连接，这时理论上最多可以有 $n\left(n-\text{1}\right)/2$ 条边，但实际上只有E_i条边，实际的边数与理论最多连接边数的比值，就是节点i的集聚系数，表达式如式(4)。集聚系数的取值在0到1之间，当集聚系数取值为1时，说明网络中任意两节点都有边相连，但现实世界中一般大规模网络的聚类系数都远小于1 [3]。

$C_i=2E_i/n\left(n-1\right)$ (4)

1.4. 介数

介数分为节点介数和边介数，是用来衡量节点或边重要性的量。

在统计两个节点之间的最短路径时，被经过的节点和边频率越高，相应的节点介数或边介数就越高，说明在网络中越重要。

2. 北京地铁静态特征分析

以北京地铁线路网中换乘车站为节点，两站点间线路为边构建一个拥有62个节点、103条边的无向无权网络，需要对网络中的各换乘车站进行编号以便确认车站邻接矩阵(各车站编号见文章末附录A)，用UCINET软件输出用于分析的矩阵数据，再用NETDRAW构建北京地铁网络拓扑模型，如图1所示。

Figure 1. Beijing metro network topology model

图1. 布局对比北京地铁网络拓扑模型

统计城市轨道交通网络，反映出的是网络的静态统计量，具体表现为网络宏观统计量的平均值或微观统计量的统计分布，复杂网络的静态特征分析主要包括度和度的分析、集聚系数、介数等统计量 [4]，通过对北京地铁网络静态特征进行计算分析，能初步刻画出网络本身的特征，有助于研究网络的结构特性。下面分别说明北京地铁网络中这些特征的存在情况。

2.1. 度和度分析

比如在西单地铁站，西单站是换乘车站，换乘4号线可以到达平安里和宣武门地铁站、换乘1号线到达复兴门和东单地铁站，所以西单地铁站周边有4个地铁站相邻，它的度值就为4。通过统计站点间的连接关系可以得到邻接表，在MATLAB中将邻接表转换为邻接矩阵，然后就可以得到各换乘站点的度值分布散点图(如图2所示)及其度分布概率(如图3所示)。

可以看出大部分换乘站点的度值为4，其他度值分布还有1、2、3、5等，度值为5的只有西直门地铁站，它是2号线、4号线、13号线三条线路的换乘车站(如图4所示)。整个北京地铁网络的平均度(k) =3.16，

Figure 2. Scatter diagram of degree distribution at each transfer station

图2. 各换乘车站度值分布散点图

Figure 3. Distribution probability of each station degree of transfer station

图3. 换乘车站各站点度分布概率

表示每个换乘地铁站点平均与3至4个换乘站点相连，地铁出行换乘的便捷性相对较高。

度值为1的换乘车站一般都是连接线路的终点站，比如阎村东；度值为4的换乘车站最多，表明北京地铁的网络结构相对完整，大多换乘车站都能充分发挥作用，保证整体网络的运行；度值为2和3的换乘车站是两条线路中至少有一条连接着终点站，如立水桥、望京等。整个北京地铁网络的平均度(k) = 3.16，表示每个换乘地铁站点平均与3至4个换乘站点相连，地铁出行换乘的便捷性相对较高(度值最大的十个节点如表1所示)。

换乘车站是城市地铁网络中的交通枢纽，因此这部分节点是最重要的，这部分车站分布相对均匀，表明给与了乘客更多的换乘选择，增加了整体运营的可达性。张晋等在做相关研究时还发现网络平均度接近树形网络，他把这种现象解释为地铁造价较高，树结构可以减少重合线路，以尽量少的边来保证网络的连通性 [5]。

Figure 4. Line crossing at Xizhimen station

图4. 地铁西直门站线路交叉情况

Table 1. 10 nodes with the largest medium value in Beijing metro network transfer stations

表1. 北京地铁网络换乘车站中度值最大的10个节点

2.2. 平均路径长度

路径长度指一个节点i到达网络任意另外一节点j所通过最少边的数量，平均路径长度所有对节点所通过最少边数量的平均值，它反映的是网络中节点的分离程度。将已建立的节点邻接矩阵导入MATLAB，在脚本文件中输入代码，最后在执行窗口调用bar函数，生成各节点到其他节点的平均路径分布的直方图，(如图5所示)。

Figure 5. Average path distribution

图5. 平均路径分布图

根据图5可知，北京地铁网络62个换乘车站的平均路径长度为5.0925，说明在各站点间出行量相等的前提下，任意两换乘车站间平均经过5站可到达，这个数远小于网络节点的规模，符合复杂网络的“小世界特性”：即大多数现实网络中的平均路径小于其网络规模(即节点数) [6]。

2.3. 集聚系数

判断聚类特性时，根据定义，发现只有当某个地铁站点与周边邻近站点在网络图中构成三角形时，才能体现出该站点在网络中的聚类特性 [7]。用MAT LAB导入数据，得出62个重要节点的集聚系数如图6所示，将其绘制为柱形图，如图7所示，经分析可知，北京地铁网络中只有个别节点与邻接节点的连接程度呈现密集，相当一部分节点的集聚系数为0，表示大部分节点的连接程度并不密集，所以就导致北京地铁网络的平均聚类系数较低，具体值为0.1065。

Figure 6. Clustering coefficient of each node

图6. 各节点集聚系数

Figure 7. Distribution of agglomeration coefficient

图7. 集聚系数分布图

2.4. 介数

介数用来表示节点或边在整个网络中的重要程度，分为节点介数和边介数。节点介数定义为网络中经过该节点的最短路径的数目，边的介数定义与之相似。

1) 节点介数

通过MATLAB计算，得到节点介数分布散点图(如图8所示)，节点的介数分布范围为0~0.1035，网络节点平均介数为0.0166。介数最大的10个节点如表2所示，这10个节点在北京地铁网络中的作用相

Figure 8. Distribution of node intermediates

图8. 节点介数分布图

Table 2. 10 nodes with large number of intermediaries in Beijing metro network transfer stations

表2. 北京地铁网络换乘车站中介数较大的10个节点

Table 3. Ten edges with the largest intermediate number

表3. 边介数最大的十条边

对较重要，大部分的路径要经过上述节点才能到达。

2) 边介数

与节点介数方法类似，能统计出网络中每条边的介数(如图9所示)，边介数分布为0~0.0710 (若不相连为0)，平均边介数为0.0013，边介数最大的十条边如表3所示。表中所示的这些线路在北京地铁网络中发挥着比较重要的作用，本节通过度和介数，可以筛选出网络中的重要节点和边。

Figure 9. Median distribution of each edge

图9. 各条边的介数分布

3. 总结

通过静态特征分析了北京地铁网络的拓扑特性，并构建了拓扑模型。度值和介数最高的10个节点中，有一部分是重合的，分别是西直门、磁器口、建国门，这些站点为网络中的重要节点；平均路径为5，与节点数62相差较多，与集聚系数值相差并不悬殊，说明网络具有小世界特性，如表4所示。

Table 4. Summary of static characteristics of Beijing metro network

表4. 北京地铁网络静态特征小结

基金项目

北京市教委科技一般资助项目(KM202011417002)；北京联合大学2022年“启明星”大学生科技创新创业项目：震后应急物资需求预测及HTN调度决策研究。

参考文献

附录

Appendix 1. Beijing Metro Transfer Station No.

附表1. 北京地铁换乘车站编号