一类拟线性薛定谔方程规范化解的存在性和多重性

The Existence and Multiplicity of Normalized Solutions of a Class of Quasilinear Schr?dinger Equations

摘要: 本文利用扰动型方法证明了一类拟线性薛定谔方程基态规范化解的存在性和无穷多个规范化解的存在性。此外，分析了扰动泛函临界点的收敛性。

Abstract: In this paper, we proved the existence of ground state normalized solutions and the existence of in-finitely many normalized solutions of a class of quasilinear Schrödinger equations by applying the perturbation type method. Moreover, we study the convergence of the critical points of the pertur-bated functions.

1. 引言

本文研究如下拟线性Schrödinger方程

$-\Delta u-\kappa \alpha \left(\Delta \left({\left|u\right|}^{2\alpha }\right)\right){\left|u\right|}^{2\alpha -2}u+\lambda u={\left|u\right|}^{p-2}u,x\in {ℝ}^N$ (1.1)

规范化解的存在性和多重性，其中 $N\le 3$， $4\alpha +\frac{4}{N}<p<2^{\ast }$， $\frac{1}{2}\le \alpha \le 1$， $\lambda \in ℝ$ 和 $\kappa$ 为非负参数，当 $N\ge 3$ 时， $2^{\ast }=\frac{2N}{N-2}$，当 $N=2$ 时， $2^{\ast }=+\infty$。方程(1.1)的解与下列拟线性Schrödinger方程驻波解的存在性有关

$\{\begin{array}{l}i{\partial }_t\varphi +\Delta \varphi +\kappa \Delta h\left({\left|\varphi \right|}^2\right)h^{\prime }\left({\left|\varphi \right|}^2\right)\varphi +{\left|\varphi \right|}^{p-2}\varphi =0,x\in {ℝ}^{+}\times {ℝ}^N,\hfill \\ \varphi \left(0,x\right)={\varphi }_0\left(x\right),x\in {ℝ}^N,\hfill \end{array}$ (1.2)

其中h为实函数。方程(1.2)广泛出现在各种物理领域。例如：当 $h\left(s\right)={\left(1+s\right)}^{\frac{1}{2}}$ 时，(1.2)被用于高功率超短激光在物质中的自通道模型 [1]；当 $h\left(s\right)=s$ 时，(1.2)出现在等离子体物理中的超流膜模型中 [2]。此外，它也出现在海森堡铁磁和磁子理论 [3]，耗散量子力学 [4] 和凝聚态理论 [5] 中。

关于(1.1)解存在性，多重性和集中性的研究，一直是学者关注的焦点之一。对于 $h\left(s\right)=s^{\alpha }$ $\left(\alpha \in R\right)$， $h\left(s\right)=s$， $h\left(s\right)={\left(1+s\right)}^{\frac{1}{2}}$ 等情形下解的相关性质已得到广泛的研究，可参看 [6] [7] [8]。另一方面，从物理学的角度来看，研究指定 $L^2$ 质量解具有重要意义。近年来，一些学者研究下列具有规定 $L^2$ 范数拟线性Schrödinger方程解的存在性：

$\{\begin{array}{l}-\Delta u-\kappa \alpha \left(\Delta \left({\left|u\right|}^{2\alpha }\right)\right){\left|u\right|}^{2\alpha -2}u+\lambda u={\left|u\right|}^{p-2}u,x\in {ℝ}^N\hfill \\ {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^2}=a\hfill \end{array}$ (1.3)

其中 $\lambda$ 为拉格朗日乘子。

当 $\kappa =0$ 时，问题(1.1)可退化为经典的Schrödinger方程

$-\Delta u+\lambda u=g\left(u\right),x\in {ℝ}^N$。 (1.4)

近年来，许多学者对方程(1.4)规范化解进行了大量的研究，获得了基态规范化解，规范化解等的存在性和多重性。例如：在 [9] 中，Jeanjean利用辅助泛函和极小极大原理获得(1.4)的规范化解；Bertsch和Valeriola在 [10] 利用辅助泛函的一种新的连接几何证明了(1.4)的无穷多个规范化解的存在性。随后，Ikoma和Tanaka在 [11] 中构造了一个适用于辅助泛函的变形定理，然后通过Krasnoselskii指标得到当 $g\left(u\right)$ 在较弱条件下无穷多个规范化解。后来，在 [12] 中，Jeanjean和Lu在 $g\left(u\right)$ 完全不同的假设下，得到了(1.4)的无穷多个规范化解，其中允许 $g\left(u\right)$ 是连续的。对于最小能量的规范化解，N. Soave在 [13] 中通过限制小流形上的能量

泛函，得到了当 $g\left(u\right)=\mu {\left|u\right|}^{q-2}u+{\left|u\right|}^{p-2}u$， $\mu \in ℝ$ 且 $2<q\le 2+\frac{4}{N}\le p<2^{\ast }$， $N\ge 1$ 时基态规范化解的存在性。对于 $g\left(u\right)=\mu {\left|u\right|}^{q-2}u+{\left|u\right|}^{2^{\ast }-2}u$ 这种带有临界指数的非线性Schrödinger方程，Soave在 [14] 中考虑了 $2<q<2^{\ast }$， $N\ge 3$ 时的基态规范化解的存在性；在 [15] 中，Jeanjean和Li研究了当 $2<q<2+\frac{4}{N}$， $N\ge 3$ 时规范化解的多重性；作为补充，Alves，Ji和Miyagaki在 [1] 中研究 $N\ge 2$，但 $2+\frac{4}{N}<q<2^{\ast }$ 时的规范化解的存在性。

当 $\kappa =1$ 且 $h\left(s\right)=s$ 和非线性项 $g\left(u\right)={\left|u\right|}^{p-2}u$ 时，考虑问题

$-\Delta u-u\Delta u^2+\lambda u={\left|u\right|}^{p-2}u,x\in {ℝ}^N$ (1.5)

在 [16]，Jeanjean，Luo和Wang利用扰动法证明了次临界情况( $2+\frac{4}{N}<p<4+\frac{4}{N}$ )下两个规范化解的存在性。在 [17] 中，Li和Zou利用扰动法证明了超临界情况( $p>4+\frac{4}{N}$ )下基态规范化解和无数多个规范化解的存在性，并得到了临界情况( $p=4+\frac{4}{N}$ )下一些新的存在性结论。

当 $h\left(s\right)={\left(1+s\right)}^{\frac{1}{2}}$ 时，Yang，Tang和Cheng在 [18] 研究下列方程径向规范化解和非径向规范化解的存在性和多重性： $\{\begin{array}{l}-\Delta u+\mu u-\left[\Delta {\left(1+u^2\right)}^{\frac{1}{2}}\right]\frac{u}{2{\left(1+u^2\right)}^{\frac{1}{2}}}=g\left(u\right),x\in {ℝ}^N,\\ {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^2}=m,\\ u\in H^1\left({ℝ}^N\right),\end{array}$

其中 $m>0$ 为给定常数， $\mu \in ℝ$ 为拉格朗日乘子且g满足著名的Berestycki-Lions条件。

对于 $h\left(s\right)=s^{\alpha }\left(\alpha \in ℝ\right)$，据我们所知，其规范化解的存在性和多重性研究的结果不多。受上述文献的启发，现在我们来考虑拟线性Schrödinger方程(1.1)。当 $\lambda \in ℝ$ 固定时，问题(1.1)对应的能量泛函 $E_{\lambda }\left(u\right):\mathcal{H}\to ℝ$ 定义为

$E_{\lambda }\left(u\right):=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left({\left|\nabla u\right|}^2+\lambda {\left|u\right|}^2\right)}+\kappa {\alpha }^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}-\frac{1}{p}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^p}$， (1.6)

其中

$\mathcal{H}=\left\{u\in H^1\left({ℝ}^N\right):{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}<+\infty \right\}$。

因此，对任意的 $\varphi \in {\mathcal{C}}_0^{\infty }\left({ℝ}^N\right)$，u是(1.1)的弱解当且仅当

${E^{\prime }}_{\lambda }\left(u\right)\varphi =\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{E_{\lambda }\left(u+t\varphi \right)-E_{\lambda }\left(u\right)}{t}=0$。

与(1.4)相比，寻找(1.1)的解困难在于：与项 $\left(\Delta \left({\left|u\right|}^{2\alpha }\right)\right){\left|u\right|}^{2\alpha -2}u$ 相关的泛函

$V\left(u\right)={\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}$，

注意到当 $N\ge 2$ 时V在 $\mathcal{H}$ 中不可微。为了克服这类困难，数学家们采取多种方法。例如，通过变量变换 [19]，将拟线性问题转化为半线性问题和扰动法 [20] 等。由于参数 $\lambda$ 是未知的和 $L^2$ 范数 ${\Vert u\Vert }_2^2=a$，则变量变换方法可能不再适用于求(1.3)的规范化解。为寻找问题(1.3)的规范化解，考虑泛函

$I\left(u\right):=\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2}+\kappa {\alpha }^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}-\frac{1}{p}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^p}$ (1.7)

限制在 $L^2$

$\tilde{S}\left(a\right):=\left\{u\in \mathcal{H}:{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^2}=a\right\}$ (1.8)

上。对任意的 $a>0$，寻找极小化问题

$\tilde{m}\left(a\right)=\underset{u\in \tilde{S}\left(a\right)}{\inf }I(\; u\; )$

的极小元。注意到，当 $2<p\le 4\alpha +\frac{4}{N}$ 时， $\tilde{m}\left(a\right)>-\infty$ ；相反，当 $p>4\alpha +\frac{4}{N}$ 时， $\tilde{m}\left(a\right)=-\infty$。证明见引理2.2。假设(1.3)的规范化解是 $u\in \tilde{S}\left(a\right)$，则存在 $\lambda \in ℝ$ 满足

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\nabla u}\cdot \nabla \varphi +\kappa {\alpha }^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left[2\left(2\alpha -1\right){\left|u\right|}^{4\alpha -4}u\varphi {\left|\nabla u\right|}^2+2{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}\nabla u\cdot \nabla \varphi \right]}+\lambda {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}u}\varphi -{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{p-2}u\varphi }=0$ (1.9)

为了避免泛函 $I\left(u\right)$ 的不可微性，我们应用 [20] 中的扰动法去获得多个规范化解。当 $N\ge 2$ 时，对于 $\mu \in \left(0,1\right]$，我们定义

$I_{\mu }\left(u\right):=\frac{\mu }{\theta }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta }}+I\left(u\right)$ (1.10)

在空间 $\mathcal{X}:=W^{1,\theta }\left({ℝ}^N\right)\cap H^1\left({ℝ}^N\right)$ 上。其中，

$\frac{4N\alpha +4}{4\alpha +\frac{4}{N}+N}<\theta <\min \left\{\frac{4N\alpha +4}{N+2},N\right\}$，当 $N\ge 3$ ；

$2<\theta <2\alpha +1$，当 $N=2$。

因此 $\mathcal{X}$ 是自反的巴拿赫空间。利用中值定理和勒贝格控制收敛定理，很容易验证可得 $I_{\mu }\left(u\right)\in {\mathcal{C}}^1\left(\mathcal{X}\right)$。首先利用Pohozaev流形和极小极大去寻找扰动泛函 $I_{\mu }\left(u\right)$ 限定在 $S\left(a\right)$ 上的临界点

$S\left(a\right):=\left\{u\in \mathcal{X}:{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^2}=a\right\}$， (1.11)

然后考虑当 $\mu \to 0^{+}$ 时扰动泛函临界点的收敛性，即证明 ${I_{\mu }|}_{S\left(a\right)}$ 的临界点序列收敛于 ${I_{\mu }|}_{\tilde{S}\left(a\right)}$ 的临界点，最后得到(1.3)的规范化解。

在本文，我们主要考虑超临界情况，即 $p>4\alpha +\frac{4}{N}$。我们的主要结论陈述如下：

定理1.1：假设下列条件之一成立：

i) $N=1,2$， $p>4\alpha +\frac{4}{N}$， $a>0$ ；

ii) $N=3$， $4\alpha +\frac{4}{N}<p<2^{\ast }$， $a>0$ ；

则(1.3)存在径向对称的基态正规化解 $u\in H^1\left({ℝ}^N\right)\cap L^{\infty }\left({ℝ}^N\right)$，即

$I\left(u\right)=\inf \left\{I\left(v\right):v\in \tilde{S}\left(a\right),{I|}^{\prime }{}_{\tilde{S}\left(a\right)}\left(v\right)=0,v\ne 0\right\}$。

定理1.2：假设下列条件之一成立：

iii) $N=2$， $p>4\alpha +\frac{4}{N}$， $a>0$ ；

iv) $N=3$， $4\alpha +\frac{4}{N}<p<2^{\ast }$， $a>0$ ；

则(1.3)存在径向对称的基态正规化解 $u^j\in H^1\left({ℝ}^N\right)\cap L^{\infty }\left({ℝ}^N\right)$ 且 $I\left(u^j\right)\to +\infty$。

论文结构如下。在第2节中，我们引入了重要引理。在第3.1节中，给出了相关 Pohozaev流形的一些性质。在第3.2节和3.3节中，证明了扰动泛函基态临界点和无穷多个临界点的存在性。在第4节中研究了扰动泛函当 $\mu \to 0^{+}$ 时临界点的收敛性，并给出了定理1.1和定理1.2的证明。

2. 准备工作

我们回顾 [21] 中的下述定义和定理。

定义A [21] 令B是X的一个闭子集。称 $\mathcal{F}$ 为X的一类紧子集构成的同伦稳定族，若边界B满足

a) $\mathcal{F}$ 的每个集都包含B；

b) 对任意的 $A\subset \mathcal{F}$ 和任意的 $\eta \in \mathcal{C}\left(\left[0,1\right]\times X,X\right)$， $\left(t,x\right)\in \left(\left\{0\right\}\times X\right)\cup \left(\left[0,1\right]\times B\right)$ 满足 $\eta \left(t,x\right)=x$，我们有 $\eta \left(1,A\right)\subset \mathcal{F}$。

定理B [21] 令 $\varphi$ 是在完备连通 ${\mathcal{C}}^1$ 流形X上的一个 ${\mathcal{C}}^1$ 泛函，考虑具有闭边界B的一个同伦稳定族 $\mathcal{F}$。设 $c=c\left(\varphi ,\mathcal{F}\right)$ 和令F是X的一个紧子集满足 $A\cap F\backslash B\ne \varnothing$， $\forall A\in \mathcal{F}$ 和 $\sup \varphi \left(B\right)\le c\le \inf \varphi \left(F\right)$。则对于任

意集合序列 $A_n\subset \mathcal{F}$ 使得 $\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{A_n}{\sup }\varphi =c$，存在一个序列 $x_n\subset X\backslash B$ 使得

1) $\underset{n\to \infty }{\lim }\varphi \left(x_n\right)=c$ ；

2) $\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert d\varphi \left(x_n\right)\Vert =0$ ；

3) $\underset{n\to \infty }{\lim }\mathrm{dist}\left(x_n,F\right)=0$ ；

4) $\underset{n\to \infty }{\lim }\mathrm{dist}\left(x_n,A_n\right)=0$。

定义C [21] 记 $\tau \left(u\right)=-u$，并令 $Y\subset \mathcal{X}$。若 $\tau \left(A\right)=A$，称集合 $A\subset Y$ 为 $\tau$ -不变的。若对任意的 $\left(t,u\right)\in \left[0,1\right]\times Y$ 满足 $\eta \left(t,\tau \left(u\right)\right)=\tau \left(\eta \left(t,u\right)\right)$，称同伦 $\eta :\left[0,1\right]\times Y\to Y$ 为 $\tau$ -等价的。

令B是Y的一个闭的 $\tau$ -不变子集。称 $\mathcal{G}$ 为Y的一类紧子集构成的 $\tau$ -同伦稳定族，当边界B满足

a) $\mathcal{G}$ 的每个集都是 $\tau$ -不变的；

b) $\mathcal{G}$ 的每个集都包含B；

c) 对任意的 $A\in \mathcal{G}$，任意的 $\tau$ -等价同伦 $\eta \in \mathcal{C}\left(\left[0,1\right]\times Y,Y\right)$ 和任意的 $\left(t,x\right)\in \left(\left\{0\right\}\times Y\right)\cup \left(\left[0,1\right]\times B\right)$ 满足 $\eta \left(t,x\right)=x$，我们有 $\eta \left(1,A\right)\subset \mathcal{G}$。

定义变换

$u\in \mathcal{S}\left(a\right)\mapsto s\star u\left(x\right)={\text{e}}^{\frac{N}{2}s}u\left({\text{e}}^{s}x\right)\in \mathcal{S}\left(a\right)$，

和

$\begin{array}{l}{Ｑ}_{\mu }\left(u\right):={\frac{\text{d}}{\text{d}s}{I}_{\mu }\left(s\star u\right)|}_{s=0}\\ =\left(1+{\gamma }_{\theta }\right)\mu {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta }}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2}+\kappa {\alpha }^2\left(2N\alpha -N+2\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}-{\gamma }_p{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^p}\end{array}$ (2.1)

其中 ${\gamma }_p=\frac{N\left(p-2\right)}{2p}$， ${\gamma }_{\theta }=\frac{N\left(\theta -2\right)}{2\theta }$。利用中值定理和勒贝格控制收敛定理，很容易得到 ${Ｑ}_{\mu }\left(u\right)\in {\mathcal{C}}^1\left(\mathcal{X}\right)$。定义流形

${\mathcal{Q}}_{\mu }\left(a\right):=\left\{u\in \mathcal{S}\left(a\right):{Ｑ}_{\mu }\left(u\right)=0\right\}$ (2.2)

引理2.1： ${I_{\mu }|}_{S\left(a\right)}$ 的任何临界点u都属于 ${\mathcal{Q}}_{\mu }\left(a\right)$。

证明：根据 [22] 中的引理3，存在 $\lambda \in R$ 使得

${I^{\prime }}_{\mu }\left(u\right)+\lambda u=0$ 在 $X^{\ast }$ (2.3)

以 $x\cdot \nabla u$ 作为(2.3)的测试函数，参见 [23] 中的命题1，计算得

$\begin{array}{l}\frac{\theta -N}{\theta }\mu {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta }}+\frac{2-N}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2}+\left(2-N\right)\kappa {\alpha }^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}\\ +\frac{N}{p}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^p}-\frac{N}{2}\lambda {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^2}=0\end{array}$ (2.4)

以u作为(2.3)的测试函数，推得

$\mu {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta }}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2}+4\kappa {\alpha }^3{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^p}+\lambda {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^2}=0$ (2.5)

结合(2.1)，(2.4)和(2.5)，可得 ${Ｑ}_{\mu }\left(u\right)=0$。因此， $u\in {\mathcal{Q}}_{\mu }(\; a\; )$

引理2.2：i) 假设 $2<p<4\alpha +\frac{4}{N}$，那么对于任意的 $a>0$， $\tilde{m}\left(a\right)>-\infty$ 成立；

ii) 假设 $p=4\alpha +\frac{4}{N}$，那么当 $a>0$ 充分小时， $\tilde{m}\left(a\right)>-\infty$ 成立；

iii) 假设 $p>4\alpha +\frac{4}{N}$，那么对于任意的 $a>0$， $\tilde{m}\left(a\right)=-\infty$ 成立。

证明：i) 利用Hölder不等式和Sobolev不等式，对于任意的 $u\in \mathcal{X}$，

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^p}={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(1-\beta \right)}{\left|u\right|}^{\frac{4N\alpha }{N-2}\beta }}\le {\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^2}\right)}^{1-\beta }{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{\frac{4N\alpha }{N-2}}}\right)}^{\beta }\\ \le K{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^2}\right)}^{1-\beta }{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}\right)}^{\frac{\beta N}{N-2}}\end{array}$ (2.6)

其中， $\beta =\frac{\left(p-2\right)\left(N-2\right)}{4N\alpha -2N+4}$， $K>0$ 仅依赖于N，以及

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{\frac{4N\alpha }{N-2}}}={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u^{2\alpha }\right|}^{2^{*}}}\le S{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u^{2\alpha }\right|}^2}\right)}^{\frac{2*}{2}}=K{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{u}^{2\left(2\alpha -1\right)}}{\left|\nabla u\right|}^2\right)}^{\frac{N}{N-2}}$

由(2.6)和(1.7)可推导出

$I\left(u\right)\ge \kappa {\alpha }^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}-\frac{1}{p}K{a}^{1-\beta }{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}\right)}^{\frac{\beta N}{N-2}}$

因为 $\frac{\beta N}{N-2}<1$ 当且仅当 $p<4\alpha +\frac{4}{N}$，故对任意的 $a>0$，当 $2<p<4\alpha +\frac{4}{N}$ 时， $\tilde{m}\left(a\right)>-\infty$。

ii) 当 $p=4\alpha +\frac{4}{N}$ 时， $\beta <1$。若 $a>0$ 充分小且满足 $K{a}^{1-\beta }<p$，则结论 $\tilde{m}\left(a\right)>-\infty$ 仍然成立。

iii) 当 $p>4\alpha +\frac{4}{N}$ 时，固定 $a>0$，取 $u\in \mathcal{X}$ 使得 ${\Vert u\Vert }_2^2=a$。我们考虑

$t\mapsto u^t\left(x\right)=t^{\frac{5}{2}}u(\; t\; x\; )$

对任意的 $t>0$，

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u^t\right|}^2}={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^2}=a$ ； ${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u^t\right|}^2}=t^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2}$ ； ${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u^t\right|}^p}=t^{\frac{Np-2N}{2}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^p}$ ；

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u^t\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}}{\left|\nabla u^t\right|}^2=t^{2N\alpha -N+2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}$。

因此， ${\Vert u^t\Vert }_2^2=a$ 和

$I\left(u^t\right)=\frac{t^2}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2}+\kappa {\alpha }^2{t}^{2N\alpha -N+2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}-\frac{1}{p}{t}^{\frac{Np-2N}{2}}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^p}$。

当 $p>4\alpha +\frac{4}{N}$ 时， $\frac{Np-2N}{2}>\max \left\{2,2N\alpha -N+2\right\}$。因此当 $t\to +\infty$ 时， $I\left(u^t\right)\to -\infty$，即 $\tilde{m}\left(a\right)=-\infty$ 成立。

引理2.3：假设 $u\ne 0$ 是 ${I_{\mu }|}_{S\left(a\right)}$ 的临界点，则 $0<\mu \le 1$，则存在 $\lambda \in ℝ$ 使得 ${I^{\prime }}_{\mu }\left(u\right)+\lambda u=0$ 在 $X^{\ast }$。假设下述条件之一成立：

a) 假设 $1\le N\le 3$， $\frac{1}{2}\le \alpha \le 1$， $4\alpha +\frac{4}{N}<p<2^{*}$ 且 $a>0$ ；

b) 假设 $N\ge 4$， $\frac{1}{2}<\frac{4-2N+N^2}{2N^2-4N}<\alpha <1$， $p=4\alpha +\frac{4}{N}$ 且 $0<a<{\left[\frac{\kappa {\alpha }^2\left(2\alpha -1\right)\left(N-2\right)\left(4\alpha N+4\right)}{\left(2N^2-4N\right)\alpha -4+2N-N^2}\frac{1}{K}\right]}^{\frac{N}{2}}$。

则Lagrange乘数 $\lambda >0$。

证明：利用 ${Ｑ}_{\mu }\left(u\right)=0$ 和(2.5)，可推出

$\begin{array}{c}\lambda \frac{N\left(p-2\right)}{2p}a=\left(1+{\gamma }_{\theta }-{\gamma }_p\right)\mu {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta }}+\left(1-{\gamma }_p\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2}+\left[\kappa {\alpha }^2\left(2N\alpha -N+2\right)-4\kappa {\alpha }^3{\gamma }_p\right]{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}\\ =\frac{p\theta -Np+N\theta }{p\theta }\mu {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta }}+\frac{2N-\left(N-2\right)p}{2p}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2}+\kappa {\alpha }^2\frac{8\alpha N-2p\left(N-2\right)}{2p}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}\end{array}$

因此，若条件(a)成立，可得 $\lambda >0$。

假设条件(b)成立，由(2.5)得

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2}=-\mu {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta }}-4\kappa {\alpha }^3{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^p}-\lambda {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^2}$，

代入 ${Ｑ}_{\mu }\left(u\right)=0$，结合不等式(2.6)可得

$\begin{array}{c}\lambda a={\gamma }_{\theta }\mu {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta }}+\left[\kappa {\alpha }^2\left(2N\alpha -N+2\right)-4\kappa {\alpha }^3\right]{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}-\frac{\left(2N^2-4N\right)\alpha -4+2N-N^2}{4\alpha N+4}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{4\alpha +\frac{4}{N}}}\\ >\kappa {\alpha }^2\left(2\alpha -1\right)\left(N-2\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}\\ -\frac{\left(2N^2-4N\right)\alpha -4+2N-N^2}{4\alpha N+4}K{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^2}\right)}^{1-\frac{\left(4\alpha +\frac{4}{N}-2\right)\left(N-2\right)}{4N\alpha -2N+4}}{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}\right)}^{\frac{N}{N-2}\cdot \frac{\left(4\alpha +\frac{4}{N}-2\right)\left(N-2\right)}{4N\alpha -2N+4}}\\ =\left[\kappa {\alpha }^2\left(2\alpha -1\right)\left(N-2\right)-\frac{\left(2N^2-4N\right)\alpha -2N-N^2}{4\alpha N+4}K{a}^{\frac{2}{N}}\right]{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}>0\end{array}$

可推导出 $\lambda >0$。

3. 扰动泛函 $I_{\mu }\left(u\right)$ 的临界点

3.1. ${\mathcal{Q}}_{\mu }\left(a\right)$ 的性质

引理3.1：令 $0<\mu \le 1$，则 ${\mathcal{Q}}_{\mu }\left(a\right)$ 是 $S\left(a\right)$ 中余维为1的 ${\mathcal{C}}^1$ 子流形，因此 ${\mathcal{Q}}_{\mu }\left(a\right)$ 是 $\mathcal{X}$ 中的余维为2的 ${\mathcal{C}}^1$ 子流形。

证明：注意到 ${\mathcal{Q}}_{\mu }\left(a\right)=\left\{u\in S\left(a\right):{Ｑ}_{\mu }\left(u\right)=0\right\}$ 是 $\mathcal{X}$ 的子集。定义

$G\left(u\right)=a-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^2}$，

显然 $G\left(u\right)\in {\mathcal{C}}^1\left(\mathcal{X}\right)$。则 ${\mathcal{Q}}_{\mu }\left(a\right)$ 可以定义为 $G\left(u\right)=0$， ${Ｑ}_{\mu }\left(u\right)=0$ 两方程成立。我们断言

$d\left({Ｑ}_{\mu }\left(u\right),G\right):\mathcal{X}\to {ℝ}^2$ 是满射。 (3.1)

假设断言不成立，即 $d{Ｑ}_{\mu }\left(u\right)$ 和 $dG\left(u\right)$ 是线性相关的，则存在 $\nu \in ℝ$ 使得对任意的 $\varphi \in \mathcal{X}$ 有

$\begin{array}{l}\theta \left(1+{\gamma }_{\theta }\right)\mu {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta -2}\nabla u\cdot \nabla \varphi }+2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\nabla }u\cdot \nabla \varphi -{\gamma }_{p}p{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{p-2}u\varphi }\\ \text{}+\kappa {\alpha }^2\left(2N\alpha -N+2\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left[2\left(2\alpha -1\right){\left|u\right|}^{4\alpha -4}u\varphi {\left|\nabla u\right|}^2+2{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}\nabla u\cdot \nabla \varphi \right]}=2\nu {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}u\varphi }\end{array}$ (3.2)

类似引理2.1的证明，取 $\varphi =x\cdot \nabla u$ 和 $\varphi =u$，可推出

$\theta {\left(1+{\gamma }_{\theta }\right)}^2\mu {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta }}+2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2}+\kappa {\alpha }^2{\left(2N\alpha -N+2\right)}^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}-p{\gamma }_p^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^p}=0$ (3.3)

结合 ${Ｑ}_{\mu }\left(u\right)=0$ 和(3.3)，可推得

$\begin{array}{l}\left(p{\gamma }_p-\theta -\theta {\gamma }_{\theta }\right)\left(1+{\gamma }_{\theta }\right)\mu {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta }}+\left(p{\gamma }_p-2\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2}\\ \text{}+\kappa {\alpha }^2\left(2N\alpha -N+2\right)\left(p{\gamma }_p-2N\alpha +N-2\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}=0\end{array}$ (3.4)

通过计算得出 $p{\gamma }_p-\theta -\theta {\gamma }_{\theta }>0$ 和当 $p>4\alpha +\frac{4}{N}$ 时， $p{\gamma }_p>2N\alpha -N+2$，这意味着 $u=0$。这与 $u\in S\left(a\right)$ 矛盾，因此断言成立。

引理3.2：对任意的 $0<\mu \le 1$ 和任意的 $u\in \mathcal{X}\backslash \left\{0\right\}$，下述结论成立：

i) 存在唯一的 $s_{\mu }\left(u\right)\in ℝ$ 使得 ${Ｑ}_{\mu }\left(s_{\mu }\left(u\right)\star u\right)=0$ ；

ii) $I_{\mu }\left(s\star u\right)$ 在 $s\in \left(-\infty ,s_{\mu }\left(u\right)\right)$ 严格递增，在 $s\in \left(s_{\mu }\left(u\right),+\infty \right)$ 严格递减。此外，

$\underset{s\to -\infty }{\lim }{I}_{\mu }\left(s\star u\right)=0^{+}$， $\underset{s\to +\infty }{\lim }{I}_{\mu }\left(s\star u\right)=-\infty$， $I_{\mu }\left(s_{\mu }\left(u\right)\star u\right)>0$ ；

iii) $s_{\mu }\left(u\right)<0$ 当且仅当 ${Ｑ}_{\mu }\left(u\right)<0$ ；

iv) 映射 $u\in \mathcal{X}\backslash \left\{0\right\}\mapsto s_{\mu }\left(u\right)\in ℝ$ 是 ${\mathcal{C}}^1$ 的；

v) 对于任意的 $u\in \mathcal{X}\backslash \left\{0\right\}$， $s_{\mu }\left(u\right)$ 为偶函数。

证明：i) 我们给出的 ${Ｑ}_{\mu }\left(s\star u\right)$ 定义，通过简单的计算，易得

$\begin{array}{c}{Ｑ}_{\mu }\left(s\star u\right):=\frac{\text{d}}{\text{d}s}{I}_{\mu }\left(s\star u\right)\\ =\left(1+{\gamma }_{\theta }\right)\mu {\text{e}}^{\theta \left(1+{\gamma }_{\theta }\right)s}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta }}+{\text{e}}^{2s}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2}\\ +\kappa {\alpha }^2\left(2N\alpha -N+2\right){\text{e}}^{\left(2N\alpha -N+2\right)s}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}-{\gamma }_p{\text{e}}^{p{\gamma }_{p}s}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^p}\\ ={\text{e}}^{p{\gamma }_{p}s}[\left(1+{\gamma }_{\theta }\right)\mu {\text{e}}^{-\left(p{\gamma }_p-\theta -\theta {\gamma }_{\theta }\right)s}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta }}+{\text{e}}^{-\left(p{\gamma }_p-2\right)s}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2}\\ +\kappa {\alpha }^2\left(2N\alpha -N+2\right){\text{e}}^{-\left(p{\gamma }_p-2N\alpha +N-2\right)s}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}-{\gamma }_p{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^p}]\end{array}$ (3.5)

因为 $p{\gamma }_p>\theta +\theta {\gamma }_{\theta }$ 和当 $p>4\alpha +\frac{4}{N}$ 时， $p{\gamma }_p>2N\alpha -N+2>2$。因此， ${Ｑ}_{\mu }\left(s\star u\right)=0$ 仅有一个解 $s_{\mu }\left(u\right)\in ℝ$。

ii) 由(3.5)可得，当 $s<s_{\mu }\left(u\right)$， ${Ｑ}_{\mu }\left(s\star u\right)>0$ ；当 $s>s_{\mu }\left(u\right)$， ${Ｑ}_{\mu }\left(s\star u\right)<0$。因此， $I_{\mu }\left(s\star u\right)$ 在 $s\in \left(-\infty ,s_{\mu }\left(u\right)\right)$ 严格递增，在 $s\in \left(s_{\mu }\left(u\right),+\infty \right)$ 严格递减。显然，

$\underset{s\to -\infty }{\lim }{I}_{\mu }\left(s\star u\right)=0^{+}$， $\underset{s\to +\infty }{\lim }{I}_{\mu }\left(s\star u\right)=-\infty$，

这意味着 $I_{\mu }\left(s_{\mu }\left(u\right)\star u\right)=\underset{s\in ℝ}{\max }{I}_{\mu }\left(s\star u\right)>0$。

iii) 假设 $s_{\mu }\left(u\right)<0$，取 $s=0>s_{\mu }\left(u\right)$，由(ii)可得 ${Ｑ}_{\mu }\left(0\star u\right)={Ｑ}_{\mu }\left(u\right)<{Ｑ}_{\mu }\left(s_{\mu }\left(u\right)\star u\right)=0$，即 ${Ｑ}_{\mu }\left(u\right)<0$。

iv)令 ${\psi }_{\mu }\left(s,u\right):={Ｑ}_{\mu }\left(s\star u\right)$。则 ${\psi }_{\mu }\left(s_{\mu }\left(u\right),u\right)={Ｑ}_{\mu }\left(s_{\mu }\left(u\right)\star u\right)=0$。此外，

$\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial s}{\psi }_{\mu }\left(s,u\right)=\theta {\left(1+{\gamma }_{\theta }\right)}^2\mu {\text{e}}^{\theta \left(1+{\gamma }_{\theta }\right)s}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta }}+2{\text{e}}^{2s}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2}\\ +\kappa {\alpha }^2{\left(2N\alpha -N+2\right)}^2{\text{e}}^{\left(2N\alpha -N+2\right)s}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}-p{\gamma }_p^2{p}^{p{\gamma }_{p}s}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^p}\end{array}$ (3.6)

结合 ${Ｑ}_{\mu }\left(s_{\mu }\left(u\right)\star u\right)=0$ 和(3.6)，可推导出

$\begin{array}{c}\frac{\partial }{\partial s}{\psi }_{\mu }\left(s_{\mu }\left(u\right),u\right)=-\left(p{\gamma }_p-\theta -\theta {\gamma }_{\theta }\right)\left(1+{\gamma }_{\theta }\right)\mu {\text{e}}^{\theta \left(1+{\gamma }_{\theta }\right)s_{\mu }\left(u\right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta }}-\left(p{\gamma }_p-2\right){\text{e}}^{2s_{\mu }\left(u\right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2}\\ -\kappa {\alpha }^2\left(p{\gamma }_p-2N\alpha +N-2\right)\left(2N\alpha -N+2\right){\text{e}}^{\left(2N\alpha -N+2\right)s_{\mu }\left(u\right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}\\ <0\end{array}$ (3.7)

利用隐函数定理 [24] 得出映射 $u\mapsto s_{\mu }\left(u\right)\in ℝ$ 是 ${\mathcal{C}}^1$ 的。

v) 由(3.5)，可得 ${Ｑ}_{\mu }\left(s_{\mu }\left(u\right)\star \left(-u\right)\right)={Ｑ}_{\mu }\left(s_{\mu }\left(u\right)\star u\right)=0$。根据i)中的唯一性， $s_{\mu }\left(-u\right)=s_{\mu }\left(u\right)$ 成立。

3.2. ${I_{\mu }|}_{S\left(a\right)}$ 的基态临界点

在本小节中，我们考虑极小化问题

$m_{\mu }\left(a\right):=\underset{u\in {\mathcal{Q}}_{\mu }\left(a\right)}{\inf }{I}_{\mu }\left(u\right)$ (3.8)

根据引理2.1，可知 $m_{\mu }\left(a\right)$ 可达，那么极小元是 ${I_{\mu }|}_{S\left(a\right)}$ 的基态临界点。

引理3.3：下述结论成立：

i) $\mathcal{D}\left(a\right):=\underset{0<\mu \le 1,u\in {\mathcal{Q}}_{\mu }\left(a\right)}{\inf }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}>0$ 且与 $\mu$ 无关；

ii) 如果对任意的 $u_n\in {\mathcal{Q}}_{\mu }\left(a\right)$ 满足 $\underset{n\ge 1}{\sup }{I}_{\mu }\left(u_n\right)<+\infty$，则

$\underset{n\ge 1}{\sup }\max \left\{\mu {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u_n\right|}^{\theta }},{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_n\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}}{\left|\nabla u_n\right|}^2,{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u_n\right|}^2}\right\}<+\infty$。

证明：i) 若 $u\in {\mathcal{Q}}_{\mu }\left(a\right)$。利用反证法，假设

$\kappa {\alpha }^2\left(2N\alpha -N+2\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}>{\gamma }_p{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^p}$。

由(2.3)，得

${Ｑ}_{\mu }\left(u\right)=\left(1+{\gamma }_{\theta }\right)\mu {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta }}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2}+\kappa {\alpha }^2\left(2N\alpha -N+2\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}-{\gamma }_p{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^p}>0$，

这与 $u\in {\mathcal{Q}}_{\mu }\left(a\right)$ 矛盾。因此，

$\kappa {\alpha }^2\left(2N\alpha -N+2\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}<{\gamma }_p{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^p}$。

结合不等式(2.6)，很容易得到

$\kappa {\alpha }^2\left(2N\alpha -N+2\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}<{\gamma }_p{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^p}\le K\left(p,N\right){\gamma }_p{a}^{\frac{4N\alpha -p\left(N-2\right)}{4N\alpha -2N+4}}{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}\right)}^{\frac{N\left(p,-2\right)}{4N\alpha -2N+4}}$ (3.9)

通过计算可得 $\frac{N\left(p-2\right)}{4N\alpha -2N+4}>1$，因此 $\mathcal{D}\left(a\right)>0$。

ii) 对任意的 $u\in {\mathcal{Q}}_{\mu }\left(a\right)$，可推导出

$\begin{array}{c}{I}_{\mu }\left(u\right)=I_{\mu }\left(u\right)-\frac{1}{p{\gamma }_p}{Ｑ}_{\mu }\left(u\right)\\ =\frac{p{\gamma }_p-\theta -\theta {\gamma }_{\theta }}{\theta p{\gamma }_p}\mu {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta }}+\frac{p{\gamma }_p-2}{2p{\gamma }_p}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2}\\ +\kappa {\alpha }^2\frac{p{\gamma }_p-2N\alpha +N-2}{p{\gamma }_p}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}\end{array}$ (3.10)

显然结论成立。

注3.1 由(3.10)可知

$I_{\mu }\left(u\right)>\kappa {\alpha }^2\frac{p{\gamma }_p-2N\alpha +N-2}{p{\gamma }_p}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}$。

结合(3.8)得出

$m_{\mu }\left(a\right)\ge {\mathcal{D}}_0\left(a\right):=\kappa {\alpha }^2\frac{p{\gamma }_p-2N\alpha +N-2}{p{\gamma }_p}\mathcal{D}\left(a\right)>0,\forall \mu \in \left(0,1\right]$

因此我们有如下结论。

引理3.4：存在一个与 $\mu$ 无关的很小的 $\rho >0$ 使得对于任意的 $0<\mu \le 1$，有

$0<\underset{u\in B_{\mu }\left(\rho ,a\right)}{\sup }{I}_{\mu }\left(u\right)<{\mathcal{D}}_0\left(a\right)$ 和 $I_{\mu }\left(u\right),{Ｑ}_{\mu }\left(u\right)>0,\forall u\in B_{\mu }\left(\rho ,a\right)$，

其中

$B_{\mu }\left(\rho ,a\right)=\left\{u\in S\left(a\right):\mu {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta }}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2}+\kappa {\alpha }^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}\le \rho \right\}$。

证明：由 $I_{\mu }\left(u\right)$ 的定义可得

$\underset{u\in B_{\mu }\left(\rho ,a\right)}{\sup }{I}_{\mu }\left(u\right)\le \max \left\{\frac{1}{\theta },\frac{1}{2},1\right\}\rho <{\mathcal{D}}_0\left(a\right)$，

其中 $\rho >0$ 足够小且与 $\mu$ 无关， ${\mathcal{D}}_0\left(a\right)$ 在注3.1已给出。另一方面，当 $\rho >0$ 更小时，由不等式(2.6)，对任意的 $u\in \partial B_{\mu }\left(r,a\right)$， $0<r<\rho$ 可推出

$\begin{array}{c}\underset{u\in \partial B_{\mu }\left(r,a\right)}{\inf }{I}_{\mu }\left(u\right)\ge \frac{\mu }{\theta }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta }}+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2}+\kappa {\alpha }^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}\\ -\frac{K\left(p,N\right)}{p}{a}^{\frac{4N\alpha -P\left(N-2\right)}{4N\alpha -2N+4}}{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}\right)}^{\frac{N\left(p-2\right)}{4N\alpha -2N+4}}\\ \ge \frac{\mu }{\theta }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta }}+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2}+C{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}\ge C_1\left(a,\theta ,\rho ,N\right)r>0\end{array}$ (3.11)

类似地，

$\begin{array}{c}\underset{u\in \partial B_{\mu }\left(r,a\right)}{\inf }{Ｑ}_{\mu }\left(u\right)\ge \left(1+{\gamma }_{\theta }\right)\mu {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta }}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2}+\kappa {\alpha }^2\left(2N\alpha -N+2\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}\\ -K\left(p,N\right){\gamma }_p{a}^{\frac{4N\alpha -P\left(N-2\right)}{4N\alpha -2N+4}}{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}\right)}^{\frac{N\left(p-2\right)}{4N\alpha -2N+4}}\\ \ge C_2\left(a,\theta ,\rho ,N\right)r>0\end{array}$ (3.12)

证毕。

为了获得Palis-Smale(PS)序列，类似于 [9]，引入辅助泛函：

$J_{\mu }\left(s,u\right):=I_{\mu }\left(s\star u\right):ℝ\times \mathcal{X}\to ℝ$ (3.13)

记

$S_r\left(a\right):=S\left(a\right)\cap {\mathcal{X}}_r$， ${\mathcal{X}}_r=W_{rad}^{1,\theta }\left({ℝ}^N\right)\cap H_r^1\left({ℝ}^N\right)$。

利用对称临界原理 [26]， ${J_{\mu }|}_{ℝ\times S_r\left(a\right)}$ 的临界点也是 ${J_{\mu }|}_{ℝ\times S\left(a\right)}$ 的临界点。记

$I_{\mu }^c=\left\{u\in S\left(a\right):I_{\mu }\left(u\right)\le c\right\}$， ${\sigma }_{\mu }\left(a\right):=\underset{\gamma \in {\Gamma }_{\mu }}{\inf }\underset{t\in \left[0,1\right]}{\sup }{J}_{\mu }\left(\gamma \left(t\right)\right)$ (3.14)

其中 ${\Gamma }_{\mu }:=\left\{\gamma =\left(\alpha ,\beta \right)\in \mathcal{C}\left(\left[0,1\right],ℝ\times S_r\left(a\right)\right):\gamma \left(0\right)\in \left\{0\right\}\times B_{\mu }\left(\rho ,a\right),\gamma \left(1\right)\in \left\{0\right\}\times I_{\mu }^0\right\}$。

类似于文 [17] 中引理3.5的证明，可得

引理3.5：对任意的 $0<\mu \le 1$， $m_{\mu }\left(a\right)={\sigma }_{\mu }\left(a\right)$。

注3.2 对任意的 $0<{\mu }_1<{\mu }_2\le 1$，因为 $I_{{\mu }_2}\left(u\right)\ge I_{{\mu }_1}\left(u\right)$ 和 ${\Gamma }_{{\mu }_2}\subset {\Gamma }_{{\mu }_1}$，因此

${\sigma }_{{\mu }_2}\left(a\right)=\underset{\gamma \in {\Gamma }_{{\mu }_2}}{\inf }\underset{t\in \left[0,1\right]}{\sup }{J}_{{\mu }_2}\left(\gamma \left(t\right)\right)\ge \underset{\gamma \in {\Gamma }_{{\mu }_2}}{\inf }\underset{t\in \left[0,1\right]}{\sup }{J}_{{\mu }_1}\left(\gamma \left(t\right)\right)\ge \underset{\gamma \in {\Gamma }_{{\mu }_1}}{\inf }\underset{t\in \left[0,1\right]}{\sup }{J}_{{\mu }_1}\left(\gamma \left(t\right)\right)={\sigma }_{{\mu }_1}\left(a\right)$，

即 ${\sigma }_{\mu }\left(a\right)$ 关于 $\mu \in \left(0,1\right]$ 非减。

由第2节中的定义A，定理B，我们可获得PS序列的存在性。类似 [17] 中的引理3.6的证明，得

引理3.6：对于任意固定的 $\mu \in \left(0,1\right]$，存在序列 $\left\{u_n\right\}\in S_r\left(a\right)$ 使得

$I_{\mu }\left(u_n\right)\to {\sigma }_{\mu }\left(a\right),{I_{\mu }|}^{\prime }{}_{S\left(a\right)}\left(u_n\right)\to 0,{Ｑ}_{\mu }\left(u_n\right)\to 0$ 和 $u_n^{-}\to 0$ a.e.在 ${ℝ}^N$。

下面证明引理3.6中获得的PS序列的紧性。

引理3.7：对于任意固定的 $\mu \in \left(0,1\right]$，设 $\left\{u_n\right\}$ 是引理3.6中获得的序列，通过取自列，仍记为 $\left\{u_n\right\}$，存在 $u_{\mu }\in {\mathcal{X}}_r\backslash \left\{0\right\}$ 和 ${\lambda }_{\mu }\in ℝ$，使得

$u_n$ 弱收敛 $u_{\mu }\ge 0$ 在 ${\mathcal{X}}_r$， $I_{\mu }\left(u_{\mu }\right)={\sigma }_{\mu }\left(a\right)$ 和 ${I^{\prime }}_{\mu }\left(u_{\mu }\right)+{\lambda }_{\mu }{u}_{\mu }=0$。

此外，如果 ${\lambda }_{\mu }\ne 0$，有

$u_n\to u_{\mu }$ 在 ${\mathcal{X}}_r$。

证明：由引理3.3可知 $\left\{u_n\right\}$ 在 ${\mathcal{X}}_r$ 中有界。因此，由 [24]，通过取子列，仍记为 $\left\{u_n\right\}$，存在 $u_{\mu }\in {\mathcal{X}}_r$ 使得

$u_n$ 弱收敛 $u_{\mu }$ 在 ${\mathcal{X}}_r$ 和 $L^2\left({ℝ}^N\right)$， $u_n\to u_{\mu }$ 在 $L^q\left({ℝ}^N\right)$， $\forall q\in \left(2,2^{*}\right)$， $u_n\to u_{\mu }\ge 0$ a.e.在 ${ℝ}^N$。

我们断言 $u_{\mu }\ne 0$。假设 $u_{\mu }=0$，则当 $n\to \infty$ 时有，

$\begin{array}{c}{I}_{\mu }\left(u_n\right)=\frac{\mu }{\theta }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u_n\right|}^{\theta }}+\frac{1}{2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u_n\right|}^2}+\kappa {\alpha }^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_n\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}}{\left|\nabla u_n\right|}^2-\frac{1}{p}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_n\right|}^p}\\ \le \left(1+{\gamma }_{\theta }\right)\mu {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u_n\right|}^{\theta }}+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u_n\right|}^2}+\kappa {\alpha }^2\left(2N\alpha -N+2\right){\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_n\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}}{\left|\nabla u_n\right|}^2\\ ={Ｑ}_{\mu }\left(u_n\right)+{\gamma }_p{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_n\right|}^p}\to 0\end{array}$，

蕴含 $I_{\mu }\left(u_n\right)\to 0$，即 ${\sigma }_{\mu }\left(a\right)=0$。由引理3.5可得 $m_{\mu }\left(a\right)=0$，这与注3.1矛盾。因此， $u_{\mu }\ne 0$。根据 ${I_{\mu }|}^{\prime }{}_{S\left(a\right)}\left(u_n\right)\to 0$，由 [22] 中引理3，则存在 ${\lambda }_n\in ℝ$ 使得

${I^{\prime }}_{\mu }\left(u_n\right)+{\lambda }_n{u}_n\to 0$ 在 ${\mathcal{X}}^{\ast }$。(3.15)

因此， ${\lambda }_n=\frac{1}{a}{I^{\prime }}_{\mu }\left(u_n\right)\left[u_n\right]+o_n\left(1\right)$ 在 $ℝ$ 有界，假设 ${\lambda }_n\to {\lambda }_{\mu }$。因为 $\left\{u_n\right\}$ 有界，则 ${I^{\prime }}_{\mu }\left(u_n\right)+{\lambda }_{\mu }{u}_n\to 0$。类似于 [17] 中引理A.2的证明，有

${I^{\prime }}_{\mu }\left(u_{\mu }\right)+{\lambda }_n{u}_{\mu }=0$ (3.16)

以 $x\cdot \nabla u$ 和u为(3.16)的测试函数，可得 ${Ｑ}_{\mu }\left(u_{\mu }\right)=0$。因此，

${Ｑ}_{\mu }\left(u_n\right)+{\gamma }_p{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_n\right|}^p}\to {Ｑ}_{\mu }\left(u_{\mu }\right)+{\gamma }_p{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_{\mu }\right|}^p}$

利用弱下半连续的性质，见 [25] 中引理4.3，得

$\mu {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u_n\right|}^{\theta }}\to \mu {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u_{\mu }\right|}^{\theta }}$， (3.17)

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u_n\right|}^2}\to {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u_{\mu }\right|}^2}$， (3.18)

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_n\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}}{\left|\nabla u_n\right|}^2\to {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_{\mu }\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}}{\left|\nabla u_{\mu }\right|}^2$ (3.19)

故 $I_{\mu }\left(u_{\mu }\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_{\mu }\left(u_n\right)={\sigma }_{\mu }\left(a\right)$。此外，由(3.17)~(3.19)，得出

${I^{\prime }}_{\mu }\left(u_n\right)\left[u_n\right]\to {I^{\prime }}_{\mu }\left(u_{\mu }\right)\left[u_{\mu }\right]$ (3.20)

因此，结合(3.20)，(3.15)和(3.16)， ${\lambda }_{\mu }{\Vert u_n\Vert }_2^2\to {\lambda }_{\mu }{\Vert u_{\mu }\Vert }_2^2$ 成立。故 ${\lambda }_{\mu }\ne 0$，这意味着 $u_n\to u_{\mu }$ 在 ${\mathcal{X}}_r$。

综上，我们得如下结果。

命题 3.1：对于任意固定的 $\mu \in \left(0,1\right]$，存在 $u_{\mu }\in {\mathcal{X}}_r\backslash \left\{0\right\}$ 和 ${\lambda }_{\mu }\in ℝ$，使得

${I^{\prime }}_{\mu }\left(u_{\mu }\right)+{\lambda }_{\mu }{u}_{\mu }=0$， $I_{\mu }\left(u_{\mu }\right)=m_{\mu }\left(a\right)$， ${Ｑ}_{\mu }\left(u_{\mu }\right)=0$， $0<{\Vert u_{\mu }\Vert }_2^2\le a$， $u_{\mu }\ge 0$。

此外，如果 ${\lambda }_{\mu }\ne 0$，有 ${\Vert u_{\mu }\Vert }_2^2=a$，即 $m_{\mu }\left(a\right)$ 可达，且 $u_{\mu }$ 是 ${I_{\mu }|}_{S\left(a\right)}$ 的一个基态临界点。

3.3. ${I_{\mu }|}_{S\left(a\right)}$ 的无穷多个临界点

本小节讨论 ${I_{\mu }|}_{S\left(a\right)}$ 的无穷多个径向临界点的存在性。我们回顾定义C，定义泛函 $K_{\mu }:X\backslash \left\{0\right\}\to ℝ$ 为：

$\begin{array}{c}{K}_{\mu }\left(u\right):=I_{\mu }\left(s_{\mu }\left(u\right)\star u\right)\\ =\frac{\mu }{\theta }{\text{e}}^{\theta \left(1+{\gamma }_{\theta }\right)s_{\mu }\left(u\right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta }}+\frac{1}{2}{\text{e}}^{2s_{\mu }\left(u\right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^2}\\ +\kappa {\alpha }^2{\text{e}}^{\left(2N\alpha -N+2\right)s_{\mu }\left(u\right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}-\frac{1}{p}{\text{e}}^{p{\gamma }_p{s}_{\mu }\left(u\right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^p}\end{array}$， (3.21)

其中 $s_{\mu }\left(u\right)$ 由引理3.2给出，我们可以看出 $K_{\mu }\left(u\right)$ 是 $\tau$ -不变的。此外，受到 [27] 的启发，有

引理3.8：泛函 $K_{\mu }\left(u\right)$ 是 ${\mathcal{C}}^1$ 的，且对任意的 $u\in \mathcal{X}\backslash \left\{0\right\}$ 和 $\varphi \in \mathcal{X}$

$\begin{array}{c}{K^{\prime }}_{\mu }\left(u\right)\left[\varphi \right]=\mu {\text{e}}^{\theta \left(1+{\gamma }_{\theta }\right)s_{\mu }\left(u\right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta -2}\nabla u\cdot \nabla \varphi }+{\text{e}}^{2s_{\mu }\left(u\right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\nabla }u\cdot \nabla \varphi \\ +\kappa {\alpha }^2{\text{e}}^{\left(2N\alpha -N+2\right)s_{\mu }\left(u\right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left[2\left(2\alpha -1\right){\left|u\right|}^{4\alpha -4}u\varphi {\left|\nabla u\right|}^2+2{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}\nabla u\cdot \nabla \varphi \right]}\\ -{\text{e}}^{p{\gamma }_p{s}_{\mu }\left(u\right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{p-2}u\varphi }\\ ={I^{\prime }}_{\mu }\left(s_{\mu }\left(u\right)\ast u\right)\left[s_{\mu }\left(u\right)\ast \varphi \right]\end{array}$。

证明：令 $u\in \mathcal{X}\backslash \left\{0\right\}$ 和 $\varphi \in \mathcal{X}$。我们估计这项

$K_{\mu }\left(u_t\right)-K_{\mu }\left(u\right)=I_{\mu }\left(s_t\star u_t\right)-I_{\mu }\left(s_0\star u\right)$，

其中， $u_t=u+t\varphi$， $s_t=s_{\mu }\left(u_t\right)$ 且 $\left|t\right|$ 足够小。通过中值定理，我们有

$\begin{array}{l}{I}_{\mu }\left(s_t\star u_t\right)-I_{\mu }\left(s_0\star u\right)\le I_{\mu }\left(s_t\star u_t\right)-I_{\mu }\left(s_t\star u\right)\\ =\mu {\text{e}}^{\theta \left(1+{\gamma }_{\theta }\right)s_t}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u_{{\eta }_t}\right|}^{\theta -2}}\left(\nabla u\cdot \nabla \varphi +{\eta }_t{\left|\nabla \varphi \right|}^2\right)t+{\text{e}}^{2s_t}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left(\nabla u\cdot \nabla \varphi +{\eta }_t{\left|\nabla \varphi \right|}^2\right)t}\\ +\kappa {\alpha }^2{\text{e}}^{\left(2N\alpha -N+2\right)s_t}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left[2\left(2\alpha -1\right){\left|u_{{\eta }_t}\right|}^{4\alpha -4}{u}_{{\eta }_t}\varphi {\left|\nabla u_{{\eta }_t}\right|}^2+2{\left|u_{{\eta }_t}\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}\left(\nabla u\cdot \nabla \varphi +{\eta }_t{\left|\nabla \varphi \right|}^2\right)\right]t}\\ -{\text{e}}^{p{\gamma }_p{s}_t}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_{{\eta }_t}\right|}^{p-2}}\left(u\varphi +{\eta }_t{\varphi }^2\right)t\end{array}$

其中 $\left|{\eta }_t\right|\in \left(0,\left|t\right|\right)$。类似地，

$\begin{array}{l}{I}_{\mu }\left(s_t\star u_t\right)-I_{\mu }\left(s_0\star u\right)\ge I_{\mu }\left(s_0\star u_t\right)-I_{\mu }\left(s_0\star u\right)\\ =\mu {\text{e}}^{\theta \left(1+{\gamma }_{\theta }\right)s_0}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u_{{\xi }_t}\right|}^{\theta -2}}\left(\nabla u\cdot \nabla \varphi +{\xi }_t{\left|\nabla \varphi \right|}^2\right)t+{\text{e}}^{2s_0}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left(\nabla u\cdot \nabla \varphi +{\xi }_t{\left|\nabla \varphi \right|}^2\right)t}\\ +\kappa {\alpha }^2{\text{e}}^{\left(2N\alpha -N+2\right)s_0}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left[2\left(2\alpha -1\right){\left|u_{{\xi }_t}\right|}^{4\alpha -4}{u}_{{\xi }_t}\varphi {\left|\nabla u_{{\xi }_t}\right|}^2+2{\left|u_{{\xi }_t}\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}\left(\nabla u\cdot \nabla \varphi +{\xi }_t{\left|\nabla \varphi \right|}^2\right)\right]t}\\ -{\text{e}}^{p{\gamma }_p{s}_0}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_{{\xi }_t}\right|}^{p-2}}\left(u\varphi +{\xi }_t{\varphi }^2\right)t\end{array}$

其中 $\left|{\xi }_t\right|\in \left(0,\left|t\right|\right)$。因为当 $t\to 0$ 时， $s_t\to s_0$，根据上述两个不等式得出

$\begin{array}{c}\underset{t\to 0}{\lim }\frac{K_{\mu }\left(u_t\right)-K_{\mu }\left(u\right)}{t}=\mu {\text{e}}^{\theta \left(1+\gamma \theta \right)s_{\mu }\left(u\right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u\right|}^{\theta -2}\nabla u\cdot \nabla \varphi }+{\text{e}}^{2s_{\mu }\left(u\right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\nabla }u\cdot \nabla \varphi \\ +\kappa {\alpha }^2{\text{e}}^{\left(2N\alpha -N+2\right)s_{\mu }\left(u\right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left[2\left(2\alpha -1\right){\left|u\right|}^{4\alpha -4}u\varphi {\left|\nabla u\right|}^2+2{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}\nabla u\cdot \nabla \varphi \right]}\\ -{\text{e}}^{p{\gamma }_p{s}_{\mu }\left(u\right)}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{p-2}u\varphi }\end{array}$

利用中值定理和勒贝格控制收敛定理，可得 $K_{\mu }$ 的Gâteaux导数是有界线性，连续的。因此 $K_{\mu }$ 是 ${\mathcal{C}}^1$ 的。特别地，通过变量变换，有

${K^{\prime }}_{\mu }\left(u\right)\left[\varphi \right]={I^{\prime }}_{\mu }\left(s_{\mu }\left(u\right)\star u\right)\left[s_{\mu }\left(u\right)\star \varphi \right]$，

证毕。

为了得到类似于引理3.6的 ${I_{\mu }|}_{S\left(a\right)}$ 的特殊的PS序列，回顾定义C，我们需要以下引理

引理3.9 [17]：令 $\mathcal{G}$ 是 $Y=S_r\left(a\right)$ 紧子集的一个 $\tau$ -同伦稳定族，边界 $B=\varnothing$，设

$d:=\underset{A\in \mathcal{G}}{\inf }\underset{u\in A}{\max }{K}_{\mu }\left(u\right)$。

如果 $d>0$，则存在 $u_n\in S_r\left(a\right)$ 使得

$I_{\mu }\left(u_n\right)\to d$， ${I_{\mu }|}^{\prime }{}_{S\left(a\right)}\left(u_n\right)\to 0$， ${Ｑ}_{\mu }\left(u_n\right)=0$。

令 $\mathcal{A}\left(a\right)$ 是 $S_r\left(a\right)$ 的紧 $\tau$ -不变子集的族。对于每个 $j\in N^{+}$，集合

${\mathcal{A}}_j\left(a\right):=\left\{A\in \mathcal{A}\left(a\right):\mathrm{Ind}\left(A\right)\ge j\right\}$ 和 $c_{\mu }^j\left(a\right):=\underset{A\in A_j\left(a\right)}{\inf }\underset{u\in A}{\max }{K}_{\mu }(\; u\; )$

关于 ${\mathcal{A}}_j\left(a\right)$ 和 $c_{\mu }^j\left(a\right)$，根据 [17] 中引理3.10的证明

引理3.10 [17]：i) 对任意的 $j\in N^{+}$， ${\mathcal{A}}_j\left(a\right)=\varnothing$ 和 ${\mathcal{A}}_j\left(a\right)$ 是 $S_r\left(a\right)$ 紧子集的一个 $\tau$ -同伦稳定族，边界 $B=\varnothing$ ；

ii) 对任意的 $\mu \in \left(0,1\right]$，任意的 $j\in N^{+}$， $c_{\mu }^{j+1}\left(a\right)\ge c_{\mu }^j\left(a\right)\ge {\mathcal{D}}_0\left(a\right)>0$ ；

iii) 对任意的 $j\in N^{+}$， $c_{\mu }^j\left(a\right)$ 关于 $\mu \in \left(0,1\right]$ 非减；

iv) 当 $j\to +\infty$ 时， $b_j\left(a\right):=\underset{0<\mu \le 1}{\inf }{c}_{\mu }^j\left(a\right)\to +\infty$。

对于任意固定的 $\mu \in \left(0,1\right]$ 和任意 $j\in N^{+}$，根据引理3.9和引理3.10，可以找到序列 $u_n^j\in S_r\left(a\right)$ 使得

$I_{\mu }\left(u_n^j\right)\to c_{\mu }^j\left(a\right)$， ${I_{\mu }|}^{\prime }{}_{S\left(a\right)}\left(u_n^j\right)\to 0$， ${Ｑ}_{\mu }\left(u_n^j\right)=0$。

类似引理3.7，有

引理3.11：存在 $\left\{u_n^j\right\}$ 的一个子列，仍记为 $\left\{u_n^j\right\}$，存在一个 $u_{\mu }^j\in X_r\backslash \left\{0\right\}$ 和一个 ${\lambda }_{\mu }^j\in ℝ$ 使得

$u_n^j$ 弱收敛 $u_{\mu }^j$ 在 $X_r$， $I_{\mu }\left(u_{\mu }^j\right)=c_{\mu }^j\left(a\right)$ 和 ${I^{\prime }}_{\mu }\left(u_{\mu }^j\right)+{\lambda }_{\mu }^j{u}_{\mu }^j=0$。 (3.22)

此外，如果 ${\lambda }_{\mu }^j\ne 0$，我们有

$u_n^j\to u_{\mu }^j$ 在 $X_r$。

类似命题3.1，我们得到

命题3.2：对任意固定的 $\mu \in \left(0,1\right]$ 和任意的 $j\in {\mathbb{N}}^{+}$，存在一个 $u_{\mu }^j\in {\mathcal{X}}_r\backslash \left\{0\right\}$ 和 ${\lambda }_{\mu }^j\in ℝ$ 使得

${I^{\prime }}_{\mu }\left(u_{\mu }^j\right)+{\lambda }_{\mu }^j{u}_{\mu }^j=0$， $I_{\mu }\left(u_{\mu }^j\right)=c_{\mu }^j\left(a\right)$， ${Ｑ}_{\mu }\left(u_{\mu }^j\right)=0$， $0<{\Vert u_{\mu }^j\Vert }_2^2\le a$。

此外，如果 ${\lambda }_{\mu }^j\ne 0$，有 ${\Vert u_{\mu }^j\Vert }_2^2=a$，即 $\left\{u_{\mu }^j:j\in {\mathbb{N}}^{+}\right\}$ 是 ${I_{\mu }|}_{S\left(a\right)}$ 随能量增长的无穷多个临界点。

4. 当 $\mu \to 0^{+}$ 时的收敛问题

在本节中，令 $\mu \to 0^{+}$，我们证明第3节中获得的 ${I_{\mu }|}_{S\left(a\right)}$ 的临界点序列收敛于 ${I_{\mu }|}_{\tilde{S}\left(a\right)}$ 的临界点。

命题4.1：令 $N\ge 2$。假设 ${\mu }_n\to 0^{+}$， ${I^{\prime }}_{{\mu }_n}\left(u_{{\mu }_n}\right)+{\lambda }_{{\mu }_n}{u}_{{\mu }_n}=0$， ${\lambda }_{{\mu }_n}\ge 0$，且对于 $u_{{\mu }_n}\in S_r\left(a_n\right)$， $I_{{\mu }_n}\left(u_{{\mu }_n}\right)\to c\in \left(0,+\infty \right)$，其中 $0<a_n\le a$。则存在一个子列 $u_{{\mu }_n}$ 弱收敛u在 $H^1\left({ℝ}^N\right)$， $u\ne 0$， $u\in H_r^1\left({ℝ}^N\right)\cap L^{\infty }\left({ℝ}^N\right)$ 和存在一个 $\lambda \in ℝ$ 使得

$I^{\prime }\left(u\right)+\lambda u=0$， $I\left(u\right)=c$ 和 $0<{\Vert u\Vert }_2^2\le a$。

此外，i) 如果 $u_{{\mu }_n}\ge 0$，对于每个 $n\in {\mathbb{N}}^{+}$，则 $u\ge 0$ ；

ii) 如果 $\lambda \ne 0$，有 ${\Vert u\Vert }_2^2=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$。

证明：受 [16] 的启发。首先，由引理2.1， ${I^{\prime }}_{{\mu }_n}\left(u_{{\mu }_n}\right)+{\lambda }_{{\mu }_n}{u}_{{\mu }_n}=0$ 可推得对每个 $n\in {\mathbb{N}}^{+}$， ${Ｑ}_{{\mu }_n}\left(u_{{\mu }_n}\right)=0$。接下来根据引理3.3，我们可得

$\underset{n\ge 1}{\sup }\max \left\{{\mu }_n{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u_{{\mu }_n}\right|}^{\theta }},{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}}{\left|\nabla u_{{\mu }_n}\right|}^2,{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u_{{\mu }_n}\right|}^2}\right\}<+\infty$ (4.1)

因此， $u_{{\mu }_n}$ 在 $H^1\left({ℝ}^N\right)$ 有界。我们断言 $\underset{n\to \infty }{\lim \inf }{a}_n>0$，故 ${\lambda }_{{\mu }_n}=\frac{1}{a_n}{I^{\prime }}_{{\mu }_n}\left(u_{{\mu }_n}\right)\left[u_{{\mu }_n}\right]$ 在 $ℝ$ 是有界的。事实

上，如果 $a_n\to 0$，结合(2.6)，可得 ${\Vert u_{{\mu }_n}\Vert }_p\to 0$，根据 ${Ｑ}_{{\mu }_n}\left(u_n\right)=0$ 得出 $I_{{\mu }_n}\left(u_{{\mu }_n}\right)\to 0$，这与 $c>0$ 矛盾。因此，存在一个子列，仍记为 ${\lambda }_{{\mu }_n}$ 且 ${\lambda }_{{\mu }_n}\to \lambda$ 在 $ℝ$， $u_{{\mu }_n}$ 弱收敛u在 $H_r^1\left({ℝ}^N\right)$， $u_{{\mu }_n}\to u$ 在 $L^q\left({ℝ}^N\right)$ 当 $2<q<2^{\ast }$ 和 $u_{{\mu }_n}\to u$ a.e.在 ${ℝ}^N$。由插值不等式和(2.6)，得 $u_{{\mu }_n}\to u$ 在 $L^q\left({ℝ}^N\right)$ 当 $2<q<{22}^{\ast }$。因此，如果对于每个 $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ 有 $u_{{\mu }_n}\ge 0$，我们有 $u\ge 0$。此外，类似 [17] 中引理A.2，可得 $u_n\nabla u_n\to u\nabla u$ 在 ${\left(L_{loc}^2\left({ℝ}^N\right)\right)}^N$ 和 $u_n\nabla u_n\to u\nabla u$ a.e.在 ${ℝ}^N$。现在我们分几步来证明结论。

第一步：我们证明对于一些正常数C有 ${\Vert u_{{\mu }_n}\Vert }_{\infty }\le C$ 和 ${\Vert u\Vert }_{\infty }\le C$。

我们仅证明 $N\ge 3$ 情况，情况 $N=2$ 类似。设 $T>2$， $r>0$ 和 $v_n=\{\begin{array}{ll}T,\hfill & u_{{\mu }_n}\ge T,\hfill \\ u_{{\mu }_n},\hfill & \left|u_{{\mu }_n}\right|\le T,\hfill \\ -T,\hfill & u_{{\mu }_n}\le -T,\hfill \end{array}$

令 $\varphi =u_{{\mu }_n}{\left|v_n\right|}^{2r}$，则 $\varphi \in \mathcal{X}$。根据 ${I^{\prime }}_{{\mu }_n}\left(u_{{\mu }_n}\right)+{\lambda }_{{\mu }_n}{u}_{{\mu }_n}=0$ 和 ${\lambda }_{{\mu }_n}\ge 0$，得

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{p-2}{u}_{{\mu }_n}\varphi }={\mu }_n{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u_{{\mu }_n}\right|}^{\theta -2}}\nabla u_{{\mu }_n}\cdot \nabla \varphi +{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\nabla }{u}_{{\mu }_n}\cdot \nabla \varphi +{\lambda }_{{\mu }_n}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{u}_{{\mu }_n}}\varphi \\ +\kappa {\alpha }^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left[2\left(2\alpha -1\right){\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{4\alpha -4}{u}_{{\mu }_n}\varphi {\left|\nabla u_{{\mu }_n}\right|}^2+2{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}\nabla u_{{\mu }_n}\cdot \nabla \varphi \right]}\\ \ge 2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}}\nabla u_{{\mu }_n}\cdot \nabla \varphi \\ =2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}}{\left|\nabla u_{{\mu }_n}\right|}^2{\left|v_n\right|}^{2r}+{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{u}_{{\mu }_n}2r{\left|v_n\right|}^{2r-2}{v}_n\nabla u_{{\mu }_n}\cdot \nabla v_n\\ =2\frac{1}{{\left(2\alpha \right)}^2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left({\left|v_n\right|}^r\left|\nabla u_{{\mu }_n}^{2\alpha }\right|\right)}^2}+\frac{4}{r}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left(\left|u_{{\mu }_n}^{2\alpha }\right|\nabla {\left|v_n\right|}^r\right)}^2}\\ \ge \frac{1}{r+{\left(2\alpha \right)}^2}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla \left(u_{{\mu }_n}^{2\alpha }{\left|v_n\right|}^r\right)\right|}^2}\ge \frac{C}{{\left(r+2\alpha \right)}^2}{\left({{{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left|u_{{\mu }_n}^{2\alpha }\right|}{v}_n|}^r|}^{2^{*}}\right)}^{\frac{2}{2^{*}}}\end{array}$

另一方面，由Hölder不等式，有

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{p-2}}{u}_{{\mu }_n}\varphi ={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^p}{\left|v_n\right|}^{2r}={\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{p-4\alpha }}{\left|v_n\right|}^{2r}{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{4\alpha }\\ \le ({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{{{22}^{*})}^{\frac{p-4\alpha }{{22}^{*}}}}}{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left({\left|v_n\right|}^r{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{2\alpha }\right)}^{\frac{{42}^{2*}}{{22}^2-p+4\alpha }}}\right)}^{\frac{{22}^{*}-p+4\alpha }{{22}^{*}}}\\ \le C{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left({\left|v_n\right|}^r{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{2\alpha }\right)}^{\frac{{42}^{*}}{{}^{{22}^{*}-p+4\alpha }}}}\right)}^{\frac{{22}^{*}-p+4\alpha }{{22}^{*}}}\end{array}$ (4.2)

其中 $\frac{p-4\alpha }{{22}^{*}}+\frac{{22}^{*}-p+4\alpha }{{22}^{*}}=1$。结合这些不等式，有

${\left({{{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left|u_{{\mu }_n}^{2\alpha }\right|}{v}_n|}^r|}^{2^{*}}\right)}^{\frac{2}{2^{*}}}\le C{\left(r+2\alpha \right)}^2{\left({\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left({\left|v_n\right|}^r{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{2\alpha }\right)}^{\frac{{42}^{*}}{{22}^{*}-p+4\alpha }}}\right)}^{\frac{{22}^{*}-p+4\alpha }{{22}^{*}}}$ (4.3)

令 $r_0:\left(r_0+2\alpha \right)q={22}^{*}$ 和 $d=\frac{2^{*}}{q}>1$，其中 $q=\frac{{42}^{*}}{{22}^{*}-p+4\alpha }$。在(4.3)中取 $r=r_0$，令 $T\to +\infty$，可得

${\Vert u_{{\mu }_n}\Vert }_{\left(2\alpha +r_0\right)qd}\le {\left(C\left(r_0+2\alpha \right)\right)}^{\frac{1}{r_0+2\alpha }}{\Vert u_{{\mu }_n}\Vert }_{\left(2\alpha +r_0\right)q}$ (4.4)

设 $i\in \mathbb{N}$， $2\alpha +r_{i+1}=\left(2\alpha +r_i\right)d$。然后归纳起来，可得

${\Vert u_{{\mu }_n}\Vert }_{\left(2\alpha +r_0\right)q{d}^{i+1}}\le {\displaystyle \underset{k=0}{\overset{i}{\prod }}{\left(C\left(r_k+2\alpha \right)\right)}^{\frac{1}{r_k+2\alpha }}}{\Vert u_{{\mu }_n}\Vert }_{\left(2\alpha +r_0\right)q}\le C{\Vert u_{{\mu }_n}\Vert }_{\left(2\alpha +r_0\right)q}$ (4.5)

其中C是正常数。在(4.5)式中取 $\stackrel{\dot{}}{ı}\to \infty$，有 ${\Vert u_{{\mu }_n}\Vert }_{\infty }\le C$ 和 ${\Vert u\Vert }_{\infty }\le C$。

第二步：证明 $I^{\prime }\left(u\right)+\lambda u=0$。

取 $\varphi =\psi {\text{e}}^{-u_{{\mu }_n}}$，其中 $\psi \in C_0^{\infty }\left({ℝ}^N\right)$， $\psi \ge 0$，我们有

$\begin{array}{c}0=\left({I^{\prime }}_{{\mu }_n}\left(u_{{\mu }_n}\right)+{\lambda }_{{\mu }_n}{u}_{{\mu }_n}\right)\left[\varphi \right]\\ ={\mu }_n{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u_{{\mu }_n}\right|}^{\theta -2}}\nabla u_{{\mu }_n}\left(\nabla \psi {\text{e}}^{-u_{{\mu }_n}}-\psi {\text{e}}^{-u_{{\mu }_n}}\nabla u_{{\mu }_n}\right)+{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\nabla }{u}_{{\mu }_n}\left(\nabla \psi {\text{e}}^{-u_{{\mu }_n}}-\psi {\text{e}}^{-u_{{\mu }_n}}\nabla u_{{\mu }_n}\right)\\ +\kappa {\alpha }^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}2}\left(2\alpha -1\right){\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{4\alpha -4}{u}_{{\mu }_n}\psi {\text{e}}^{-u_{{\mu }_n}}{\left|\nabla u_{{\mu }_n}\right|}^2\\ +\kappa {\alpha }^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}2}{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}\nabla u_{{\mu }_n}\left(\nabla \psi {\text{e}}^{-u_{{\mu }_n}}-\psi {\text{e}}^{-u_{{\mu }_n}}\nabla u_{{\mu }_n}\right)\\ +{\lambda }_{{\mu }_n}{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{u}_{{\mu }_n}}\psi {\text{e}}^{-u_{{\mu }_n}}-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{p-2}}{u}_{{\mu }_n}\psi {\text{e}}^{-u_{{\mu }_n}}\end{array}$

$\begin{array}{l}\le {\mu }_n{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u_{{\mu }_n}\right|}^{\theta -2}}\nabla u_{{\mu }_n}\nabla \psi {\text{e}}^{-u_{{\mu }_n}}+\left(1+2\kappa {\alpha }^2{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}\right)\nabla u_{{\mu }_n}\nabla \psi {\text{e}}^{-u_{{\mu }_n}}\\ -{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left(1+2\kappa {\alpha }^2{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}-2\left(2\alpha -1\right)\kappa {\alpha }^2{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{4\alpha -4}{u}_{{\mu }_n}\right)\psi {\text{e}}^{-u_{{\mu }_n}}{\left|\nabla u_{{\mu }_n}\right|}^2}\\ +{\lambda }_{{\mu }_n}{\displaystyle {\int }_{R^N}{u}_{{\mu }_n}}\psi {\text{e}}^{-u_{{\mu }_n}}-{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{p-2}}{u}_{{\mu }_n}\psi {\text{e}}^{-u_{{\mu }_n}}\end{array}$

因为 ${\mu }_n\to 0^{+}$ 和 ${\Vert u_{{\mu }_n}\Vert }_{\infty }\le C$，(4.1)推得

${\mu }_n{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u_{{\mu }_n}\right|}^{\theta -2}}\nabla u_{{\mu }_n}\nabla \psi {\text{e}}^{-u_{{\mu }_n}}\to 0$

根据 $u_{{\mu }_n}$ 的弱收敛性，Hölder不等式和Lebesgue控制收敛定理，可知

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left(1+2\kappa {\alpha }^2{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}\right)\nabla u_{{\mu }_n}\nabla \psi {\text{e}}^{-u_{{\mu }_n}}}\to {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left(1+2\kappa {\alpha }^2{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}\right)\nabla u\nabla \psi {\text{e}}^{-u}}$

${\lambda }_{{\mu }_n}{\displaystyle {\int }_{R^N}{u}_{{\mu }_n}}\psi {\text{e}}^{-u_{{\mu }_n}}\to \lambda {\displaystyle {\int }_{R^N}u\psi {\text{e}}^{-u}}$， ${\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{p-2}{u}_{{\mu }_n}\psi {\text{e}}^{-u_{{\mu }_n}}}\to {\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u\right|}^{p-2}u\psi {\text{e}}^{-u}}$

此外，根据Fatou引理，可得

$\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim \inf }{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left(1+2\kappa {\alpha }^2{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}-2\left(2\alpha -1\right)\kappa {\alpha }^2{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{4\alpha -4}{u}_{{\mu }_n}\right)\psi {\text{e}}^{-u_{{\mu }_n}}{\left|\nabla u_{{\mu }_n}\right|}^2}\\ \ge {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\left(1+2\kappa {\alpha }^2{u}^{2\left(2\alpha -1\right)}-2\left(2\alpha -1\right)\kappa {\alpha }^2{\left|u\right|}^{4\alpha -4}u\right)\psi {\text{e}}^{-u}{\left|\nabla u\right|}^2}\end{array}$

因此，对任意的 $\phi \in C_0^{\infty }\left({ℝ}^N\right)$， $\phi \ge 0$，有

$\begin{array}{l}0\le {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\nabla }u\left(\nabla \psi {\text{e}}^{-u}-\psi {\text{e}}^{-u}\nabla u\right)+2\kappa {\alpha }^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}\nabla u\left(\nabla \psi {\text{e}}^{-u}-\psi {\text{e}}^{-u}\nabla u\right)}\\ +2\left(2\alpha -1\right)\kappa {\alpha }^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{4\alpha -4}u\psi {\text{e}}^{-u}{\left|\nabla u\right|}^2}+\lambda {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}u\psi {\text{e}}^{-u}}-{\displaystyle {\int }_{R^N}{\left|u\right|}^{p-2}u\psi {\text{e}}^{-u}}\end{array}$ (4.6)

选择一个非负函数列 ${\psi }_n\in C_0^{\infty }\left({ℝ}^N\right)$ 使得 ${\psi }_n\to \phi {\text{e}}^u$ 在 $H^1\left({ℝ}^N\right)$， ${\psi }_n\to \phi {\text{e}}^u$ a.e.在 ${ℝ}^N$ 和 ${\psi }_n$ 在 $L^{\infty }\left({ℝ}^N\right)$ 一致有界。则根据(4.6)，有

$0\le {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\nabla }u\cdot \nabla \phi +2\kappa {\alpha }^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}\nabla u\cdot \nabla \phi }+2\left(2\alpha -1\right)\kappa {\alpha }^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{4\alpha -4}u\phi {\left|\nabla u\right|}^2}+\lambda {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}u\phi }-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{p-2}u\phi }$ (4.7)

类似地，选取 $\varphi =\psi {\text{e}}^{u_{{\mu }_n}}$，可得

$0\ge {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}\nabla }u\cdot \nabla \phi +2\kappa {\alpha }^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}\nabla u\cdot \nabla \phi }+2\left(2\alpha -1\right)\kappa {\alpha }^2{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{4\alpha -4}u\phi {\left|\nabla u\right|}^2}+\lambda {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}u\phi }-{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{p-2}u\phi }$

注意到，对任意的 $\phi \in C_0^{\infty }\left({ℝ}^N\right)$， $\phi ={\phi }^{+}-{\phi }^{-}$，我们可以得到 $I^{\prime }\left(u\right)+\lambda u=0$。

第三步：类似于引理3.7，完成证明。

由引理2.1，我们从 $I^{\prime }\left(u\right)+\lambda u=0$ 可得 $Ｑ\left(u\right):={Ｑ}_0\left(u\right)=0$。因此，

${Ｑ}_{{\mu }_n}\left(u_{{\mu }_n}\right)+{\gamma }_p{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^p}\to Ｑ\left(u\right)+{\gamma }_p{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^p}$。

接下来利用弱下半连续的性质，必有

${\mu }_n{\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u_{{\mu }_n}\right|}^{\theta }}\to 0$， ${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|\nabla u_{{\mu }_n}\right|}^2}\to {\displaystyle {\int }_{ℝN}{\left|\nabla u\right|}^2}$， ${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u_{{\mu }_n}\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}}{\left|\nabla u_{{\mu }_n}\right|}^2\to {\displaystyle {\int }_{{ℝ}^N}{\left|u\right|}^{2\left(2\alpha -1\right)}{\left|\nabla u\right|}^2}$ (4.8)

故 $I\left(u\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_{\mu }\left(u_{{\mu }_n}\right)=c$。此外，根据(4.8)，我们有

${I^{\prime }}_{{\mu }_n}\left(u_{{\mu }_n}\right)\left[u_{{\mu }_n}\right]\to I^{\prime }\left(u\right)\left[u\right]$。

因此， $\lambda {\Vert u_{{\mu }_n}\Vert }_2^2\to \lambda {\Vert u\Vert }_2^2$ 成立。故如果 $\lambda \ne 0$，有 ${\Vert u\Vert }_2^2=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$。

最后，我们给出定理1.1和定理1.2的证明。

定理1.1的证明：由注3.1和注3.2，可知

$d^{*}\left(a\right):=\underset{\mu \to 0^{+}}{\lim }{m}_{\mu }\left(a\right)\in \left(0,+\infty \right)$。

由命题3.1，取 ${\mu }_n\to 0^{+}$，对于 $u_{{\mu }_n}\in S_r\left(a_n\right)$， ${I^{\prime }}_{{\mu }_n}\left(u_{{\mu }_n}\right)+{\lambda }_{{\mu }_n}{u}_{{\mu }_n}=0$， $I_{{\mu }_n}\left(u_{{\mu }_n}\right)\to d^{*}\left(a\right)$，其中 $0<a_n\le a$ 和 $u_{{\mu }_n}\ge 0$。然后根据引理2.3可得 ${\lambda }_{{\mu }_n}>0$。现在根据命题4.1，存在 $v\ne 0$， $v\ge 0$， $v\in H_r^1\left({ℝ}^N\right)\cap L^{\infty }\left({ℝ}^N\right)$ 和 ${\lambda }_0\in ℝ$，使得

$I^{\prime }\left(v\right)+{\lambda }_{0}v=0$， $I\left(v\right)=d^{*}\left(a\right)$ 和 $0<{\Vert v\Vert }_2^2\le a$。

然后根据引理2.3， ${\lambda }_0>0$。因为 ${\lambda }_{{\mu }_n}\to {\lambda }_0$，可以说当n足够大时 ${\lambda }_{{\mu }_n}\ne 0$。则 $a_n=a$ 和 ${\Vert v\Vert }_2^2=a$。因此，v是(1.3)的非平凡非负解。为了考虑基态规范化解，定义

$d\left(a\right):=\inf \left\{I\left(v\right):v\in \tilde{S}\left(a\right),{I|}^{\prime }{}_{\tilde{S}\left(a\right)}\left(v\right)=0,v\ne 0\right\}$，

则 $d\left(a\right)\le I\left(v\right)=d^{*}\left(a\right)$。类似于引理3.3的方法，进一步证明 $d\left(a\right)>0$。我们取一个序列 $v_n\in \tilde{S}\left(a\right)$， ${I|}^{\prime }{}_{\tilde{S}\left(a\right)}\left(v_n\right)=0$， $v_n\ne 0$ 和 $v_n\ge 0$ 使得 $I\left(v_n\right)\to d\left(a\right)$。类似于命题4.1的证明，存在 $u\ne 0$， $u\ge 0$， $u\in H_r^1\left({ℝ}^N\right)\cap L^{\infty }\left({ℝ}^N\right)$ 和 $\lambda \in ℝ$，使得

$I^{\prime }\left(u\right)+\lambda u=0$， $I\left(u\right)=d\left(a\right)$。

利用引理2.2，则 $\lambda \ne 0$ 和 ${\Vert u\Vert }_2^2=a$。因此，u是 $d\left(a\right)$ 的极小元。最后，由 [23] 和 $u\in L^{\infty }\left({ℝ}^N\right)$，u是经典解且严格正的。

定理1.2的证明：由引理3.10，我们可知

$b_j\left(a\right)=\underset{\mu \to 0^{+}}{\lim }{c}_{\mu }^j\left(a\right)\in \left(0,+\infty \right)$ 和 $b_j\left(a\right)\to +\infty$，

由命题3.2，对每个 $j\in {\mathbb{N}}^{+}$，取 ${\mu }_n^j\to 0^{+}$，对于 $u_{{\mu }_n^j}\in S_r\left(a_n^j\right)$， ${I^{\prime }}_{{\mu }_n^j}\left(u_{{\mu }_n^j}^j\right)+{\lambda }_{{\mu }_n^j}^j{u}_{{\mu }_n^j}^j=0$， $I_{{\mu }_n^j}\left(u_{{\mu }_n^j}^j\right)\to b_j\left(a\right)$，

其中 $0<a_n^j\le a$。然后根据引理2.3可得 ${\lambda }_{{\mu }_n^j}^j>0$。现在根据命题4.1，存在 $u^j\ne 0$， $u^j\in H_r^1\left({ℝ}^N\right)\cap L^{\infty }\left({ℝ}^N\right)$ 和 ${\lambda }^j\in R$，使得

$I^{\prime }\left(u^j\right)+{\lambda }^j{u}^j=0$， $I\left(u^j\right)=b_j\left(a\right)$ 和 $0<{\Vert u^j\Vert }_2^2\le a$。

接下来利用引理2.3，可知 ${\lambda }^j>0$。因为 ${\lambda }_{{\mu }_n^j}^j\to {\lambda }^j$，说明当n足够大时 ${\lambda }_{{\mu }_n^j}^j\ne 0$，因此， $a_n^j=a$ 和 ${\Vert u^j\Vert }_2^2=a$，即 $\left\{u^j:j\in {\mathbb{N}}^{+}\right\}$ 是(1.3)的规范化解序列。此外， $I\left(u^j\right)=b_j\to +\infty$。

5. 结论

本文研究了当 $h\left(s\right)=s^{\alpha }\left(\alpha \in R\right)$ 时一类拟线性Schrödinger方程基态规范化解的存在性和无穷多个规

范化解的存在性。其中， $N\le 3$， $4\alpha +\frac{4}{N}<p<2^{\ast }$， $\frac{1}{2}\le \alpha \le 1$。利用Pohozaev流形和极小极大原理去寻找扰动泛函的临界点，然后考虑当 $\mu \to 0^{+}$ 时扰动泛函临界点的收敛性，最后得到该方程的规范化解。

基金项目

山西省自然科学基金面上项目(201901D111085)。

NOTES

^*通讯作者。