Gorenstein平坦模和右拟Frobenius扩张

Gorenstein Flat Modules and Quasi-Frobenius Extensions

摘要: 作为环的Frobenius扩张的非平凡推广，B. Muller引入了环的右(左)拟Frobenius扩张。本文通过建立凝聚环和它的右拟Frobenius扩张的Gorenstein平坦模的联系，探讨了右拟Frobenius扩张下模的Gorenstein平坦维数之间的关系。

Abstract: As a nontrivial generalization of Frobenius extensions of rings, B. Muller introduced the concept of right (left) quasi-Frobenius extensions of rings. In this paper, we study the relationship between Gorenstein flat dimensions under right Quasi-Frobenius extension modules by establishing relations between condensation ring and Gorenstein flat modules linked by the right Quasi-Frobenius extensions of rings.

1. 引言

作为拟Frobenius环和环的Frobenius扩张的非平凡推广，环的右(左)拟Frobenius扩张是由B. Muller在 [1] [2] 引入和研究的，它与诸如环的优化扩张、正则扩张、(H-)可分扩张等一些重要的环扩张具有密切的联系。相比环的Frobenius扩张，环的右拟Frobenius扩张的关于左、右模的“非对称”的性质引起人们的广泛的兴趣(详见参考文献 [1] - [8] )。Y. Iwanagao在参考文献 [4] 通过建立一个诺特环与它可分拟Frobenius扩张的内射模之间的联系得到Gorenstein环的拟Frobenius扩张仍是Gorenstein环，E. Enochs将这一结论进一步推广到一般环上。

作为相对同调的主要研究对象之一的Gorenstein平坦模的相关性质的研究也一直受到人们的广泛关注。另一方面，在环扩张下，包括Gorenstein平坦维数、Gorenstein整体维数在内的同调不变性质的研究也一直是一个热门话题。本文中主要在环的右拟Frobenius扩张下探讨模的Gorenstein同调性质。

本文主要内容分成三部分。其中我们将本文所用到的定义和相关结论放在了第二部分预备知识之中。在第三部分我们通过建立了凝聚环与它的可分右拟Frobenius扩张的Gorenstein平坦模之间的联系，探讨了凝聚环与它的可分右拟Frobenius扩张上的模的Gorenstein平坦维数的关系，得到如下定理。

定理 1.1设S是凝聚环R的一个可分的QF-扩张，M是S-模。则

${\text{GfdM}}_{\text{R}}={\text{GfdM}}_{\text{S}}$.

2. 预备知识

本文中的所有的环是具有单位元的结合环，所有模不加说明是右模。设S是一个环，将所有S-模构成的范畴记为Mod S。记Inj(S)表示所有左S-模构成的子范畴。若环S为环R的环扩张，记作S ≥ R。

定义2.1 [1] [2] 环S称为R右拟Frobenius扩张(简称右QF-扩张)，如果

(1) S_R是一个有限生成投射模；

(2) _RS_S作为(R, S)-模是Hom_R(_SS_R, R)的直和项，记作_RS_S|Hom_R(_SS_R, R)。

左QF-扩张类似定义。一个环扩张S ≥ R称为QF-扩张，如果它既是左QF-扩张又是右QF-扩张。

引理2.2设环S为R的右QF-扩张。

(1) ( [5]，引理2.1)如果I是一个内射S-模，则I是内射R-模；

(2) ([6]，命题7)如果X是内射R-模，则 $X{\otimes }_{R}S$ 是一个内射S-模。

定义2.3 [2]环扩张S ≥ R称为可分的，如果存在一个 $S{\otimes }_{R}S$ 到S的(R, R)-模可裂的满态射。

一个可分扩张S ≥ R称为可分右QF-扩张，如果它也是环右QF-扩张。

可分环扩张具有以下性质。

引理2.4 [2] 设环S是R的可分环扩张。对于任何S-模M，则M是 $M{\otimes }_{R}S$ 的直和项。

一个R-模M称为Gorenstein平坦模 [9]，如果存在正合列

$T:\cdots \to F_1\to F_0\to F^0\to F^1\to \cdots$ ，

使得对于任何左内射R-模I复形 ${\rm T}{\otimes }_{R}I$ 仍是正合，且 $\text{M}=\text{Ker}\left(F_0\to F^0\right)$ ，其中， ${\text{F}}^i,{\text{F}}_j\left(i,j=0,1,2,\cdots \right)$ 为平坦模。设N是一个R-模，N的Gorenstein平坦分解式长度的最小值称为N的Gorenstein平坦维数，记作Gfd(N)。

引理 2.5 [4] 设R是凝聚环，Gorenstein平坦R-模的直和项仍是Gorenstein平坦R-模。

3. 主要结果

由右QF-扩张的定义易得下面结论。

引理3.1. 设S是环R的右QF-扩张，则

(1) S是有限生成投射左R-模。

(2) Hom_R(_RS_S, _RR)作为(S, R)-模是_SS_R的直和项。

证明：(1) 由定义2.1可得S是有限生成投射R-模，故Hom_R(_SS_R, R)是投射左R-模。

又由_RS_S|Hom_R(_SS_R, R)可得S是有限生成投射左R-模。

(2) 由定义2.1 (2)可得(R, S)-模同构 ${}_R{S}_S\oplus N\cong {\text{Hom}}_{\text{R}}\left({}_{\text{S}}\text{S}{}_{\text{R}},\text{R}\right)$ ，其中N为(R, S)-模。

从而，可得(S, R)-模同构

$Ho{m}_{\text{R}}\left({}_{\text{R}}\text{S}{}_{\text{S}},R\right)\oplus Ho{m}_R\left({}_{\text{R}}\text{N}{}_{\text{S}},R\right)\cong {\text{Hom}}_{\text{R}}\left(\text{H}o{m}_R\left({}_{\text{S}}S{}_{\text{R}},R\right),\text{R}\right)$.

另一方面，由定义2.1可得S是投射R-模，从而可得(S, R)-模同构 $\text{H}o{m}_R\left(Ho{m}_{\text{R}}\left({}_S\text{S}{}_{\text{R}},R\right),R\right)\cong {}_{\text{S}}S{}_{\text{R}}$ 。

由此可得Hom_R(_RS_S, _RR)作为(S, R)-模是_SS_R的直和项。证毕。

命题3.2设S是环R的右QF-扩张，M是R-模。如果M是一个Gorenstein平坦R-模，则 $M{\otimes }_{R}S$ 是一个Gorenstein平坦S-模。

证明：因为M是一个Gorenstein平坦R-模，则存在正合列

${\rm T}:\cdots \to F_1\to F_0\to F^0\to F^1\to \cdots$ ，

使得对于任何左内射R-模I复形 ${\rm T}{\otimes }_{R}I$ 仍是正合的，且 $\text{M}=\text{Ker}\left(F_0\to F^0\right)$ 。其中， ${\text{F}}^i,{\text{F}}_j\left(i,j=0,1,2,\cdots \right)$ 为平坦R-模。

由引理3.1.可知S是投射左R-模，因此，复形

${\rm T}{\otimes }_R\text{S}:.\cdots \to F_1{\otimes }_{R}S\to F_0{\otimes }_{R}S\to F^0{\otimes }_{R}S\to F^1{\otimes }_{R}S\to \cdots$ ，

是正合的，且 $\text{M}{\otimes }_R\text{S}=\text{Ker}\left({\text{M}}_{\text{0}}{\otimes }_{\text{R}}\text{S}\to {\text{M}}_1{\otimes }_{\text{R}}\text{S}\right)$ 。

设I为任意内射左S-模，由引理2.2(1)可知_RI是一个左内射R-模。则由R-模同构 ${}_{R}S{\otimes }_{S}I\cong {}_{R}I$ 可知 ${}_{\text{R}}\text{S}{\otimes }_{\text{S}}\text{I}$ 为左内射R-模，从而复形 ${\rm T}\otimes {}_{\text{R}}\left(\text{S}{\otimes }_{\text{R}}\text{I}\right)$ 也是正合的。故由定义可知 $M{\otimes }_{R}S$ 是一个Gorenstein平坦S-模。

下面推论将参考文献 [10] 命题3.10的结论由交换环推广到非交换环上。

推论3.3. 设S是环R的右QF-扩张，M为任意R-模。则

$\text{Gfd}\left(M{\otimes }_{R}S\right)\le \text{Gfd}\left(\text{M}\right)$.

证明：由Gorenstein平坦维数的定义和命题3.2直接可得。

定理3.4. 设S是环R的可分右QF-扩张，N是S-模。则N是Gorenstein平坦R-模当且仅当N是Gorenstein平坦S-模。

证明：先证必要性。设N是Gorenstein平坦R-模。由命题3.2.可得 $\text{N}{\otimes }_{R}S$ 是Gorenstein平坦S-模。又因为S是R的可分环扩张，故N作为S-模是 $\text{N}{\otimes }_{R}S$ 的直和项。由引理2.5可得N是Gorenstein平坦S-模。

再证充分性。因为N是Gorenstein平坦S-模，从而存在正合列

${\rm T}:\cdots \to {\left({\text{F}}_1\right)}_{\text{S}}\to {\left(F_0\right)}_{\text{S}}\to {\left(F^0\right)}_{\text{S}}\to {\left(F^1\right)}_S\to \cdots$ ，

使得对于任意左内射S-模I，复形 ${\rm T}{\otimes }_{R}I$ 仍正合且 $\text{N}=\text{Ker}\left(F_0\to F^0\right)$ 。其中 ${\text{F}}_i,{\text{F}}^j$ 为平坦模。

显然，复形

${\rm T}:\cdots \to {\left({\text{F}}_1\right)}_{\text{R}}\to {\left(F_0\right)}_{\text{R}}\to {\left(F^0\right)}_{\text{R}}\to {\left(F^1\right)}_{\text{R}}\to \cdots$ ，

在Mod R中仍是正合的且 ${\text{N}}_{\text{R}}=\text{Ker}\left({\left(F_0\right)}_{\text{R}}\to {\left(F^0\right)}_{\text{R}}\right)$ 。

由引理2.2.可得对于任意左内射R-模I， $\text{S}{\otimes }_R\text{I}$ 是左内射S-模。又由同构态射 ${\rm T}{\otimes }_{R}I\cong {\rm T}{\otimes }_S\left(S{\otimes }_{R}I\right)$ 可得， ${\rm T}{\otimes }_{R}I$ 正合，从而可得N是Gorenstein平坦R-模。

定理3.5设S是凝聚环R的右QF-扩张，N是S-模，则 $\text{Gfd}\left({\text{N}}_{\text{R}}\right)\le \text{Gfd}\left({\text{N}}_{\text{S}}\right)$ 。特别，若S还是凝聚环R的可分扩张， $\text{Gfd}\left({\text{N}}_{\text{S}}\right)=\text{Gfd}\left({\text{N}}_{\text{R}}\right)$ 。

证明：先证 $\text{Gfd}\left({\text{N}}_{\text{R}}\right)\le \text{Gfd}\left({\text{N}}_{\text{S}}\right)$ 。不失一般性，设 $\text{Gfd}\left({\text{N}}_{\text{S}}\right)=m$ ，则存在S-模长正合列

$0\to {\text{V}}_m\to {\text{V}}_{m-1}\to \cdots \to {\text{V}}_0\to \text{N}\to 0$ ， (1)

其中 ${\text{V}}_i\left(i=0,1,2,\cdots ,m\right)$ Gorenstein平坦S-模。由定理3.4可得，(1)是R-模长正合列且 ${\text{V}}_i\left(i=0,1,2,\cdots ,m\right)$ Gorenstein平坦R-模。从而 ${\text{GfdN}}_{\text{R}}\le m$ 。

反过来，若 ${\text{GfdN}}_{\text{R}}=n$ ，则由推论3.3可得 $\text{Gfd}\left(\text{N}{\otimes }_{\text{R}}\text{S}\right)\le n$ 。因为S是凝聚环R的可分环扩张，则 ${\text{N}}_{\text{S}}|\text{N}{\otimes }_R\text{S}$ 。从而可得 ${\text{GfdN}}_{\text{S}}\le n$ 。证毕。

基金项目

此项研究受河南省高等学校青年骨干教师培养计划项目资助(2019GGJS204)。